在马施克定理的证明中，群不变内积的定义条件是什么？

分块对角矩阵形式表示表示 $\rho$ 在不变子空间 $W$ 和 $W^{\perp}$ 上分解为独立的子表示。当 $V = W \oplus W^{\perp}$ 且两个和项都是 $G$-不变时，在此直和的适应基下，$\rho(g)$ 的矩阵具有零非对角块，意味着 $W$ 上的作用不与 $W^{\perp}$ 上的作用混合。

适用条件：$V = W \oplus W^{\perp}$ 是一个直和分解。；$W$ 和 $W^{\perp}$ 都是 $G$-不变子空间。；$V$ 的基被选为 $W$ 和 $W^{\perp}$ 基的并集。

如果 $W$ 是 $G$-不变子空间且内积是 $G$-不变的，那么对于任意 $y \in W^{\perp}$ 和 $g \in G$，向量 $\rho(g)y$ 仍然与 $W$ 中的每个 $w$ 正交。这可以通过将 $(\rho(g)y, w)$ 重写为 $(y, \rho(g^{-1})w)$ 来展示。

适用条件：$W \subseteq V$ 是一个 $G$-不变子空间（对所有 $g \in G$，$\rho(g)W \subseteq W$）。；$V$ 上的内积 $(\cdot, \cdot)$ 是 $G$-不变的（$(\rho(g)v, \rho(g)w) = (v, w)$）。；$W^{\perp} = \{y \in V \mid (y, w) = 0 \text{ 对所有 } w \in W\}$。

分解终止是因为表示空间的维数是有限的。在每一步，都会分离出一个真非零的 $G$-不变子空间 $W$，留下一个互补的不变子空间 $W^{\perp}$。

适用条件：$V$ 是有限维向量空间。；$W$ 是 $V$ 的真非零 $G$-不变子空间。；内积是 $G$-不变的，确保 $W^{\perp}$ 也是 $G$-不变的。