$2\times 2$ 变换矩阵如何作用于标准单位向量？

在此背景下，$A \circ B$ 表示先应用 B，然后将 A 应用于所得结果的变换。该记号遵循最右侧变换首先作用于输入向量的约定。

适用条件：A 和 B 被视为同一空间（此处为三维空间）上的变换。；B 的输出必须是 A 可接受的输入。

缺失的中间列是 $\begin{bmatrix} 0 \\ -16 \\ 9 \end{bmatrix}$。这是通过对 B 的中间列 $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 应用变换 A 得到的。

适用条件：A 和 B 是视频中显示的具体 3x3 矩阵。；使用逐列复合的方法。

在绕 y 轴旋转 90 度期间，$\hat{i}$ 移动到负 z 轴的 $(0, 0, -1)$，$\hat{j}$ 保持在 y 轴上的 $(0, 1, 0)$ 不动，而 $\hat{k}$ 摆动到正 x 轴的 $(1, 0, 0)$。

适用条件：旋转角度正好为 90 度；旋转轴为 y 轴；假定采用右手坐标系约定来确定符号

行列式缩放任何可测量平面图形的面积，而不仅仅是正方形。行列式的绝对值作为线性变换下所有区域的统一面积缩放因子。

适用条件：变换是线性的。；图形是可测量的且具有有限面积。；在标准正交坐标中使用普通欧几里得面积。

矩阵表示为 $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$。这是通过观察标准基向量落在哪里推导出来的：$\hat{i}$ 旋转到 $[0, 1]^T$，$\hat{j}$ 旋转到 $[-1, 0]^T$。

适用条件：旋转为 90 度逆时针。；在使用标准基向量的二维平面中工作。