路径无关的陷阱

用绕原点旋转的向量场说明：偏导相等并不自动推出路径无关，单连通条件不能省略。（原站目录介绍；并非视频文字稿。）

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视频通过一个具体的向量场反例，揭示了曲线积分与路径无关定理中隐藏的单连通区域前提。首先给出定理的常见表述：若偏导数相等则路径无关；接着构造了在原点无定义的旋转向量场，验证其满足偏导数相等的条件；随后计算两条不同半圆路径的线积分发现结果不相等（π ≠ -π），并得出闭合环路积分为 2π ≠ 0，从而指出原定理表述不完整。最后补充了正确的定理表述，强调区域必须是单连通的，并通过图形对比说明了多连通区域（有洞）会导致定理失效。