二项分布概率与累积概率函数｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   手写行：“X = # of made FTs from 7 trials with $p = 0.35$”。

2. 声音
   观察依据

   讲解将X定义为罚球命中次数，并记下公共的单次命中概率。

X

表示在 7 次试验中命中罚球次数的二项随机变量。

整数值计数；在此示例中，可能取值为 0 到 7。

1. 公式
   观察依据

   打印的题目陈述为“我命中罚球的概率是 0.35。”手写注释添加了“$p = 0.35$”。

2. 声音
   观察依据

   讲解将p解释为单次试验成功概率。

p

单次试验的成功概率，此处为命中单个罚球的概率。

0 到 1 之间的实数；在此示例中 $p = 0.35$。

1. 公式
   观察依据

   手写表达式变为“binompdf(7,”，一个红色箭头将 7 标记为“n”。

2. 声音
   观察依据

   讲解用红箭头标明试验次数参数n。

n

上述相互独立的二项模型中的试验次数。

正整数；在此示例中 $n = 7$。

1. 公式
   观察依据

   出现手写函数名“binompdf”，随后是左括号和正在输入的参数。

2. 声音
   观察依据

   讲解介绍binompdf，并输入最初的试验次数和成功概率参数。

1. 此前段介绍参数；同一完整视频在后续输入剩余参数，并算出题目要求的两种概率。

binompdf

用于在指定成功次数下评估二项概率质量函数的图形计算器函数。

应用于具有参数 n、p 和目标成功次数 x 的二项模型。

1. 公式
   观察依据

   手写文本定义 $X = 7$ 次试验中命中的罚球次数。

X

总试验次数中成功罚球（命中罚球）的数量。

0 到 7 之间的整数值。

1. 公式
   观察依据

   手写文本显示“7 trials”，红色箭头指向“n”。

n

上述相互独立的二项模型中的试验次数。

正整数；此处 $n = 7$。

1. 公式
   观察依据

   手写文本显示 $p = 0.35$，红色箭头指向“p”。

p

单次试验成功的概率。

0 到 1 之间的实数；此处 $p = 0.35$。

1. 公式
   观察依据

   手写表达式 binompdf(7, 0.35, 4)。

binompdf

binompdf给出整数计数的单点概率$P(X=x)$。尽管计算器函数名含pdf，这里计算的是离散概率质量，不是连续概率密度。

接受参数 (试验次数, p, x 值)。

1. 公式
   观察依据

   白板上定义 X = 在 7 次试验中命中的罚球数，其中 $p = 0.35$。

X

在 7 次尝试中成功命中的罚球数量。

取值为 0 到 7 之间整数的离散随机变量。

1. 公式
   观察依据

   白板显示试验次数为7，计算器也输入7作为试验次数。

n

上述相互独立的二项模型中的试验次数。

正整数，在本例中具体为 $n = 7$。

1. 公式
   观察依据

   白板陈述“$p = 0.35$”，且计算器输入中使用 0.35 作为 p。

p

单次试验成功的概率（命中罚球）。

0 到 1 之间的实数，具体为 $p = 0.35$。

1. 公式
   观察依据

   白板显示 binompdf(7, 0.35, 4) ≈ 0.14。

binompdf(n, p, x)

binompdf给出整数计数的单点概率$P(X=x)$。尽管计算器函数名含pdf，这里计算的是离散概率质量，不是连续概率密度。

返回 0 到 1 之间的实数。

1. 声音
   观察依据

   讲解将X定义为罚球命中次数，并记下公共的单次命中概率。

2. 公式
   观察依据

   手写定义：“X = # of made FTs from 7 trials with $p = 0.35$”。

模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

1. 模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

1. 声音
   观察依据

   定义命中计数后，讲解把首个问题表达为精确计数事件。

2. 公式
   观察依据

   手写表达式：“$P(X = 4)$”。

X表示命中次数，“命中4次，共7次罚球”记为$P(X = 4)$。这是点概率，不是累积概率。

1. X 必须被定义为命中罚球的次数。

2. 目标是恰好命中4次，共7次罚球。

1. 重复罚球的二项随机变量设定

1. 声音
   观察依据

   讲解介绍binompdf，并输入最初的试验次数和成功概率参数。

2. 公式
   观察依据

   手写表达式发展为“binompdf(7, 0.35”，并用红色箭头将 7 标记为 n。

1. 此前段介绍参数；同一完整视频在后续输入剩余参数，并算出题目要求的两种概率。

binompdf给出整数计数的单点概率$P(X=x)$。尽管计算器函数名含pdf，这里计算的是离散概率质量，不是连续概率密度。

1. 当随机变量遵循二项模型时使用。

2. n 是试验次数。

3. p 是每次试验的成功概率。

4. x 是希望求其概率的确切成功次数。

5. 在此前段时间点，命令仍在介绍中；同一完整视频后续输入x并算出答案。

1. 重复罚球的二项随机变量设定
2. 将文字问题转化为 $P(X = 4)$

1. 声音
   观察依据

   课程建议标明试验次数参数，并用红箭头演示。

2. 公式
   观察依据

   红色箭头将手写7标记为n，它是binompdf(7, 0.35中的首个输入。

红箭头标明计算器输入中的试验次数n。明确参数含义有助于说明计算过程；这样可以让计算过程更容易理解。

1. 用于精确二项概率的 TI-84 binompdf 函数

1. 声音
   观察依据

   计算器演示输入精确计数事件的参数，并得到屏幕上的小数近似值。

2. 公式
   观察依据

   手写文本显示 binompdf(7, 0.35, 4)。

binompdf给出整数计数的单点概率$P(X=x)$。尽管计算器函数名含pdf，这里计算的是离散概率质量，不是连续概率密度。输入x是目标次数，不是X的数学期望。

1. 实验必须遵循二项分布（固定数量的独立试验、两种可能的结果、恒定的成功概率）。

2. 模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

1. 公式
   观察依据

   白板标明罚球计数X、试验次数7与公共成功概率0.35。

模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

1. 模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

1. 公式
   观察依据

   白板显示 $P(X = 4)$ 和 binompdf(7, 0.35, 4) ≈ 0.14

binompdf给出整数计数的单点概率$P(X=x)$。尽管计算器函数名含pdf，这里计算的是离散概率质量，不是连续概率密度。

1. 需要参数 n、p 和目标值 x

2. 模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

1. 二项分布设定

1. 声音
   观察依据

   讲解把整数阈值改为包含上界的事件，并使用计算器累积概率函数。

2. 公式
   观察依据

   白板显示 $P(X < 5)$ 或 $P(X \le 4)$ 以及 binomcdf(7, 0.35, 4) ≈ 0.94

要找到至多 x 次成功（或少于 $x+1$ 次）的概率，请使用二项式累积分布函数 (binomcdf)。这计算的是 $P(X \le x)$。

1. 需要参数 n、p 和上界 x

2. 对于像 $X < k$ 这样的不等式很有用，可将其转换为 $X \le k-1$

3. 将$X<k$改写为$X\le k-1$时，X取整数值，且k必须为整数。

4. 模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

1. 二项分布设定

1. 声音
   观察依据

   定义命中计数后，讲解把首个问题表达为精确计数事件。

2. 公式
   观察依据

   书写序列：“X = # of made FTs from 7 trials with $p = 0.35$”后跟“$P(X = 4)$”。

1. 公式

   $$\text{Make 4 out of 7 free throws}$$
   解释

   从题目出发：求命中4次、共7次罚球的概率，每次罚球命中概率为0.35。

   步骤依据

   在整个片段中可见的打印问题陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X = \text{\# of made FTs from 7 trials with } p = 0.35$$
   解释

   定义一个随机变量 X 来计数 7 次尝试中命中罚球的次数。

   步骤依据

   课程为题面中的试验引入计数变量X。

   视频直接表达
3. 公式

   $$P(X = 4)$$
   解释

   将所请求的事件重写为 X 取确切值 4 的概率。

   步骤依据

   将X定义为命中次数后，“命中4次，共7次罚球”直接转化为相应事件。

   视频直接表达

定义计数X后，首个文字题转化为$P(X=4)$；完整视频随后用计算器求出结果。这是事件的转写，不是一般二项概率公式的证明。

1. 声音
   观察依据

   讲解将少于五次成功识别为至多四次这一整数计数事件。

2. 公式
   观察依据

   白板写下 $P(X < 5)$ 或 $P(X \le 4)$

1. 解释

   识别条件“小于 5”。由于 X 是离散的（整数计数），满足 $X < 5$ 的值是 0、1、2、3 和 4。

   步骤依据

   整数上严格不等式的定义。

   视频直接表达
2. 解释

   将条件重写为“小于或等于 4”。值集 {0, 1, 2, 3, 4} 等价于 $X \le 4$。

   步骤依据

   离散变量的集合等价性。

   视频直接表达
3. 解释

   认识到 $X \le 4$ 匹配累积分布函数 binomcdf(n, p, 4) 的输入格式。

   步骤依据

   binomcdf 的定义。

   视频直接表达

$P(X < 5)$ 计算为 binomcdf(7, 0.35, 4)。

1. 字幕依据
   观察依据

   题面给出单次命中率0.35，询问恰好命中四次、共七次罚球的概率。

2. 公式
   观察依据

   手写设定：“X = # of made FTs from 7 trials with $p = 0.35$”，然后是“$P(X = 4)$”，然后是“binompdf(7, 0.35”，其中 7 被标记为 n。

3. 声音
   观察依据

   讲解介绍试验次数、公共成功概率和精确计数事件，并标明最初输入的计算器参数。

1. 此前段介绍参数；同一完整视频在后续输入剩余参数，并算出题目要求的两种概率。

单次命中概率为0.35，求命中4次、共7次罚球的概率。

1. 命中一次罚球的概率是 0.35。

2. 共有 7 次罚球尝试。

3. 目标结果是恰好命中4次罚球。

4. 模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

计算计数命中罚球次数的二项随机变量 X 的 $P(X = 4)$。

1. 公式

   $$X = \text{\# of made FTs from 7 trials with } p = 0.35$$
   解释

   将随机变量定义为 7 次试验中命中罚球的次数。

   步骤依据

   讲解者将X定义为罚球命中次数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$P(X = 4)$$
   解释

   将所请求的事件翻译成概率符号。

   步骤依据

   在X的计数定义下，“命中4次，共7次罚球”就是X等于4。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\operatorname{binompdf}(7, 0.35, \ldots)$$
   解释

   开始输入用于精确二项概率的计算器函数，使用 7 作为 n，0.35 作为 p。

   步骤依据

   讲解输入并标明计算器的最初参数。

   视频直接表达

此前段介绍参数；同一完整视频在后续输入剩余参数，并算出题目要求的两种概率。

前段建立事件表达；同一视频后续的计算器结果在上述模型下给出约0.14。

1. 声音
   观察依据

   计算器演示输入精确计数事件的参数，并得到屏幕上的小数近似值。

2. 公式
   观察依据

   手写文本显示 $P(X=4)$ = binompdf(7, 0.35, 4) ≈ 0.14。

3. 动画
   观察依据

   计算器屏幕显示输入 binompdf(7, 0.35, 4) 和输出 0.1442381992。

单次罚球命中率为0.35，求恰好命中4次、共7次罚球的概率。

1. $n = 7$ 次试验

2. $p = 0.35$ 成功概率

3. $x = 4$ 次成功

4. 模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

求 $P(X = 4)$。

1. 解释

   确定二项分布参数：试验次数$n=7$，成功概率$p=0.35$，目标成功次数$x=4$。

   步骤依据

   直接从问题陈述中提取。

   视频直接表达
2. 解释

   使用计算器上的 binompdf 函数及已确定的参数。

   步骤依据

   binompdf 函数计算二项分布中特定成功次数的精确概率。

   视频直接表达
3. 公式

   $$binompdf(7, 0.35, 4)$$
   解释

   将参数输入计算器函数。

   步骤依据

   遵循语法 binompdf(n, p, x)。

   视频直接表达
4. 公式

   $$0.1442381992$$
   解释

   计算器显示该概率的有限小数近似。

   步骤依据

   计算结果。

   补充解释

恰好命中4次、共7次罚球的概率约为0.14。

结果四舍五入保留两位小数，如手写笔记所示。

1. 公式
   观察依据

   完整的问题陈述和解题步骤在白板和计算器屏幕上可见。

给定单次罚球命中概率为0.35，求恰好命中4次、共7次的概率，以及命中少于5次、共7次的概率。

1. $n = 7$ 次试验

2. $p = 0.35$ 成功概率

3. 目标 1：恰好 4 次成功

4. 目标 2：少于 5 次成功

5. 模型假设：七次试验相互独立，每次只有成功或失败两种结果，成功概率同为0.35。仅有相同的单次命中概率不能保证各次试验独立。

计算 $P(X = 4)$ 和 $P(X < 5)$。

1. 解释

   定义随机变量 X 为命中的罚球数。

   步骤依据

   问题设定。

   视频直接表达
2. 解释

   对于 $P(X = 4)$，使用精确概率函数：binompdf(7, 0.35, 4)。

   步骤依据

   精确计数的方法。

   视频直接表达
3. 解释

   计算结果：binompdf(7, 0.35, 4) ≈ 0.1442。

   步骤依据

   屏幕上显示的计算器输出。

   视频直接表达
4. 解释

   对于 $P(X < 5)$，转换为累积形式：$P(X \le 4)$。

   步骤依据

   离散变量性质。

   视频直接表达
5. 解释

   使用累积函数：binomcdf(7, 0.35, 4)。

   步骤依据

   用于“至多”或“少于”条件的方法。

   视频直接表达
6. 解释

   计算结果：binomcdf(7, 0.35, 4) ≈ 0.9444。

   步骤依据

   屏幕上显示的计算器输出。

   视频直接表达

$P(X = 4)$ ≈ 0.14; $P(X < 5)$ ≈ 0.94

结果与视频中显示的计算器显示屏一致。

1. 图示
   观察依据

   白色背景上有黑色打印文本，显示罚球概率问题和关于命中少于 5 次罚球的第二个问题。

2. 声音
   观察依据

   开场展示罚球题面，并介绍使用计算器求二项概率的课程。

1. 关于 0.35 命中罚球概率的打印句子

2. 题面询问命中4次、共7次罚球的概率。

3. 关于命中少于 5 次罚球的打印问题

1. 尚无数学书写；屏幕呈现问题背景。

1. 成功概率保持为 0.35。

2. 第一个问题中的试验次数保持为 7。

视觉画面建立了将被建模为二项随机变量的文字问题。

1. 动画
   观察依据

   蓝色手写字迹逐渐形成“X = # of made FTs from 7 trials with $p = 0.35$”。

2. 声音
   观察依据

   讲解将X定义为罚球命中次数，并记下公共的单次命中概率。

1. 变量 X

2. 命中罚球次数

3. 数字 7

4. 参数 $p = 0.35$

1. 抽象的文字问题变成了一个具有显式参数的命名随机变量。

1. 试验次数保持为 7。

2. 成功概率保持为 0.35。

这一视觉步骤形式化了应用计算器函数之前所需的概率模型。

1. 动画
   观察依据

   蓝色手写字迹形成“binompdf(”，然后填入“7, 0.35”；一个红色箭头将 7 标记为“n”。

2. 声音
   观察依据

   讲解介绍binompdf，并输入最初的试验次数和成功概率参数。

1. 此前段介绍参数；同一完整视频在后续输入剩余参数，并算出题目要求的两种概率。

1. 函数名 binompdf

2. 第一个参数 7

3. 第二个参数 0.35

4. 红色标签 n

1. 概率陈述 $P(X = 4)$ 被映射到计算器语法。

2. 二项模型的前两个参数被显式插入。

1. 模型保持为二项分布。

2. 目标事件保持为恰好 4 次成功，尽管该值尚未输入。

手写过程把事件连接到计算器语法，并标明试验次数参数n。

1. 动画
   观察依据

   屏幕上显示虚拟 TI-84 Plus CE 计算器。用户导航 DISTR 菜单，选择 binompdf，输入值 7、0.35 和 4，并粘贴命令以获取结果。

1. 虚拟 TI-84 Plus CE 计算器界面

2. DISTR 菜单

3. binompdf 输入屏幕

1. 菜单从 normalpdf 滚动到 binompdf。

2. 数值被输入到 trials、p 和 x value 字段中。

3. 最终命令 binompdf(7, 0.35, 4) 被粘贴并执行。

1. 问题陈述保持在屏幕顶部可见。

演示使用图形计算器计算二项概率的实际步骤。

1. 动画
   观察依据

   TI-84 Plus CE 模拟器的屏幕录制，显示菜单导航和计算过程。

1. 计算器界面

2. DISTR 菜单

3. 试验次数、p、x 值的输入字段

1. 用户导航到 DISTR 菜单

2. 选择 binomcdf

3. 输入 7, 0.35, 4

4. 出现结果 0.9443924648

1. 在整个演示过程中，问题背景保持不变

展示了在 AP 统计学中使用的标准图形计算器上 binomcdf 函数的实际应用。

1. 声音
   观察依据

   课程建议标明试验次数参数，并用红箭头演示。

2. 公式
   观察依据

   手写7用标有n的红箭头说明，它是binompdf(7, 0.35中的首个输入。

误以为只写计算器命令，就已经说明所有参数的含义。

说明n是试验次数、p是公共成功概率、x是目标计数。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分累积上界输入与单个精确结果。

认为 binomcdf(n, p, x) 中的 x 值指的是恰好 x 次成功的概率。

binomcdf 中的 x 值是累积和的上界，代表 $P(X \le x)$，而不是 $P(X = x)$。

1. 声音
   观察依据

   定义命中计数后，讲解把首个问题表达为精确计数事件。

2. 公式
   观察依据

   从 X 定义到 $P(X = 4)$ 的书写进展。

定义二项随机变量后，将“命中4次，共7次罚球”转化为精确概率$P(X = 4)$。

1. 声音
   观察依据

   讲解介绍binompdf，并输入最初的试验次数和成功概率参数。

2. 公式
   观察依据

   板书从 $P(X = 4)$ 移动到 binompdf(7, 0.35 ...

1. 此前段介绍参数；同一完整视频在后续输入剩余参数，并算出题目要求的两种概率。

精确计数概率 $P(X = 4)$ 是由二项概率质量函数评估的量，视频通过 binompdf 实现这一点。

1. 声音
   观察依据

   课程建议标明试验次数参数，并用红箭头演示。

2. 公式
   观察依据

   一个红色箭头将第一个参数 7 标记为 binompdf 表达式内的 n。

标明计算器参数有助于理解概率计算。

1. 声音
   观察依据

   讲解把整数阈值改为包含上界的事件，并使用计算器累积概率函数。

binompdf 计算单点概率 $P(X=k)$，而 binomcdf 通过将从 0 到 k 的点概率相加来计算累积概率 $P(X\le k)$。

1. 公式
   观察依据

   手写定义 X 为在 7 次试验中命中的罚球次数，$p = 0.35$。

1. 重复罚球的二项随机变量设定

1. 声音
   观察依据

   定义命中计数后，讲解把首个问题表达为精确计数事件。

2. 公式
   观察依据

   手写 $P(X = 4)$。

1. 重复罚球的二项随机变量设定
2. 将文字问题转化为 $P(X = 4)$

1. 声音
   观察依据

   讲解介绍binompdf，并输入最初的试验次数和成功概率参数。

2. 公式
   观察依据

   手写 binompdf(7, 0.35，其中 7 被标记为 n。

1. 此前段介绍参数；同一完整视频在后续输入剩余参数，并算出题目要求的两种概率。

1. 用于精确二项概率的 TI-84 binompdf 函数
2. 标明计算器参数

1. 声音
   观察依据

   课程建议标明试验次数参数，并用红箭头演示。

2. 公式
   观察依据

   红色箭头将 7 标记为 n。

1. 标明计算器参数

1. 声音
   观察依据

   计算器演示输入精确计数事件的参数，并得到屏幕上的小数近似值。

1. 在 TI-84 计算器上使用 binompdf

1. 声音
   观察依据

   讲解把整数阈值改为包含上界的事件，并使用计算器累积概率函数。

1. 使用 binomcdf 计算累积概率
2. 将严格不等式转换为累积形式

1. 声音
   观察依据

   讲解把整数阈值改为包含上界的事件，并使用计算器累积概率函数。

1. 使用 binompdf 计算精确概率
2. 使用 binomcdf 计算累积概率
3. 误解 binomcdf 输入