【俗说矩阵】二次型是什么？它和矩阵有什么关系？看完你就懂啦！

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(x)$=ax^2+bx+$c (a\ne 0)$，随后写出 $f(x)=a(x-h)^2+k$ 与 $f(x)$=ax^2。

$f(x)$

一元二次函数的函数值，以 x 为自变量。

视频未说明具体定义域；形式上 x 为实变量。

1. 公式
   观察依据

   黑板上 $f(x)$=ax^2+bx+c 中 a、b、c 分别乘以 $x^2$、x 和常数项。

a,b,c

一元二次函数的一般式系数；其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

视频未说明取值范围；画面明确给出限制 $a\ne 0$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(x)=a(x-h)^2+k$。

h,k

配方法得到的平移参数；h 控制水平平移，k 控制竖直平移。

视频未说明取值范围。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(x_1,x_2)$=ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2。

$x_1$,$x_2$

二元二次函数的两个自变量。

视频未说明具体定义域；形式上为实变量。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f(x_1,x_2)$=ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2。

$f(x_1,x_2)$

以 $x_1$ 和 $x_2$ 为自变量的二元二次函数。

视频未说明具体定义域。

1. 公式
   观察依据

   黑板上多次写出以 f= 开头的多元二次表达式，用于判断是否为二次型。

f

示例中多元二次函数的函数名或表达式左端。

视频未说明具体定义域。

1. 公式
   观察依据

   示例中出现 $x_3$，如 $3x_3^2$、$2x_2x_3$、$2x_1x_3$、$4x_1x_2x_3$。

$x_3$

三元示例中的第三个自变量。

视频未说明具体定义域。

1. 公式
   观察依据

   黑板上多次写出 $f = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 + 2x_2x_3 + 2x_1x_3$

f

三元二次型函数

实数域上的三元多项式

1. 公式
   观察依据

   公式中出现 $x_1$, $x_2$, $x_3$

$x_1$, $x_2$, $x_3$

二次型的三个变量

实数

1. 公式
   观察依据

   板书写出 $x^T A x$，并注明 ($A=A^T$)

A

二次型对应的系数矩阵

$3\times 3$ 实矩阵

1. 公式
   观察依据

   板书出现行向量 ($x_1 x_2 x_3$) 和列向量 [$x_1$; $x_2$; $x_3$]

x

由变量组成的列向量

三维实数空间

1. 公式
   观察依据

   画面多次以 f 开头写出二次型及其矩阵表示。

f

二次型函数

三元二次多项式

1. 声音
   观察依据

   旁白说初中就学过二次函数，一般形式是 $f(x)$=ax^2+bx+c，并且可以通过配方法写成 $f(x)=a(x-h)^2+k$。

2. 公式
   观察依据

   黑板依次显示 $f(x)$=ax^2+bx+$c (a\ne 0)$ 和 =$a(x-h)^2+k$。

视频先用熟悉的一元二次函数引入：一般式为 $f(x)$=ax^2+bx+c，其中画面明确标注 $a\ne 0$；通过配方法可改写为顶点式 $f(x)=a(x-h)^2+k$。这里的 h、k 对应平移后的顶点坐标参数。

1. a 不等于 0

2. x 为一元自变量

1. 声音
   观察依据

   旁白说通过坐标平移可将抛物线顶点平移到原点，成为 $f(x)$=ax^2，并称其为齐次二次函数。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示 $f(x)$=ax^2，旁边标注“齐次二次函数”。

视频把 $f(x)$=ax^2 称为“齐次二次函数”。其特点是表达式中没有一次项和常数项，只剩二次项；从几何上说，这是把原抛物线经坐标平移后顶点移到原点得到的简化形式。

1. 针对一元二次函数

2. 不含一次项和常数项

1. 一元二次函数的一般式与配方形式

1. 声音
   观察依据

   旁白说平时还会遇到多元二次函数，比如二元二次函数，其中不仅包括 $x_1^2$ 和 $x_2^2$，还包括 $x_1x_2$ 这样的交叉项。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示 $f(x_1,x_2)$=ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2。

视频用 $f(x_1,x_2)$=ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2 说明多元情形。这里 ax_1^2 与 cx_2^2 是单个变量的平方项，bx_1x_2 是两个不同变量的交叉项。旁白强调交叉项 $x_1x_2$ 的次数也是二次，因为它是两个自变量相乘。

1. $x_1$,$x_2$ 为自变量

2. 每一项总次数为 2

1. 一元齐次二次函数

1. 声音
   观察依据

   旁白说如果函数表达式里的每一项次数都是二，就称这个二次函数是齐次的，这种齐次二次函数也被称作二次型。

2. 公式
   观察依据

   黑板写出“如果一个多元二次函数的每一项的变量次数都是2，则称这个二次函数是齐次的，即二次型”。

视频给出的核心定义是：一个多元二次函数如果每一项的变量次数都是 2，则称它是齐次的，即二次型。换言之，二次型只允许出现平方项和两变量交叉项，不允许出现一次项、常数项、立方项或三项以上乘积项。

1. 多元二次函数

2. 每一项次数都为 2

3. 只含平方项和某两个变量的交叉相乘项

1. 二元二次函数中的平方项与交叉项

1. 声音
   观察依据

   旁白用“这三个函数就都是二次型”和“下面这四个函数都不是二次型”进行正反例判别。

2. 公式
   观察依据

   黑板列出多个 f= 表达式，并用方框圈出 $x_1^3$、$4x_1x_2x_3$、$4x_1$、+2 等非二次项。

视频的判别方法是逐项检查次数：若所有项的次数都等于 2，则为二次型；只要出现任意一项次数不是 2，就不是二次型。示例中把 $x_1^3$、$4x_1x_2x_3$、$4x_1$、+2 分别圈出，对应三次项、三项交叉乘积、一次项和常数项。

1. 适用于多元多项式表达式

2. 需逐项检查总次数

1. 二次型的定义

1. 声音
   观察依据

   旁白提到“是二次型”“有了二次型的基本认识”

2. 公式
   观察依据

   黑板展示多个含平方项和交叉项的表达式

视频以具体多项式引入二次型，强调其由变量的平方项和交叉项组成。

1. 讨论对象为实系数多项式

2. 变量为 $x_1$, $x_2$, $x_3$

1. 声音
   观察依据

   旁白说明“将交叉项拆成两个相等的项，也就是交叉项折半”

2. 公式
   观察依据

   $4x_1x_2$ 被拆为 $2x_1x_2 + 2x_1x_2$，$2x_2x_3$ 被拆为 $x_2x_3 + x_2x_3$，$2x_1x_3$ 被拆为 $x_1x_3 + x_1x_3$

为了把二次型写成对称矩阵形式，需要将每个交叉项平均拆成两项，再分别与对应平方项组合。

1. 用于构造对称矩阵表示

2. 拆分必须均等

1. 二次型的基本形式

1. 公式
   观察依据

   板书写出 ($x_1 x_2 x_3$) A [$x_1$; $x_2$; $x_3$] = $x^T A x$

2. 声音
   观察依据

   旁白说明“得到了矩阵表示的二次型，中间是一个对称矩阵”

通过行向量、系数矩阵和列向量的乘积，将二次型写成紧凑的矩阵形式。

1. A 为对称矩阵

2. x 为变量列向量

1. 交叉项折半操作
2. A
3. x

1. 声音
   观察依据

   旁白强调“只有表示成对应的实对称矩阵，二次型表示才是唯一的”

2. 公式
   观察依据

   板书列出多个非对称矩阵表示，最后框出对称矩阵

虽然二次型可以有多种矩阵表示，但只有对称矩阵表示是唯一的，因此通常采用对称矩阵。

1. 限定在实数域

2. 要求 $A = A^T$

1. 二次型的矩阵表示

1. 声音
   观察依据

   讲解者说“实际上，二次型对应的实对称矩阵可以直接写出”。

2. 公式
   观察依据

   画面给出 $f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3$，并写出多个矩阵乘积形式。

3. 公式
   观察依据

   底部文字说明“平方项 $x_i^2$ 的系数排在主对角线上的 a_{ii} 位置上，交叉项 $x_i x_j$ 的系数折半分在对应 a_{ij} 和 a_{ji} 位置”。

把一个三元二次型写成 $x^T A x$ 时，若要求 A 为实对称矩阵，则平方项系数直接放到主对角线位置，交叉项系数先折半，再分别放到对应的对称位置 a_{ij} 与 a_{ji}。视频用 $f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3$ 演示这一规则。

1. 二次型为实系数多项式

2. 目标矩阵表示取实对称矩阵

3. 交叉项系数需要折半后对称放置

1. 公式
   观察依据

   画面同时列出三个不同的矩阵乘积表示。

2. 字幕依据
   观察依据

   底部文字写“二次型对应的矩阵表示不唯一，可以有无数种表示方式”。

同一个二次型可以对应多种矩阵乘积表示，因此若只看到某个 $x^T B x$ 形式，不能默认 B 就是该二次型的唯一矩阵。

1. 讨论对象是同一二次型的不同矩阵表示

1. 二次型到实对称矩阵的直接书写规则

1. 字幕依据
   观察依据

   底部文字写“只有表示成实对称矩阵时，二次型的矩阵表示才是唯一的”。

2. 声音
   观察依据

   讲解者强调“就可以用研究实对称矩阵的方法研究二次型了”。

在所有矩阵表示中，只有要求矩阵为实对称矩阵时，二次型对应的矩阵表示才唯一。

1. 矩阵表示限定为实对称矩阵

1. 二次型的矩阵表示不唯一

1. 声音
   观察依据

   旁白说由于 $x_1x_2$ 是函数的自变量，所以交叉相乘的指数也是二次的，因此它也是一个齐次二次函数。

1. 旁白中“指数也是二次的”表述不够严谨，画面公式本身可验证的是 $x_1x_2$ 这一项的总次数为 2。

在 $f(x_1,x_2)$=ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2 中，交叉项 $x_1x_2$ 的总次数是 2，因此该表达式仍属于每一项次数都为 2 的齐次二次函数。

1. $x_1$,$x_2$ 是自变量

2. 项 $x_1x_2$ 表示两个不同自变量相乘

对所给二元表达式中的交叉项 $x_1x_2$ 成立。

1. 公式
   观察依据

   黑板写出“二次型中只能含有平方项和某两个变量的交叉相乘项”。

2. 声音
   观察依据

   旁白说显然二次型中只含变量的平方项和某两个变量的交叉项。

二次型中只能含有平方项和某两个变量的交叉相乘项。

1. 表达式是多元二次函数

2. 每一项次数都为 2

对所有被视频称为二次型的表达式成立。

1. 声音
   观察依据

   旁白：“任何一个二次型都对应一个对称矩阵……对应的矩阵就是实对称矩阵”

2. 公式
   观察依据

   板书：“任何一个实二次型都对应于一个实对称矩阵”

任何一个实二次型都可以唯一地对应到一个实对称矩阵。

1. 二次型为实系数

2. 采用交叉项折半构造矩阵

任意实二次型

1. 声音
   观察依据

   旁白：“由于拆分的任意性，矩阵表示二次型的方法有无数种”

2. 公式
   观察依据

   板书：“二次型对应的矩阵表示不唯一，可以有无数种表示方式”

如果不要求矩阵对称，则同一个二次型可以有无数种矩阵表示。

1. 允许交叉项不均等拆分

2. 不要求 $A = A^T$

存在无数种表示

1. 字幕依据
   观察依据

   底部文字明确写“只有表示成实对称矩阵时，二次型的矩阵表示才是唯一的”。

同一个二次型可以有无数种矩阵表示；只有把表示限定为实对称矩阵时，矩阵表示才唯一。

1. 讨论的是同一二次型的矩阵表示

2. 比较对象包括一般矩阵表示与实对称矩阵表示

对同一二次型的所有矩阵表示而言

1. 字幕依据
   观察依据

   底部文字写“二次型的秩定义为对应实对称矩阵的秩”。

2. 公式
   观察依据

   画面写出 $r(f)=r(A)$。

若二次型 f 表示为 $x^T A x$ 且 $A=A^T$，则称 $r(f)=r(A)$。

1. f 已写成 $x^T A x$ 形式

2. A 是实对称矩阵

对满足上述表示条件的二次型 f 与矩阵 A

1. 声音
   观察依据

   讲解者说“求二次型的秩之前，一定要检查对应的矩阵是不是实对称矩阵，如果不是实对称矩阵，要先化为实对称矩阵后再求秩”。

2. 字幕依据
   观察依据

   底部文字写“二次型的矩阵表示不唯一，因此对于表示为 $x^T A x$ 形式的二次型一定要检查 A 是否是实对称矩阵”。

由于二次型的矩阵表示不唯一，求二次型的秩时必须先检查所用矩阵是否为实对称矩阵；若不是，应先化为实对称矩阵再求秩。

1. 二次型已写成 $x^T A x$ 形式

2. 目标是求该二次型的秩

对任意以 $x^T A x$ 形式给出的二次型表示

1. 字幕依据
   观察依据

   矩阵的合同关系反映了同一个二次型在不同基向量下的矩阵表示，和相似矩阵一样也是一种矩阵的等价关系

矩阵的合同关系和相似矩阵一样，都属于特殊的矩阵等价关系。

1. 矩阵之间存在合同关系 $B = P^T A P$ (P可逆)

∀ 矩阵 A, B

1. 声音
   观察依据

   旁白说可以通过配方法写成 $f(x)=a(x-h)^2+k$，并通过坐标平移将抛物线顶点平移到坐标原点，这样就成为 $f(x)$=ax^2。

2. 公式
   观察依据

   黑板依次显示 $f(x)$=ax^2+bx+$c (a\ne 0)$、=$a(x-h)^2+k$、$f(x)$=ax^2。

1. 视频未展示从 ax^2+bx+c 到 $a(x-h)^2+k$ 的具体代数展开步骤。

1. 公式

   $$f(x)=ax^2+bx+c\quad(a\neq 0)$$
   解释

   从一元二次函数的一般式出发。

   步骤依据

   黑板直接给出的起始公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(x)=a(x-h)^2+k$$
   解释

   旁白说明可通过配方法改写成顶点式。

   步骤依据

   视频口头陈述“通过配方法写成”并同步显示该式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f(x)=ax^2$$
   解释

   再把顶点平移到坐标原点，消去平移参数 h、k，得到只含二次项的形式。

   步骤依据

   旁白明确说“通过坐标平移……顶点平移到坐标原点，这样就成为了 $f(x)$=ax^2”。

   视频直接表达

视频用配方法和坐标平移的直观说明，把一般一元二次函数化简为 $f(x)$=ax^2，并据此引出“齐次二次函数”的概念。

1. 公式
   观察依据

   黑板上半部分列出三个全为二次项的表达式，下半部分列出四个含非二次项的表达式。

2. 动画
   观察依据

   白色方框依次圈出 $x_1^3$、$4x_1x_2x_3$、$4x_1$、+2，最后出现红色叉号。

1. 公式

   $$f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3$$
   解释

   第一项示例中所有项分别是 $x_1^2$、$x_2^2$、$x_3^2$、$x_1x_2$、$x_2x_3$、$x_1x_3$，次数均为 2。

   步骤依据

   逐项检查总次数，符合视频给出的二次型定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f=4x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3$$
   解释

   第二项示例只含两两交叉项，每项次数仍为 2。

   步骤依据

   每一项都是两个自变量相乘。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2$$
   解释

   第三项示例只含平方项，也满足每项次数为 2。

   步骤依据

   每一项都是单个自变量的平方。

   视频直接表达
4. 公式

   $$f=x_1^3+2x_2^2+3x_3^2$$
   解释

   第四项示例出现 $x_1^3$，次数为 3，因此不是二次型。

   步骤依据

   违反“每一项次数都是 2”的定义。

   视频直接表达
5. 公式

   $$f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2x_3$$
   解释

   第五项示例出现 $4x_1x_2x_3$，这是三个变量相乘，次数为 3，因此不是二次型。

   步骤依据

   违反“只能含平方项和某两个变量的交叉相乘项”。

   视频直接表达
6. 公式

   $$f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1$$
   解释

   第六项示例出现 $4x_1$，这是一次项，因此不是二次型。

   步骤依据

   存在次数为 1 的项。

   视频直接表达
7. 公式

   $$f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3+2$$
   解释

   第七项示例出现常数项 +2，次数为 0，因此不是二次型。

   步骤依据

   存在次数不为 2 的项。

   视频直接表达

视频通过逐项检查次数，确认前三个表达式是二次型，后四个表达式因含有三次项、三项交叉乘积、一次项或常数项而不是二次型。

1. 公式
   观察依据

   从原始二次型逐步改写为分组形式、提取公因式形式、矩阵乘积形式

2. 声音
   观察依据

   旁白同步解释每一步的代数操作

1. 公式

   $$f = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 + 2x_2x_3 + 2x_1x_3$$
   解释

   写出原始三元二次型。

   步骤依据

   视频直接给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_1x_3) + (2x_2^2 + 2x_1x_2 + x_2x_3) + (3x_3^2 + x_1x_3 + x_2x_3)$$
   解释

   将交叉项折半后按变量重新分组。

   步骤依据

   旁白说明“交叉项折半”，板书展示拆分结果。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= x_1(x_1 + 2x_2 + x_3) + x_2(2x_1 + 2x_2 + x_3) + x_3(x_1 + x_2 + 3x_3)$$
   解释

   从每组中提取公共变量 $x_1$, $x_2$, $x_3$。

   步骤依据

   分配律逆用。

   视频直接表达
4. 公式

   $$= (x_1 \ x_2 \ x_3) \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 + x_3 \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 + 3x_3 \end{bmatrix}$$
   解释

   写成行向量乘以列向量的形式。

   步骤依据

   向量内积的定义。

   视频直接表达
5. 公式

   $$= (x_1 \ x_2 \ x_3) \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$$
   解释

   将列向量进一步分解为系数矩阵与变量列向量的乘积。

   步骤依据

   矩阵乘法展开。

   视频直接表达
6. 公式

   $$= x^T A x \quad (A = A^T)$$
   解释

   得到二次型的标准矩阵表示，且中间矩阵为对称矩阵。

   步骤依据

   记号简化与对称性观察。

   视频直接表达

通过交叉项折半和矩阵乘法，可将实二次型唯一地表示为 $x^T A x$，其中 A 为实对称矩阵。

1. 声音
   观察依据

   讲解者逐步说明“首先将平方项的系数写在主对角线上，然后交叉项系数折半……比如 $4x_1x_2$……把 4 折半成 2，将这两个 2 分别放在第一行第二列和第二行第一列的位置上”。

2. 公式
   观察依据

   画面给出 f 的多项式形式与最终矩阵 [[1,2,1],[2,2,1],[1,1,3]]。

3. 动画
   观察依据

   彩色框和连线把多项式项与矩阵元素位置对应起来。