高斯公式与散度

向量场 $\vec{F}$ 在点 $M$ 处的散度定义为当包围体积在 $M$ 周围缩小至零时，单位体积通量的极限。公式为 $\lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \text{div } \vec{F}(M)$。

适用条件：体积 $V$ 缩小至点 $M$（半径趋于零）；向量场 $\vec{F}$ 在 $M$ 的邻域内平滑

散度代表了向量场在该特定点的发散强度（或净向外流动）。它量化了场在局部作为源或汇的程度。

适用条件：适用于任何连续向量场；在具体点 $M$ 处评估

它通过将穿过闭合曲面 $S$ 的总向外通量除以该曲面所包围的体积 $V$ 来定义。公式为 $\frac{1}{V} \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS$，表示区域内向量场平均每单位体积的净流出量。

适用条件：曲面 $S$ 包围一个有限的非零体积 $V$；$\vec{F}$ 在 $S$ 的内部处处有定义

引言建立了一个以原点为中心的网格状球体的三维笛卡尔坐标系。黄色箭头表示表面的外法向量 $\vec{n}$，红色箭头说明了分布的向量场 $\vec{F}$。

适用条件：可视化以原点为中心的球体；清晰区分表面法向量和场向量

高斯散度定理指出，向量场 $\vec{F}$ 通过闭合曲面 $S$ 的通量等于该向量场的散度在 $S$ 所围成的体积 $V$ 上的三重积分。数学表达式为：$\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \iiint_V (\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}) dV$。

适用条件：$S$ 是包围体积 $V$ 的分片光滑闭合曲面；$\vec{n}$ 是 $S$ 上的外单位法向量；$\vec{F}$ 在 $V$ 内连续可微