你想弄懂什么？

缺失的中间列是 $\begin{bmatrix} 0 \\ -16 \\ 9 \end{bmatrix}$。这是通过对 B 的中间列 $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 应用变换 A 得到的。

适用条件：A 和 B 是视频中显示的具体 3x3 矩阵。；使用逐列复合的方法。

缺失的中间列是 $\begin{bmatrix} 0 \\ -16 \\ 9 \end{bmatrix}$。这是通过对 B 的中间列 $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 应用变换 A 得到的。

适用条件：A 和 B 是视频中显示的具体 3x3 矩阵。；使用逐列复合的方法。

$2\times 2$ 变换矩阵将标准基向量映射到其自身的列。具体来说，矩阵的第一列是向量 $[1, 0]^T$ 的像，第二列是向量 $[0, 1]^T$ 的像。

适用条件：矩阵为 $2\times 2$。；在标准笛卡尔坐标中工作。

$2\times 2$ 变换矩阵将标准基向量映射到其自身的列。具体来说，矩阵的第一列是向量 $[1, 0]^T$ 的像，第二列是向量 $[0, 1]^T$ 的像。

适用条件：矩阵为 $2\times 2$。；在标准笛卡尔坐标中工作。

数学家将该概念推广到支持合理加法和标量乘法运算的任何对象。

适用条件：抽象线性代数背景

数学家将该概念推广到支持合理加法和标量乘法运算的任何对象。

适用条件：抽象线性代数背景

矩阵被初步定义为多个向量的组合。具体来说，将等长的列向量并排放置形成矩阵。

适用条件：相邻列具有相等的长度。；列的固定顺序。；这是一种介绍性表示，而不是矩阵一般性质的证明。

矩阵被初步定义为多个向量的组合。具体来说，将等长的列向量并排放置形成矩阵。

适用条件：相邻列具有相等的长度。；列的固定顺序。；这是一种介绍性表示，而不是矩阵一般性质的证明。

将向量重写为标准基向量的线性组合可以利用变换的线性性质。与其直接计算完整的矩阵-向量乘积，不如分别对每个基向量应用变换（这对应于矩阵的列），然后使用原始系数组合结果。

适用条件：向量在 $R^3$ 中。；系数是向量相对于标准基的坐标。；A 是线性的：应用它保持和与标量倍数。

将向量重写为标准基向量的线性组合可以利用变换的线性性质。与其直接计算完整的矩阵-向量乘积，不如分别对每个基向量应用变换（这对应于矩阵的列），然后使用原始系数组合结果。

适用条件：向量在 $R^3$ 中。；系数是向量相对于标准基的坐标。；A 是线性的：应用它保持和与标量倍数。

减法等同于加上加法逆元。在矩阵代数中，将矩阵乘以标量 -1 会创建其加法逆元。

适用条件：按 -1 进行标量乘法是逐元素定义的。；矩阵加法是逐元素定义的。；A 和 B 具有相同的维度。

减法等同于加上加法逆元。在矩阵代数中，将矩阵乘以标量 -1 会创建其加法逆元。

适用条件：按 -1 进行标量乘法是逐元素定义的。；矩阵加法是逐元素定义的。；A 和 B 具有相同的维度。

要构造左乘矩阵，需将原矩阵的行视为抽象向量 $r_1, r_2, r_3$。根据指定的操作，将新行写为旧行的线性组合。

适用条件：操作作用于一个有 3 行的矩阵。；操作是 $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ 和 $R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1$。

要构造左乘矩阵，需将原矩阵的行视为抽象向量 $r_1, r_2, r_3$。根据指定的操作，将新行写为旧行的线性组合。

适用条件：操作作用于一个有 3 行的矩阵。；操作是 $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ 和 $R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1$。

将 3x3 矩阵乘以向量 $(x, y, z)$ 会将矩阵的每一列（代表一个变换后的基向量）按相应的输入坐标进行缩放，并将结果相加。这是因为线性变换保持加法和标量乘法。

适用条件：矩阵是表示线性变换的 3x3 矩阵；输入向量具有坐标 $(x, y, z)$；变换是线性的

将 3x3 矩阵乘以向量 $(x, y, z)$ 会将矩阵的每一列（代表一个变换后的基向量）按相应的输入坐标进行缩放，并将结果相加。这是因为线性变换保持加法和标量乘法。

适用条件：矩阵是表示线性变换的 3x3 矩阵；输入向量具有坐标 $(x, y, z)$；变换是线性的

三维中的矩阵-向量乘法通过将矩阵的列按输入向量的相应坐标进行缩放，然后将结果相加来工作。坐标 $(x, y, z)$ 作为变换后基向量（即列）的标量乘数，利用了保持加法和标量乘法的线性性质。

适用条件：矩阵是 3x3 变换矩阵。；输入向量的坐标为 $(x, y, z)$。；变换是线性的。

三维中的矩阵-向量乘法通过将矩阵的列按输入向量的相应坐标进行缩放，然后将结果相加来工作。坐标 $(x, y, z)$ 作为变换后基向量（即列）的标量乘数，利用了保持加法和标量乘法的线性性质。

适用条件：矩阵是 3x3 变换矩阵。；输入向量的坐标为 $(x, y, z)$。；变换是线性的。

原点保持不变是因为线性要求 $T(av+bw)=aT(v)+bT(w)$。如果我们设 $v=0$ 和 $w=0$（或者简单地考虑零向量），$T(0) = T(0\cdot v) = 0\cdot T(v) = 0$。

适用条件：变换是线性的。；将线性定义应用于零向量。

原点保持不变是因为线性要求 $T(av+bw)=aT(v)+bT(w)$。如果我们设 $v=0$ 和 $w=0$（或者简单地考虑零向量），$T(0) = T(0\cdot v) = 0\cdot T(v) = 0$。

适用条件：变换是线性的。；将线性定义应用于零向量。

从几何上看，$2\times 2$ 矩阵的行列式代表线性变换缩放面积的比例因子。具体来说，它是由矩阵列向量形成的平行四边形的有符号面积。

适用条件：矩阵为 $2\times 2$。；变换是线性的。；在标准正交坐标中使用普通欧几里得面积。

从几何上看，$2\times 2$ 矩阵的行列式代表线性变换缩放面积的比例因子。具体来说，它是由矩阵列向量形成的平行四边形的有符号面积。

适用条件：矩阵为 $2\times 2$。；变换是线性的。；在标准正交坐标中使用普通欧几里得面积。

矩阵-向量乘法被重新构想为：使用输入向量的分量缩放变换后的基向量（即矩阵的列），然后将它们相加。这在矩阵定义的倾斜坐标系中构建了最终位置，而不仅仅是遵循繁琐的算术配方。

适用条件：输入和输出坐标使用固定的标准基。；矩阵表示移动向量的主动线性映射。

矩阵-向量乘法被重新构想为：使用输入向量的分量缩放变换后的基向量（即矩阵的列），然后将它们相加。这在矩阵定义的倾斜坐标系中构建了最终位置，而不仅仅是遵循繁琐的算术配方。

适用条件：输入和输出坐标使用固定的标准基。；矩阵表示移动向量的主动线性映射。