在欧几里得步骤中，为什么余数 $a \bmod b$ 小于 $b$？

欧几里得算法将旧的除数移到左边（新的被除数），将旧的余数移到较小数的位置（新的除数），以递归地简化问题。这种移位确保随后的每个除法步骤都在更小的数字上进行，同时保持原始数对的最大公约数，直到达到余数为零为止。

适用条件：算法应用于两个正整数。；前一个余数不为零。；过程持续直到获得余数 0。

对于非负整数 $n$，$n$ 和 $0$ 的最大公约数是 $n$ 本身。这作为欧几里得算法的基本情况，当第二个参数变为零时终止递归。

适用条件：$n$ 是非负整数。；数字对是 $(n, 0)$。

要形成下一个除法行，你取前一行的除数，并将其作为新行的被除数。然后，你取前一行的余数，并将其作为新行的除数。

适用条件：你刚刚完成了欧几里得算法中的一个除法步骤。；前一个余数不为 0。

要开始求 $\gcd(10,45)$ 的欧几里得算法，需将较大的数写成较小的数乘以一个未知的商加上一个未知的余数。具体来说，建立除法方程 $45 = 10 \cdot q + r$。

适用条件：输入是正整数。；较大的数放在方程的左边。；商是整数，且余数满足 $0 \le r < 10$。

使用除法的欧几里得算法在当前数字对 $(a,b)$ 中的一个条目变为零时终止。具体来说，当步骤 $b=aq+r$ 中的余数 $r$ 变为零时，下一对是 $(0,a)$ 或 $(a,0)$，算法停止，返回非零条目作为最大公约数。

适用条件：算法使用步骤 $\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)$。；$a$ 和 $b$ 是非负整数。；当第二个参数为 0 时终止。