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$\sqrt{x}$ 的原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$，这是通过将函数重写为 $x^{1/2}$ 并应用积分的幂法则推导得出的。该结果专门用于在转换积分限后计算定积分，此时省略积分常数。

适用条件：函数是 $\sqrt{x}$。；应用了积分的幂法则。；指数 $n = 1/2$。

$\sqrt{x}$ 的原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$，这是通过将函数重写为 $x^{1/2}$ 并应用积分的幂法则推导得出的。该结果专门用于在转换积分限后计算定积分，此时省略积分常数。

适用条件：函数是 $\sqrt{x}$。；应用了积分的幂法则。；指数 $n = 1/2$。

定积分 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} du$ 的精确值为 $2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。该结果通过代换 $x = 1 + e^u$ 获得，此代换将积分限转换为 2 和 3，随后在新限处求值原函数 $\frac{2}{3}x^{3/2}$ 并相减得到。

适用条件：积分是 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} du$。；使用换元 $x = 1 + e^u$。；积分限转换为 2 和 3。；原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。

定积分 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} du$ 的精确值为 $2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。该结果通过代换 $x = 1 + e^u$ 获得，此代换将积分限转换为 2 和 3，随后在新限处求值原函数 $\frac{2}{3}x^{3/2}$ 并相减得到。

适用条件：积分是 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} du$。；使用换元 $x = 1 + e^u$。；积分限转换为 2 和 3。；原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。

函数 $y=\sqrt{9-x^2}$ 的实数域是闭区间 $[-3, 3]$。这种限制的存在是因为，在实数范围内，平方根内部的表达式（被开方数）必须非负，主平方根才是实数值。

适用条件：平方根的实数解释。；使用主平方根约定。；被开方数是 $9 - x^2$。

函数 $y=\sqrt{9-x^2}$ 的实数域是闭区间 $[-3, 3]$。这种限制的存在是因为，在实数范围内，平方根内部的表达式（被开方数）必须非负，主平方根才是实数值。

适用条件：平方根的实数解释。；使用主平方根约定。；被开方数是 $9 - x^2$。

对于关于形心 y 轴的特定阴影区域，面积惯性矩 $I_y$ 的最终数值约为 $0.762 \text{ m}^4$。该值是通过计算定积分 $\int_0^2 x^2 (2 - \sqrt{2} x^{1/2}) dx$ 得到的，该积分简化为 $\frac{2^4}{3} - \sqrt{2} \left(\frac{2}{7}\right) 2^{3.5}$。

适用条件：区域由 $y = 2$（顶部）和 $y = \sqrt{2} x^{1/2}$（底部）从 $x=0$ 到 $x=2$ 界定。；轴是形心 y 轴。；单位为米。

对于关于形心 y 轴的特定阴影区域，面积惯性矩 $I_y$ 的最终数值约为 $0.762 \text{ m}^4$。该值是通过计算定积分 $\int_0^2 x^2 (2 - \sqrt{2} x^{1/2}) dx$ 得到的，该积分简化为 $\frac{2^4}{3} - \sqrt{2} \left(\frac{2}{7}\right) 2^{3.5}$。

适用条件：区域由 $y = 2$（顶部）和 $y = \sqrt{2} x^{1/2}$（底部）从 $x=0$ 到 $x=2$ 界定。；轴是形心 y 轴。；单位为米。