函数空间大全（Lp空间） p01 Lp空间和p范数的定义

1. 公式
   观察依据

   板书第一行左侧写有 $E \subset \mathbb{R}^n$ 可测

E

$\mathbb{R}^n$ 中的一个可测集

$\mathbb{R}^n$ 的子集

1. 公式
   观察依据

   板书第一行右侧写有 f 是 E 上的可测函数

f

定义在可测集 E 上的可测函数

E

1. 公式
   观察依据

   板书第二行写有 $1^\circ 0 < p < +\infty$

p

范数定义的指数参数

零到正无穷大之间的开区间

1. 公式
   观察依据

   板书第三行写有 ||f||_p := ($\int_E$ |$f(x)$|^p dx)^{$\frac{1}{p}$}

||f||_p

函数 f 的 p 范数

零到正无穷大之间的闭区间

1. 公式
   观察依据

   板书第四行写有 $L^p$ := \{ $f \text{measurable}$ : ||f||_p < +$\infty$ \}

$L^p$

p 范数有限的可测函数构成的集合

函数集合

1. 公式
   观察依据

   板书第五行写有 ||f||_\infty :=

1. 等号右侧的具体数学表达式在片段结束前未写出

||f||_\infty

函数 f 的无穷范数

零到正无穷大之间的闭区间

1. 公式
   观察依据

   画面中多次出现 p，用于区分 $0 < p < +\infty$ 和 $p = +\infty$ 两种范数定义。

p

$L^p$ 空间的指数参数。

零小于 p，且 p 小于或等于正无穷大

1. 公式
   观察依据

   画面中写有 $f(x)$、|$f(x)$|，音频也反复提到 $f(x)$。

$f(x)$

定义在集合 E 上的可测函数。

x 属于集合 E

1. 公式
   观察依据

   画面中出现 $\int_E$ 与 $x \in E$，音频提到“x 在 E 上”。

E

函数 f 的定义域或积分区域。

测度空间中的集合

1. 公式
   观察依据

   画面中写有 \|f\|_p := ($\int_E$ |$f(x)$|^p dx)^{$1/p$}。

\|f\|_p

当 $0 < p < +\infty$ 时，函数 f 的 $L^p$ 范数。

零小于 p，且 p 小于正无穷大

1. 公式
   观察依据

   画面中写有 $L^p$ := { f 可测 : \|f\|_p < +$\infty$ }。

$L^p$

满足相应范数有限的可测函数全体构成的空间。

零小于 p，且 p 小于或等于正无穷大

1. 公式
   观察依据

   画面中写有 \|f\|_\infty := ess sup_{$x \in E$} |$f(x)$|。

\|f\|_\infty

当 $p = +\infty$ 时，函数 f 的 $L^\infty$ 范数。

p 等于正无穷大

1. 公式
   观察依据

   板书完整写出 ||f||_p := ($\int_E$ |$f(x)$|^p dx)^{$\frac{1}{p}$}

2. 声音
   观察依据

   讲解者口述了该 p 范数的定义公式

当 $0 < p < +\infty$ 时，函数 f 的 p 范数定义为 f 的绝对值的 p 次方在集合 E 上的积分的 p 分之一次方。

1. $E \subset \mathbb{R}^n$ 是可测集

2. f 是 E 上的可测函数

3. p 大于零且小于正无穷大

1. E
2. f
3. p

1. 公式
   观察依据

   板书完整写出 $L^p$ := \{ $f \text{measurable}$ : ||f||_p < +$\infty$ \}

2. 声音
   观察依据

   讲解者口述了大 Lp 空间的定义

$L^p$ 空间是由所有满足 p 范数小于正无穷的可测函数构成的集合。

1. 已定义 p 范数 ||f||_p

1. p 范数的定义

1. 公式
   观察依据

   画面顶部已写出 1° $0 < p < +\infty$，以及 \|f\|_p := ($\int_E$ |$f(x)$|^p dx)^{$1/p$}。

视频在开头已给出 $0 < p < +\infty$ 情形下的 $L^p$ 范数定义，即对可测函数 f，把 |$f(x)$|^p 在 E 上积分后再取 $1/p$ 次方。该定义是本片段后续讨论 $p = +\infty$ 情形的对照背景。

1. 零小于 p，且 p 小于正无穷大

2. f 为可测函数

3. 积分区域为 E

1. 公式
   观察依据

   画面中写有 $L^p$ := { f 可测 : \|f\|_p < +$\infty$ }。

视频把 $L^p$ 定义为所有使相应范数有限的可测函数组成的集合。片段中先展示 $0 < p < +\infty$ 的写法，随后转入 $p = +\infty$ 时范数如何定义。

1. f 可测

2. f 的 p 范数小于正无穷大

1. 有限指数 p 的 $L^p$ 范数定义
2. $p = +\infty$ 时的 $L^\infty$ 范数定义

1. 公式
   观察依据

   画面中写有 2° $p = +\infty$，以及 \|f\|_\infty := ess sup_{$x \in E$} |$f(x)$|。

2. 声音
   观察依据

   音频说“这个符号就是 x 在 E 上 $f(x)$ 绝对值的本性上确界”。

视频明确说明当 $p = +\infty$ 时，不再沿用积分型公式，而把 \|f\|_\infty 定义为 |$f(x)$| 在 E 上的本性上确界。随后又进一步把本性上确界展开为本性上界集合的下确界。

1. p 等于正无穷大

2. f 为可测函数

3. 考虑 $x \in E$

1. 本性上确界的定义

1. 声音
   观察依据

   音频说“本性上确界又怎么定义呢？我们就把它定义成本性上界的最小的那个……最小的那个就当然就是下确界”。

2. 公式
   观察依据

   画面中补全为 ess sup_{$x \in E$} |$f(x)$| = inf { M : |$f(x)$| $\leqslant M$, a.e. $x \in E$ }。

视频把 ess sup 解释为“本性上界中最小的那个”，并进一步说明“最小的那个”就是这些本性上界组成的集合的下确界。因此，本性上确界不是普通上确界，而是基于“几乎处处成立”的上界集合取下确界。

1. f 在 E 上可测

2. M 取遍使 |$f(x)$| $\leqslant M$ 几乎处处成立的实数

1. 本性上界与本性有界的定义

1. 公式
   观察依据

   画面中写出“若 ∃ $M > 0$, st. |$f(x)$| ≤ M a.e. $x \in E$，则称 $f(x)$ 在 E 上本性有界，M 称为本性上界”。

2. 声音
   观察依据

   音频说“如果对于任意的 x 都成立……那 M 就是 $f(x)$ 绝对值的一个上界……但是呢，我们这里的本性上界是什么意思呢？就是我不奢求所有的点上也就是处处成立，但是我要求它几乎处处成立”。

视频先回忆普通上界：若存在 $M > 0$ 使得 |$f(x)$| $\leqslant M$ 对任意 x 都成立，则 M 是上界，f 有界。接着强调“本性上界”把“处处成立”改成“几乎处处成立”，即允许在零测集上不成立；满足这一条件的 f 称为在 E 上本性有界，相应的 M 称为本性上界。

1. M 大于零

2. |$f(x)$| $\leqslant M$ 几乎处处在 E 上成立

1. 公式
   观察依据

   画面逐步写出 $L^{\infty}:=\{f\text{measurable}:\ \|f\|_{\infty}<+\infty\}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说“大 $L$ 无穷这个空间就定义……首先还是 $f$ 可测，额外的要求就是 $f$ 的无穷范数要有限”。

本片段把 $L^{\infty}$ 定义为所有可测函数中无穷范数有限者组成的集合。它与上方已有的 $L^p$ 定义形式一致，只是把范数条件从 $\|f\|_p<+\infty$ 换成 $\|f\|_{\infty}<+\infty$。

1. $f$ 可测

2. f 的无穷范数小于正无穷

1. 无穷范数即本性上确界

1. 公式
   观察依据

   画面保留 $\|f\|_{\infty}:=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in E}|f(x)|=\inf\{M:\ |f|\le M\ \text{a.e.}\ x\in E\}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者总结说“$f$ 的无穷范数就是本性上确界”。

视频把函数的无穷范数定义为 $|f(x)|$ 在 $E$ 上的本性上确界，并进一步写成“使 $|f|$ 几乎处处不超过 $M$ 的那些 $M$ 的下确界”。这说明无穷范数不是普通逐点上确界，而是忽略零测集后的最小本质上界。

1. $f$ 为 $E$ 上可测函数

2. 涉及几乎处处意义下的上界

1. 公式
   观察依据

   画面写出“若 $\exists M>0$，s.t. $|f(x)|\le M$ a.e. $x\in E$，则称 $f(x)$ 在 $E$ 上本性有界，$M$ 称为本性上界”。

视频给出“本性有界”的判定方式：只要存在正数 $M$，使得 $|f(x)|\le M$ 在 $E$ 上几乎处处成立，就称 $f$ 在 $E$ 上本性有界，并把这样的 $M$ 叫作本性上界。这一概念直接支撑了 $\|f\|_{\infty}$ 作为下确界的意义。

1. M 大于零

2. 不等式只需几乎处处成立

1. 声音
   观察依据

   讲解者总结：“那我们就定义好了什么叫 $f$ 的 $p$ 范数、大 $L^p$ 空间和 $f$ 的无穷范数以及 $L$ 无穷空间。”

2. 公式
   观察依据

   画面同时保留 $\|f\|_p$、$L^p$、$\|f\|_{\infty}$、$L^{\infty}$ 四个定义。

片段末尾把前面写出的四个对象统一回顾：$\|f\|_p$ 由积分定义，$L^p$ 是其有限的可测函数空间；$\|f\|_{\infty}$ 由本性上确界定义，$L^{\infty}$ 是其有限的可测函数空间。这里的“方法”是对同构定义模式的归纳。

1. 适用于 $0<p<+\infty$ 的 $L^p$ 情形

2. 适用于 $p=+\infty$ 的 $L^{\infty}$ 情形

1. $L^{\infty}$ 空间的定义
2. 无穷范数即本性上确界

1. 声音
   观察依据

   讲解者口述“我想定义 f 的无穷范数其实呢，它的定义就是本性上确界”

2. 公式
   观察依据

   板书写出 ||f||_\infty := 但等号右侧未写完

1. 本性上确界的具体数学表达式未在片段中给出

函数 f 的无穷范数 ||f||_\infty 的定义是其本性上确界。

1. f 是 E 上的可测函数

针对可测函数 f

1. 声音
   观察依据

   音频依次说明：先定义什么叫本性上界，再把本性上确界定义成本性上界中最小的那个，而最小的那个就是下确界。

2. 公式
   观察依据

   画面最终写出 ess sup_{$x \in E$} |$f(x)$| = inf { M : |$f(x)$| $\leqslant M$, a.e. $x \in E$ }。

1. 公式

   $$\exists M > 0, \text{ s.t. } |f(x)| \leqslant M, \text{ a.e. } x \in E$$
   解释

   先确定哪些 M 可以作为 |$f(x)$| 的本性上界，即不等式只需几乎处处成立。

   步骤依据

   视频对“本性上界”的口头定义与板书一致。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\{ M : |f(x)| \leqslant M, \text{a.e. } x \in E \}$$
   解释

   把所有满足上述条件的 M 收集成一个集合。

   步骤依据

   这是为取“最小的那个”准备对象集合。

   视频直接表达
3. 公式

   $$ess sup_{x \in E} |f(x)| = \inf \{ M : |f(x)| \leqslant M, \text{a.e. } x \in E \}$$
   解释

   再对该集合取下确界，得到本性上确界。

   步骤依据

   音频明确说“本性上确界就是本性上界中最小的那个，最小的那个就当然就是下确界”。

   视频直接表达

本性上确界可写为“使 |$f(x)$| $\leqslant M$ 几乎处处成立的所有 M 的下确界”。

1. 声音
   观察依据

   讲解者依次复述“$f$ 的 $p$ 范数就是绝对值的 $p$ 次方的积分再 $p$ 分之一次方”“$f$ 的无穷范数就是本性上确界”“$L^p$ 空间和 $L$ 无穷空间实际上就是对应范数有限的情况下这些函数构成的空间”。

2. 公式
   观察依据

   画面同时显示 $\|f\|_p$、$L^p$、$\|f\|_{\infty}$、$L^{\infty}$ 的完整定义。

1. 公式

   $$$$
   解释

   先把 $\|f\|_p$ 解释为“$|f|^p$ 的积分再取 $1/p$ 次方”。

   步骤依据

   对应画面上方已有公式 $\|f\|_p:=\left(\int_E |f(x)|^p dx\right)^{1/p}$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   再把 $\|f\|_{\infty}$ 解释为“本性上确界”。

   步骤依据

   对应画面中 $\|f\|_{\infty}:=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in E}|f(x)|$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   最后说明 $L^p$ 与 $L^{\infty}$ 都是“对应范数有限”的可测函数全体。

   步骤依据

   对应画面中的集合定义 $L^p:=\{f\text{measurable}:\ \|f\|_p<+\infty\}$ 与 $L^{\infty}:=\{f\text{measurable}:\ \|f\|_{\infty}<+\infty\}$。

   视频直接表达

本片段通过口头复述，把 $p$ 范数、$L^p$、无穷范数、$L^{\infty}$ 四个定义串成一套统一的“先定义范数，再取范数有限的可测函数全体”的构造思路。

1. 动画
   观察依据

   画面中依次手写出现 ||f||_p, $L^p$, ||f||_\infty 等符号及对应的定义公式

1. 手写笔迹

2. 网格背景

1. 从右上角开始书写 ||f||_p 和 $L^p$

2. 随后在左侧书写 $1^\circ 0 < p < +\infty$ 及具体定义公式

3. 最后书写 $2^\circ p = +\infty$ 及 ||f||_\infty :=

1. 网格背景保持不变

2. 顶部标题 $L^p$ 空间保持不变

视觉呈现了从一般 p 范数到特定 $p=+\infty$ 情形的逻辑推演和板书布局。

1. 动画
   观察依据

   画面为数字白板手写过程，先显示已有的 $0 < p < +\infty$ 与 $p = +\infty$ 两块内容，再逐步补全 ess sup 后面的 inf 集合定义，并在下方写出本性上界的中文说明。

1. 公式 \|f\|_p

2. 集合定义 $L^p$

3. 公式 \|f\|_\infty

4. 文字“本性”

5. 公式 inf { M : |$f(x)$| $\leqslant M$, a.e. $x \in E$ }

6. 中文定义句“若 ∃ $M > 0$ ... 则称 $f(x)$ 在 E 上本性有界，M 称为本性上界”

1. 0 至 12 秒：画面已给出 $p = +\infty$ 时 \|f\|_\infty := ess sup_{$x \in E$} |$f(x)$| 的主体。

2. 12 至 34 秒：讲解者围绕“本性上确界”进行口头解释，并在旁边写下“本性”二字。

3. 34 至 46 秒：在 ess sup 后补写 = inf { M : 。

4. 46 至 86 秒：在下方另起一行写出“若 ∃ $M > 0$, st. |$f(x)$| ≤ M”。

5. 86 至 120 秒：继续补全 a.e. $x \in E$，并写出“则称 $f(x)$ 在 E 上本性有界，M 称为本性上界”。

6. 120 至 144 秒：回到上方公式，把 inf 集合中的条件补全为 |$f(x)$| ≤ M, a.e. $x \in E$。

1. 始终围绕 $L^p$ 空间与 $p = +\infty$ 的范数定义展开。

2. 核心对象一直是 |$f(x)$| 在 E 上的上界性质。

视觉过程展示了从“先给出符号 ess sup”到“再解释其集合论定义”的板书推进顺序，帮助把抽象记号落实为“本性上界集合的下确界”。

1. 动画
   观察依据

   画面下方从空白处依次写出 $L^{\infty}$、$:=\{$、$f$ 可测、$:\ \|f\|_{\infty}<+\infty\}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解同步说“大 $L$ 无穷这个空间就定义……首先还是 $f$ 可测，额外的要求就是 $f$ 的无穷范数要有限”。

1. 无穷次幂可积函数空间

2. $f$ 可测

3. f 的无穷范数小于正无穷

1. 先写出空间记号 $L^{\infty}$

2. 再写出集合符号和元素条件“$f$ 可测”

3. 最后补上范数有限条件 $\|f\|_{\infty}<+\infty$

1. 上方关于 $\|f\|_p$、$L^p$、$\|f\|_{\infty}$ 的既有定义始终保留在画面中

2. 书写工具栏和页面布局保持不变

视觉上展示了 $L^{\infty}$ 的定义不是孤立给出的，而是沿用上方 $L^p$ 的集合式写法，只把范数条件替换成无穷范数有限。

1. 动画
   观察依据

   约 23 秒后画面缩小，完整露出标题“$L^p$ 空间”、前提“$E\subset \mathbb{R}^n$ 可测，$f$ 是 $E$ 上的可测函数”、以及 $1^\circ$ 和 $2^\circ$ 两部分全部内容。

1. 标题“$L^p$ 空间”

2. 前提行“$E\subset \mathbb{R}^n$ 可测，$f$ 是 $E$ 上的可测函数”

3. $1^\circ\ 0<p<+\infty$ 部分

4. $2^\circ\ p=+\infty$ 部分

1. 画面从局部书写区切换到整页概览

2. 原本分散的上下定义被同时纳入视野

1. 文字内容本身没有新增改写，只是显示范围扩大

这次缩放把本片段新写的 $L^{\infty}$ 放回整页框架中，便于看出 $p<\infty$ 与 $p=\infty$ 两套定义是并列展开的。

1. 声音
   观察依据

   讲解者提到“实际上我们在定义最开始肯定是没有验证它是一个范数，但是我们总是形式上先这样定义，接下来再逐步去验证它是一个范数”

误以为在写出 ||f||_p 公式的瞬间就已经证明了它满足范数的所有公理。

此处仅为形式上的符号定义，后续还需要逐步验证其确实满足范数的性质。

1. 声音
   观察依据

   讲解者提到“我们先把它叫做一个空间，实际上它首先只是一个集合，我们一步步来验证它是一个线性空间...也就是巴拿赫空间”

误以为 $L^p$ 一开始就天然具备完整的巴拿赫空间结构。

$L^p$ 最初只是满足条件的函数集合，需要逐步验证其线性空间、赋范线性空间和完备性（巴拿赫空间）结构。

1. 声音
   观察依据

   音频强调“我不奢求所有的点上也就是处处成立，但是我要求它几乎处处成立”。

容易把“本性上界”理解成要求 |$f(x)$| $\leqslant M$ 对 E 中每一个点都成立。

视频明确指出，本性上界只要求不等式几乎处处成立，允许在零测集上不成立；这正是“本性”一词的含义。

1. 公式
   观察依据

   画面明确写成 $\operatorname*{ess\,sup}$ 且条件带有 “a.e.”，而不是普通 $\sup$。

1. 这是分析员基于画面公式作出的提醒，视频本身没有专门口头强调这一误区。

看到 $\|f\|_{\infty}$ 时，容易把它理解成逐点最大值的上确界。

视频中的定义是 $\operatorname*{ess\,sup}_{x\in E}|f(x)|=\inf\{M:\ |f|\le M\ \text{a.e.}\ x\in E\}$，关键在于“几乎处处”限制，允许在零测集上例外，因此它本质上是最小的本质上界，而不是普通逐点上确界。

1. 公式
   观察依据

   $L^p$ 的定义公式中直接使用了 ||f||_p 符号

$L^p$ 空间的定义依赖于 p 范数的定义，只有先定义了 ||f||_p，才能用 ||f||_p < +$\infty$ 来筛选出 $L^p$ 中的元素。

1. 公式
   观察依据

   画面中 \|f\|_\infty 被直接定义为 ess sup_{$x \in E$} |$f(x)$|。

$L^\infty$ 范数的定义直接使用了本性上确界这一概念。

1. 声音
   观察依据

   音频先说“下面先来定义什么叫本性上界”，再说“本性上确界就是本性上界中最小的那个”。

要理解本性上确界，必须先理解什么是本性上界；本性上确界是本性上界集合的下确界。

1. 公式
   观察依据

   画面分列 1° $0 < p < +\infty$ 与 2° $p = +\infty$ 两套范数定义。

有限 p 的范数通过积分定义，$p = +\infty$ 的范数则通过本性上确界定义，二者构成并列对照。

1. 公式
   观察依据

   画面中 $L^p$ := { f 可测 : \|f\|_p < +$\infty$ }，而 \|f\|_p 在 $p = +\infty$ 时又由 ess sup 定义。

$L^p$ 空间的定义依赖于相应范数是否有限；当 $p = +\infty$ 时，这一条件就转化为本性上确界是否有限。

1. 公式
   观察依据

   $L^{\infty}:=\{f\text{measurable}:\ \|f\|_{\infty}<+\infty\}$ 直接引用了上一行 $\|f\|_{\infty}$ 的定义。

要先理解无穷范数即本性上确界，才能理解 $L^{\infty}$ 为何定义为“无穷范数有限的可测函数全体”。

1. 公式
   观察依据

   画面并列给出 $L^p:=\{f\text{measurable}:\ \|f\|_p<+\infty\}$ 与 $L^{\infty}:=\{f\text{measurable}:\ \|f\|_{\infty}<+\infty\}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者总结时把“大 $L^p$ 空间”和“$L$ 无穷空间”放在一起说明。

两者采用同样的“可测且对应范数有限”的集合构造，但所用范数不同：一个是积分型 $p$ 范数，一个是本性上确界型无穷范数。

1. 公式
   观察依据

   “本性有界”的定义与 $\inf\{M:\ |f|\le M\ \text{a.e.}\ x\in E\}$ 同时出现在同一板块。

无穷范数写成某些本性上界 $M$ 的下确界，因而“本性有界、本性上界”的概念是理解 $\|f\|_{\infty}$ 表达式的直接基础。

1. 公式
   观察依据

   板书给出了 p 范数的完整积分公式

1. p 范数的定义

1. 公式
   观察依据

   板书给出了 $L^p$ 集合的描述法定义

1. $L^p$ 空间的定义

1. 声音
   观察依据

   讲解者口述了无穷范数即本性上确界

1. 无穷范数即本性上确界

1. 声音
   观察依据

   音频直接提问并回答“本性上确界又怎么定义呢”。

1. 本性上确界的定义
2. 本性上界与本性有界的定义

1. 公式
   观察依据

   画面写出 $p = +\infty$ 时 \|f\|_\infty := ess sup_{$x \in E$} |$f(x)$|。

1. $p = +\infty$ 时的 $L^\infty$ 范数定义
2. 本性上确界的定义

1. 声音
   观察依据

   音频对比“处处成立”和“几乎处处成立”。

1. 本性上界与本性有界的定义

1. 声音
   观察依据

   音频说“因为它几乎处处成立的事情就揭示了这个函数本质上的一些特点，所以叫做本性上界”。

1. 本性上界与本性有界的定义
2. 不要把本性上界误当成普通处处上界

1. 公式
   观察依据

   画面正在写出 $L^{\infty}:=\{f\text{measurable}:\ \|f\|_{\infty}<+\infty\}$。

1. $L^{\infty}$ 空间的定义

1. 公式
   观察依据

   画面给出 $\|f\|_{\infty}:=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in E}|f(x)|=\inf\{M:\ |f|\le M\ \text{a.e.}\ x\in E\}$。

1. 无穷范数即本性上确界
2. 不要把本性上确界误当成普通上确界

1. 公式
   观察依据

   画面写明“若 $\exists M>0$，s.t. $|f(x)|\le M$ a.e. $x\in E$，则称 $f(x)$ 在 $E$ 上本性有界”。

1. 本性有界与本性上界

1. 声音
   观察依据

   讲解者末尾总结 $L^p$ 与 $L^{\infty}$ 都是“对应范数有限”的函数空间。

1. $p$ 范数、$L^p$、无穷范数、$L^{\infty}$ 的总括
2. s288-cr-Lp-Linfty-parallel