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纯随机采样在高维空间中效率低下，因为空间的体积呈指数增长，使得随机命中高概率区域几乎不可能。MCMC 通过使用马尔可夫链进行依赖采样来解决这个问题，它引导探索并自然地将样本集中在高概率区域。

适用条件：目标分布定义在高维空间上。；随着维度增加，随机采样变得低效。；MCMC 使用一个设计好的马尔可夫链，其平稳分布是目标分布。

纯随机采样在高维空间中效率低下，因为空间的体积呈指数增长，使得随机命中高概率区域几乎不可能。MCMC 通过使用马尔可夫链进行依赖采样来解决这个问题，它引导探索并自然地将样本集中在高概率区域。

适用条件：目标分布定义在高维空间上。；随着维度增加，随机采样变得低效。；MCMC 使用一个设计好的马尔可夫链，其平稳分布是目标分布。

平稳分布是一种概率分布，随着马尔可夫链的演化保持不变。它对 MCMC 很重要，因为当链达到平衡时，在每个区域花费的长期时间比例恰好匹配目标概率，从而使链能够充当完美的采样器。

适用条件：马尔可夫链必须达到平衡。；$\pi$ 是概率向量，$P$ 是转移矩阵。；目标分布是 $\pi$。

平稳分布是一种概率分布，随着马尔可夫链的演化保持不变。它对 MCMC 很重要，因为当链达到平衡时，在每个区域花费的长期时间比例恰好匹配目标概率，从而使链能够充当完美的采样器。

适用条件：马尔可夫链必须达到平衡。；$\pi$ 是概率向量，$P$ 是转移矩阵。；目标分布是 $\pi$。

蒙特卡洛方法通过将困难的解析积分替换为随机样本的平均值来估计期望值。它从目标分布中抽取独立的随机样本，计算它们的移动平均值，并观察到随着样本数量的增加，平均值收敛到真实的期望值。

适用条件：需要能够从目标分布中抽取随机样本。；随着样本数量的增加，准确性提高。；$p(x)$ 必须是有效的概率密度函数。

蒙特卡洛方法通过将困难的解析积分替换为随机样本的平均值来估计期望值。它从目标分布中抽取独立的随机样本，计算它们的移动平均值，并观察到随着样本数量的增加，平均值收敛到真实的期望值。

适用条件：需要能够从目标分布中抽取随机样本。；随着样本数量的增加，准确性提高。；$p(x)$ 必须是有效的概率密度函数。