波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“那么，我们设数列 a 下标 n，其中 n 从一到无穷，是一个有界数列。”

2. 公式
   观察依据

   他在黑板上写出该数列的记号。

\{$a_n$\}_{$n=1$}^{$\infty$}

一个由自然数从1开始编号的实数数列。

n 是自然数，且 $n \ge 1$

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们把此处这个点称为 c₀、d₀，即某个闭区间 [c₀, d₀]，整个数列都落在这个区间内。”

2. 图示
   观察依据

   他画出一条表示实数轴的水平线，并标出两个点，分别标记为 $c_0$ 和 $d_0$，两点之间用方括号表示一个闭区间。

$c_0$, $d_0$

定义包含该有界数列所有项的闭区间端点的实数。

$c_0$, $d_0 \in \mathbb{R}$

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“由于该数列有界，因此对所有 n，都有 c₀ ≤ aₙ ≤ d₀。”

2. 公式
   观察依据

   他在黑板上写出该不等式。

$c_0 \le a_n \le d_0 \text{ for all } n$

数列在区间 [$c_0$, $d_0$] 内有界的数学定义。

n 是自然数，且 $n \ge 1$

1. 公式
   观察依据

   黑板顶部文字为：“设{$a_n$}_{$n=1$}^$\infty$ 是这样一个有界数列。”

{$a_n$}_{$n=1$}^$\infty$

作为波尔查诺-魏尔斯特拉斯论证对象的实数有界数列。

以正整数 n 为下标的数列。

1. 公式
   观察依据

   黑板顶部文字为：“对所有 n，均有 $c_0 \le a_n \le d_0$。”

2. 图示
   观察依据

   数轴上标出端点 $c_0$ 和 $d_0$，该数列的所有点均落在此区间内。

$c_0$, $d_0$

初始闭区间 [$c_0$,$d_0$] 的下界与上界，该区间包含该有界数列的所有项。

满足 $c_0 \le d_0$ 的实数。

1. 公式
   观察依据

   数轴上中点标记写作 ($c_0+d_0$)/2。

($c_0+d_0$)/2

初始区间 [$c_0$,$d_0$] 的中点，用于将该区间平分为两半。

介于 $c_0$ 与 $d_0$ 之间的实数。

1. 公式
   观察依据

   教师写下 [$c_0$,$c_1$] ∪ [$c_1$,$d_0$]。

2. 声音
   观察依据

   他称该中点为 $c_1$。

$c_1$

区间 [$c_0$,$d_0$] 的中点，作为第一次二分步骤的分割点引入。

一个实数，满足 $c_1 = (c_0 + d_0) / 2$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $I_{1,1}$ ∪ $I_{1,2}$。

2. 声音
   观察依据

   他将这两个子区间命名为 $I_{1,1}$ 和 $I_{1,2}$。

$I_{1,1}$, $I_{1,2}$

将 [$c_0$,$d_0$] 在 $c_1$ 处分割所得的两个半区间。

区间 [$c_0$,$d_0$] 的闭子区间。

1. 公式
   观察依据

   黑板上添加了“称其为 $\widetilde{I}_1$”。

2. 声音
   观察依据

   他指出，这两个区间中有一个包含无穷多个 $a_n$ 项，并将其记作 $I_1$ ̃。

$\widetilde{I}_1$

从 $I_{1,1}$ 或 $I_{1,2}$ 中选出的、包含该序列无穷多项的那个区间。

从第一次二分中选出的一个闭区间。

1. 公式
   观察依据

   绿色字迹显示 $\widetilde{I}_1$ ⊇ $\widetilde{I}_2$ ⊇ $\widetilde{I}_3$ ⊇ ... ⊇ $\widetilde{I}_k$。

2. 声音
   观察依据

   他说他们已构造出这一组嵌套区间。

$\widetilde{I}_1$,$\widetilde{I}_2$,$\widetilde{I}_3$,$\ldots$,$\widetilde{I}_k$

归纳构造中选定区间嵌套族的一个有限显示阶段。

具有反向包含序关系的闭区间。

1. 公式
   观察依据

   绿色书写显示 |$\widetilde{I}_k$| = ($d_0-c_0$)/2^k。

2. 声音
   观察依据

   他指出 $I_k$ 顶波浪线的长度是整体长度的一半，即 ($d_0-c_0$)/2^k。

|$\widetilde{I}_k$|

第 k 个选定嵌套区间的长度（测度）。

非负实数。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“设{$a_n$}_{$n=1$}^$\infty$ 是这样一个有界数列”，并反复提及各项 $a_n$。

{$a_n$}_{$n=1$}^$\infty$

一个实数有界数列，正在为其构造收敛子列。

由正整数 n ∈ ℕ 编号的数列；每一项 $a_n$ ∈ ℝ。

1. 声音
   观察依据

   主讲人陈述了有界数列的条件。

2. 公式
   观察依据

   不等式 $c_0 \le a_n \le d_0$ 被写在黑板上。

若存在实数 $c_0$ 和 $d_0$，使得该数列的每一项都落在闭区间 [$c_0$, $d_0$] 内，则称这个实数数列是有界的。

1. 该数列由实数组成。

2. $c_0$ 和 $d_0$ 是固定的实数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释了通过将初始区间一分为二来构造一组嵌套闭区间的思路。

2. 公式
   观察依据

   他在黑板上写出这两个子区间的并集。

为从一个有界数列中提取出收敛子列，需构造一组嵌套闭区间；其起点是将初始的界定闭区间 [$c_0$, $d_0$] 在其中点处平分为两半。

1. 必须存在一个包含该数列所有项的初始闭区间。

1. 有界数列的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上的标题文字为：“波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理：任何有界实数列都包含一个收敛子列。”

该片段以定理陈述开篇，横贯画面顶部：每个有界实数列都有一个收敛子列。后续部分展开用于证明该定理的二分法／嵌套区间构造。

1. 该数列由实数组成。

2. 该数列是有界的。

1. 公式
   观察依据

   黑板文字：“设 {$a_n$}_{$n=1$}^$\infty$ 为这样一个有界数列。对所有 n，有 $c_0 \le a_n \le d_0$。”

2. 图示
   观察依据

   数轴上标出中点 $c_0$ 和端点 $d_0$，该序列的所有项都包含在此区间内。

由于该序列有界，其所有项都落在某个闭区间 [$c_0$,$d_0$] 内。此区间是证明的起始对象，其中点 ($c_0+d_0$)/2在数轴上被明确标出。

1. 数列 {$a_n$} 是有界的。

2. $c_0$ 和 $d_0$ 分别被选为下界和上界。

1. 黑板上展示的波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理陈述

1. 公式
   观察依据

   教师写出 [$c_0$,($c_0+d_0$)/2] ∪ [($c_0+d_0$)/2,$d_0$]。

2. 公式
   观察依据

   接着他将同一划分重写为 [$c_0$,$c_1$] ∪ [$c_1$,$d_0$]。

3. 声音
   观察依据

   他说他将把这个中点称为 $c_1$。

证明从在初始区间的中点处将其截断开始。所得的两个闭子区间记为 $I_{1,1}$ 和 $I_{1,2}$。这是嵌套区间构造的第一步。

1. 使用当前区间的中点。

2. 两个子区间均保持为闭区间。

1. 有界序列的初始包围区间

1. 公式
   观察依据

   蓝色文字写道：“这些区间中有一个包含无穷多个 $a_n$。”

2. 声音
   观察依据

   他解释道：如果两个区间都只包含有限个项，那么整个序列就将是有限的，这与序列是无限的相矛盾。

将 [$c_0$,$d_0$] 分割后，讲师通过反证法指出：两个半区间中至少有一个必须包含序列的无穷多个项。因为若两个半区间都只含有限个项，则它们的并集也只含有限个项，但这不可能，因为该序列有无穷多个项。

1. 原始区间包含一个无限序列的所有项。

2. 该区间被分割为两部分。

1. 将区间 [$c_0$,$d_0$] 分割为两个半长子区间

1. 公式
   观察依据

   黑板文字补充写道：“称此为 $\widetilde{I}_1$”。

2. 声音
   观察依据

   他说 $\widetilde{I}_1$ 是 $I_{1,1}$ 或 $I_{1,2}$ 二者之一。

一旦确定两个半区间中有一个包含无穷多个 $a_n$ 项，就将其重命名为 $\widetilde{I}_1$。这一记号记录了构造嵌套区间族所需的选择步骤。

1. 从两个子区间中选出一个包含无穷多个 $a_n$ 项的区间。

1. 至少有一个半区间包含无穷多个序列项。

1. 公式
   观察依据

   绿色文字显示 $\widetilde{I}_1$ ⊇ $\widetilde{I}_2$ ⊇ $\widetilde{I}_3$ ⊇ ... ⊇ $\widetilde{I}_k$。

2. 声音
   观察依据

   他指出归纳过程至少包含一个步骤，并假设我们已构造出这一组嵌套区间。

该证明采用数学归纳法：在选定 $\widetilde{I}_1$ 后，重复相同的二分与选取过程，依次得到 $\widetilde{I}_2$、$\widetilde{I}_3$ 等，每个区间均包含于前一个区间之中。图中所展示的链式结构记录了正在构建的嵌套关系。

1. 每个新区间均从上一个区间的二分结果中选出。

2. 每个被选中的区间仍包含该数列的无穷多项。

1. 将所选的、含无穷多项的区间命名为 $\widetilde{I}_1$。

1. 公式
   观察依据

   绿色字迹显示 |$\widetilde{I}_k$| = ($d_0-c_0$)/2^k。

2. 声音
   观察依据

   他指出该区间的长度是整体长度的一半，即 ($d_0-c_0$)/2^k。

每次二分都将区间长度减半，因此经过 k 步后，所选区间的长度为 ($d_0-c_0$)/2^k。该公式在后续收敛性论证中居于核心地位，因为这些长度趋于 0。

1. 起始区间长度为 $d_0-c_0$。

2. 每一步都将当前区间二分。

1. 嵌套区间族的归纳构造

1. 公式
   观察依据

   黑板顶部：“波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理：任何实数的有界序列都包含一个收敛子列。”

该定理断言：每个实数的有界序列至少有一个收敛子列。本片段中，证明从一个有界序列 {$a_n$}_{$n=1$}^$\infty$ 出发，其中对所有 n 都有 $c_0 \le a_n \le d_0$。

1. 该序列由实数组成。

2. 该序列是有界的。

1. 声音
   观察依据

   教师表示，他们将通过将区间 Ĩ_k 平分为二来构造下一个区间，使得有无穷多个 $a_n$ 落在 Ĩ_{$k+1$} 中。

2. 公式
   观察依据

   黑板文字：“将 Ĩ_k 平分为二，使得有无穷多个 $a_n$ 落在 Ĩ_{$k+1$} 中。”

给定一个包含序列 {$a_n$} 中无穷多项的嵌套区间 Ĩ_k，将其平分为两个子区间。其中至少有一个子区间包含无穷多项；选取该子区间作为 Ĩ_{$k+1$}。由此得到一列嵌套的闭区间，其长度每一步缩小为前一步的 2 倍。

1. 每个 Ĩ_k 都是一个闭区间。

2. 每个 Ĩ_k 都包含序列 {$a_n$} 中的无穷多项。

3. 该构造过程关于 k 进行归纳。

1. 黑板上写出的波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理陈述

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 |Ĩ_k| = ($d_0 - c_0$)/2^k。

2. 声音
   观察依据

   教师指出，当采用平分方式时，所得的测度结果完全相同。

初始的有界区间长度为 $d_0 - c_0$。每次二分都将前一个区间的长度减半，因此经过 k 步后，所选区间的长度为 ($d_0 - c_0$)/2^k。

1. $c_0 \le d_0$。

2. 每个新区间都由前一个区间对半分割得到。

1. 嵌套区间的归纳构造

1. 声音
   观察依据

   主讲人口头陈述了该定理。

2. 公式
   观察依据

   主讲人将定理陈述写在黑板上。

任何有界实数列都包含一个收敛的子列。

1. 该数列由实数组成。

2. 该数列是有界的。

对任意有界实数列，都存在一个收敛的子列。

1. 公式
   观察依据

   定理陈述写在黑板顶部。

任何有界实数列都包含一个收敛的子列。

1. 该数列是实数列。

2. 该数列是有界的。

对任意有界实数列，均存在一个收敛的子列。

1. 公式
   观察依据

   文字表述：「这些区间中有一个包含了无穷多个 $a_n$」。

2. 声音
   观察依据

   他给出的理由是：若两个区间都只含有限个项，则整个数列就只有有限项。

若一个包含某无穷数列所有项的区间被划分为两个子区间，则至少有一个子区间包含该数列的无穷多项。

1. 原始区间包含该数列的所有项。

2. 该数列有无穷多项。

3. 该区间被划分为两个子区间，其并集即为原始区间。

这两个子区间中，至少有一个包含无穷多个数列项。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“由区间套性质可知，存在一点 a，它属于从 $n = 1$ 到无穷的 $I_n$ ̃ 的交集。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出：“由区间套性质可知，存在一点 a ∈ ⋂_{$n=1$}^$\infty$ Ĩ_n。”

1. 视频中提到了区间套性质，但本片段未在画面上单独列出该性质的全部前提条件。

对于所构造的闭区间套序列，存在一点 a 属于每一个区间，即 a ∈ ⋂_{$n=1$}^$\infty$ Ĩ_n。

1. 这些区间构成一个套叠序列。

2. 这些区间都是闭区间。

3. 该构造已对所有正整数指标归纳完成。

存在一个实数 a，使得对每个 $n \ge 1$，都有 a ∈ Ĩ_n。

1. 公式
   观察依据

   明确写在黑板左上方。

任何实数的有界序列都包含一个收敛的子序列。

1. 设\{$a_n$\}_{$n=1$}^{$\infty$}为一实数的有界序列。

对所有实数的有界序列作全称量化；对收敛子序列作存在量化。

1. 声音
   观察依据

   主讲人概述了证明的初始步骤，包括定义数列、确定其界以及提出嵌套区间法。

2. 公式
   观察依据

   主讲人将数列定义、界定不等式以及区间二分过程写在黑板上。

3. 图示
   观察依据

   主讲人画出实数轴及初始界定区间。

1. 公式

   $$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$$
   解释

   设该数列为 {$a_n$}，其中 n 从1到无穷大。

   步骤依据

   定理中所分析对象的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$c_0 \le a_n \le d_0 \text{ for all } n$$
   解释

   由于该数列有界，故存在实数 $c_0$ 和 $d_0$，使得所有项都落在闭区间 [$c_0$, $d_0$] 内。

   步骤依据

   有界数列的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\left[c_0, \frac{c_0+d_0}{2}\right] \cup \left[\frac{c_0+d_0}{2}, d_0\right]$$
   解释

   初始区间 [$c_0$, $d_0$] 在其中点处被划分为两个闭子区间。

   步骤依据

   构建一组嵌套闭区间的策略，以提取一个收敛子列。

   视频直接表达

证明首先确定一个包含该数列的有界区间，并将其平分为两半，从而启动嵌套区间的构造过程。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示的分割为 [$c_0$,($c_0+d_0$)/2] ∪ [($c_0+d_0$)/2,$d_0$]，接着是 [$c_0$,$c_1$] ∪ [$c_1$,$d_0$]，然后是 $I_{1,1}$ ∪ $I_{1,2}$。

2. 声音
   观察依据

   他口述了将中点命名为 $c_1$，并命名两个子区间的过程。

1. 公式

   $$c_0 \le a_n \le d_0 \quad \text{for all } n$$
   解释

   从有界性假设出发，因此所有数列项都落在 [$c_0$,$d_0$] 中。

   步骤依据

   黑板上直接给出，作为该证明的前提设定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$c_1=\frac{c_0+d_0}{2}$$
   解释

   引入初始区间的中点。

   步骤依据

   该中点先标在数轴上，随后在代数分解中被命名为 $c_1$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$[c_0,d_0]=[c_0,c_1]\cup[c_1,d_0]$$
   解释

   将原区间分割为两个在 $c_1$ 处相接的闭合半区间。

   步骤依据

   黑板上展示了直接重写过程。

   视频直接表达
4. 公式

   $$[c_0,d_0]=I_{1,1}\cup I_{1,2}$$
   解释

   将这两个半区间重新命名为 $I_{1,1}$ 和 $I_{1,2}$。

   步骤依据

   黑板上补充了明确的记号。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{\text{一点} of } I_{1,1},I_{1,2} \text{ contains infinitely many } a_n$$
   解释

   至少有一半区间包含该序列的无穷多项。

   步骤依据

   在黑板上陈述，并通过反证法口头说明：若两半都只含有限项，则整个序列将只有有限项。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\widetilde{I}_1 \in \{I_{1,1},I_{1,2}\}$$
   解释

   选取其中一半，称其为 $\widetilde{I}_1$。

   步骤依据

   明确写为“称此为 $\widetilde{I}_1$”。

   视频直接表达

嵌套区间构造的第一步产生一个闭子区间 $\widetilde{I}_1$，它仍包含该序列的无穷多项。

1. 公式
   观察依据

   绿色字迹显示 $\widetilde{I}_1$ ⊇ $\widetilde{I}_2$ ⊇ $\widetilde{I}_3$ ⊇ ... ⊇ $\widetilde{I}_k$。

2. 声音
   观察依据

   他要求我们假设已构造出这一嵌套族，且每个区间的长度为 ($d_0-c_0$)/2^k。

1. 该片段陈述了归纳假设并展示了规律，但未在此节选中完成对所有 k 的完整归纳证明。

1. 公式

   $$\widetilde{I}_1 \supseteq \widetilde{I}_2 \supseteq \widetilde{I}_3 \supseteq \cdots \supseteq \widetilde{I}_k$$
   解释

   假设构造过程的某有限阶段已产生一串已选定的嵌套区间。

   步骤依据

   作为归纳设定，明确以绿色字迹写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|\widetilde{I}_k|=\frac{d_0-c_0}{2^k}$$
   解释

   记录第 k 个已选定区间的长度。

   步骤依据

   在黑板上明确写出，并口头解释为每一步都进行对半分割。

   视频直接表达

到本片段结束时，证明已确立了嵌套结构以及后续收敛论证所需的长度递减公式。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了从有界序列假设出发，经由区间套、交点、子列选取，最终得出收敛性的完整证明过程。

2. 声音
   观察依据

   教师口述归纳分割步骤，引用区间套性质，选取 $a_{n_k}$ ∈ Ĩ_k，估计 |$a_{n_k}-a$| 的大小，并得出 $a_{n_k} \to a$ 的结论。

1. 该片段未展示‘必有一半包含无穷多项’这一初始论证；它源自黑板上前文已给出的背景。

1. 公式

   $$\text{Let } \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \text{ be a bounded sequence with } c_0 \leq a_n \leq d_0 \text{ for all } n.$$
   解释

   从一个有界的实数列出发，将其所有项包含在初始闭区间 [$c_0$,$d_0$] 中。

   步骤依据

   黑板上直接陈述了该定理的设定条件。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\widetilde{I}_1 \supseteq \widetilde{I}_2 \supseteq \widetilde{I}_3 \supseteq \cdots \supseteq \widetilde{I}_k, \quad |\widetilde{I}_k| = \frac{d_0-c_0}{2^k}$$
   解释

   假设嵌套区间已构造至第 k 阶段，每个区间均包含无穷多个序列项，且长度经反复对半分割而不断缩小。

   步骤依据

   写在黑板上，作为该构造过程的归纳假设。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Split } \widetilde{I}_k \text{ in half s.t. infinitely many } a_n \text{ are in } \widetilde{I}_{k+1}.$$
   解释

   为继续构造，将 Ĩ_k 平分为两半，并选取其中仍包含无穷多个序列项的一半。

   步骤依据

   音频讲解配合板书文字；其背后蕴含的抽屉原理思想是：若两个半区间中各自仅有有限个项，则它们的并集中也仅有有限个项。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\exists a \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \widetilde{I}_n$$
   解释

   这些嵌套的闭区间具有一个公共点 a。

   步骤依据

   明确调用嵌套区间性质。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Pick } a_{n_k} \in \widetilde{I}_k$$
   解释

   对每个 k，选取一个位于第 k 个区间内的序列项；这些被选出的项构成候选子列。

   步骤依据

   之所以可行，是因为每个 Ĩ_k 在构造时即被确保包含无穷多个 $a_n$。

   视频直接表达
6. 公式

   $$|a_{n_k} - a| \leq \frac{d_0-c_0}{2^k}$$
   解释

   由于 $a_{n_k}$ 与 a 均属于 Ĩ_k，二者距离不可能超过 Ĩ_k 的长度。

   步骤依据

   区间包含关系，加上 |Ĩ_k| 的表达式。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\frac{d_0-c_0}{2^k} \to 0 \quad \text{as } k \to \infty$$
   解释

   对 |$a_{n_k}-a$| 的上界趋于零，是因为反复除以2使得区间长度可以任意小。

   步骤依据

   常数除以$2^k$ 的标准极限。

   依据视频推导
8. 公式

   $$a_{n_k} \to a$$
   解释

   因此，所选的子列收敛于 a。

   步骤依据

   利用不等式 |$a_{n_k}-a$| ≤ ($d_0-c_0$)/2^k 及其右侧趋于 0 的事实，进行比较法／夹逼法论证。

   视频直接表达

已构造出原是有界数列的一个收敛子列 {$a_{n_k}$}，从而证明了该情形下的波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理。

1. 公式
   观察依据

   整个黑板右侧及左下部分详细展示了该证明的逐步构造过程。

2. 声音
   观察依据

   主讲人总结道：“这就是波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的证明。”

1. 公式

   $$c_0 \le a_n \le d_0 \text{ for all } n$$
   解释

   为有界数列 \{$a_n$\} 确定初始界。

   步骤依据

   有界数列的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$[c_0, \frac{c_0+d_0}{2}] \cup [\frac{c_0+d_0}{2}, d_0]$$
   解释

   将初始区间 [$c_0$, $d_0$] 平分为两个子区间。

   步骤依据

   二分法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{\text{一点} of these intervals contains infinitely many of the } a_n$$
   解释

   找出包含数列 \{$a_n$\} 无穷多项的那个半区间，并将其记为 $\widetilde{I}_1$。

   步骤依据

   抽屉原理在无穷集合上的应用。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\widetilde{I}_1 \supseteq \widetilde{I}_2 \supseteq \widetilde{I}_3 \supseteq \dots \supseteq \widetilde{I}_k$$
   解释

   迭代构造一列嵌套的闭区间，使得每个 $\widetilde{I}_k$ 都包含数列 \{$a_n$\} 的无穷多项。

   步骤依据

   递归地应用二分法与无穷子集选取步骤。

   视频直接表达
5. 公式

   $$|\widetilde{I}_k| = \frac{d_0 - c_0}{2^k}$$
   解释

   计算第 k 个区间的长度。

   步骤依据

   每次二分都将前一个区间的长度减半。

   视频直接表达
6. 公式

   $$a \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \widetilde{I}_n$$
   解释

   断言存在一个极限点 'a'，它属于所有这些嵌套区间。

   步骤依据

   实数的区间套性质。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\text{Pick } a_{q_k} \in \widetilde{I}_k$$
   解释

   通过从每个区间 $\widetilde{I}_k$ 中各选取一项来构造一个子列。

   步骤依据

   选择公理／对无限子集进行构造性选取。

   视频直接表达
8. 公式

   $$|a_{q_k} - a| \le \frac{d_0 - c_0}{2^k}$$
   解释

   限定该子列项与极限点“a”之间的距离。

   步骤依据

   两个点均落在同一区间 $\widetilde{I}_k$ 内，该区间的长度为 $\frac{d_0 - c_0}{2^k}$。

   视频直接表达
9. 公式

   $$a_{q_k} \to a$$
   解释

   从而得出该子列收敛于“a”。

   步骤依据

   比较判别法，因为当 $k \to \infty$ 时，$\frac{d_0 - c_0}{2^k} \to 0$。

   视频直接表达

所构造的子列 \{$a_{q_k}$\} 收敛于实数 a，从而证明了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理。

1. 图示
   观察依据

   主讲人画了一条向右带箭头的水平线，并标注为“R”，代表实数轴；随后在线上标出两点，并分别标注为“$c_0$”和“$d_0$”，再在两点之间画出一个方括号表示的区间。

1. 代表实数轴（$\mathbb{R}$）的水平线

2. 标注为 $c_0$ 的点

3. 标注为 $d_0$ 的点

4. $c_0$ 与 $d_0$ 之间的方括号区间