局部化中两个分数 $r_1/s_1$ 和 $r_2/s_2$ 相等的普遍准则是什么？

适用条件

• $R$ 是一个交换环。
• $S \subset R$ 是乘法闭的。
• $r_1, r_2 \in R$ 且 $s_1, s_2 \in S$。

理解与推导

1. 从两个任意分数 $r_1/s_1$ 和 $r_2/s_2$ 开始。
2. 计算交叉乘积差 $r_1s_2 - s_1r_2$。
3. 检查是否存在 $S$ 中的元素 $t$ 湮灭这个差，即 $t(r_1s_2 - s_1r_2) = 0$。
4. 得出当且仅当存在这样的 $t$ 时，这两个分数是等价的。

例子

黑板上写着 $\frac{r_1}{s_1} = \frac{r_2}{s_2}$，然后是 $(r_1 s_2 - s_1 r_2)=0$，然后是 $\exists t \in S : t(r_1 s_2 - s_1 r_2) = 0$。演讲者解释说，相等不仅在交叉乘积本身为零时成立，而且在存在某个 $t \in S$ 使得 $t(r_1 s_2 - s_1 r_2)=0$ 时也成立。

容易误解的地方

• 认为 $S^{-1}R$ 中的两个分数恰好在 $r_1s_2=s_1r_2$ 时相等。
• 假设朴素的交叉相乘规则在一般的局部化设置中就足够了。

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继续追问

• 为什么在一般的局部化设置中，朴素的交叉相乘条件是不够的？
• 环局部化中分数的等价关系是什么？

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