解析延拓导论 #some3

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示函数 $f(x)$，背景为白色。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“假设我们有一个关于 x 的函数 f。”

$f(x)$

当前正在讨论的给定函数。

如视频所述，该函数定义在区间 [-a, a] 上。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 [-a, a]。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“定义域是从负 a 到 a。”

[-a,a]

从 -a 到 a 的闭区间，表示函数 $f(x)$ 的定义域。

包含端点 -a 和 a 在内的 -a 与 a 之间的所有实数。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + \cdots$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“解析函数是如下形式的无穷级数。”

$f(x)$

以无穷幂级数形式表示的解析函数。

在 $x_0$ 附近、收敛半径范围内的 x 的取值。

1. 公式
   观察依据

   求和符号 $\sum_{n=0}^{\infty}$ 出现在幂级数公式中。

$\sum_{n=0}^{\infty}$

对 n 从 0 到无穷大求和。

指标 n 取遍所有非负整数。

1. 公式
   观察依据

   系数 $a_n$ 出现在幂级数通项 $a_n (x-x_0)^n$ 中。

$a_n$

幂级数的第 n 项系数。

通常为实数或复数，具体取决于上下文。

1. 公式
   观察依据

   项 ($x-x_0$)^n 出现在幂级数展开式中。

($x-x_0$)^n

变量 x 与中心点 $x_0$ 之差的 n 次幂。

x 是变量；$x_0$ 是该级数的中心。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“它如下给出。”

$f(x)$

由其泰勒级数逼近的函数。

x 在点 a 附近的取值。

1. 公式
   观察依据

   项 $f^{(n)}(a)$ 出现在泰勒级数系数的分子中。

$f^{(n)}(a)$

函数 f 在点 a 处的 n 阶导数。

要求 f 在 a 处 n 阶可导。

1. 公式
   观察依据

   分母 n! 在泰勒级数公式中可见。

n!

n 的阶乘，用于泰勒级数系数。

n 是一个非负整数。

1. 公式
   观察依据

   项 (x-a)^n 在泰勒级数展开式中可见。

(x-a)^n

变量 x 与展开点 a 之差的 n 次幂。

x 是变量；a 是展开点。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 ()、[] 或 [] / [ )。

(), [], [] / [ )

开区间、闭区间和半闭区间的记号。

用于描述收敛区间。

1. 图示
   观察依据

   一条水平数轴上，用绿色方括号标记为 I 的区间横跨于两个绿色竖线标记之间。

2. 声音
   观察依据

   说话人提到“该区间的长度”。

I

实轴上的收敛区间。

实数轴上的一段区间。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：“解析延拓：是将给定解析函数的定义域进行延拓的技术。”

2. 声音
   观察依据

   旁白说：“解析延拓是将给定解析函数的定义域进行延拓的技术。”

解析延拓被定义为一种技术，用于将给定解析函数的定义域延拓至其原始定义域之外。

1. 原函数必须是解析的。

1. 解析函数的定义

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：“解析函数：是在局部由其收敛幂级数给出的函数。”

2. 声音
   观察依据

   旁白说：“它是在局部由其收敛幂级数给出的函数。”

1. 屏幕文字中使用了“it's”，而非语法上正确的所有格形式“its”。

解析函数被定义为在局部由其收敛幂级数给出的函数。

1. 该幂级数必须收敛。

1. 解析函数作为幂级数的形式

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：“解析函数是如下形式的无穷级数：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + \cdots$，它由无穷次可微函数的泰勒展开式产生。”

2. 声音
   观察依据

   旁白说：“解析函数是如下形式的无穷级数。它们由无穷次可微函数的泰勒级数产生。”

解析函数表示为形如 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ 的无穷幂级数，其展开式为 $a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + \cdots$。这些级数由无穷次可微函数的泰勒展开式产生。

1. 函数必须无穷次可微，泰勒级数表示式才成立。

1. 解析函数的定义

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：“泰勒级数：是在点 $x=a$ 附近对函数的最佳多项式逼近（精度可达任意给定次数）。其表达式为：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$”

2. 声音
   观察依据

   旁白说：“一个给定函数的泰勒级数，是在点 x 等于 a 附近、精度可达任意给定次数的最佳多项式逼近。其表达式如下。”

一个给定函数的泰勒级数，定义为该函数在某特定点 $x=a$ 附近、精度可达任意给定次数的最佳多项式逼近。其公式为 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$。

1. 函数 f 必须在点 a 处无穷次可微。

1. 解析函数作为幂级数的形式

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：“收敛区间（），[] 或 [] / [）”

2. 声音
   观察依据

   旁白说：“收敛区间是指使得泰勒级数收敛到函数值的所有 x 值构成的集合，它可以是开区间、闭区间或半闭区间。在此区间之外，泰勒级数要么无定义，要么与该函数无关。”

收敛区间是指使得泰勒级数收敛于函数值的所有x值构成的开区间、闭区间或半闭区间。在此区间之外，泰勒级数要么无定义，要么与该函数无关。

1. 适用于泰勒级数或幂级数。

1. 泰勒级数的定义与公式

1. 声音
   观察依据

   收敛区间的半长即为收敛半径。

2. 声音
   观察依据

   稍后我们将看到，这是泰勒级数在复平面上收敛所对应的圆的半径。

3. 图示
   观察依据

   一条数轴上标出区间 I，其中心处画有长度为 r 的方括号，从区间中点延伸至一个端点；随后复平面上出现一个圆。

对于一个泰勒级数，其收敛半径 r 等于其实数收敛区间 I 长度的一半。视频还预告了几何解释：在复平面上，同一个 r 即为该泰勒级数收敛区域所对应的圆的半径。

1. 适用于泰勒级数的收敛区间。

2. 实轴上的图像与复平面上的圆图像通过同一个 r 相关联。

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片标题：“全纯函数”；副标题：“复可微函数”。

2. 声音
   观察依据

   复可微函数称为全纯函数。

3. 声音
   观察依据

   若以下极限存在，则称该函数为复可微函数。

4. 声音
   观察依据

   若函数在属于复数集 C 的开集 U 中的每一点 z 处均复可微，则称 f 在 U 上全纯，其中 U 是复数集 C 的子集。

5. 公式
   观察依据

   幻灯片显示：f:\mathbb{C}$\to\mathbb{C}$，$\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$，以及 $z\in U\subset\mathbb{C}$。

1. 视频未明确说明U是否必须是开集。

全纯函数被定义为复平面上某个集合U上的复可微函数。逐点复可微性由差商极限的存在性来定义，其中复增量h趋于0；若该性质对U中每个z都成立，则称f在U上全纯。

1. 在图示设定中，f是从复数集ℂ到复数集ℂ的函数。

2. 可微性条件要求对每个$z\in U$⊂ℂ均成立。

3. 视频未说明U需满足额外的拓扑假设。

1. 复极限必须在所有方向上成立

1. 声音
   观察依据

   “可微性条件中的极限与仅在实轴上的可微性条件非常相似。”

2. 声音
   观察依据

   “但二者有何不同呢？由于增加了虚轴，定义域的维数升高，因此当h趋近于零时，必须从所有可能的方向趋近。”

3. 动画
   观察依据

   复平面原点周围出现多条灰色箭头，从各个方向指向原点。

视频将实轴上的可微性与复可微性进行对比。由于定义域维数升高，增量h可在复平面上沿任意方向趋近于0，因此差商极限必须与方向无关。

1. 用于解释复导数极限。

2. 适用，因为 h 是复变函数，而非仅定义在实数轴上。

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片标题：“柯西积分公式”。

2. 声音
   观察依据

   “解析函数在圆盘内部的取值，由该函数在圆盘边界上的取值所决定。”

3. 声音
   观察依据

   “柯西积分公式指出：解析函数在圆盘内部的取值，由该函数在该圆盘边界上的取值所决定。”

4. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 f:U\to\mathbb{C}，且 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。gamma $\frac{f(z)}{z-a}$\,dz。

5. 图示
   观察依据

   一条闭曲线 $\gamma$ 包围一点 a；图中还展示了其分解为 $\gamma_0$ 和 $\gamma_1$。

1. 口述的前提条件混合了区域的一般边界与特例“伽马是包含于 U 中的一个圆”，因此视频片段中并未完全明确地给出定理的精确表述。

2. 所展示的公式使用了 $\gamma$，但口头叙述对具体积分路径的假设则不够精确。

视频片段指出：对一个解析函数，其在内点 a 处的取值可通过沿路径 $\gamma$ 的围道积分，由边界值确定。所展示的公式将 $f(a)$ 表达为 $f(z)/(z-a)$ 沿路径 $\gamma$ 的归一化积分。

1. f 在相关定义域 U 上解析。

2. a 位于 $\gamma$ 所围成的区域内部。

3. 视频将 γ 呈现为一条边界曲线，并提到了 U 中所含圆这一特殊情况。

4. 该片段未完整列出所有标准围道假设。

1. 全纯函数

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片标题：“柯西-黎曼方程”。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 ℂ ≅ ℝ^2，且 $f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i\cdot v(x, y)$。

3. 声音
   观察依据

   假设我们将复平面视为一个二维实曲面。

4. 声音
   观察依据

   那么 x 加 iy 就成为坐标，于是复变函数便可被分解为实部与虚部。

为推导柯西-黎曼方程，视频将复数 $z = x$ + iy 重新解释为二维实平面上的一个点，并将复变函数写作一对实值分量函数 u 和 v。

1. 用作从复可微性导出实变量条件的重述形式。

1. 全纯函数

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $u(x, y)$ = Re($f(z)$) 且 $v(x, y)$ = Im($f(z)$)。

2. 声音
   观察依据

   于是复变函数便可被分解为实部与虚部。

一旦将 f 表示为坐标形式，$u(x,y)$ 就定义为 $f(z)$ 的实部，$v(x,y)$ 就定义为 $f(z)$ 的虚部。

1. 在将 z 与 ℝ^2 中的 (x,y) 对应之后应用。

1. 将复平面视为 ℝ^2

1. 声音
   观察依据

   讲解员在下一个推导中讨论虚部，暗示实部与虚部的分离。

幻灯片将复数输入$z$视为等价于实坐标对$(x,y)$，因此复变函数可用两个实值分量函数$u$和$v$来表示。

1. $z$由实坐标$(x,y)$表示。

2. $u$和$v$是两个实变量的实值函数。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字显示：解析函数“源自无穷次可微函数的泰勒展开”。

2. 声音
   观察依据

   解说员称其“源自无穷次可微函数的泰勒级数”。

解析函数以无穷幂级数形式表示，它们源自无穷次可微函数的泰勒展开。

1. 该函数无穷次可微。

对无穷次可微函数普遍成立。

1. 声音
   观察依据

   解说员说：“在此区间之外，泰勒级数要么无定义，要么与该函数无关。”

在收敛区间之外，泰勒级数要么无定义，要么与该函数无关。

1. x 位于收敛区间之外。

对区间外的 x 具有普适性。

1. 声音
   观察依据

   稍后我们将看到，这是泰勒级数在复平面上收敛所形成的圆的半径。

2. 动画
   观察依据

   在实数区间图像之后，于复平面上画出一个圆。

这个量 r 既等于实数收敛区间长度的一半，也等于泰勒级数在复平面上收敛所形成的圆的半径。

1. 正在讨论的级数是一个泰勒级数。

2. r 表示收敛半径。

针对正在讨论的泰勒级数。

1. 声音
   观察依据

   复可微函数称为全纯函数。

2. 声音
   观察依据

   若以下极限存在，则称该函数是复可微的。

3. 声音
   观察依据

   若函数在属于 ℂ 的集合 U 中的每一个 z 处都复可微，则称 f 在 U 上是全纯的，其中 U 是 ℂ 的一个子集。

4. 公式
   观察依据

   所显示的极限是 $\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$，其中 $z\in U\subset\mathbb{C}$。

1. 该片段未明确说明 U 是否必须为开集。

若极限 $\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ 在每个 $z\in U\subset\mathbb{C}$ 处均存在，则 f 在 U 上全纯。

1. f 是一个复变量的复值函数。

2. 差商极限在每个 $z\in U\subset\mathbb{C}$ 处均存在。

对每个 $z\in U\subset\mathbb{C}$。

1. 声音
   观察依据

   “圆盘内部的全纯函数取值由该函数在圆盘边界上的取值决定。”

2. 声音
   观察依据

   “柯西积分公式指出：圆盘内部的全纯函数取值由该函数在该圆盘边界上的取值决定。”

1. 该片段给出了概念性陈述，但未给出完整而严格的假设列表。

对全纯函数而言，圆盘内部的取值由该函数在圆盘边界上的取值决定。

1. 该函数是全纯的。

2. 当前考虑的是一个圆盘。

对于圆盘内部的点。

1. 公式
   观察依据

   所显示的方程组是$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。

1. 该片段未在已展示的可微性背景下额外陈述任何正则性假设。

每个全纯函数都在其定义域上满足柯西-黎曼方程。

1. 该函数在其定义域上是全纯的。

2. 它的实部与虚部具有方程中出现的那些偏导数。

对每个全纯函数及其定义域中的每一点。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片展示了在$x=0$处的泰勒级数：$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$。

对$\sin x$而言，其在$x=0$处的泰勒级数对所有实数$x$收敛，因此只需一个很小的初始区间即可确定整个实函数。

1. 从$\sin x$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上已知的函数出发。

2. 在$x=0$处构造泰勒级数。

对所有实数$x$成立。

1. 声音
   观察依据

   旁白指出，该泰勒级数作为几何级数，在区间零到二内收敛，且在此区间内收敛于一除以一减x。

在$x=1$处，函数$f(x)=\frac{1}{x}$具有级数$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n$，该级数收敛于$\frac{1}{x}$，其中$0<x<2$。

1. 使用展开中心$x=1$。

2. 限定在屏幕上显示的收敛区间$0<x<2$内。

对所有实数 $x$ 满足 $0<x<2$。

1. 声音
   观察依据

   旁白指出，新的泰勒级数在$x$属于零到三时收敛，且在零到二区间内与先前的取值一致。

1. 本片段中未在屏幕上展示显式的第二个级数公式。

对$1/x$在$x=1.5$处进行泰勒展开，所得级数在$(0,2)$上与先前的表示一致，并将函数延拓至$(0,3)$。

1. 已知函数在 $(0,2)$ 处的展开式给出的 $x=1$。

2. 在该区间内选择一个新的中心$x=1.5$。

在重叠区域$(0,2)$上，两种表示一致；扩展后的有效性针对$(0,3)$给出。

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，泰勒级数——或更一般地，任意幂级数——当 x 为复数时也完全有意义。

1. 视频片段中未提供证明。

泰勒级数——或更一般地，任意幂级数——当变量 x 为复数时仍有意义。

1. 所讨论的对象是泰勒级数或幂级数。

2. x 可取复数值。

本节中讨论的任意泰勒级数或幂级数。

1. 公式
   观察依据

   所显示的不等式为 |x-1|<1。

2. 声音
   观察依据

   讲解者称，这表示复平面上以1为圆心、半径为1的圆盘。

1. 在边界 |x-1|=1 处的行为未予讨论。

对于所显示的级数，|x-1|<1表示所有位于以1为圆心、半径为1。

1. x 是一个复变量。

2. 中心为 1，半径为 1。

对所有满足 |x-1|<1 的复数 x。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘这一现象对每一个收敛的幂级数都成立。’

1. 该命题在视频片段中未经证明即被提出。

2. ‘这一现象’的确切含义是：收敛区域的圆盘解释。

收敛半径的圆盘解释适用于每个收敛的幂级数。

1. 该幂级数收敛。

2. 变量在复平面上考虑。

对于每个收敛的幂级数。

1. 动画
   观察依据

   一条绿色曲线绘制在两条代表定义域 [-a,a] 的红色竖直线之间；随后，从实线曲线的两个端点向外延伸出虚线绿色线条。

2. 声音
   观察依据

   讲述者解释：有一个定义在 [-a,a] 上的函数，我们希望了解它在给定定义域之外的行为，从而引出解析延拓的需要。

1. 公式

   $$$$
   解释

   考虑一个定义在闭区间 [-a,a] 上的函数 $f(x)$。

   步骤依据

   音频中陈述，并以屏幕文字形式呈现。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将该函数的图像想象为一条被 $x=-a$ 和 $x=a$ 处的竖直线所限定的实线曲线。

   步骤依据

   通过动画演示：在两条红线之间绘制绿色曲线。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   为理解函数在 [-a,a] 之外的行为，用虚线延展该图像。

   步骤依据

   通过动画演示：向外延展虚线绿色曲线。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   这一延展过程引出了解析延拓的概念。

   步骤依据

   音频中提到：“这里需要用到解析延拓。”

   视频直接表达

解析延拓用于将函数的定义域从其原始定义范围向外延展。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 f'(z)=$\lim_{\substack{h\in\mathbb{R}\\ t\to 0}}\frac{f(z+t\cdot 1)-f(z)}{t\cdot 1}$。

2. 公式
   观察依据

   随后展开为 $\lim_{\substack{h\in\mathbb{R}\\ t\to 0}}\left(\frac{u(x+t,y)-u(x,y)}{t}+i\cdot\frac{v(x+t,y)-v(x,y)}{t}\right)$。

3. 公式
   观察依据

   最终显示的表达式为 $\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(x,y)}+i\left.\frac{\partial v}{\partial x}\right|_{(x,y)}$。

4. 声音
   观察依据

   “应用可微性条件，取实部，得到 du 除以 dx 加上 i 倍 dv 除以 dx。”

1. 所显示的极限记号中同时包含 $h\in\mathbb{R}$ 和 $t\to 0$，视觉上不一致；其本意是沿实方向以增量 t 趋近。

1. 公式

   $$f'(z)=\lim_{\substack{h\in\mathbb{R}\\ t\to 0}}\frac{f(z+t\cdot 1)-f(z)}{t\cdot 1}$$
   解释

   推导始于将复差商限制在实方向上的增量，即 $t\cdot 1$。

   步骤依据

   这是将导数定义特化为复平面上某一选定方向的情形。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=\lim_{\substack{h\in\mathbb{R}\\ t\to 0}}\left(\frac{u(x+t,y)-u(x,y)}{t}+i\cdot\frac{v(x+t,y)-v(x,y)}{t}\right)$$
   解释

   在写出 $f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)$ 后，该商式分离为实部差商加上 i 倍虚部差商。

   步骤依据

   这利用了函数 f 分解为实部与虚部，以及商式的代数分离。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(x,y)}+i\left.\frac{\partial v}{\partial x}\right|_{(x,y)}$$
   解释

   令 t 趋近于0，两个差商便转化为关于 x 的偏导数。

   步骤依据

   根据 x 方向偏导数的定义。

   视频直接表达

沿实轴趋近于 z，得到 f'(z) = $u_x(x,y) + i v_x(x,y)$。

1. 图示
   观察依据

   区间 I 在数轴上以某点为中心对称分布，而括号 r 表示从中心到其中一个端点的距离。

2. 声音
   观察依据

   收敛半径等于收敛区间长度的一半。

1. 公式

   $$\text{length}(I)=2r$$
   解释

   图中显示整个区间 I 关于中心对称延伸，而 r 仅表示从中心到一端的距离。

   步骤依据

   区间视觉上的对称性及所标注的括号。

   依据视频推导
2. 公式

   $$r=\frac{1}{2}\,\text{length}(I)$$
   解释

   解前面的关系式，可得半径等于区间长度的一半。

   步骤依据

   代数变形。

   依据视频推导

收敛半径等于收敛区间的长度的一半。

1. 声音
   观察依据

   解说员说：“类似地，对虚部应用可微性条件，得到 dv 除以 dy 减去 i 倍 du 除以 dy。”

1. 该片段仅展示了沿虚方向的计算；实方向对应的计算被口头称为‘这两个方程’，但本节未显示。

1. 公式

   $$f'(z)=\lim_{\substack{t\in\mathbb{R}\\ t\to 0}}\frac{f(z+t\cdot i)-f(z)}{t\cdot i}$$
   解释

   从沿纯虚增量$t\cdot i$取复导数开始。

   步骤依据

   幻灯片上显示的方向差商定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=-i\cdot\lim_{\substack{t\in\mathbb{R}\\ t\to 0}}\left(\frac{u(x,y+t)-u(x,y)}{t}+i\cdot\frac{v(x,y+t)-v(x,y)}{t}\right)$$
   解释

   将$f=u+iv$代入$(x,y)$和$(x,y+t)$，然后提取公因子$1/i=-i$。

   步骤依据

   利用$f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$及分子各项的展示分解进行代数代入。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=-i\cdot\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\right)$$
   解释

   识别出这两个极限分别为关于$y$的偏导数。

   步骤依据

   将偏导数定义应用于$u(x,y)$和$v(x,y)$，结果为$t\to0$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$=\frac{\partial v}{\partial y}\bigg|_{(x,y)}-i\cdot\frac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{(x,y)}$$
   解释

   分配$-i$，得到沿虚方向的导数的实部与虚部。

   步骤依据

   乘以$-i$并分离实部与虚部。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$
   解释

   将该结果与实方向导数对应的表达式相等，得到柯西-黎曼方程组。

   步骤依据

   讲解员明确说：“将这两个方程联立，我们得到……”；但另一方程本身在此片段中并未显示。

   视频直接表达

虚方向的计算给出$f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$，再与实方向导数比较，得到柯西-黎曼方程。

1. 声音
   观察依据

   讲解员称，这个微小的区间已足以确定整个函数，因为该泰勒级数对所有实数$x$均收敛。

1. 公式

   $$\sin x\text{ for }x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$
   解释

   从仅在某个小的闭区间上已知的正弦函数出发。

   步骤依据

   屏幕上显示的问题设定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$
   解释

   写出$\sin x$在$x=0$处的泰勒级数。

   步骤依据

   幻灯片明确将此标记为在$x=0$处的泰勒级数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{\text{收敛} for all }x\in\mathbb{R}$$
   解释

   利用该级数所声称的全局收敛性，将函数延拓至原区间之外。

   步骤依据

   讲解员指出，该级数对所有实数$x$均收敛。

   视频直接表达

由于在$0$处的泰勒级数在$\mathbb{R}$上处处收敛，因此$[0,\pi/2]$上的局部信息就唯一确定了整个实数域上的正弦函数。

1. 动画
   观察依据

   幻灯片从有限半径的情形切换到重新展开的指令及扩展后的区间。

1. 本片段未展示关于$x=1.5$的第二个泰勒级数的精确系数。

1. 公式

   $$f(x)=\frac{1}{x}$$
   解释

   以倒数函数作为有限半径的示例引入。

   步骤依据

   显示公式并口述设定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n,\quad 0<x<2$$
   解释

   在 $x=1$ 处展开；所得的几何级数/泰勒级数仅在 $1/x$ 上表示 $(0,2)$。

   步骤依据

   幻灯片与口述共同指出该级数及其收敛区间。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Taylor expand on }x=1.5$$
   解释

   在已知区间内部选取一个新的展开中心。

   步骤依据

   幻灯片明确指示在$x=1.5$处展开；口述说明可为更大的取值进行展开。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{new series agrees on }(0,2)\text{ \text{且} \text{收敛} on }(0,3)$$
   解释

   第二个局部表示式在重叠区域上与第一个一致，并将有效性延拓至更大的区间。

   步骤依据

   讲述者指出两个表示式在$(0,2)$上一致，且在$(0,3)$上收敛。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{analytically continued to }(0,3)$$
   解释

   得出结论：该函数已从$(0,2)$解析延拓至$(0,3)$。

   步骤依据

   幻灯片文字与旁白均指出延拓至$(0,3)$。

   视频直接表达

通过对内点重新展开，倒数示例从$(0,2)$被解析延拓至$(0,3)$，而$x=0$处的阻碍则阻止了反向延拓。