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总通量是通过累加所有小表面元素的微分通量的无穷小贡献来推导的。在数学上，这种求和变成了在表面积上的二重积分。

适用条件：表面是弯曲的。；表面被划分为无穷小的元素。；每个元素的微分通量已定义。

总通量是通过累加所有小表面元素的微分通量的无穷小贡献来推导的。在数学上，这种求和变成了在表面积上的二重积分。

适用条件：表面是弯曲的。；表面被划分为无穷小的元素。；每个元素的微分通量已定义。

斯托克斯公式将向量场 $\vec{F}$ 绕闭合边界曲线 $C$ 的线积分与 $\vec{F}$ 的旋度在曲面 $S$ 上点乘定向单位法向量的曲面积分等同起来。左侧沿边界累积场的切向分量，而右侧在整个曲面上累积旋度的法向分量。

适用条件：曲面 $S$ 是定向的分片光滑曲面。；向量场 $\vec{F}$ 在曲面附近是 $C^1$ 的。；$C$ 的边界方向由 $S$ 的选定法向量通过右手定则诱导。

斯托克斯公式将向量场 $\vec{F}$ 绕闭合边界曲线 $C$ 的线积分与 $\vec{F}$ 的旋度在曲面 $S$ 上点乘定向单位法向量的曲面积分等同起来。左侧沿边界累积场的切向分量，而右侧在整个曲面上累积旋度的法向分量。

适用条件：曲面 $S$ 是定向的分片光滑曲面。；向量场 $\vec{F}$ 在曲面附近是 $C^1$ 的。；$C$ 的边界方向由 $S$ 的选定法向量通过右手定则诱导。

曲面的通量可以通过将其划分为小矩形块来近似。如果块足够小，它就近似于一个平坦的平面段，在该段上法向量和场都保持有效恒定。

适用条件：表面是弯曲的。；表面被划分为小矩形块。；块足够小以近似平坦平面。

曲面的通量可以通过将其划分为小矩形块来近似。如果块足够小，它就近似于一个平坦的平面段，在该段上法向量和场都保持有效恒定。

适用条件：表面是弯曲的。；表面被划分为小矩形块。；块足够小以近似平坦平面。

向量场 $\vec{F}$ 在点 $M$ 处的散度定义为当包围体积在 $M$ 周围缩小至零时，单位体积通量的极限。公式为 $\lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \text{div } \vec{F}(M)$。

适用条件：体积 $V$ 缩小至点 $M$（半径趋于零）；向量场 $\vec{F}$ 在 $M$ 的邻域内平滑

向量场 $\vec{F}$ 在点 $M$ 处的散度定义为当包围体积在 $M$ 周围缩小至零时，单位体积通量的极限。公式为 $\lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \text{div } \vec{F}(M)$。

适用条件：体积 $V$ 缩小至点 $M$（半径趋于零）；向量场 $\vec{F}$ 在 $M$ 的邻域内平滑

对于具有均匀向量场的平坦区域，通量是通过向量场与法向量的点积乘以该区域的标量面积来计算的。

适用条件：向量场是均匀的（大小和方向恒定）。；表面是一个平坦的平面。

对于具有均匀向量场的平坦区域，通量是通过向量场与法向量的点积乘以该区域的标量面积来计算的。

适用条件：向量场是均匀的（大小和方向恒定）。；表面是一个平坦的平面。

它通过将穿过闭合曲面 $S$ 的总向外通量除以该曲面所包围的体积 $V$ 来定义。公式为 $\frac{1}{V} \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS$，表示区域内向量场平均每单位体积的净流出量。

适用条件：曲面 $S$ 包围一个有限的非零体积 $V$；$\vec{F}$ 在 $S$ 的内部处处有定义

它通过将穿过闭合曲面 $S$ 的总向外通量除以该曲面所包围的体积 $V$ 来定义。公式为 $\frac{1}{V} \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS$，表示区域内向量场平均每单位体积的净流出量。

适用条件：曲面 $S$ 包围一个有限的非零体积 $V$；$\vec{F}$ 在 $S$ 的内部处处有定义

引言建立了一个以原点为中心的网格状球体的三维笛卡尔坐标系。黄色箭头表示表面的外法向量 $\vec{n}$，红色箭头说明了分布的向量场 $\vec{F}$。

适用条件：可视化以原点为中心的球体；清晰区分表面法向量和场向量

引言建立了一个以原点为中心的网格状球体的三维笛卡尔坐标系。黄色箭头表示表面的外法向量 $\vec{n}$，红色箭头说明了分布的向量场 $\vec{F}$。

适用条件：可视化以原点为中心的球体；清晰区分表面法向量和场向量

高斯散度定理指出，向量场 $\vec{F}$ 通过闭合曲面 $S$ 的通量等于该向量场的散度在 $S$ 所围成的体积 $V$ 上的三重积分。数学表达式为：$\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \iiint_V (\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}) dV$。

适用条件：$S$ 是包围体积 $V$ 的分片光滑闭合曲面；$\vec{n}$ 是 $S$ 上的外单位法向量；$\vec{F}$ 在 $V$ 内连续可微

高斯散度定理指出，向量场 $\vec{F}$ 通过闭合曲面 $S$ 的通量等于该向量场的散度在 $S$ 所围成的体积 $V$ 上的三重积分。数学表达式为：$\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \iiint_V (\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}) dV$。

适用条件：$S$ 是包围体积 $V$ 的分片光滑闭合曲面；$\vec{n}$ 是 $S$ 上的外单位法向量；$\vec{F}$ 在 $V$ 内连续可微