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关于「曲边梯形的最终面积是多少?」

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认识概念

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曲边梯形的最终面积是 ln⁡2\ln 2。这是通过取 n→∞n \to \infty 时黎曼和的极限推导出来的,其中欧拉常数抵消,对数项简化为 ln⁡2\ln 2,余项趋于零。

适用条件:曲线是 y=1xy = \frac{1}{x}。;区间是 [1,2][1, 2]。;面积定义为黎曼和的极限。

掌握方法

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使用对数的商法则,该法则指出 ln⁡a−ln⁡b=ln⁡(ab)\ln a - \ln b = \ln \left(\frac{a}{b}\right)。将其应用于 ln⁡2n−ln⁡n\ln 2n - \ln n 得到 ln⁡(2nn)\ln \left(\frac{2n}{n}\right),由于 2nn=2\frac{2n}{n} = 2,它简化为 ln⁡2\ln 2。

适用条件:a>0a > 0 且 b>0b > 0(此处 2n>02n > 0 且 n>0n > 0)。;对数的底数为 ee(自然对数)。