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数学归纳法原理指出，如果命题 $P(n)$ 在基础步骤（通常为 $n=1$）中为真，并且对于任意整数 k，$P(k)$ 的真理性蕴含 $P(k+1)$ 的真理性，那么 $P(n)$ 对所有自然数 n 都为真。

适用条件：$P(1)$ 为真。；对于任意 k，$P(k)$ 蕴含 $P(k+1)$。；n 是自然数。

数学归纳法原理指出，如果命题 $P(n)$ 在基础步骤（通常为 $n=1$）中为真，并且对于任意整数 k，$P(k)$ 的真理性蕴含 $P(k+1)$ 的真理性，那么 $P(n)$ 对所有自然数 n 都为真。

适用条件：$P(1)$ 为真。；对于任意 k，$P(k)$ 蕴含 $P(k+1)$。；n 是自然数。

这种重写之所以可能，是由于乘法对加法的分配律，特别是提取公因式 ($k+1$)。和式 $k(k+1)$ 和 $2(k+1)$ 中的两项都共享因子 ($k+1$)。

适用条件：表达式是两项之和：$k(k+1)$ 和 $2(k+1)$。；($k+1$) 是两项中的公因子。

这种重写之所以可能，是由于乘法对加法的分配律，特别是提取公因式 ($k+1$)。和式 $k(k+1)$ 和 $2(k+1)$ 中的两项都共享因子 ($k+1$)。

适用条件：表达式是两项之和：$k(k+1)$ 和 $2(k+1)$。；($k+1$) 是两项中的公因子。

这两个条件是：1) 基础步骤，验证命题陈述 $P(1)$ 在初始值 $n=1$ 时为真。2) 归纳步骤，证明如果该陈述对任意整数 k 成立（$P(k)$），那么它对 $k+1$ 也必然成立（$P(k+1)$）。

适用条件：陈述是由自然数索引的命题 $P(n)$。；基础步骤通常在 $n=1$ 处检查。；归纳步骤假设 $P(k)$ 为真以证明 $P(k+1)$。

这两个条件是：1) 基础步骤，验证命题陈述 $P(1)$ 在初始值 $n=1$ 时为真。2) 归纳步骤，证明如果该陈述对任意整数 k 成立（$P(k)$），那么它对 $k+1$ 也必然成立（$P(k+1)$）。

适用条件：陈述是由自然数索引的命题 $P(n)$。；基础步骤通常在 $n=1$ 处检查。；归纳步骤假设 $P(k)$ 为真以证明 $P(k+1)$。