微积分 / 英语

引入雅可比矩阵：曲线变换的伸缩系数，重积分换元定理

701号时钟草 · 哔哩哔哩 · 18:45

哔哩哔哩 · 701号时钟草原视频

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视频中的要点

01坐标变换的几何意义
02二重积分求面积的动机
03换元积分的核心问题

来自学习笔记

x = x(u,v), \quad y = y(u,v)

坐标变换的几何意义

选中时刻

推广到一般二重积分换元公式

建议预备知识

二重积分
笛卡尔坐标系
两个变量的基本函数
二重积分的基本概念
平面直角坐标系
双曲线 xy=常数的图形
射线 y=kx 的图形
线性代数中的仿射变换初步概念
一元函数微分中“增量的线性主部”概念
向量的基本概念与二维平面坐标表示
矩阵与列向量相乘的基本规则
一元函数的微分与高阶无穷小记号 $o(\Delta x)$
向量和列向量记号
矩阵乘法
多元函数的一阶偏导数
多元函数的全微分
偏导数
行列式的基本性质
矩阵乘法
全微分
多元函数偏导数
向量与矩阵乘法
线性代数行列式的几何意义
雅可比矩阵与雅可比行列式
二重积分的基本概念
曲线变换/变量替换
一元积分换元公式
多元函数微积分
偏导数
行列式计算

章节 · 时间参考

0:00引入问题：求不规则区域的面积
0:40建立坐标变换：从简单矩形到复杂区域
1:53提出核心疑问：变换后的被积函数是什么？
2:30坐标变换与二重积分换元问题
2:34xy 平面中的双曲线与射线区域
3:04令 u=xy、 $v=y/x$ 后区域变为矩形
3:43提出变换前后面积元素关系问题
3:53仿射变换与曲线变换的区别
4:22一般曲线变换的映射定义
4:48具体例子 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$
5:00二维变换为何难以直接画图
5:17用两个方框表示定义域与陪域
5:30点到点的对应与列向量约定
5:56引入增量向量 Δx 与 Δy
6:16回顾一元微分：线性主部
6:38写出向量形式的类比公式
6:55把 A 解释为二阶矩阵
7:14解释向量值无穷小余项
7:30向量值函数的可微定义
7:50微分与导数矩阵
8:15按分量展开 d y⃗ 与 d x⃗
8:47联系多元函数全微分
9:18构造雅可比矩阵
9:40雅可比行列式与专门记号
10:00雅可比行列式的顺序规则
10:33向量值函数导数的几何直观
11:22高维空间中的导数矩阵
11:56多元函数的雅可比矩阵特例
12:30雅可比矩阵与梯度的等价性
13:04坐标变换的几何直观与面积伸缩因子
15:00面积元素与绝对值
15:18由面积元素求区域面积
15:54回答前文的被积函数问题
16:26推广到一般二重积分换元公式
16:59与一元换元的类比及高维推广
17:30常用变量替换的雅可比行列式
17:40极坐标变换及其雅可比行列式
17:48柱坐标变换及其雅可比行列式
18:11球坐标变换及其雅可比行列式
18:22课程总结

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本片段通过一个直观的几何例子引入雅可比矩阵的概念。视频首先在xy平面上画出一个形状不规则的区域，指出直接计算其面积（即对1进行二重积分）会比较困难。接着，在uv平面上画出一个简单的矩形区域D，并建立从uv平面到xy平面的坐标变换T。通过将复杂区域表示为简单区域D在变换T下的像 $T(D)$ ，视频提出了一个核心问题：如何将 $T(D)$ 上的面积积分转化为D上的积分，并指出转化后的被积函数正是接下来要讨论的重点。这段视频用白板讲解二重积分中的坐标变换思想。开头先写出 $\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ? dudv，提出要把 xy 平面上的积分区域转换到 uv 平面上。随后以由 xy=q、xy=p、y=ax、y=bx 围成的区域为例，令 u=xy、 $v=y/x$ ，把原来的曲边区域化为矩形 [p,q]×[a,b]。接着视频追问变换前后面积元素有什么关系，并转入概念层面：仿射变换把直线映成直线，而曲线变换不一定，因而曲线变换是仿射变换的推广。最后把一般曲线变换写成 T: $R^2\to R^2$ , (u,v)↦(x,y)，其中 $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ ，并举例 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$ 。本片段围绕二维到二维变换的可微性引入展开。讲解先说明这类变换的定义域和陪域都是二维平面，直接画完整图像需要四维空间，因此改用“两个方框 + 箭头”的方式表示变换。随后把平面上的点统一看成列向量，取定义域中的 $\vec{x}_0$ 及其像 $\vec{y}_0$ ，再通过小增量 $\Delta\vec{x}$ 、 $\Delta\vec{y}$ 把“区域到区域”的问题转化为“局部向量如何变化”的问题。接着回顾一元函数中“微分是函数增量的线性主部”，写出 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，并类比得到 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ 。最后解释其中 A 应为二阶矩阵，而 $o(\Delta\vec{x})$ 是向量值无穷小余项，满足除以 | $\Delta\vec{x}$ | 后趋于零向量。本片段用白板讲解二维向量值函数的微分与导数。先从 Δy⃗=AΔx⃗+o(Δx⃗) 定义“可微”，把线性主部 AΔx⃗ 记为 d y⃗，进而得到 d y⃗=A d x⃗，并强调向量值函数的导数 A 是矩阵。随后把 d y⃗、d x⃗ 按分量展开为 (du,dv)^T 与 (dx,dy)^T，利用矩阵乘法写出 du、dv 的全微分形式，依次填入 ∂u/∂x、∂u/∂y、∂v/∂x、∂v/∂y，得到雅可比矩阵 J。最后说明当 J 为方阵时可取其行列式，这就是雅可比行列式，并开始引入专门记号 ∂(u,v)/∂(x,y)。视频首先回顾了二维雅可比行列式的定义，强调了变量排列顺序对行列式值的影响。随后，通过生动的“平面长草”比喻，直观展示了向量值函数在每一点对应一个导数矩阵的概念。接着，将理论推广至高维空间，指出从 $R^n$ 到 $R^m$ 的映射其导数为 $m\times n$ 矩阵。最后，探讨了输出维度 $m=1$ 的特例，即多元标量函数的雅可比矩阵表现为偏导数组成的行向量。本片段首先指出当多元函数的因变量维度为1时，其雅可比矩阵退化为梯度向量，两者均可视为该函数的导数。随后，通过绘制UV平面到XY平面的坐标变换几何示意图，直观推导了重积分换元法中的面积元素转换关系：局部微小矩形面积 dudv 经变换后对应的平行四边形面积 dxdy 等于原面积乘以雅可比矩阵行列式的绝对值，即 dxdy = |J| dudv。本片段围绕曲线变换下的面积元素展开，先给出 dxdy = |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv，并强调面积比较要取雅可比行列式绝对值。随后对面积元素积分，得到 $\iint _{T(D)}$ dxdy = $\iint _D$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv，回答前文“被积函数是什么”的问题。接着把结论推广为一般二重积分换元公式 $\iint _{T(D)} f(x,y)$ dxdy = $\iint _D f(x(u,v), y(u,v))$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv，并用一元换元 dx = (dx/du)du 作类比，最后指出该定理可推广到三重积分和 n 重积分。本片段主要介绍了三种常用的坐标变换及其雅可比行列式：极坐标变换（雅可比行列式为 r）、柱坐标变换（雅可比行列式为 r）和球坐标变换（雅可比行列式为 r² sin φ）。视频通过白板书写公式和绘制简单的三维示意图，清晰地展示了这些变换的数学表达和几何意义。

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章节

0:00引入问题：求不规则区域的面积 0:40建立坐标变换：从简单矩形到复杂区域 1:53提出核心疑问：变换后的被积函数是什么？2:30坐标变换与二重积分换元问题 2:34xy 平面中的双曲线与射线区域 3:04令 u=xy、

v=y/x

后区域变为矩形 3:43提出变换前后面积元素关系问题 3:53仿射变换与曲线变换的区别 4:22一般曲线变换的映射定义 4:48具体例子

F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)

5:00二维变换为何难以直接画图 5:17用两个方框表示定义域与陪域 5:30点到点的对应与列向量约定 5:56引入增量向量 Δx 与 Δy 6:16回顾一元微分：线性主部 6:38写出向量形式的类比公式 6:55把 A 解释为二阶矩阵 7:14解释向量值无穷小余项 7:30向量值函数的可微定义 7:50微分与导数矩阵 8:15按分量展开 d y⃗ 与 d x⃗8:47联系多元函数全微分 9:18构造雅可比矩阵 9:40雅可比行列式与专门记号 10:00雅可比行列式的顺序规则 10:33向量值函数导数的几何直观 11:22高维空间中的导数矩阵 11:56多元函数的雅可比矩阵特例 12:30雅可比矩阵与梯度的等价性 13:04坐标变换的几何直观与面积伸缩因子 15:00面积元素与绝对值 15:18由面积元素求区域面积 15:54回答前文的被积函数问题 16:26推广到一般二重积分换元公式 16:59与一元换元的类比及高维推广 17:30常用变量替换的雅可比行列式 17:40极坐标变换及其雅可比行列式 17:48柱坐标变换及其雅可比行列式 18:11球坐标变换及其雅可比行列式 18:22课程总结

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频开篇提出目标：计算xy平面上一个形状不规则区域的面积。最自然的方法是对该区域进行被积函数为1的二重积分。

然而，由于该区域边界复杂，直接在xy平面上设置积分限会很困难。因此，讲师引入了转换思路：寻找一个更简单的坐标系。

在屏幕左侧画出uv平面，并在其中绘制一个简单的矩形区域D。接着，建立从uv平面到xy平面的映射关系，即坐标变换 $x = x(u,v)$ 和 $y = y(u,v)$ 。

讲师解释了这个变换的含义：对于uv平面内的任意一点 $(u,v)$ ，通过代入变换公式，都能在xy平面内找到唯一对应的点 $(x,y)$ 。

将整个变换记作 $T$ 。在这个变换下，uv平面上的矩形区域 $D$ 被映射成了xy平面上的不规则区域，记为 $T(D)$ 。

假设区域 $D$ 和变换 $T$ 的性质良好，那么 $T(D)$ 也是一个适合进行积分运算的区域。现在的目标变成了求 $T(D)$ 的面积。

按照面积的定义，我们需要计算 $\iint_{T(D)} dxdy$ 。但为了利用 $D$ 的简单形状，我们希望将这个积分转化为在 $D$ 上的积分 $\iint_{D} ? \, dudv$ 。

视频在此处留下悬念：转化后的被积函数“?”究竟是什么？这正是引出雅可比行列式（Jacobian determinant）的关键问题。

视频一开始就把问题放在二重积分换元的框架里：上方写着 $\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ?\,dudv，意思是想把 xy 平面上的积分区域通过某个变换 T 转到 uv 平面上，但还要弄清楚面积元素之间差什么因子。

为了说明这种变换的作用，画面先在右侧 xy 平面画出两条双曲线 xy=q 与 xy=p，并给出条件 $q>p>0$ ；接着又画出两条射线 y=ax 与 y=bx，条件是 $b>a>0$ 。四条曲线围成一个曲边区域，视频说如果直接在这个区域上积分会很难处理。

随后左侧建立 uv 平面，并把新变量定义为 u=xy、 $v=\frac{y}{x}$ 。这样做的依据很直接：u 正好对应双曲线族 xy=常数中的常数，v 正好对应射线族 y=斜率·x 中的斜率。于是原来的边界 xy=p、xy=q 变成 $u=p$ 、 $u=q$ ，边界 y=ax、y=bx 变成 $v=a$ 、 $v=b$ 。

从图上可以看到，右侧那个由双曲线和射线夹出来的复杂区域，在左侧变成了矩形 [p,q] $\times[a,b]$ 。视频借此强调，坐标变换的首要好处就是把积分限和区域形状简化成更容易计算的形式。

但区域变简单之后，新的问题出现了：同一个图形在变换前后的面积元素 dxdy 与 dudv 并不显然相等。视频此时把注意力从“区域形状”转向“面积关系”，为后续引入雅可比因子做铺垫。

接下来进入概念辨析。视频先回忆线性代数中的仿射变换，并明确说仿射变换会把平面上的直线变成直线。与之相比，曲线变换不保持这种直线性；前面例子中 uv 平面里的直线边界，在 xy 平面中就对应成了双曲线或射线型曲线。

因此视频把曲线变换概括为仿射变换的推广：仿射变换是更特殊的一类平面映射，而曲线变换允许更一般的弯曲对应关系。这一步的意义在于，后面讨论面积伸缩时不能只套用线性代数里的仿射直觉。

然后视频给出一般定义：一个平面上的曲线变换写作 T:\begin{cases} $x=x(u,v)$ \\y=这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。，本质上就是 T:\mathbb{R}^ $2\to\mathbb{R}^2$ ，把 uv 平面上的一点 (u,v) 映到 xy 平面上的一点 (x,y)。视频还补充说，定义域和陪域都可以取平面上的子区域。

最后，视频举出一个具体例子 $F(x,y)$ =( $x+\sin y$ ,\ $y+\cos x$ )，用它再次强调：所谓坐标变换，输入和输出都是平面上的点。片段在这里结束，尚未展开面积元素与雅可比行列式的正式公式。

这一段的中心问题是：面对一个从二维平面到二维平面的变换，不能像一元函数那样直接靠普通图像来把握整体行为。板上先给出 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ，并写出 $(u,v)\mapsto(x,y)$ 。讲解据此指出，定义域和陪域都是二维平面，若要直接画出完整图像，相当于进入四维空间观察，因此需要换一种研究方法。

为了把抽象变换可视化，讲解画出两个矩形框，并用中间箭头 $T$ 连接，两框下方都标注 $\mathbb{R}^2$ 。这里的数学含义是：左框代表定义域，右框代表陪域，箭头代表变换本身。这样就把“函数图像”问题转成了“两个平面之间的对应”问题。

接下来，讲解规定平面上的点都用向量表示，而且是列向量。这个约定看似只是记号选择，实际上会影响后面的代数结构：既然点是列向量，那么把向量线性地变成另一个向量的对象就应当写在左边，也就是矩阵左乘向量。

在左框中取一点 $\vec{x}_0$ ，在右框中取其像 $\vec{y}_0$ 。这一步先建立“点到点”的对应。随后讲解提出更关键的问题：如果只知道单个点如何被映到单个点，还不足以讨论“区域到区域”的对应，因此必须进一步考察某点附近发生小位移时，像点如何变化。

于是引入增量向量。若 $\vec{x}_0$ 走了一小段到 $\vec{x}_0+\Delta\vec{x}$ ，则其像从 $\vec{y}_0$ 变到 $\vec{y}_0+\Delta\vec{y}$ 。图中左右两个箭头分别表示 $\Delta\vec{x}$ 与 $\Delta\vec{y}$ 。这里的核心转换是：把区域层面的变化问题，压缩成局部向量增量的问题。

为刻画这种局部增量关系，讲解先回顾一元函数中的微分概念，并写出 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 。口头定义是“微分是函数增量的线性主部”，也就是用自变量增量的线性表达式去近似因变量增量。这个公式的结构是“线性主部 + 高阶余项”。

随后把同一结构迁移到二维向量情形，得到 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ 。这一步不是严格证明，而是类比推广：既然一元增量可以写成线性主部加高阶项，那么二维向量增量也可以尝试写成类似形式。板上同时注明 $\Delta\vec{x}$ 、 $\Delta\vec{y}$ 都是“2维向量”。

接着处理这个类比形式中的第一个疑问： $A$ 是什么。讲解的回答是，需要一个能把二维向量线性地变成二维向量的对象，而这样的对象就是“二阶矩阵”。因此 $A$ 不再是普通标量常数，而是作用在列向量上的 $2\times2$ 线性映射矩阵。这也解释了为什么矩阵要写在左边。

最后处理第二个疑问： $o(\Delta\vec{x})$ 怎么理解。讲解强调，由于整个等式左边是向量、线性主部也是向量，所以余项同样是向量值项，而不是标量小量。其“无穷小”的含义是：把这个余项向量除以 $|\Delta\vec{x}|$ 后，结果趋于零向量。到这里，片段已经把后续正式定义可微性所需的三个要素准备齐了：向量增量、线性主部矩阵、向量值高阶余项。

视频先给出向量值函数的可微定义：若 $Δ\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ ，其中 A 与 $Δ\vec{x}$ 无关，则称函数在该点可微。这里的结构模仿一元微分，但把增量、自变量和线性系数都升级为向量与矩阵。

接着用红圈强调 $A\Delta\vec{x}$ 是线性主部，并将其定义为该点的微分 $d\vec{y}$ 。同时把自变量增量记作 $d\vec{x}$ ，于是得到核心关系式 $d\vec{y}=A d\vec{x}$ ，并可形式上写成 $A=d\vec{y}/d\vec{x}$ 。

由此，视频明确说明：向量值函数的“导数”不是标量，而是这个矩阵 A。这一步是概念转换的关键，后面所有内容都是为了把 A 具体写出来。

为了求 A 的元素，讲解把 $d\vec{y}$ 和 $d\vec{x}$ 按分量展开成列向量： $d\vec{y}$ =(du,dv)^T， $d\vec{x}=(dx,dy)^T$ 。这样矩阵方程就变成两个标量方程的系数比较问题。

按矩阵乘法展开后，得到 du 与 dv 分别为 dx、dy 的线性组合。视频指出这正是多元函数全微分的常见形式，因此四个未知系数应当对应四个一阶偏导数。

随后依次填入 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 、 $\frac{\partial v}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial v}{\partial y}$ ，并把它们整理成 $2\times 2$ 矩阵。这个矩阵就是该点的导数矩阵，也被命名为雅可比矩阵 J。

最后，视频进一步说明：当雅可比矩阵是方阵时，可以取它的行列式，这就是雅可比行列式。板书用蓝色写出相应行列式，并开始引入专门记号 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ ，用以强调它在后续应用中的重要地位。

在构建雅可比行列式 $\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}$ 时，分子放置因变量 $u, v$ ，分母放置自变量 $x, y$ 。必须严格遵守这一顺序，因为行列式具有反对称性，交换任意两行或两列都会改变行列式的符号。因此，变量的排列顺序直接决定了结果的准确性。

接下来引入向量值函数的微分与导数概念。虽然我们在某一点进行讨论，但定义域内的每一点都对应一个局部的线性变换（矩阵）。为了直观理解这一点，我们可以想象在二维平面的每一个点上都“长”出了一个代表该点导数的小线段或矩阵，就像草地上长满了草一样，这形象地描绘了矩阵场的分布。

将视角推广到更高维度，考虑映射 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 。该映射将 $n$ 维向量转换为 $m$ 维向量。为了用输入增量 $\Delta \vec{x}$ 表达输出增量 $\Delta \vec{y}$ ，我们需要一个线性算子。根据微分的定义 $\Delta \vec{y} = A \Delta \vec{x} + o(|\Delta \vec{x}|)$ ，这个线性算子 $A$ 必须是一个 $m \times n$ 的矩阵，这就是向量值函数的导数（雅可比矩阵）。

最后探讨一个特例：当输出维度 $m=1$ 时，映射退化为多元标量函数，例如 $u = f(x, y, z)$ 。此时，其雅可比矩阵不再是方阵，而是一个 $1 \times n$ 的行向量。该行的元素依次为函数对各个自变量的偏导数： $(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$ 。这展示了多元函数梯度概念的矩阵化表达基础。

在多元微积分中，当映射的目标空间维度 $m=1$ 时，函数 $u=f(x,y,z)$ 的雅可比矩阵 $J$ 仅包含一行偏导数。此时，雅可比矩阵在形式上完全等同于该函数的梯度向量 $\nabla f$ 。正如视频板书所示， $J = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) = \nabla f$ 。这意味着，对于标量值的多元函数，梯度本质上就是其导数，而雅可比矩阵则是向量值函数导数的推广。

接下来探讨重积分换元时的面积缩放问题。设想在 $uv$ 平面上有一个极小的矩形区域，其边长由微小向量 $du$ 和 $dv$ 构成。通过坐标变换 $T$ （其局部线性近似由雅可比矩阵描述），该矩形被映射到 $xy$ 平面上，近似形成一个由向量 $dx$ 和 $dy$ 张成的平行四边形。根据线性代数中行列式的几何意义，变换前后面积的比值（即面积伸缩因子）等于雅可比矩阵行列式的绝对值。因此，我们得到了重积分换元的核心面积元素公式： $dx dy = |J| du dv$ 。视频最后提示，由于面积必须为非负值，实际应用中需考虑行列式的正负号，取其绝对值。

片段一开始，白板上并列画出 uv 平面与 xy 平面中的局部图形，底部写出 dxdy = |J| dudv = |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。讲解者先补一句“正负的话，我们还要加一个绝对值”，说明在比较面积时不能直接用 J，而要取雅可比行列式的绝对值。

接着把这一关系命名为“曲线变换之下面积元素的表达式”。这里的数学含义是：原来在 xy 平面中的小面积 dxdy，经过变量替换后，对应到 uv 平面中的小面积 dudv，但两者之间相差一个局部伸缩因子 |∂(x,y)/∂(u,v)|。

随后进入应用层面。既然面积元素已经知道，就可以直接对它做重积分来求面积。画面开始书写 $\iint _{T(D)}$ dxdy，表示在 xy 平面区域 $T(D)$ 上对面积微元积分。

讲解者强调“换元必换限”，在这里具体表现为把积分区域从 $T(D)$ 换回 D。于是把 dxdy 替换成 |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv，得到 $\iint _{T(D)}$ dxdy = $\iint _D$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。这一步把前面的局部面积关系提升为整个区域面积公式。

画面随后回滚到前文留下的问题页，那里曾写着 $\iint _{T(D)}$ dxdy = $\iint _D$ ? dudv。现在可以直接回答：问号处的被积函数就是雅可比行列式的绝对值 |J|。这说明前面悬而未决的“被积函数是什么”正是本段推导的核心结论。

讲解者进一步概括方法意义：如果要求一个复杂区域的面积，而它能由某个简单区域经曲线变换得到，那么不必直接在复杂区域上积分，只需在简单区域 D 上做重积分，并把被积函数取为 |∂(x,y)/∂(u,v)|。

接下来把结论从“求面积”推广到“求一般二重积分”。白板上写出 $\iint _{T(D)} f(x,y)$ dxdy，说明这是普通的二重积分形式。换元时不仅要处理微元，还要处理函数本身和积分区域。

具体做法是三步同时进行：第一，把区域 $T(D)$ 换成 D；第二，把 $f(x,y)$ 中的 x,y 改写成 $x(u,v)$ , $y(u,v)$ ；第三，把 dxdy 换成 |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。于是得到完整公式 $\iint _{T(D)} f(x,y)$ dxdy = $\iint _D f(x(u,v), y(u,v))$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。

为了帮助理解这个公式的结构，讲解者又回忆一元换元公式 dx = (dx/du) du。其共同点是：在两个变量的微分之间都要插入一个系数。

在一元情形，这个系数是导数 dx/du；在二元情形，这个系数是雅可比行列式的绝对值 |∂(x,y)/∂(u,v)|。由此把二重积分换元看成一元换元在高维的自然推广。

最后，讲解者把这一结果命名为“重积分变量替换定理”，并补充说明它还可以继续推广到三重积分以及 n 重积分，只是高维情形的证明会更复杂一些。

接下来我们介绍几种在重积分换元中非常常用的坐标变换，并给出它们对应的雅可比行列式。

首先是平面上的极坐标变换。我们将直角坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r, \theta)$ ，其变换公式为 $x = r \cos\theta$ ， $y = r \sin\theta$ 。计算其雅可比行列式，可以得到 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = r$ 。

将极坐标推广到三维空间，我们保持 $z$ 轴坐标不变，即 $z = z$ ，这就得到了柱坐标变换。由于 $z$ 坐标没有发生混合变换，它在雅可比矩阵中对应的偏导数使得行列式的值保持不变，因此柱坐标的雅可比行列式依然是 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = r$ 。

另一种重要的三维坐标变换是球坐标。我们引入径向距离 $r$ 、极角 $\theta$ 和天顶角 $\varphi$ （即空间点与原点的连线和 $z$ 轴正方向的夹角）。其变换公式为 $x = r \sin\varphi \cos\theta$ ， $y = r \sin\varphi \sin\theta$ ， $z = r \cos\varphi$ 。对应的雅可比行列式为 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} = r^2 \sin\varphi$ 。

总结一下，今天我们探讨了雅可比矩阵和雅可比行列式在微分和积分中的应用。雅可比矩阵本质上是向量值函数的导数，正是因为它代表了局部线性变换的缩放比例，所以才出现在重积分的换元公式中。

知识卡片

坐标变换的几何意义

坐标变换 $T: (u,v) \mapsto (x,y)$ 可以将一个平面上的图形映射到另一个平面上。在本例中，它将uv平面上的简单矩形区域D映射为xy平面上的复杂区域 $T(D)$ 。这种映射是多重积分换元法的基础。

x = x(u,v), \quad y = y(u,v)

二重积分求面积的动机

计算平面区域面积的最直接方法是对其上的常数1进行二重积分。当积分区域形状复杂时，直接积分困难，这就促使我们寻找一种方法，将复杂区域上的积分转化为简单区域上的积分。

\text{Area} = \iint_{R} 1 \, dx \, dy

换元积分的核心问题

当我们试图将 $\iint_{T(D)} dxdy$ 转化为 $\iint_{D} f(u,v) \, dudv$ 时，最关键的问题是确定新的被积函数 $f(u,v)$ 。这个函数反映了坐标变换对局部面积元素的缩放比例，也就是后续要介绍的雅可比行列式的绝对值。

二重积分换元的目标

视频开头用 $\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ?\,dudv 提示核心任务：不仅要找到合适的变换 T，还要确定变换前后面积元素之间的换算因子。

\iint_{T(D)} dxdy = \iint_D ?\,dudv

示例区域：双曲线与射线围成的图形

视频在右侧 xy 平面画出两条双曲线和两条射线，形成一个曲边区域，并说明直接在该区域上积分很困难。

xy=q,\ xy=p,\ y=ax,\ y=bx

令 u=xy、 $v=y/x$ 把区域化为矩形

把 u 定义为 xy，把 v 定义为 $y/x$ 后，原边界分别对应 $u=p$ 、 $u=q$ 、 $v=a$ 、 $v=b$ ，因此积分区域在 uv 平面上成为矩形。

u=xy,\quad v=\frac{y}{x},\quad D=[p,q]\times[a,b]

坐标变换前后面积元素关系的问题

视频在把区域化为矩形后提出关键问题：变换前后图形面积有什么关系？这正是在为后续引入雅可比因子做准备。

dxdy\ \text{且}\ dudv\ \text{relationship is to be determined}

仿射变换与曲线变换的区别

视频明确对比两类变换：仿射变换把平面上的直线变成直线，而曲线变换可以把直线变成双曲线等曲线，因此曲线变换更一般。

曲线变换是仿射变换的推广

视频用“曲线变换 <—— 仿射变换”的板书和口头解释说明，曲线变换是在仿射变换基础上放宽条件得到的更一般概念。

一般平面曲线变换的定义

视频把一般曲线变换写成 $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ ，并进一步解释为 T:\mathbb{R}^ $2\to\mathbb{R}^2$ ，即从平面到平面的映射。

T:\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases},\quad T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ (u,v)\mapsto(x,y)

具体曲线变换例子 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$

视频最后给出 $F(x,y)$ =( $x+\sin y$ ,\ $y+\cos x$ )，用它说明坐标变换的输入和输出都是平面上的点。

F(x,y)=(x+\sin y,\ y+\cos x)

二维到二维变换的研究难点

片段首先指出，若变换为 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ，其定义域和陪域都是二维平面，想直接画出完整图像需要进入四维空间，因此不适合沿用一元函数那种“看图像”的方法。

T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad (u,v)\mapsto (x,y)

用两个方框表示定义域与陪域

讲解把抽象变换改画成左右两个矩形框，中间用箭头 $T$ 连接，并在两框下方标注 $\mathbb{R}^2$ 。左框表示定义域，右框表示陪域，箭头表示变换关系。

平面点统一写成列向量

为了后续讨论线性映射，讲解规定平面上的点都用向量表示，而且都是列向量。这一约定决定了后面矩阵应写在向量左边。

点到点的对应：x0 与 y0

在定义域中取 $\vec{x}_0$ ，在陪域中取其像 $\vec{y}_0$ 。这一步先建立单点层面的对应，但讲解随即指出，要研究区域对应，还需要看局部增量如何变化。

局部增量向量 Δx 与 Δy

若 $\vec{x}_0$ 变为 $\vec{x}_0+\Delta\vec{x}$ ，则像点变为 $\vec{y}_0+\Delta\vec{y}$ 。 $\Delta\vec{x}$ 和 $\Delta\vec{y}$ 都是二维向量，它们把“区域如何变”转化为“某点附近的小向量如何变”。

\vec{x}_0\mapsto \vec{x}_0+\Delta\vec{x},\qquad \vec{y}_0\mapsto \vec{y}_0+\Delta\vec{y}

一元微分：增量的线性主部

讲解回顾一元函数中的微分，把它定义为“函数增量的线性主部”，即用自变量增量的线性表达式去表示因变量增量，典型形式是 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 。

\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)

二维情形的类比公式

受一元微分启发，讲解写出向量形式 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ 。其结构仍是“线性主部 + 高阶余项”，只是增量从标量变成了二维向量。

\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})

A 的身份是二阶矩阵

在 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ 中， $A$ 不是普通标量常数，而是能把二维向量线性地变成二维向量的对象，因此讲解明确说它是“二阶矩阵”。由于向量是列向量，所以矩阵乘在左边。

$o(Δx)$ 是向量值无穷小余项

讲解强调 $o(\Delta\vec{x})$ 也是向量，不是标量。其无穷小含义是：该余项向量除以 $|\Delta\vec{x}|$ 后趋于零向量。这为后续正式定义可微性做准备。

向量值函数可微的定义

若向量值函数的因变量增量能写成 $Δ\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ ，其中 A 是与 $Δ\vec{x}$ 无关的矩阵，则称函数在该点可微。视频用这一定义把一元微分推广到向量值情形。

\Delta \vec{y} = A \Delta \vec{x} + o(\Delta \vec{x})

微分是线性主部

在可微展开式中，只有线性项 $A\Delta\vec{x}$ 被称为微分，记作 $d\vec{y}$ ；相应地把自变量微分记作 $d\vec{x}$ 。因此微分不是完整增量，而是增量的线性近似部分。

d\vec{y} = A\, d\vec{x}

向量值函数的导数是矩阵

由 $d\vec{y}=A d\vec{x}$ 可形式地写成 $A=d\vec{y}/d\vec{x}$ 。视频据此把 A 称为导数，并特别强调这里的导数是矩阵而不是标量。

A = \frac{d\vec{y}}{d\vec{x}}

按分量展开向量微分

为了确定矩阵 A 的元素，把 $d\vec{y}$ 和 $d\vec{x}$ 写成列向量 (du,dv)^T 与 (dx,dy)^T。这样就能用矩阵乘法把抽象关系转成两个标量线性组合式。

\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 87

xy

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画出一个笛卡尔坐标系，横轴标记为‘x’，纵轴标记为‘y’。

符号

含义

标准的笛卡尔坐标平面。

适用范围

实数

uv

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画出另一个笛卡尔坐标系，横轴标记为‘u’，纵轴标记为‘v’。

符号

含义

用于变换的另一种笛卡尔坐标平面。

适用范围

实数

D

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
将uv平面上的矩形区域标记为‘D’。

符号

含义

uv平面上的一个简单矩形区域。

适用范围

二维实数空间的子集

T

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
写出变换方程x等于x关于u和v的函数，y等于y关于u和v的函数，并将映射箭头标记为‘T’。

符号

含义

一种坐标变换，将uv平面上的点映射到xy平面上。

适用范围

从二维实数空间到二维实数空间的函数

$T(D)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
将xy平面上的不规则四边形区域标记为‘ $T(D)$ ’。

符号

$T(D)$

含义

区域D在变换T作用下的像，位于xy平面上。

适用范围

二维实数空间的子集

$\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ? dudv

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面上方写有 $\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ? dudv

符号

$\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ? dudv

含义

二重积分在曲线变换前后的形式，右侧被积因子暂以问号表示

适用范围

二重积分表达式

u

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左上角画出水平轴并标注 u

符号

含义

uv 平面的横坐标，在本例中取为 xy

适用范围

实数坐标变量

v

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左侧坐标系的纵轴标注 v，随后写出 $v=y/x$

符号

含义

uv 平面的纵坐标，在本例中取为 $y/x$

适用范围

实数坐标变量

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
右上角画出水平轴并标注 x

符号

含义

xy 平面的横坐标

适用范围

实数坐标变量

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
右侧坐标系纵轴标注 y

符号

含义

xy 平面的纵坐标

适用范围

实数坐标变量

p,q

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面写出 $q>p>0$ ，并在 uv 平面横轴上标出 p、q
声音
观察依据
“这里 q 大于 p 大于 0”

符号

p,q

含义

双曲线 xy=p 与 xy=q 的参数，也是 u=xy 的取值端点

适用范围

正实数参数

a,b

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面写出 $b>a>0$ ，并在 uv 平面纵轴上标出 a、b
声音
观察依据
“这里 b 大于 a 大于 0”

符号

a,b

含义

射线 y=ax 与 y=bx 的斜率，也是 $v=y/x$ 的取值端点

适用范围

正实数参数

知识点 · 32

坐标变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明，通过考虑一种坐标变换，可以在两个平面之间建立联系。
公式
观察依据
写出x等于x关于u和v的函数，y等于y关于u和v的函数。

定义

解释

一种映射，它把一个平面上的坐标(u,v)通过函数 $x(u,v)$ 和 $y(u,v)$ 变换成另一个平面上的坐标(x,y)。

公式

x = x(u,v), \quad y = y(u,v)

适用条件

函数x和y必须对定义域内的所有点都有明确的定义。

用二重积分求面积

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，要求区域 $T(D)$ 的面积，可以在该区域上对被积函数为1作二重积分。
公式
观察依据
写出在 $T(D)$ 上的二重积分，被积表达式为dx dy。

公式

解释

二维区域的面积可以通过对该区域上恒等于1的函数进行积分来计算。

公式

\text{Area} = \iint_{R} 1 \, dx \, dy

适用条件

区域R必须是可测的。

坐标变换用于二重积分的目标

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“坐标变换这个方法它是多么的神奇”
公式
观察依据
上方已写出 $\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ? dudv

方法

解释

视频开头把坐标变换定位为处理二重积分的方法，并用等式提示：要把 xy 平面上的积分区域经变换 T 转到 uv 平面上，同时确定面积元素 dxdy 与 dudv 之间的换算因子。

公式

\iint_{T(D)} dxdy = \iint_D ?\,dudv

适用条件

讨论对象是二重积分
存在平面到平面的变换 T
目标是把复杂区域转化为更易处理的区域

平面曲线变换的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面写出 T: { $x=x(u,v)$ , $y=y(u,v)$ } 以及 T: $R^2$ -> $R^2$ , (u,v)->(x,y)
声音
观察依据
“那一个一般的平面上的曲线变换……它本质其实就是一个从平面到平面的一个映射”

定义

解释

视频把一般平面曲线变换定义为把 uv 平面上一点 (u,v) 映到 xy 平面上一点 (x,y) 的映射，其中 x 和 y 都写成 u、v 的函数。

公式

T:\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases},\quad T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ (u,v)\mapsto(x,y)

适用条件

输入是平面上的点 (u,v)
输出是平面上的点 (x,y)
定义域和陪域都可以取平面上的子区域

先修条目

坐标变换用于二重积分的目标

曲线变换与仿射变换的关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“仿射变换会把平面上的直线变成直线……但是曲线变换就不一定了”
公式
观察依据
画面下方写出“曲线变换 <—— 仿射变换”

定义

解释

视频用对比方式说明：仿射变换保持直线仍为直线，而曲线变换允许把直线映成曲线，因此曲线变换是仿射变换的推广。

公式

适用条件

比较对象是平面变换
仿射变换的特殊性质是直线映直线
曲线变换不要求保持直线性

先修条目

平面曲线变换的定义

坐标变换前后面积元素关系的问题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“那现在的问题就是，这个坐标变换前后图形的面积有什么关系呢？”
公式
观察依据
上方等式右侧仍为 ? dudv

方法

解释

在完成区域形状简化后，视频把核心问题明确为：同一个图形经过坐标变换前后，其面积元素 dxdy 与 dudv 之间应满足什么关系。

公式

dxdy\ \text{且}\ dudv\ \text{relationship is to be determined}

适用条件

已经建立变换 T
已经知道积分区域在 uv 平面上更简单

先修条目

坐标变换用于二重积分的目标
平面曲线变换的定义

二维到二维变换的基本形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
变换 T：从二维实数空间到二维实数空间，将向量 (u, v) 映射为向量 (x, y)
声音
观察依据
“我们的定义域和陪域都是二维平面”

定义

解释

片段先把研究对象设定为一个从二维平面到二维平面的变换 T，自变量记作 (u,v)，因变量记作 (x,y)。讲解强调这类对象的定义域和陪域都是二维平面，因此不能像一元函数那样直接用普通二维图像完整呈现。

公式

T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad (u,v)\mapsto (x,y)

适用条件

定义域为 $\mathbb{R}^2$
陪域为 $\mathbb{R}^2$

平面点用列向量表示的约定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“接下来我们使用向量来表示平面上的点，而且规定每个向量都是列向量”
图示
观察依据
左右框中的点被标注为 $\vec{x}_0$ 、 $\vec{y}_0$ ，增量被标注为 $\Delta\vec{x}$ 、 $\Delta\vec{y}$

定义

解释

为了讨论区域到区域的对应，讲解把平面上的点统一看成向量，并明确规定这些向量都是列向量。这一约定直接决定了后面矩阵乘法中矩阵要写在向量左边。

适用条件

平面上的点被视为向量
所有向量按列向量处理

先修条目

二维到二维变换的基本形式

点到点的对应关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们假设定义域中有一个向量是 x0 这个向量。然后呢，它在 T 变换下的像是 y0 这个向量”
图示
观察依据
左框内标出 $\vec{x}_0$ ，右框内标出 $\vec{y}_0$ ，中间有箭头 T

定义

解释

讲解先在定义域中取一点 $\vec{x}_0$ ，再在陪域中取其像 $\vec{y}_0$ ，建立“点到点”的对应。随后提出问题：已知点到点对应后，如何进一步讨论“区域到区域”的对应。

适用条件

$\vec{x}_0$ 属于定义域
$\vec{y}_0$ 是 $\vec{x}_0$ 在 T 下的像

先修条目

二维到二维变换的基本形式
平面点用列向量表示的约定

自变量增量与因变量增量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“假如说 x0 它走了一小段走到了 $x0+Δx$ ，就说它有一个增量 Δx。那 y0 它就变到了 $y0+Δy$ ”
图示
观察依据
左框从 $\vec{x}_0$ 指向 $\vec{x}_0+\Delta\vec{x}$ ，右框从 $\vec{y}_0$ 指向 $\vec{y}_0+\Delta\vec{y}$
公式
观察依据
板上写出 $\Delta\vec{x}$ 与 $\Delta\vec{y}$

定义

解释

当自变量点 $\vec{x}_0$ 发生一个小位移时，记其增量为 $\Delta\vec{x}$ ，于是新点为 $\vec{x}_0+\Delta\vec{x}$ ；相应地，像点从 $\vec{y}_0$ 变为 $\vec{y}_0+\Delta\vec{y}$ 。讲解明确指出 $\Delta\vec{x}$ 和 $\Delta\vec{y}$ 都是二维向量。

公式

\vec{x}_0\mapsto \vec{x}_0+\Delta\vec{x},\qquad \vec{y}_0\mapsto \vec{y}_0+\Delta\vec{y}

适用条件

$\Delta\vec{x}$ 为二维增量向量
$\Delta\vec{y}$ 为二维增量向量

先修条目

点到点的对应关系
平面点用列向量表示的约定

微分作为增量的线性主部

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“如果说我们讨论的对象是一元函数的话，那有一个概念正好就是处理这个问题的，就是微分。微分是函数增量的线性主部，它就是用自变量增量的线性表达式去表示因变量的增量”
公式
观察依据
板上写有“微分”以及 $Δy = A Δx + o(Δx)$

定义

解释

讲解先回顾一元函数中的微分概念，把它定义为“函数增量的线性主部”，即用自变量增量的线性表达式去近似表示因变量增量。随后把这一思想迁移到二维向量情形。

公式

\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)

适用条件

对象为一元函数时先以该形式引入
核心思想是用线性主部描述增量

先修条目

自变量增量与因变量增量

二维情形的微分类比形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板上写有 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$
声音
观察依据
“那我们可以仿照上面书写的这个形式”

待核验内容

本片段只给出类比形式，未在此处正式写出完整定义语句

公式

解释

在一元微分形式启发下，讲解把因变量增量向量写成自变量增量向量的线性表达式加上一个高阶项，即 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ 。这一步的作用是把“线性主部”思想从标量增量推广到向量增量。

公式

\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})

适用条件

$\Delta\vec{x}$ , $\Delta\vec{y}$ 为二维向量
A 为待定线性系数对象

先修条目

微分作为增量的线性主部
自变量增量与因变量增量

定理与条件 · 14

仿射变换把直线变成直线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“仿射变换会把平面上的直线变成直线”

命题

仿射变换会把平面上的直线变成直线。

前提

所讨论的是平面上的仿射变换

量词

对所有平面上的直线成立

曲线变换是仿射变换的推广

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们可以认为曲线变换是仿射变换的推广”
公式
观察依据
画面写出“曲线变换 <—— 仿射变换”

命题

曲线变换可以视为仿射变换的推广。

前提

曲线变换按视频定义理解为平面到平面的映射
仿射变换按视频所述理解为保持直线性的平面变换

量词

在视频采用的概念框架下成立

示例变换不是仿射变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“例如说我们刚才举的这个例子，它能把直线变成双曲线，这个就不是仿射变换了”

命题

视频前面举出的坐标变换例子不是仿射变换。

前提

该例子把 uv 平面中的直线映为 xy 平面中的双曲线或射线型曲线
仿射变换要求直线映直线

量词

针对视频给出的具体例子成立

二维到二维变换的完整图像需要四维空间

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“但是这里我们的定义域和陪域都是二维平面，你想要画明白它的图像需要在四维空间中画，这是很困难的”

命题

对于定义域和陪域都为二维平面的变换，若要直接画出其完整图像，需要在四维空间中观察，因此非常困难。

前提

变换的定义域为 $\mathbb{R}^2$
变换的陪域为 $\mathbb{R}^2$

量词

针对本片段讨论的二维到二维变换

从点到点对应推进到区域对应需要先研究局部增量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们现在知道了点到点的对应，我们如何讨论区域到区域的对应呢？那我们现在就必须要知道一件事，如果说我们这个自变量 x0 它走了一小段，这个 y 它是如何变化的”

命题

要从“点到点”的对应进一步讨论“区域到区域”的对应，必须先考察自变量发生小增量时因变量如何变化。

前提

已有变换 T 的点到点对应
考虑定义域中某点 $\vec{x}_0$ 的小位移

量词

针对变换 T 在局部点附近的增量行为

线性系数 A 应取二阶矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“有没有一个什么东西，它能把二维向量变成二维向量，它最好还是线性的？有，就是二阶矩阵”
公式
观察依据
板上在 A 下标注“2阶矩阵”

命题

在形式 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ 中，若要把二维向量线性地变成二维向量，则 A 应为二阶矩阵。

前提

$\Delta\vec{x}$ , $\Delta\vec{y}$ 为二维列向量
A 的作用为线性映射

量词

对本片段所讨论的二维向量增量情形

向量值无穷小项除以 |Δx| 后趋于零向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这个向量比上 Δx 的模长，它的结果应该是趋于零向量的”
公式
观察依据
板书写有 $o(Δ\vec{x})$ 及与 | $Δ\vec{x}$ | 相关的说明

待核验内容

极限式未完整写出，仅给出口头与示意性板书说明

命题

在 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ 中，余项 $o(\Delta\vec{x})$ 是向量，且它除以 | $\Delta\vec{x}$ | 后趋于零向量。

前提

$o(\Delta\vec{x})$ 表示向量值余项
| $\Delta\vec{x}$ | 表示自变量增量向量的模长

量词

当 $\Delta\vec{x}$ 趋于零时

向量值函数的导数是矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者明确说“向量值函数的导数它是一个矩阵”
公式
观察依据
A 被写在 d y⃗ / d x⃗ 的位置，并被标注为“导数”

命题

对于在一点可微的向量值函数，其导数不是单个数，而是满足 $d\vec{y}=A d\vec{x}$ 的矩阵 A。

前提

函数在该点可微
采用视频中 $d\vec{y}=A d\vec{x}$ 的记法

量词

对视频所讨论的这一点处的向量值函数成立

导数矩阵即雅可比矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说“这个矩阵我们就称为这个向量值函数在这一点处的导数，或者雅可比矩阵”
公式
观察依据
蓝色板书写出 J 与“Jacobian矩阵”

命题

在上述二维情形中，由偏导数组成的矩阵既是该点的导数矩阵，也称为雅可比矩阵。

前提

函数可微
分量记为 u,v，自变量记为 x,y

量词

对本片段讨论的二维向量值函数成立

方阵情形可讨论雅可比行列式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说“如果说雅可比矩阵是一个方阵的话，那我们经常会讨论它的行列式”
公式
观察依据
蓝色板书写出由四个偏导数组成的行列式

命题

当雅可比矩阵为方阵时，可以取它的行列式，这个行列式称为雅可比行列式。

前提

雅可比矩阵是方阵

量词

对方阵情形的雅可比矩阵成立

雅可比矩阵与梯度的导数意义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们刚才说了雅可比矩阵它相当于向量值函数的导数，那某种意义上来说梯度就是多元函数的导数”

命题

雅可比矩阵是向量值函数的导数，而梯度是多元函数（标量值函数）的导数。

前提

函数为多元函数

量词

对于多元函数

面积元素在曲线变换下的表达式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“所以说 dxdy 它应该等于雅可比行列式的绝对值……这个就是在曲线变换之下面积元素的表达式。”
公式
观察依据
板书写出 dxdy = |J| dudv = |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv

命题

在曲线变换下，xy 平面的面积微元满足 dxdy = |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。

前提

存在从 (u,v) 到 (x,y) 的曲线变换
讨论的是面积元素之间的伸缩关系

量词

对局部面积微元成立

推导与证明 · 8

示例区域经 u=xy、 $v=y/x$ 变为矩形的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“首先我们考虑 xy 平面上的两条双曲线 xy=q 和 xy=p……然后两条射线 y=ax, y=bx……它的 u 的范围……就是从 p 到 q。而斜率的范围就是从 a 到 b。所以这样积分区域就是一个矩形了。”
图示
观察依据
右侧画出 xy 平面中由 xy=q、xy=p、y=ax、y=bx 围成的曲边区域；左侧画出 uv 平面中的矩形 [p,q]×[a,b]

视觉说明

步骤

公式
$xy=q,\ xy=p,\ q>p>0$
解释
先在 xy 平面中给出两条双曲线，作为区域的一组边界。
步骤依据
视频口头设定并同步板书。
视频直接表达
公式
$y=ax,\ y=bx,\ b>a>0$
解释
再给出两条过原点的射线，作为区域的另一组边界。
步骤依据
视频口头设定并同步板书。
视频直接表达
公式
$u=xy$
解释
把 uv 平面的横坐标定义为 xy，即双曲线族中的参数。
步骤依据
视频明确说“把它看成 xy，也就是双曲线中那个系数”。
视频直接表达
公式
$v=\frac{y}{x}$
解释
把 uv 平面的纵坐标定义为 $y/x$ ，即射线族的斜率。
步骤依据
视频明确说“看成射线的斜率 y 比 x”。
视频直接表达
公式
$p\le u\le q$
解释
由于原区域夹在 xy=p 与 xy=q 之间，所以在新坐标下 u 的取值范围是 p 到 q。
步骤依据
由 u=xy 与边界方程直接对应。
依据视频推导
公式
$a\le v\le b$
解释
由于原区域夹在 y=ax 与 y=bx 之间，所以在新坐标下 v 的取值范围是 a 到 b。
步骤依据
由 $v=y/x$ 与射线斜率定义直接对应。
依据视频推导
公式
$D=[p,q]\times[a,b]$
解释
因此在 uv 平面上积分区域成为矩形。
步骤依据
两个独立变量的区间乘积构成矩形区域。
依据视频推导

结论

通过令 u=xy、 $v=y/x$ ，原本由双曲线和射线围成的复杂区域被化为 uv 平面上的矩形 [p,q]×[a,b]。

把曲线变换解释为平面映射的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面写出 T: { $x=x(u,v)$ , $y=y(u,v)$ } 与 T: $R^2$ -> $R^2$ , (u,v)->(x,y)
声音
观察依据
“它本质其实就是一个从平面到平面的一个映射……我把 uv 平面中 uv 这个点打到了 xy 这个点”

直观解释

步骤

公式
$T:\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases}$
解释
先用分量函数形式写出一个一般曲线变换。
步骤依据
视频板书给出的定义形式。
视频直接表达
公式
$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$
解释
再把该变换理解为二维平面到二维平面的映射。
步骤依据
视频口头解释“从平面到平面的一个映射”。
视频直接表达
公式
$(u,v)\mapsto(x,y)$
解释
最后落实到点的对应关系：uv 平面上的一点被映到 xy 平面上的一点。
步骤依据
视频口头说明并举出点映射记号。
视频直接表达

结论

一般平面曲线变换的本质是把 (u,v) 映到 (x,y) 的映射，其分量可写成 $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ 。

由一元微分到二维向量形式的类比推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
先讲一元函数微分是增量的线性主部，再说“那我们可以仿照上面书写的这个形式”
公式
观察依据
板上先后出现 $Δy=AΔx+o(Δx)$ 与 $Δ\vec{y}=AΔ\vec{x}+o(Δ\vec{x})$

待核验内容

这是类比推广，不是严格证明；本片段未证明该形式一定存在

直观解释

步骤

公式
$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$
解释
先写出一元函数中“微分是函数增量的线性主部”的标准形式。
步骤依据
视频直接给出的回顾性说明
视频直接表达
公式
$\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$
解释
把标量增量替换为向量增量，得到二维情形的类比形式。
步骤依据
讲解明确说“仿照上面书写的这个形式”
视频直接表达
解释
接着追问 A 是什么，并把 A 认定为二阶矩阵，因为需要线性地把二维向量变成二维向量。
步骤依据
视频中的口头论证与板书标注
视频直接表达
解释
再把 $o(\Delta\vec{x})$ 解释为向量值无穷小项，并说明其除以 | $\Delta\vec{x}$ | 后趋于零向量。
步骤依据
视频中对无穷小量含义的口头解释
视频直接表达

结论

通过类比，一元函数的“线性主部”思想被推广为二维向量增量的形式 $\Delta\vec{y}=A\Delta\vec{x}+o(\Delta\vec{x})$ ，其中 A 被解释为二阶矩阵，余项被解释为向量值无穷小量。

从微分式推出雅可比矩阵元素

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
从 d y⃗ = A d x⃗ 出发，展开为 (du,dv)^ $T = A (dx,dy)^T$ ，再写出 du、dv 的两行式，最后填入四个偏导数
声音
观察依据
讲述者逐步说明“我们把它展开来写……我们使用矩阵乘法……这个式子很容易让我们联想到多元函数的全微分……这里就是偏u比偏x……”

严格证明

步骤

公式
$d\vec{y} = A\, d\vec{x}$
解释
从已定义好的向量微分关系出发。
步骤依据
使用前文给出的微分定义。
视频直接表达
公式
$\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}$
解释
把两个向量微分按分量写成列向量。
步骤依据
分量记号替换，不改变等式含义。
视频直接表达
公式
$du = a_{11}dx + a_{12}dy, \quad dv = a_{21}dx + a_{22}dy$
解释
按矩阵乘法规则展开，得到两个标量线性组合式。
步骤依据
矩阵乘法定义。
依据视频推导
公式
$du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy, \quad dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy$
解释
对照多元函数全微分形式，确定四个系数分别是相应偏导数。
步骤依据
全微分公式与系数比较。
视频直接表达
公式
$A = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}$
解释
把四个偏导数放回矩阵位置，得到导数矩阵的具体形式。
步骤依据
由上一步系数对应关系直接得出。
视频直接表达

结论

二维向量值函数在该点的导数矩阵就是由四个一阶偏导数组成的雅可比矩阵。

从雅可比矩阵到雅可比行列式记号

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
蓝色板书先写出 $2\times 2$ 行列式，再开始写 ∂(u,v)/∂(x,y) 记号
声音
观察依据
讲述者说“因为这个行列式它应用非常广泛，所以它有一个特殊的记号。我们也记成导数的形式”

待核验内容

片段结束时特殊记号尚未完全写完，只能确认开头是 ∂(u,v) 且讲述者指向与导数形式类似的记法

严格证明

步骤

公式
$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}$
解释
先确认雅可比矩阵本身。
步骤依据
前一段推导已得到。
视频直接表达
公式
$\det(J) = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix}$
解释
因为是方阵，所以可以取行列式。
步骤依据
方阵行列式定义。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$
解释
视频进一步引入专门记号来表示这个行列式。
步骤依据
讲述者说明它有特殊记号，并开始板书。
视频直接表达

结论

雅可比行列式可写成上述 $2\times 2$ 行列式，并常用 ∂(u,v)/∂(x,y) 这一类专门记号表示；本片段只展示了记号的起始书写。

重积分换元面积元素推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画出UV平面的小矩形和XY平面的平行四边形
声音
观察依据
“我们通过一个矩阵实现了坐标变换，那这个坐标变换前后面积的伸缩因子是多少？就是这个矩阵的行列式”

直观解释

步骤

公式
$du, dv$
解释
在UV平面取微小矩形，边长向量为 du 和 dv
步骤依据
设定局部微小区域
视频直接表达
公式
$dx, dy$
解释
通过坐标变换 T（由雅可比矩阵 J 描述），du 和 dv 被映射为 XY 平面中的向量 dx 和 dy
步骤依据
雅可比矩阵作为线性变换将基向量映射为新基向量
视频直接表达
公式
$dudv \to dxdy$
解释
XY平面中由 dx 和 dy 张成的平行四边形面积对应于原矩形面积的像
步骤依据
局部线性近似
视频直接表达
公式
$dxdy = |J| dudv$
解释
平行四边形面积等于原矩形面积乘以变换矩阵的行列式绝对值
步骤依据
线性代数中矩阵行列式的几何意义（面积伸缩因子）
视频直接表达

结论

得出重积分换元时的面积元素关系式：dxdy = |J| dudv

由面积元素推出区域面积公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“那我们知道面积元素了，直接对它进行重积分就能求出面积。”
公式
观察依据
板书逐步写出 $\iint _{T(D)}$ dxdy = $\iint _D$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv

严格证明

步骤

公式
解释
先取已得到的面积元素关系 dxdy = |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。
步骤依据
来自前面板书的面积元素公式。
视频直接表达
公式
$\iint_{T(D)} dxdy$
解释
对 xy 平面上区域 $T(D)$ 的面积微元求二重积分。
步骤依据
视频说明“直接对它进行重积分就能求出面积”。
视频直接表达
公式
$= \iint_D \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv$
解释
把 dxdy 替换为带雅可比绝对值的 dudv，并把积分区域从 $T(D)$ 换成 D。
步骤依据
视频口述“换元必换限……在这里就是把区域换掉”。
视频直接表达

结论

得到坐标变换前后面积表达式 $\iint _{T(D)}$ dxdy = $\iint _D$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。

由面积公式推广到一般二重积分换元公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们从形式上写出这样一个公式……这就是一个一般的二重积分。”
公式
观察依据
板书写出 $\iint _{T(D)} f(x,y)$ dxdy = $\iint _D f(x(u,v), y(u,v))$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv

严格证明

步骤

公式
$\iint_{T(D)} f(x,y)\,dxdy$
解释
从一般二重积分出发，而不是只对常数 1 积分。
步骤依据
视频说“这就是一个一般的二重积分”。
视频直接表达
公式
$x \mapsto x(u,v),\quad y \mapsto y(u,v)$
解释
把被积函数中的 x,y 用新变量的表达式替换。
步骤依据
视频口述“我们要用 u 和 v 的表达式去表达”。
视频直接表达
公式
$dxdy \mapsto \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv$
解释
把面积微元按前面得到的面积元素公式替换。
步骤依据
沿用已建立的 dxdy 与 dudv 的关系。
视频直接表达
公式
$T(D) \mapsto D$
解释
把积分区域从 xy 平面上的 $T(D)$ 换回 uv 平面上的 D。
步骤依据
视频强调“换元必换限……区域要换掉”。
视频直接表达

结论

得到重积分中的换元公式 $\iint _{T(D)} f(x,y)$ dxdy = $\iint _D f(x(u,v), y(u,v))$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。

例题详解 · 5

引入雅可比行列式的动机问题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在xy平面上画出一个不规则四边形，在uv平面上画出一个矩形，并用变换T将二者连接起来。
声音
观察依据
讲解者提出问题：通过将复杂区域从一个较简单的矩形区域变换而来，求其面积。

题目

通过坐标变换T，将xy平面上形状不规则的区域 $T(D)$ 与uv平面上的简单矩形区域D关联起来，从而求出 $T(D)$ 的面积。

已知条件

区域D是uv平面上的一个矩形。
变换T通过x等于x关于u和v的函数、y等于y关于u和v的函数，将(u,v)映射为(x,y)。
区域 $T(D)$ 是D在xy平面上的像。

目标

将对 $T(D)$ 的面积积分表示为对D的积分。

步骤

公式
$\iint_{T(D)} dxdy$
解释
为xy平面上目标区域的面积建立二重积分。
步骤依据
用被积函数为1的二重积分来定义面积。
视频直接表达
公式
$\iint_{D} ? \, dudv$
解释
提出将积分变换到更简单的uv平面区域D上，但新的被积函数尚不明确。
步骤依据
希望在几何形状更简单（矩形）的区域上进行积分。
视频直接表达

结果

视频最后提出问题：这个未知的被积函数‘？’应当是什么？这引出了雅可比行列式的概念。

检验

无内容

由双曲线与射线围成区域的换元示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我想求这四条曲线它们围成的区域的面积……这个积分区域就变得非常简单了”
图示
观察依据
右侧 xy 平面画出曲边区域，左侧 uv 平面画出矩形区域

题目

在 xy 平面中考虑由 xy=q、xy=p、y=ax、y=bx 围成的区域，并研究其在坐标变换下的形状。

已知条件

x 乘以 y 等于 q
x 乘以 y 等于 p
y 等于 a 乘以 x
y 等于 b 乘以 x
q 大于 p，p 大于零
b 大于 a，a 大于零

目标

找出合适的 u、v 使积分区域在 uv 平面上变得简单。

步骤

公式
$u=xy$
解释
把 u 设为双曲线参数。
步骤依据
这样 xy=p 与 xy=q 直接对应 $u=p$ 与 $u=q$ 。
视频直接表达
公式
$v=\frac{y}{x}$
解释
把 v 设为射线斜率。
步骤依据
这样 y=ax 与 y=bx 直接对应 $v=a$ 与 $v=b$ 。
视频直接表达
公式
$p\le u\le q,\quad a\le v\le b$
解释
读出变换后的取值范围。
步骤依据
由原区域边界与新变量定义逐项对应。
依据视频推导
公式
$D=[p,q]\times[a,b]$
解释
得到 uv 平面上的矩形区域。
步骤依据
两个变量各自独立取区间，其笛卡尔积为矩形。
依据视频推导

结果

变换后的积分区域是矩形 [p,q]×[a,b]。

检验

视频通过左右两幅图对照说明：右侧曲边区域对应左侧矩形区域。

具体平面曲线变换例子 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面写出 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$
声音
观察依据
“我们来举一个具体的例子，这就是平面上的一个曲线变换”

题目

给出一个具体的平面到平面映射例子。

已知条件

F 小括号 x 逗号 y 小括号等于小括号 x 加上 y 的正弦值逗号 y 加上 x 的余弦值小括号

目标

说明曲线变换的输入和输出都是平面上的点。

步骤

公式
$F(x,y)=(x+\sin y,\ y+\cos x)$
解释
直接写出一个二元向量值函数。
步骤依据
视频板书给出的例子。
视频直接表达
公式
$\text{input point}(x,y)\mapsto \text{output point}(x+\sin y,\ y+\cos x)$
解释
把该式理解为平面上一点映到另一点。
步骤依据
视频随后解释“对于一个坐标变换来说，它的输入和输出都是平面上的一个点”。
依据视频推导

结果

$F(x,y)$ =( $x+\sin y$ ,\ $y+\cos x$ ) 是平面上的一个曲线变换例子。

检验

视频将其作为“具体的例子”直接展示，并口头归入曲线变换范畴。

板上给出的向量值函数示例

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书写有 $F(x,y)=(x \sin y, y+\cos x)$
声音
观察依据
本片段内未对该示例进行专门计算或展开

待核验内容

该公式出现在板上，但片段中没有围绕它展开例题求解，因此只能视为示例性板书而非完整例题
手写体中个别符号辨识度有限，但整体可读为 (x sin y, $y+\cos x$ )

题目

板上写出一个二维向量值函数示例 $F(x,y)=(x \sin y, y+\cos x)$ ，用于配合“二维变换”主题。

已知条件

函数 F 在点 (x, y) 处的值为（x 乘以 y 的正弦值，y 加上 x 的余弦值）

目标

本片段内未给出明确求解目标。

步骤

公式
$F(x,y)=(x\sin y,\; y+\cos x)$
解释
仅记录板上出现的示例函数本身。
步骤依据
直接来自板书
视频直接表达

结果

片段内未给出该示例的计算结果。

检验

无可核验的最终答案；只能确认示例公式已写在板上。

回答“被积函数是什么”的问题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“那我们最开始提的那个问题……这个被积函数是什么？那现在我们就知道了，这个被积函数就是雅可比行列式的绝对值。”
图示
观察依据
画面回到前面写有 $\iint _{T(D)}$ dxdy = $\iint _D$ ? dudv 的页面，随后补出 |J|

题目

在前面提出的面积变换问题中，要把 $\iint _{T(D)}$ dxdy 写成 uv 平面上的二重积分，需要确定问号处的被积函数。

已知条件

已有面积元素关系 dxdy = |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv
原问题形式为 $\iint _{T(D)}$ dxdy = $\iint _D$ ? dudv

目标

确定 ? 的具体表达式。

步骤

公式
解释
把 dxdy 用面积元素公式替换。
步骤依据
直接使用前面得到的 dxdy = |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv。
视频直接表达
公式
$? = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$
解释
因此 uv 平面上积分的被积函数就是雅可比行列式的绝对值。
步骤依据
视频明确回答“这个被积函数就是雅可比行列式的绝对值”。
视频直接表达

结果

？等于 x、y 对 u、v 的雅可比行列式的绝对值，也就是雅可比行列式的绝对值

检验

与随后写出的 $\iint _{T(D)}$ dxdy = $\iint _D$ |∂(x,y)/∂(u,v)| dudv 一致。

图示与动画 · 23

绘制xy平面及目标区域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
手绘x轴和y轴，然后在第一象限内勾勒一个不规则的四边形。

图中对象

x轴
y轴
不规则四边形区域

变化过程

坐标轴已画出。
已勾勒出复杂区域。

数学含义

确立需要计算面积的实际空间，并突出其几何复杂性。

绘制uv平面及源区域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
手绘u轴和v轴，然后在第一象限内勾勒一个简单的矩形。

图中对象

u轴
v轴
矩形区域

变化过程

坐标轴已画出。
已勾勒出简单矩形区域。

数学含义

引入一个具有几何上简单区域的替代坐标系，以便于积分运算。

可视化坐标变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
画出一条从uv平面指向xy平面的箭头，写出变换方程，将映射标记为T，并将两个区域分别标记为D和 $T(D)$ 。

图中对象

映射箭头
变换方程
标记D和 $T(D)$

变化过程

两个平面之间的联系被明确画出并以数学方式定义。

数学含义

演示uv平面上的一个点或区域如何映射到xy平面上，为变量替换做铺垫。

左右两个坐标平面的建立

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画面上方先有 u 轴和 x 轴，随后补出右侧坐标系的 y 轴，形成左右两个平面

图中对象

左上 u 轴
右上 x 轴
右侧 y 轴
上方积分等式

变化过程

先给出 u 轴与 x 轴
再补出 y 轴，形成 xy 平面参照

不变量

上方始终保留 $\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ? dudv

数学含义

视频用左右并置的方式准备比较 xy 平面区域与 uv 平面区域。

xy 平面中曲边区域的绘制

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
右侧依次画出 xy=q、xy=p、y=ax、y=bx，并把四条线围成的区域涂阴影

图中对象

双曲线 xy=q
双曲线 xy=p
射线 y=ax
射线 y=bx
阴影区域

变化过程

先画两条双曲线
再画两条射线
最后填充它们围成的区域

不变量

参数条件 $q>p>0$ 、 $b>a>0$ 保持不变

数学含义

该图展示原始积分区域是由两族曲线相交围成的复杂曲边图形。

uv 平面中矩形的绘制

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左侧画出 uv 坐标系，写出 u=xy、 $v=y/x$ ，并在横轴标 p、q，纵轴标 a、b，最后画出矩形并涂阴影

图中对象

u 轴
v 轴
刻度 p、q
刻度 a、b
矩形阴影区域

变化过程

先建立 uv 坐标系
再写出 u=xy、 $v=y/x$
接着标出 p、q、a、b
最后画出矩形区域

不变量

矩形边界对应 $u=p$ 、 $u=q$ 、 $v=a$ 、 $v=b$

数学含义

该图把右侧复杂区域转换为左侧规则矩形，直观说明换元后积分限变简单。

连接两个平面的变换箭头

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
两个平面之间画出箭头并标注 T

图中对象

左侧矩形
右侧曲边区域
箭头 T

变化过程

在两图之间加入从 uv 指向 xy 的映射箭头

不变量

左右区域仍分别代表变换前后的图形

数学含义

箭头 T 把前面的区域对照提升为明确的坐标变换关系。

概念总结板的逐步形成

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画面下方写出“曲线变换 <—— 仿射变换”，随后写出 T 的分量形式、T: $R^2$ -> $R^2$ 、(u,v)->(x,y)，最后写出 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$

图中对象

文字“曲线变换”
文字“仿射变换”
映射式 T
例子 F

变化过程

先写概念对比
再写一般曲线变换定义
最后补充具体例子

不变量

上方原有图形与积分等式仍作为背景参照

数学含义

这一段把前面的几何示例抽象为一般映射语言，并用具体函数例子收束。

用两个方框表示定义域与陪域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
讲解者画出两个矩形框，中间用箭头连接，箭头上方写 T，两框下方都写 $R^2$
声音
观察依据
“我们先画两个框，这两个框呢就是我们这个变换的定义域和陪域”

图中对象

左侧矩形框
右侧矩形框
中间箭头 T
两处 $R^2$ 标注

变化过程

先画左框
再画右框
补上中间箭头 T
在两框下方标注 $R^2$

不变量

两框分别代表定义域和陪域
箭头方向始终从左到右

数学含义

该图把抽象的二维到二维变换改写成“左平面经 T 映到右平面”的对应关系，便于后续讨论点和区域的映射。

在两个平面中分别标出原像点与像点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左框内出现点并标注 $\vec{x}_0$ ，右框内出现点并标注 $\vec{y}_0$
声音
观察依据
“定义域中有一个向量是 x0 这个向量……它在 T 变换下的像是 y0 这个向量”

图中对象

初始向量 x 零
初始向量 y 零
左右两框

变化过程

先在左框标出 $\vec{x}_0$
再在右框标出 $\vec{y}_0$

不变量

$\vec{x}_0$ 始终在定义域一侧
$\vec{y}_0$ 始终在陪域一侧

数学含义

这一步把“变换”具体化为一个点到另一个点的对应。

用箭头表示局部增量及其像增量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左框从 $\vec{x}_0$ 引出箭头到 $\vec{x}_0+\Delta\vec{x}$ ，右框从 $\vec{y}_0$ 引出箭头到 $\vec{y}_0+\Delta\vec{y}$
声音
观察依据
“假如说 x0 它走了一小段走到了 $x0+Δx$ ……那 y0 它就变到了 $y0+Δy$ ”

图中对象

箭头 $\Delta\vec{x}$
箭头 $\Delta\vec{y}$
初始向量 x 零加上向量增量 Δx
初始向量 y 零加上向量增量 Δy

变化过程

先在左框画出自变量小位移
再在右框画出对应的像点位移

不变量

左右增量通过同一个变换 T 相关联
增量都被视为向量

数学含义

图形把“区域如何变化”的问题转化为“某点附近的小向量如何被变换影响”的问题。

把一元微分公式改写成向量形式并加注释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板上写“微分 $Δy=AΔx+o(Δx)$ ”以及“ $Δ\vec{y}=AΔ\vec{x}+o(Δ\vec{x})$ ”
图示
观察依据
在 A 下方标注“2阶矩阵”，在 $Δ\vec{x}$ 、 $Δ\vec{y}$ 旁标注“2维向量”

图中对象

公式 $Δy=AΔx+o(Δx)$
公式 $Δ\vec{y}=AΔ\vec{x}+o(Δ\vec{x})$
注释“2维向量”
注释“2阶矩阵”

变化过程

先写一元形式
再写向量形式
补充 A 与增量向量的身份注释

不变量

两式都表达“线性主部 + 高阶项”的结构

数学含义

视觉注释把抽象符号落实到具体对象：增量是二维向量，线性系数是二阶矩阵。

易错点 · 9

误把曲线变换等同于仿射变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“仿射变换会把平面上的直线变成直线……但是曲线变换就不一定了……例如说我们刚才举的这个例子，它能把直线变成双曲线，这个就不是仿射变换了”

误区

以为所有平面坐标变换都像仿射变换一样把直线仍映成直线。

说明

视频强调仿射变换保持直线性，而曲线变换可以把直线变成双曲线等曲线，因此二者不同，曲线变换是更一般的概念。

不要把二维情形中的 A 误当成普通标量常数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
先说“这里的 A 是一个与 Δx 无关的一个常数”，随后又问“这个 A 是什么东西？”并回答“就是二阶矩阵”
公式
观察依据
板上在 A 下标注“2阶矩阵”

误区

看到 $Δ\vec{y}=AΔ\vec{x}+o(Δ\vec{x})$ 时，容易沿用一元微分的直觉，把 A 理解成一个普通常数。

说明

在本片段的二维向量情形中，讲解明确把 A 认定为“二阶矩阵”，因为它要线性地把二维向量变成二维向量。

不要把 $o(Δ\vec{x})$ 误认为标量小量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这是一个向量的表达式，那这个无穷小量肯定也是一个向量”

误区

在一元函数里 $o(Δx)$ 常被视为标量高阶小量，容易把二维情形中的 $o(Δ\vec{x})$ 也误解为标量。

说明

讲解强调这里的无穷小量是向量值余项，并且要按“除以 | $Δ\vec{x}$ | 后趋于零向量”来理解。

不要把向量值函数的导数误认为单个数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者特意说“也就是说向量值函数的导数它是一个矩阵”
公式
观察依据
$A = d y$ ⃗ / d x⃗ 被明确写成矩阵形式

误区

看到“导数”一词时，容易沿用一元函数经验，以为结果仍是标量。

说明

本片段明确指出，向量值函数在一点的导数是矩阵 A，而不是一个单独的数值。

微分 $d\vec{y}$ 不等于完整增量 $Δ\vec{y}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
先写 Δy⃗ = A Δx⃗ + o(Δx⃗)，再把 A Δx⃗ 单独命名为 d y⃗
声音
观察依据
讲述者区分“因变量的增量”和“这一部分……微分”

误区

容易把 Δy⃗ 整体都当成微分。

说明

视频把 Δy⃗ 分解为线性主部 AΔx⃗ 和高阶余项 o(Δx⃗)，其中只有线性主部被称为微分 d y⃗。

忽略变量顺序导致行列式错误

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
强调如果在写雅可比行列式时变换了两个变量的位置，行列式就变了。

误区

认为雅可比行列式中分子的变量顺序可以随意颠倒而不影响结果。

说明

行列式具有反对称性，交换两行（或两列）会改变符号。因此，因变量和自变量的排列顺序必须严格对应，否则计算出的行列式值将不正确（互为相反数）。

雅可比行列式的正负号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“当然如果我们不考虑正负的话...”

待核验内容

视频在此处截断，未完整说明正负号的几何意义

误区

认为面积伸缩因子直接等于雅可比行列式本身，忽略其可能为负的情况。

说明

面积是标量且非负，因此面积伸缩因子应取雅可比行列式的绝对值 |J|。

忘记对雅可比行列式取绝对值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“正负的话，我们还要加一个绝对值。”

误区

在面积元素或重积分换元中直接把 J 当作系数使用。

说明

视频强调若考虑正负，面积比较时必须使用雅可比行列式的绝对值 |J|。

换元时只替换微元不替换函数和区域

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“那么我们把这里的 xy 都换成 u 和 v……然后 xy 呢还是 xy，但是我们要用 u 和 v 的表达式去表达。然后呢 dxdy 呢我们就换成这样一个式子。”

误区

以为重积分换元只需要把 dxdy 改成 |J|dudv。

说明

视频说明还要把 $f(x,y)$ 中的 x,y 写成 $x(u,v)$ , $y(u,v)$ ，并且把积分区域从 $T(D)$ 换回 D。

概念关系 · 25

坐标变换 → 用二重积分求面积

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明，变换T将区域D中的每一个点都映射到xy平面上的一个点，从而构成区域 $T(D)$ 。

应用

解释

坐标变换是将复杂积分区域与简单区域联系起来的工具，这也是变量替换公式的根本思想。

坐标变换用于二重积分的目标 → 由双曲线与射线围成区域的换元示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
上方先给出 $\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ? dudv
图示
观察依据
随后用 xy 平面曲边区域与 uv 平面矩形区域作示例

应用

解释

视频先用一般积分换元问题引出主题，再用双曲线与射线围成区域的例子具体演示坐标变换如何简化区域。

由双曲线与射线围成区域的换元示例 → 平面曲线变换的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“想讨论这个问题，我们得先研究研究坐标变换的本质”
公式
观察依据
随后写出 T: { $x=x(u,v)$ , $y=y(u,v)$ } 与 T: $R^2$ -> $R^2$

先修

解释

具体例子先展示换元带来的区域简化，随后视频才抽象出一般曲线变换的定义，以便继续讨论面积元素关系。

曲线变换与仿射变换的关系 → 平面曲线变换的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们以前在线性代数中研究过仿射变换……我们可以认为曲线变换是仿射变换的推广”
公式
观察依据
画面写出“曲线变换 <—— 仿射变换”

推广

解释

视频明确把曲线变换说成仿射变换的推广，因此仿射变换是曲线变换的特殊情形。

平面曲线变换的定义 → 坐标变换前后面积元素关系的问题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“那现在的问题就是，这个坐标变换前后图形的面积有什么关系呢？”
公式
观察依据
上方等式右侧仍保留 ? dudv

证明依赖

解释

要回答 dxdy 与 dudv 的关系，必须先明确曲线变换 T 作为点映射的含义；视频正是按这一顺序推进。

平面曲线变换的定义 → 具体平面曲线变换例子 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
先写出一般形式 T: { $x=x(u,v)$ , $y=y(u,v)$ }，再写出 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$

应用

解释

具体例子 F 是对一般曲线变换定义的直接实例化，用来说明输入输出都是平面上的点。

二维到二维变换的基本形式 → 平面点用列向量表示的约定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
先定义 T: $R^2$ -> $R^2$ ，后规定“每个向量都是列向量”

先修

解释

只有先把对象看作二维到二维变换，才会进一步引入“把平面上的点统一写成列向量”的表示约定。

平面点用列向量表示的约定 → 系数 A 的身份：二阶矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“刚才我们已经说过了，我们这里的向量都是列向量，所以矩阵乘在左边啊，这是非常合理的”

先修

解释

列向量约定决定了在线性主部中矩阵 A 应写在增量向量左边，从而支持把 A 认定为二阶矩阵。

点到点的对应关系 → 自变量增量与因变量增量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
先讲“点到点的对应”，再问“如何讨论区域到区域的对应”，随后引入 x0 走一小段到 $x0+Δx$

先修

解释

区域层面的对应要先通过某点附近的小增量行为来研究，因此点到点对应是引入增量向量的前提。

微分作为增量的线性主部 → 二维情形的微分类比形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板上先写 $Δy=AΔx+o(Δx)$ ，再写 $Δ\vec{y}=AΔ\vec{x}+o(Δ\vec{x})$
声音
观察依据
“我们可以仿照上面书写的这个形式”

推广

解释

二维向量形式是对一元函数“微分是增量的线性主部”这一思想的直接推广。

二维情形的微分类比形式 → 系数 A 的身份：二阶矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在写出向量形式后追问“这个 A 是什么东西”，再回答“就是二阶矩阵”

包含

解释

向量形式的线性主部表达式内部包含对系数 A 身份的进一步确定。

二维情形的微分类比形式 → 向量值无穷小余项的含义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在写出 $Δ\vec{y}=AΔ\vec{x}+o(Δ\vec{x})$ 后继续解释“这个无穷小量怎么理解”

包含

解释

该公式不仅包含线性主部，还包含对高阶余项 $o(Δ\vec{x})$ 的解释需求。

问题定位 · 27

在二重积分中进行变量替换时，被积函数应为何？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
Speaker asks '那被积函数是谁呢？这个就是我们今天要讨论的问题。'

涉及知识点

坐标变换
用二重积分求面积

为什么二重积分中要做坐标变换？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“坐标变换这个方法它是多么的神奇”“这个积分区域就变得非常简单了”

涉及知识点

坐标变换用于二重积分的目标
由双曲线与射线围成区域的换元示例

什么是平面上的曲线变换？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
T: { $x=x(u,v)$ , $y=y(u,v)$ } 与 T: $R^2$ -> $R^2$ , (u,v)->(x,y)

涉及知识点

平面曲线变换的定义

曲线变换和仿射变换有什么区别？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“仿射变换会把平面上的直线变成直线……但是曲线变换就不一定了”

涉及知识点

曲线变换与仿射变换的关系
误把曲线变换等同于仿射变换

坐标变换前后面积元素 dxdy 和 dudv 的关系是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这个坐标变换前后图形的面积有什么关系呢？”

涉及知识点

坐标变换前后面积元素关系的问题

为什么令 u=xy、 $v=y/x$ 后积分区域会变成矩形？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
右侧曲边区域对应左侧矩形 [p,q]×[a,b]

涉及知识点

由双曲线与射线围成区域的换元示例
示例区域经 u=xy、 $v=y/x$ 变为矩形的推导

为什么二维到二维变换不能像一元函数那样直接靠普通图像来研究？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“你想要画明白它的图像需要在四维空间中画，这是很困难的”

涉及知识点

二维到二维变换的基本形式

已知点到点的对应后，怎样进一步研究区域到区域的对应？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们现在知道了点到点的对应，我们如何讨论区域到区域的对应呢？”

涉及知识点

点到点的对应关系
自变量增量与因变量增量

在 $Δ\vec{y}=AΔ\vec{x}+o(Δ\vec{x})$ 里，A 到底是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“第一个问题，这个 A 是什么东西？……有，就是二阶矩阵”

涉及知识点

二维情形的微分类比形式
系数 A 的身份：二阶矩阵

这里的 $o(Δ\vec{x})$ 为什么是向量，怎样理解它是无穷小量？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这个向量比上 Δx 的模长，它的结果应该是趋于零向量的”

涉及知识点

向量值无穷小余项的含义

为什么矩阵要乘在增量向量的左边？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们这里的向量都是列向量，所以矩阵乘在左边啊，这是非常合理的”

涉及知识点

平面点用列向量表示的约定
系数 A 的身份：二阶矩阵

向量值函数在某一点可微是怎样定义的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者定义“如果一个向量值函数……我们就称这个向量值函数在这一点处可微”
公式
观察依据
向量 Δy 等于矩阵 A 乘以向量 Δx，再加上一个比 Δx 更高阶的无穷小量

涉及知识点

向量值函数在一点可微的定义

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 本段整体介绍了利用坐标变换简化面积计算的二重积分，最终归结为对新被积函数的追问。

已覆盖 · 引入坐标变换与二重积分换元目标。

已覆盖 · 用双曲线与射线围成区域示例说明换元后区域变为矩形。

已覆盖 · 提出变换前后面积元素关系的问题。

已覆盖 · 对比仿射变换与曲线变换，强调后者是前者的推广。

已覆盖 · 给出一般曲线变换的映射定义。

已覆盖 · 举出具体平面曲线变换例子 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$ 。

已覆盖 · 讲解说明二维到二维变换难以直接画图，并引出换一种研究方法。

已覆盖 · 画出两个方框表示定义域与陪域，并规定点用列向量表示。

已覆盖 · 标出 $\vec{x}_0$ 与其像 $\vec{y}_0$ ，并提出如何从点对应推进到区域对应。

已覆盖 · 用箭头画出 $\Delta\vec{x}$ 与 $\Delta\vec{y}$ ，说明局部增量关系。

已覆盖 · 回顾一元微分是增量的线性主部，并写出向量类比形式。

已覆盖 · 追问 A 的含义，并将其确定为二阶矩阵。

已覆盖 · 解释 $o(Δ\vec{x})$ 为向量值无穷小项，并说明其除以 | $Δ\vec{x}$ | 后趋于零向量。

已覆盖 · 讲解向量值函数可微定义，并用红圈指出线性主部即为微分。

已覆盖 · 写出 d y⃗ = A d x⃗，并把 A 定义为导数，强调导数是矩阵。

已覆盖 · 翻页后把向量微分按分量展开为 (du,dv)^T 与 (dx,dy)^T。

已覆盖 · 通过矩阵乘法得到 du、dv 的两行式，并联系多元函数全微分。

已覆盖 · 四个偏导数依次填入，整理出雅可比矩阵 J。

已覆盖 · 对方阵取行列式，引入雅可比行列式及其特殊记号。

已覆盖 · 讲解二维雅可比行列式的定义及变量顺序的重要性。

已覆盖 · 引入向量值函数微分和导数的概念，并通过“长草”比喻进行几何直观解释。

已覆盖 · 推广到高维空间，定义 $R^n$ 到 $R^m$ 映射的导数矩阵。

已覆盖 · 讨论 $m=1$ 的特例，即多元函数的雅可比矩阵（偏导数行向量）。

已覆盖 · 讲解 $m=1$ 时雅可比矩阵退化为梯度，以及它们作为导数的意义。

已覆盖 · 通过 UV 到 XY 的几何映射图示，推导重积分换元的面积伸缩因子公式 dxdy = |J| dudv。

已覆盖 · 讲面积元素公式并强调取绝对值。

已覆盖 · 由面积元素积分得到区域面积变换公式。

已覆盖 · 回看前文问题，明确被积函数是 |J|。

已覆盖 · 总结复杂区域面积可化为简单区域上的重积分。

已覆盖 · 推广到一般二重积分换元公式。

已覆盖 · 与一元换元公式作类比。

已覆盖 · 说明定理可推广到三重积分和 n 重积分。

已覆盖 · 片段完整覆盖了极坐标、柱坐标和球坐标变换及其雅可比行列式的讲解。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

引入雅可比矩阵：曲线变换的伸缩系数，重积分换元定理

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

坐标变换的几何意义

二重积分求面积的动机

换元积分的核心问题

二重积分换元的目标

示例区域：双曲线与射线围成的图形

令 u=xy、v=y/xv=y/xv=y/x 把区域化为矩形

坐标变换前后面积元素关系的问题

仿射变换与曲线变换的区别

曲线变换是仿射变换的推广

一般平面曲线变换的定义

具体曲线变换例子 F(x,y)=(x+sin⁡y,y+cos⁡x)F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)F(x,y)=(x+siny,y+cosx)

二维到二维变换的研究难点

用两个方框表示定义域与陪域

平面点统一写成列向量

点到点的对应：x0 与 y0

局部增量向量 Δx 与 Δy

一元微分：增量的线性主部

二维情形的类比公式

A 的身份是二阶矩阵

o(Δx)o(Δx)o(Δx) 是向量值无穷小余项

向量值函数可微的定义

微分是线性主部

向量值函数的导数是矩阵

按分量展开向量微分

详细学习笔记

xy

uv

D

T

T(D)T(D)T(D)

∬T(D)\iint_{T(D)}∬T(D)​ dxdy = ∬D\iint_D∬D​ ? dudv

u

v

x

y

p,q

a,b

坐标变换

用二重积分求面积

坐标变换用于二重积分的目标

平面曲线变换的定义

曲线变换与仿射变换的关系

坐标变换前后面积元素关系的问题

二维到二维变换的基本形式

平面点用列向量表示的约定

点到点的对应关系

自变量增量与因变量增量

微分作为增量的线性主部

二维情形的微分类比形式

仿射变换把直线变成直线

曲线变换是仿射变换的推广

示例变换不是仿射变换

二维到二维变换的完整图像需要四维空间

从点到点对应推进到区域对应需要先研究局部增量

线性系数 A 应取二阶矩阵

向量值无穷小项除以 |Δx| 后趋于零向量

向量值函数的导数是矩阵

导数矩阵即雅可比矩阵

方阵情形可讨论雅可比行列式

雅可比矩阵与梯度的导数意义

面积元素在曲线变换下的表达式

示例区域经 u=xy、v=y/xv=y/xv=y/x 变为矩形的推导

把曲线变换解释为平面映射的推导

由一元微分到二维向量形式的类比推导

从微分式推出雅可比矩阵元素

从雅可比矩阵到雅可比行列式记号

重积分换元面积元素推导

由面积元素推出区域面积公式

由面积公式推广到一般二重积分换元公式

引入雅可比行列式的动机问题

由双曲线与射线围成区域的换元示例

具体平面曲线变换例子 F(x,y)=(x+sin⁡y,y+cos⁡x)F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)F(x,y)=(x+siny,y+cosx)

板上给出的向量值函数示例

回答“被积函数是什么”的问题

绘制xy平面及目标区域

令 u=xy、 $v=y/x$ 把区域化为矩形

具体曲线变换例子 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$

$o(Δx)$ 是向量值无穷小余项

$T(D)$

$\iint_{T(D)}$ dxdy = $\iint_D$ ? dudv

示例区域经 u=xy、 $v=y/x$ 变为矩形的推导

具体平面曲线变换例子 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$

不要把 $o(Δ\vec{x})$ 误认为标量小量

微分 $d\vec{y}$ 不等于完整增量 $Δ\vec{y}$

平面曲线变换的定义 → 具体平面曲线变换例子 $F(x,y)=(x+\sin y, y+\cos x)$

为什么令 u=xy、 $v=y/x$ 后积分区域会变成矩形？

在 $Δ\vec{y}=AΔ\vec{x}+o(Δ\vec{x})$ 里，A 到底是什么？

这里的 $o(Δ\vec{x})$ 为什么是向量，怎样理解它是无穷小量？