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关于「如何从任意内积构造 $G$-不变内积?」

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认识概念

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表示空间 VV 上的群不变内积由以下条件定义:将相同的群元素 gg 作用于两个向量不会改变它们的内积。数学上,这表示为对所有 g∈Gg \in G 和所有 v,w∈Vv, w \in V,有 (ρ(g)v,ρ(g)w)=(v,w)(\rho(g)v, \rho(g)w) = (v, w)。

适用条件:VV 是带有内积 (⋅,⋅)(\cdot, \cdot) 的向量空间。;ρ:G→GL(V)\rho: G \to GL(V) 是一个表示。;该条件必须对所有 g∈Gg \in G 和所有 v,w∈Vv, w \in V 成立。