你想弄懂什么？

对于可微函数 $f(x,y)$，沿向量 $v=[-1,2]$ 的方向导数通过将 $x$ 的偏导数乘以 $-1$ 以及 $y$ 的偏导数乘以 $2$ 后求和来计算。在偏导数存在的前提下，其结果为 $-\frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y}$。

适用条件：函数 $f(x,y)$ 是可微的。；方向向量为 $v=[-1,2]$。；偏导数 ∂$f/x$ 和 ∂f/∂y 存在。

对于可微函数 $f(x,y)$，沿向量 $v=[-1,2]$ 的方向导数通过将 $x$ 的偏导数乘以 $-1$ 以及 $y$ 的偏导数乘以 $2$ 后求和来计算。在偏导数存在的前提下，其结果为 $-\frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y}$。

适用条件：函数 $f(x,y)$ 是可微的。；方向向量为 $v=[-1,2]$。；偏导数 ∂$f/x$ 和 ∂f/∂y 存在。

证明分为四个步骤：将区域 D 划分为小矩形，利用泰勒展开近似单个矩形上的线积分，对这些积分求和使得内部边界相互抵消，最后取网格尺寸趋于零的极限以导出旋度的二重积分。

适用条件：区域 D 是一个闭合的平面区域。；函数 P 和 Q 在 D 附近具有连续的一阶偏导数。；边界 L 是分片光滑的。

证明分为四个步骤：将区域 D 划分为小矩形，利用泰勒展开近似单个矩形上的线积分，对这些积分求和使得内部边界相互抵消，最后取网格尺寸趋于零的极限以导出旋度的二重积分。

适用条件：区域 D 是一个闭合的平面区域。；函数 P 和 Q 在 D 附近具有连续的一阶偏导数。；边界 L 是分片光滑的。

方向导数通过将轴对齐的位移替换为由小标量 $h$ 缩放的任意方向向量，从而推广了偏导数的概念。它衡量当 $h$ 趋于零时的无穷小输出变化，将偏导数从坐标轴方向扩展到输入平面内的任意向量方向。

适用条件：函数是二元标量值函数。；偏导数沿坐标轴定义。；方向导数使用任意向量方向。

方向导数通过将轴对齐的位移替换为由小标量 $h$ 缩放的任意方向向量，从而推广了偏导数的概念。它衡量当 $h$ 趋于零时的无穷小输出变化，将偏导数从坐标轴方向扩展到输入平面内的任意向量方向。

适用条件：函数是二元标量值函数。；偏导数沿坐标轴定义。；方向导数使用任意向量方向。