初中数学二次函数拱桥问题求抛物线解析式和水面宽度你会了吗？99%学生都出错。

1. 图示
   观察依据

   图中建立平面直角坐标系，水平轴标注为 x。

x

平面直角坐标系中的横坐标轴

实数

1. 图示
   观察依据

   图中建立平面直角坐标系，竖直轴标注为 y。

y

平面直角坐标系中的纵坐标轴

实数

1. 图示
   观察依据

   图中抛物线与左侧水面交点标注为 A。

2. 声音
   观察依据

   老师说“你可以快速的知道A点和B点的坐标”。

A

抛物线与初始水面的左交点

点

1. 图示
   观察依据

   图中抛物线与右侧水面交点标注为 B。

2. 声音
   观察依据

   老师说“你可以快速的知道A点和B点的坐标”。

B

抛物线与初始水面的右交点

点

1. 图示
   观察依据

   图中抛物线顶点标注为 C，位于 y 轴上。

C

抛物线拱顶，即顶点

点

1. 公式
   观察依据

   板书写出 y=ax^2+bx+$c(a\ne 0)$。

2. 声音
   观察依据

   老师说“我们都知道是y等于ax方加bx加c对吧，然后a不等于0”。

a

二次项系数

$a\ne 0$ 的实数

1. 公式
   观察依据

   板书写出 y=ax^2+bx+$c(a\ne 0)$。

b

一次项系数

实数

1. 公式
   观察依据

   板书写出 y=ax^2+bx+$c(a\ne 0)$。

c

常数项

实数

1. 公式
   观察依据

   板书开始写出 $y=a$(x-。

2. 声音
   观察依据

   老师说“还有一个是我们常见的顶点式……就是y等于a倍的x减”。

1. 片段结束时顶点式尚未写完，h、k 未在本片段中出现。

a

顶点式中的二次项系数

$a\ne 0$ 的实数

1. 公式
   观察依据

   画面右侧手写公式中出现 y，如 y=ax^2+bx+c、$y=a(x-h)^2+k$、$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。

y

抛物线上点的纵坐标，也是二次函数的函数值。

实数

1. 公式
   观察依据

   画面右侧手写公式中出现 x，如 y=ax^2+bx+c、$y=a(x-h)^2+k$、$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。

x

抛物线上点的横坐标，也是二次函数的自变量。

实数

1. 公式
   观察依据

   三种形式中都出现 a，且顶点式旁标注 ($a\ne 0$)。

2. 声音
   观察依据

   老师说“然后 a 不等于零”。

a

二次项系数，决定抛物线开口方向和大小；在本题中也是待定系数。

$a\ne 0$ 的实数

1. 公式
   观察依据

   板书写出“一般式：y=ax^2+bx+$c(a\ne 0)$”。

2. 声音
   观察依据

   老师说“第一个是这个二次函数的一般式，我们都知道是y等于ax方加bx加c对吧，然后a不等于0”。

视频在讲解求抛物线解析式时，先提示要回忆二次函数的代数表达形式，其中第一种是一般式。该式用于表示任意二次函数，后续可通过已知点坐标代入求待定系数。

1. a 为二次项系数

2. a 不等于 0

1. 公式
   观察依据

   板书写出“顶点式：$y=a$(x-”，但表达式未完整呈现。

2. 声音
   观察依据

   老师说“还有一个是我们常见的顶点式……就是y等于a倍的x减”。

1. 本片段只写到顶点式开头，未给出完整公式。

视频接着提示第二种常用表达是顶点式，适合在已知顶点位置时设出解析式。本片段中老师只说到开头，完整形式尚未写出。

1. 本片段仅出现顶点式开头

2. 完整参数未在本片段给出

1. 二次函数一般式

1. 字幕依据
   观察依据

   题目文字写明“图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系”。

2. 图示
   观察依据

   图中抛物线开口向下，顶点 C 在 y 轴上，水面线段 AB 水平，y 轴把 AB 平分。

3. 声音
   观察依据

   老师读题并解释“这个地儿距离下边下方这块是两米”“水面的宽是4米”“相当于我这个y轴我把这完全平分了，这一边是2呗”。

视频把实际拱桥抽象为平面直角坐标系中的抛物线：以拱顶所在竖直线为 y 轴，利用对称性把水面宽度 4m 平分为左右各 2m，从而把几何条件转化为点的坐标条件，再求解析式。

1. 拱桥形状视为抛物线

2. 坐标系按图示建立

3. 利用 y 轴为对称轴

1. 声音
   观察依据

   老师说“首先你在第一问的时候……他会说你得先求下解析式”“只要是这种水面拱桥的问题，在初中阶段出现了，都是在考察先求解析式的事”。

2. 图示
   观察依据

   题目第(1)问为“求拱桥所在抛物线的解析式”。

视频强调这类初中水面拱桥题的核心方法是先根据已知几何条件求出抛物线解析式，再利用解析式回答第二问中的水面宽度问题。

1. 适用于题中给出拱桥抛物线形状及若干几何尺寸的情形

1. 拱桥问题的坐标系建模

1. 公式
   观察依据

   画面右侧已写出“一般式：y=ax^2+bx+$c(a\ne 0)$”。

2. 声音
   观察依据

   老师说“这三个是解析式的一般形式”。

视频把 y=ax^2+bx+c 称为二次函数解析式的一种基本形式，并强调 $a\ne 0$。该形式适合在已知三个点坐标时列方程组求 a、b、c。

1. a、b、c 为常数

2. a 不等于 0

1. 公式
   观察依据

   画面右侧写出“顶点式：$y=a(x-h)^2+k(a\ne 0)$”。

2. 声音
   观察依据

   老师说“只要你知道顶点，优先设这个顶点式”。

视频将 $y=a(x-h)^2+k$ 作为顶点式，其中 (h,k) 是顶点坐标。对于本题，拱顶位置直接给出顶点，因此老师建议优先使用顶点式。

1. a 不等于 0

2. (h,k) 为抛物线顶点坐标

1. 公式
   观察依据

   画面右侧补写“交点式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$”。

2. 声音
   观察依据

   老师说“什么时候用交点式，就是你看它这个题当中正好这个抛物线与 x 轴那两个交点都是已知的”。

视频把 $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ 称为交点式，适用于已知抛物线与 x 轴两个交点横坐标的情形。本题中 A、B 两点已知，因此交点式也可用。

1. $x_1$、$x_2$ 为抛物线与 x 轴交点的横坐标

2. a 不等于 0

1. 声音
   观察依据

   老师说“这三个解析式设哪个，对于我们这道题来说很关键”。

2. 声音
   观察依据

   老师说“只要你知道了顶点……你优先设这个顶点式，我们也不要设一般式”。

3. 声音
   观察依据

   老师说“什么时候用交点式……那两个交点都是已知的”。

视频的核心方法是：求抛物线解析式时，先看题目直接给出什么几何信息。若已知顶点，优先设顶点式；若已知与 x 轴的两个交点，可用交点式；一般式不是本题首选。

1. 已知顶点坐标时优先用顶点式

2. 已知与 x 轴两交点时可用交点式

3. 本题中顶点式和交点式都可用，老师选择顶点式

1. 二次函数的一般式
2. 二次函数的顶点式
3. 二次函数的交点式

1. 字幕依据
   观察依据

   题干文字显示“图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系”。

2. 图示
   观察依据

   图中坐标系原点在水面中点，x 轴沿水面，y 轴竖直向上，抛物线开口向下，顶点在 y 轴上。

视频用平面直角坐标系把拱桥抽象为抛物线。题中给出拱顶离水面 2m、水面宽 4m，图中又把原点取在水面中点，因此顶点在 y 轴上，水面与抛物线交于左右对称两点。

1. 拱桥形状视为抛物线

2. 坐标系按图建立

3. 拱顶离水面 2m

4. 水面宽 4m

1. 公式
   观察依据

   板书给出 $y=a(x-h)^2+k (a\ne 0)$，并在本题中具体化为 y=ax^$2+2$。

2. 声音
   观察依据

   老师强调“只有一个未知数”，说明选定顶点式后只剩参数 a 待定。

当已知抛物线顶点位置时，可把解析式设为 $y=a(x-h)^2+k$。本题顶点为 $C(0,2)$，所以 $h=0$、$k=2$，解析式简化为 y=ax^$2+2$，从而把问题转化为只需求一个未知系数 a。

1. 已知顶点坐标

2. 抛物线开口向上或向下且对称轴竖直

3. a 为待定系数

1. 声音
   观察依据

   老师说“只要你知道一个已知点在我们的抛物线上，那么这道题就迎刃而解了”。“

2. 公式
   观察依据

   板书把 $A(-2,0)$ 代入 y=ax^$2+2$，得到 $0=4a+2$，再求出 $a=-1/2$。

在已经确定抛物线形式 y=ax^$2+2$ 后，只需再找一个在抛物线上的已知点，把该点坐标代入解析式，即可得到关于 a 的一次方程并求解。本题选用 $A(-2,0)$ 作为代入点。

1. 已知抛物线的函数形式

2. 已知至少一个在该抛物线上的点坐标

1. 利用顶点式建立抛物线解析式

1. 声音
   观察依据

   老师说“水位的纵坐标是不是应该是负一”。“

2. 公式
   观察依据

   板书写出 -1=-1/2x^$2+2$，并继续推出 $x^2=6$、x=±√6。

第二问中“水面下降1m”不是改变抛物线本身，而是改变所考察的水平线位置。原水面在 $y=0$，下降 1m 后对应 $y=-1$，因此把 $y=-1$ 代入已求得的抛物线解析式，就能求出此时水面与拱桥交点的横坐标。

1. 已求得抛物线解析式

2. 题目中的高度变化可转化为坐标系中 y 值的变化

1. 利用顶点式建立抛物线解析式

1. 声音
   观察依据

   老师说“那它是4米……相当于我这个y轴我把这完全平分了，这一边是2呗”。

2. 图示
   观察依据

   图中水面线段 AB 被 y 轴垂直平分，顶点 C 位于 y 轴上。

在所建坐标系中，初始水面宽度 4m 被 y 轴平分，因此左右两侧的水平距离各为 2m。

1. 坐标系按图示建立

2. 抛物线关于 y 轴对称

3. AB 为水平水面线段

对图中所示初始水面线段 AB 成立

1. 声音
   观察依据

   老师说“只要是这种水面拱桥的问题，在初中阶段出现了，都是在考察先求解析式的事”。

1. 这是教学概括，不是严格定理；“都是”属于经验性表述。

视频主张：初中阶段出现的水面拱桥类问题，通常都要先求抛物线解析式，再据此解决后续宽度问题。

1. 问题属于初中水面拱桥建模题

2. 拱形可视为抛物线

视频以概括性说法表述，未给出严格全称证明

1. 声音
   观察依据

   老师逐步解释“当拱顶离水面2米时”“水面的宽是4米”“y轴把这完全平分了，这一边是2”。

2. 图示
   观察依据

   图中 C 在 y 轴上，AB 水平，且 y 轴穿过 AB 中点。

1. A、B 的完整坐标在本片段中没有被明确板书出来，只推导出左右各为 2 的水平距离。

1. 公式

   $$$$
   解释

   先确认图形对象：抛物线形拱桥的顶点为 C，初始水面为水平线段 AB。

   步骤依据

   题目文字与图示共同给出拱桥、水面和坐标系。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   由“拱顶离水面2m”可知顶点 C 到水面 AB 的竖直距离为 2。

   步骤依据

   直接读取题设条件。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   由“水面宽4m”可知线段 AB 的长度为 4。

   步骤依据

   直接读取题设条件。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   由于 y 轴经过顶点且为抛物线对称轴，AB 被 y 轴平分，所以左右两侧水平距离各为 2。

   步骤依据

   利用抛物线关于对称轴对称以及图中 y 轴位置。

   依据视频推导

本片段把文字条件转化为图形中的竖直距离 2 和水平半宽 2，为后续设点求解析式做准备。

1. 声音
   观察依据

   老师说“因为拱顶离水面两米……所以 C 的坐标就是 0,2，也就是我们的顶点”。

2. 公式
   观察依据

   画面下方写出“∵ 拱顶2m ∴ $C(0,2)$ ∴ y=ax^$2+2$”。

3. 声音
   观察依据

   老师说“因为这个 h 和 k 就这个位置……它是顶点坐标公式”。

1. 公式

   $$\text{Let} y=a(x-h)^2+k \quad (a\neq 0)$$
   解释

   先按老师建议设出顶点式，而不是直接设一般式。

   步骤依据

   视频中明确说明“解设抛物线的解析式为 $y=a(x-h)^2+k(a\ne 0)$”。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{the arch's highest point be above the water surface}2\text{m},\quad C(0,2)$$
   解释

   由题意和图形位置可知拱顶即抛物线顶点，且其坐标为 (0,2)。

   步骤依据

   题干给出“拱顶离水面2m”，图中顶点在 y 轴上，老师据此写出 $C(0,2)$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$h=0,\quad k=2$$
   解释

   把顶点坐标 (0,2) 对应到顶点式中的 (h,k)。

   步骤依据

   顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 中 (h,k) 就是顶点坐标，这是视频反复强调的对应关系。

   视频直接表达
4. 公式

   $$y=a(x-0)^2+2$$
   解释

   将 $h=0$、$k=2$ 代回顶点式。

   步骤依据

   代数代入。

   视频直接表达
5. 公式

   $$y=ax^2+2$$
   解释

   化简得到只含一个未知系数 a 的表达式。

   步骤依据

   因为 (x-0)^$2=x^2$。

   视频直接表达

在本题所建坐标系下，抛物线解析式可先化为 y=ax^$2+2$，剩余未知量只有 a。

1. 公式
   观察依据

   板书依次出现 y=ax^$2+2$、$A(-2,0)$、$0=4a+2$、$a=-1/2$、$y=-1/2x^2+2$。

2. 声音
   观察依据

   老师逐步口述代入与计算过程。

1. 公式

   $$y=ax^2+2$$
   解释

   由题图顶点 $C(0,2)$ 可把抛物线设为顶点式并化简为 y=ax^$2+2$。

   步骤依据

   顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $h=0$、$k=2$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A(-2,0)$$
   解释

   选取图中已知在抛物线上的点 A 作为代入点。

   步骤依据

   点在函数图像上则其坐标满足函数解析式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$0=a(-2)^2+2$$
   解释

   把 $A(-2,0)$ 代入 y=ax^$2+2$。

   步骤依据

   待定系数法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$0=4a+2$$
   解释

   计算 (-2)^$2=4$。

   步骤依据

   幂运算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$a=-\frac12$$
   解释

   解一次方程 $4a+2=0$。

   步骤依据

   移项并除以 4。

   视频直接表达
6. 公式

   $$y=-\frac12x^2+2$$
   解释

   把求得的 a 回代，得到第一问答案。

   步骤依据

   将参数值代回原设解析式。

   视频直接表达

拱桥所在抛物线的解析式为 $y=-\frac12x^2+2$。

1. 公式
   观察依据

   板书写出 -1=-1/2x^$2+2$、$x^2=6$、x=±√6，并在图中标出 ±√6。

2. 声音
   观察依据

   老师说明“水位的纵坐标是不是应该是负一”，随后又强调“人家问的是水面的宽度”。

1. 视频在 120 秒处截断，老师说到“整个这个水面的宽度是不是应该是根号”后未完整说完最终表达式；但画面已给出左右交点 ±√6，可据此补全为 2√6。

1. 公式

   $$y=-1$$
   解释

   原水面在 $y=0$，下降 1m 后对应的新水面高度为 $y=-1$。

   步骤依据

   题目条件“水面下降1m”在坐标系中的转化。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-1=-\frac12x^2+2$$
   解释

   把 $y=-1$ 代入第一问求得的抛物线解析式。

   步骤依据

   新水面与抛物线的交点仍满足抛物线方程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x^2=6$$
   解释

   解方程得到 $x^2$ 的值。

   步骤依据

   由 -1=-\frac12x^$2+2$ 移项并化简可得。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=\pm\sqrt{6}$$
   解释

   得到左右两个交点的横坐标。

   步骤依据

   对 $x^2=6$ 开平方。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}$$
   解释

   水面宽度是两交点之间的水平距离，而不是单个 x 值。

   步骤依据

   同一水平线上两点间距离等于横坐标之差的绝对值；本题利用对称性直接相减。

   依据视频推导

当水面下降 1m 时，水面宽度为 $2\sqrt{6}\text{ m}$。

1. 公式
   观察依据

   画面右侧完整展示 -1=-1/2x^$2+2$、$x^2=6$、x=±√6、√$6\times 2=2$√6。

2. 声音
   观察依据

   老师逐步解释水面下降到 $y=-1$，再求 x，最后乘以2得到宽度。

1. 公式

   $$y=-1$$
   解释

   水面从原来的 x 轴位置下降1m，因此新水面对应纵坐标 $y=-1$。

   步骤依据

   依据题设“当水面下降1m时”和图中坐标系，初始水面在 $y=0$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-1=-\frac{1}{2}x^2+2$$
   解释

   把 $y=-1$ 代入已求得的抛物线解析式。

   步骤依据

   使用第一问得到的解析式 $y=-1/2x^2+2$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x^2=6$$
   解释

   移项并化简方程，得到 x 的平方值。

   步骤依据

   对 -1=-1/2x^$2+2$ 作等价变形：两边减2得 -3=-1/2x^2，再乘以 -2 得 $x^2=6$。

   依据视频推导
4. 公式

   $$x=\pm\sqrt{6}$$
   解释

   对方程 $x^2=6$ 开方，得到左右两个交点的横坐标。

   步骤依据

   实数范围内 $x^2=6$ 的解为 x=±√6。

   视频直接表达
5. 公式

   $$2\sqrt{6}$$
   解释

   水面总宽度等于左右交点横坐标差的绝对值，即 2√6。

   步骤依据

   抛物线关于 y 轴对称，交点为 (-√6,-1) 与 (√6,-1)，所以宽度为 √6-(-√6)=2√6。

   视频直接表达

当水面下降1m时，水面宽度为 2√6 米。

1. 字幕依据
   观察依据

   题目显示“2. 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？”

2. 声音
   观察依据

   老师读题并说明第一问要求解析式，第二问要求水面宽度。

3. 图示
   观察依据

   图中给出坐标系、抛物线、顶点 C 和水面交点 A、B。

1. 本片段只完成审题和方法铺垫，没有解出第(1)问和第(2)问的最终答案。

已知抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，按图示建立平面直角坐标系。第(1)问求拱桥所在抛物线的解析式；第(2)问求当水面下降 1m 时水面的宽度。

1. 拱桥为抛物线形

2. 拱顶离水面 2m

3. 此时水面宽 4m

4. 坐标系如图所示建立

5. 第(2)问中水面再下降 1m

先建立抛物线模型并求解析式，再据此求水面下降后的宽度。

1. 公式

   $$$$
   解释

   先读题确认这是二次函数实际应用题，核心对象是抛物线拱桥。

   步骤依据

   题目文字明确写出“抛物线形拱桥”。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   明确解题顺序：先做第(1)问求解析式，再处理第(2)问宽度。

   步骤依据

   老师说“第一问给了你一个基础，你能先求解析式，你再进而得到第二问的一个结论”。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   观察图形，把“拱顶离水面2m”理解为顶点到水面的竖直距离，把“水面宽4m”理解为水平线段 AB 的长度。

   步骤依据

   题设文字与图示对应。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   利用 y 轴为对称轴，把 4m 平分成左右各 2m，从而得到用于设点代数的水平距离。

   步骤依据

   图中 y 轴穿过顶点并平分水面线段，老师口头说明“这一边是2”。

   依据视频推导
5. 公式

   $$y=ax^2+bx+c\quad(a\ne 0)$$
   解释

   在正式代入求解前，先回忆可用的一般式。

   步骤依据

   老师板书并口述二次函数一般式。

   视频直接表达
6. 公式

   $$y=a(x-$$
   解释

   随后又提示可用顶点式，但本片段只写到开头。

   步骤依据

   老师板书“顶点式”并开始书写。

   视频直接表达

本片段未给出最终解析式和最终水面宽度。

视频未在本片段内完成验算或答案核对；老师仅提示会做的同学可翻到结尾核对答案。

1. 字幕依据
   观察依据

   题干显示“(1) 求拱桥所在抛物线的解析式；(2) 当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？”

2. 声音
   观察依据

   老师说“那我这道题来说咱们就用顶点式来算啊，所以第一问我们的过程怎么写呢”。

3. 公式
   观察依据

   画面下方写出“解：设 $y=a(x-h)^2+k(a\ne 0)$ ∵ 拱顶2m ∴ $C(0,2)$ ∴ y=ax^$2+2$”。

1. 本片段只完成第一问的前半部分，尚未求出 a 的具体值。

2. 第二问“水面下降1m时的宽度”在本片段中没有展开计算。

已知抛物线形拱桥，拱顶离水面 2m，水面宽 4m，按图示建立坐标系，求拱桥所在抛物线的解析式；并讨论水面下降 1m 后的水面宽度。

1. 拱桥为抛物线形

2. 拱顶离水面 2m

3. 水面宽 4m

4. 坐标系如图所示，原点在水面中点，y 轴过拱顶

先用合适形式设出抛物线解析式，并求出第一问所需的表达式结构。

1. 公式

   $$\text{Compare the standard form, vertex form, \text{且} factored form}$$
   解释

   老师先列出三种常见设法，再判断本题最适合哪一种。

   步骤依据

   视频明确说“这三个解析式设哪个，对于我们这道题来说很关键”。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Given the vertex} \Rightarrow \text{Prefer using the vertex form}$$
   解释

   因为图中能直接看到拱顶即顶点，所以选顶点式。

   步骤依据

   老师说“只要你知道了顶点……优先设这个顶点式，我们也不要设一般式”。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Let} y=a(x-h)^2+k \quad (a\neq 0)$$
   解释

   写出标准解题开头，先设解析式。

   步骤依据

   画面和音频都给出这一设法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$C(0,2)$$
   解释

   由拱顶离水面 2m 且顶点在 y 轴上，确定顶点坐标。

   步骤依据

   题干条件与图示坐标系共同给出。

   视频直接表达
5. 公式

   $$y=ax^2+2$$
   解释

   把顶点坐标代入顶点式并化简。

   步骤依据

   $h=0$、$k=2$ 代入 $y=a(x-h)^2+k$。

   视频直接表达

片段内得到的结果是：抛物线可设为 y=ax^$2+2$，尚待继续利用其他已知点求 a。

视频在结尾指出“这个里边是不是只有一个未知数”，说明此时解析式只剩系数 a 待定，后续可用已知点继续求解。

1. 字幕依据
   观察依据

   题面文字：“图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：(1) 求拱桥所在抛物线的解析式；(2) 当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？”

2. 图示
   观察依据

   左侧示意图画出坐标系、拱桥抛物线、顶点 $C(0,2)$、左右点 A、B，以及水面宽度 4m。

1. 片段末尾音频被截断，最终口头结论未完整说完；但板书和图形信息足以确定答案。

已知抛物线形拱桥，拱顶离水面 2m 时水面宽 4m。建立如图坐标系后，(1) 求拱桥所在抛物线的解析式；(2) 当水面下降 1m 时，求水面宽度。

1. 拱桥截面为抛物线

2. 拱顶为 $C(0,2)$

3. 初始水面在 x 轴上，即 $y=0$

4. 初始水面宽 4m，因此左右交点为 $A(-2,0)$、$B(2,0)$

5. 第二问中水面下降 1m

先求抛物线解析式，再求 $y=-1$ 时对应的水面宽度。

1. 公式

   $$y=ax^2+2$$
   解释

   由顶点 $C(0,2)$ 设抛物线为 y=ax^$2+2$。

   步骤依据

   顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $h=0$,$k=2$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$0=a(-2)^2+2$$
   解释

   把已知点 $A(-2,0)$ 代入解析式。

   步骤依据

   点在抛物线上则坐标满足方程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$a=-\frac12$$
   解释

   解得二次项系数。

   步骤依据

   由 $0=4a+2$ 解一元一次方程。

   视频直接表达
4. 公式

   $$y=-\frac12x^2+2$$
   解释

   得到第一问答案。

   步骤依据

   将 a 回代。

   视频直接表达
5. 公式

   $$-1=-\frac12x^2+2$$
   解释

   第二问把“水面下降1m”转化为 $y=-1$，再代入解析式。

   步骤依据

   新水面高度对应函数值 $y=-1$。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x=\pm\sqrt{6}$$
   解释

   求出左右交点横坐标。

   步骤依据

   由 $x^2=6$ 开方。

   视频直接表达
7. 公式

   $$2\sqrt{6}$$
   解释

   最后取两交点间水平距离作为水面宽度。

   步骤依据

   宽度=右交点横坐标-左交点横坐标。

   依据视频推导

（1）y 等于负二分之一 x 的平方加二；（2）二倍根号六米。

把 $x=\pm 2$ 代入 $y=-\frac12x^2+2$ 得 $y=0$，符合初始水面宽 4m；把 x=±√6 代入得 $y=-1$，符合水面下降 1m 的新高度。

1. 字幕依据
   观察依据

   画面顶部题目文字：“图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系。”

2. 公式
   观察依据

   画面中写出 (1) 求拱桥所在抛物线的解析式；(2) 当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？

3. 图示
   观察依据

   左侧图标注 $C(0,2)$、$A(-2,0)$、$B(2,0)$，并画出下降后的紫色水面线。

已知抛物线形拱桥，拱顶离水面2m时水面宽4m，建立如图所示平面直角坐标系。求：(1) 拱桥所在抛物线的解析式；(2) 当水面下降1m时，水面宽度是多少？

1. 拱桥为抛物线形

2. 拱顶离初始水面2m

3. 初始水面宽4m

4. 坐标系如图所示，顶点在 y 轴上，初始水面在 x 轴上

5. 点 $C(0,2)$，点 $A(-2,0)$，点 $B(2,0)$

先求抛物线解析式，再求水面下降1m后的水面宽度。

1. 公式

   $$y=a(x-h)^2+k$$
   解释

   因为已知顶点，先设顶点式。

   步骤依据

   顶点式适合由顶点和一个额外点确定二次函数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y=ax^2+2$$
   解释

   由顶点 $C(0,2)$ 得 $h=0$、$k=2$，所以解析式化为 y=ax^$2+2$。

   步骤依据

   把 (h,k)=(0,2) 代入 $y=a(x-h)^2+k$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$0=a(-2)^2+2$$
   解释

   把点 $A(-2,0)$ 代入解析式求 a。

   步骤依据

   点 A 在抛物线上，满足函数关系。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a=-\frac{1}{2}$$
   解释

   解得 $a=-1/2$。

   步骤依据

   由 $4a+2=0$ 得 $a=-1/2$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$y=-\frac{1}{2}x^2+2$$
   解释

   得到第一问答案，即拱桥所在抛物线解析式。

   步骤依据

   把 $a=-1/2$ 代回 y=ax^$2+2$。

   视频直接表达
6. 公式

   $$-1=-\frac{1}{2}x^2+2$$
   解释

   第二问中水面下降1m，对应 $y=-1$，代入解析式。

   步骤依据

   初始水面在 $y=0$，下降1m后为 $y=-1$。

   视频直接表达
7. 公式

   $$x=\pm\sqrt{6}$$
   解释

   解方程得到新水面与抛物线交点的横坐标。

   步骤依据

   由 -1=-1/2x^$2+2$ 化简得 $x^2=6$。

   视频直接表达
8. 公式

   $$2\sqrt{6}\text{meters}$$
   解释

   利用对称性，水面总宽度为 2√6 米。

   步骤依据

   左右交点横坐标分别为 -√6 和 √6，距离为 2√6。

   视频直接表达

(1) $y=-1/2x^2+2$；(2) 2√6 米。

把 x=±√6 代入 $y=-1/2x^2+2$，得 $y=-1/2\cdot 6+2=-3+2=-1$，与“水面下降1m”对应；再由对称性得宽度 2√6，和画面右侧计算一致。

1. 图示
   观察依据

   整段画面基本保持同一张电子白板：上方是题目文字，左下是坐标系中的抛物线拱桥图，右侧有“点个关注，做你的家庭教师”。

2. 动画
   观察依据

   红色手写批注逐步出现在题目和图上。

1. 题目文字

2. 平面直角坐标系

3. 抛物线拱桥

4. 点 A、B、C

5. 红色手写批注

1. 约 00:19 起，“解析式”被红笔圈出或划线强调

2. 约 00:23 起，第(2)问中的“水面的宽度”被红线标出

3. 约 00:30 起，第(1)问前出现红色勾号

4. 约 00:44 起，“解析式”再次被红圈圈出

5. 约 01:03 起，图中拱顶到水面的竖直距离旁补写“2”

6. 约 01:13 起，水面宽度旁补写“4”

7. 约 01:18 起，左右半宽处补写“2”

8. 约 01:43 起，右侧开始写“一般式：y=ax^2+bx+$c(a\ne 0)$”

9. 约 01:52 起，下方开始写“顶点式：$y=a$(x-”

1. 题目主体文字不变

2. 坐标系和抛物线主图不变

3. 拱顶在 y 轴上、水面 AB 水平的几何关系不变

视觉变化体现老师的讲解重点从审题、标注已知长度，过渡到回忆二次函数解析式的两种常用形式。

1. 图示
   观察依据

   老师在原图上用红笔把“2m”“4m”“半边2m”对应到拱顶到水面、水面全长和左右半宽。

1. 抛物线拱桥

2. 水面线段 AB

3. 顶点 C

4. 红色数字 2、4、2

1. 先在顶点到水面之间强调竖直距离 2

2. 再把水面整段长度标为 4

3. 最后把左右半宽各标为 2

1. 抛物线开口向下

2. y 轴为对称轴

3. AB 为水平线段

这一视觉过程把文字条件转译成坐标图中的几何量，说明后续可以通过对称性确定点的横坐标绝对值为 2。

1. 图示
   观察依据

   左侧是拱桥示意图和坐标系，右侧上方是三种解析式，右侧下方逐步写出第一问解答。

2. 动画
   观察依据

   红色手写笔迹依次补全“交点式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$”以及“解：设 $y=a(x-h)^2+k(a\ne 0)$ ∵ 拱顶2m ∴ $C(0,2)$ ∴ y=ax^$2+2$”。

1. 拱桥抛物线图

2. 坐标系 x 轴、y 轴、原点 O

3. 点 A、B、C

4. 一般式、顶点式、交点式

5. 第一问解答过程

1. 先补全交点式公式

2. 再在图上圈出 A、B、C 等关键点

3. 最后把顶点式代入题中数据，得到 y=ax^$2+2$

1. 抛物线开口向下

2. 顶点在 y 轴上

3. 水面关于 y 轴对称

画面通过并列三种形式，再在图上标出已知点，直观说明“根据已知条件选择解析式形式”的解题策略。

1. 动画
   观察依据

   老师在图上圈出顶点 C，又圈出与 x 轴的交点 A、B。

2. 声音
   观察依据

   老师说“这个顶点是我们这个拱桥的最顶部”“我这个 A 点和 B 点是不是刚才你已经求出来了”。

1. 顶点 C

2. 交点 A

3. 交点 B

4. x 轴

1. 顶点被强调为可直接读出的信息

2. 两个 x 轴交点被强调为已知信息

1. 抛物线仍为同一条开口向下的曲线

2. A、B 仍在 x 轴上

这一标注过程把几何条件转成代数条件：顶点给出 (h,k)，交点给出 $x_1$、$x_2$，从而解释为何顶点式和交点式都可行。

1. 图示
   观察依据

   整段画面为白板式讲义：上方是题面，左下是拱桥示意图，右侧是红蓝手写推导区。

2. 动画
   观察依据

   随着讲解推进，右侧不断新增蓝色手写步骤，如 $A(-2,0)$、$0=4a+2$、$a=-1/2$、$y=-1/2x^2+2$、-1=-1/2x^$2+2$、$x^2=6$、x=±√6。

1. 题面文字

2. 拱桥示意图

3. 坐标系

4. 抛物线

5. 点 A、B、C

6. 右侧手写推导区

1. 第一问先在右侧写出设 y=ax^$2+2$

2. 随后补上代入 $A(-2,0)$ 的计算并写出最终解析式

3. 第二问在右侧另起一列写出 -1=-1/2x^$2+2$、$x^2=6$、x=±√6

4. 最后在示意图下方把左右交点标为 -√6 与 √6

1. 题图和题面始终可见

2. 抛物线形状与坐标系设置不变

3. 第一问结果 $y=-1/2x^2+2$ 在第二问中持续作为已知条件使用

画面通过“左边几何情境、右边代数推导”的同步呈现，把实际问题中的高度和宽度转化为坐标系中的 y 值和 x 值。

1. 声音
   观察依据

   老师说“下降一米是不是现在这个水面就要跑这儿来了”。“

2. 图示
   观察依据

   原水面在 x 轴，讲解后在图中强调新水面对应 $y=-1$，并把左右交点标为 ±√6。

1. 原水面 $y=0$

2. 新水面 $y=-1$

3. 抛物线

4. 左右交点

1. 水面从 x 轴下移到 $y=-1$ 的水平线

2. 与抛物线的交点从 A、B 变为横坐标 ±√6 的两点

3. 图中用红色标注突出新交点位置

1. 抛物线本身不变

2. 坐标系原点与顶点 $C(0,2)$ 不变

“水面下降1m”在图中表现为一条更低的水平截线，题目要求的是这条截线被抛物线截得的线段长度。

1. 图示
   观察依据

   画面左侧是拱桥示意图与坐标系，中部是第(1)问推导，右侧是第(2)问计算。

2. 字幕依据
   观察依据

   顶部标题为“小鹿老师课堂”，并有提示“视频结尾有练习题，举一反三看自己是否会做了”。

1. 拱桥示意图

2. 平面直角坐标系

3. 顶点 $C(0,2)$

4. 交点 $A(-2,0)$、$B(2,0)$

5. 紫色下降水面线

6. 第(1)问推导区

7. 第(2)问计算区

1. 讲解重点从左侧图形与第(1)问解析式，转到右侧第(2)问代入 $y=-1$ 的计算

2. 右侧逐步补全 $x^2=6$、x=±√6、√$6\times 2=2$√6

1. 坐标系设置不变

2. 抛物线形状与顶点位置不变

3. 题目条件“拱顶离水面2m、水面宽4m”不变

画面通过分栏同时呈现建模、解析式求解和第二问代入计算，便于把几何条件与代数方程对应起来。

1. 图示
   观察依据

   左侧图中出现紫色水平线，位于 x 轴下方。

2. 声音
   观察依据

   老师说“你这个水面到了紫色的这个线……你这个y得负1了”。

1. 紫色水平线

2. x 轴

3. 抛物线

4. y 轴

1. 水面位置从 x 轴下移到紫色水平线

2. 对应纵坐标从 $y=0$ 变为 $y=-1$