用面积公式计算定积分｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   左侧列出了四个形如 ∫ f(x) dx 的积分。

2. 图示
   观察依据

   右侧的图表标注了函数名 f。

f

用于计算定积分的给定函数，其图像被使用。

图中函数从−6到6，此前段处理前两个区间。

1. 公式
   观察依据

   每个积分都写有 dx。

2. 图示
   观察依据

   水平轴标记为 x。

x

自变量 / 图表上的横坐标。

沿 x 轴的实变量。

1. 图示
   观察依据

   垂直轴标记为 y。

y

函数 f 在 x 处的因变量值。

垂直轴上显示的实数值。

1. 声音
   观察依据

   圆面积计算使用常数π。

2. 公式
   观察依据

   手写表达式在 (π·2²)/2 = 2π 中使用了 π。

π

用于圆面积公式的圆周率常数。

正实数常数。

1. 声音
   观察依据

   讲解将上方弧形区域识别为半圆，并说明图中的半径。

2. 公式
   观察依据

   书面计算将 r = 2 代入 πr²。

r

与半圆形区域相关的圆的半径。

正实数；此处 r = 2。

1. 公式
   观察依据

   积分写作 $\int f(x)\,dx$，且图像标记为 $f$。

f(x)

其定积分正从图像中求值的函数。

显示坐标系上的分段图像；x轴上方的值为正，下方的值为负。

1. 图示
   观察依据

   水平轴标记为 $x$，刻度大约从 $-6$ 到 $6$。

2. 公式
   观察依据

   每个积分都包含 $dx$。

x

作为积分变量的自变量/横坐标。

图像上显示的实数区间，大约为 $[-6,6]$。

1. 图示
   观察依据

   垂直轴标记为 $y$，刻度大约从 $-5$ 到 $5$。

y

表示 $f(x)$ 值的因变量/纵坐标。

显示的范围大约为 $[-5,5]$。

1. 公式
   观察依据

   列出了四个定积分：$\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$、$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$、$\int_{1}^{4} f(x)\,dx$、$\int_{4}^{6} f(x)\,dx$。

\int_a^b f(x)\,dx

$f$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分，在此解释为图像与 x 轴之间的有向面积。

$a,b$ 是显示的积分限。

1. 公式
   观察依据

   圆面积表达式写作 $\pi \cdot 1^2$，然后除以 2。

2. 声音
   观察依据

   讲解将圆面积公式用于最后半圆的半径，并取整个圆面积的一半。

\pi

圆面积公式中的常数。

正实数常数。

1. 声音
   观察依据

   讲解将圆面积公式用于最后半圆的半径，并取整个圆面积的一半。

2. 公式
   观察依据

   书面表达式使用$1^2$，其中已代入半径1。

r

面积公式 $\pi r^2$ 中使用的圆的半径。

此处 $r=1$。

1. 声音
   观察依据

   首个正值区域通过几何面积与定积分联系起来。

2. 图示
   观察依据

   从 x=-6 到 x=-2 的半圆下方的区域被阴影填充以匹配第一个积分。

对于第一个例子，视频将 $\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$ 解释为当图像位于轴上方时曲线与 x 轴之间的几何面积。

1. 函数在所考虑的区间上位于 x 轴上方。

2. 在有限有序区间a<b上，黎曼可积函数的定积分表示带符号面积：横轴上方的区域计为正，下方计为负。图中的分段曲线连续，这足以保证可积。两段弧线按本几何题给定的半圆处理，不能把任意相似曲线都认定为圆。

1. 声音
   观察依据

   讲解将上方弧形区域识别为半圆，并说明图中的半径。

2. 公式
   观察依据

   手写工作显示 (π·2²)/2 = 2π。

视频通过取整个圆面积 πr² 的一半来计算半圆的面积。当 r=2 时，得到 (π·2²)/2 = 2π。

1. 该区域恰好是一个半圆。

2. 半径已知。

1. 作为 x 轴上方几何面积的定积分

1. 声音
   观察依据

   讲解识别下方区域，并在积分贡献中赋予负号。

2. 图示
   观察依据

   第二个阴影区域位于 x=-2 和 x=1 之间的 x 轴下方。

对于 $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$，视频解释说可以计算轴下方区域的普通几何面积，然后加上负号，因为函数位于 x 轴下方。

1. 区间从下限遍历到上限。

2. 函数在整个被测量区域上位于 x 轴下方。

3. 在有限有序区间a<b上，黎曼可积函数的定积分表示带符号面积：横轴上方的区域计为正，下方计为负。图中的分段曲线连续，这足以保证可积。两段弧线按本几何题给定的半圆处理，不能把任意相似曲线都认定为圆。

1. 作为 x 轴上方几何面积的定积分

1. 声音
   观察依据

   下方梯形可以整体求面积，也可以拆成较简单的多边形区域。

2. 图示
   观察依据

   下部区域在视觉上被分解为更简单的多边形部分。

图中的下方四边形是梯形，可按整个梯形计算，也可分成一个矩形加两个三角形；这一方法针对图中的具体形状。

1. 该区域具有直线边界，因此可以被视为多边形。

1. 当图像在 x 轴下方时定积分为负

1. 声音
   观察依据

   讲解根据底和高开始计算三角形部分的面积。

2. 图示
   观察依据

   在下部区域的分解过程中挑出了一个三角形部分。

该三角形底为1、高为2，几何面积为1。在此前段结束前，图中已经标出单位面积。

1. 所选部分是一个底为 1 高为 2 的三角形。

1. 通过梯形公式或分解计算多边形面积

1. 声音
   观察依据

   这些例题说明横轴上方贡献为正、下方贡献为负。

2. 图示
   观察依据

   为每个请求的区间，在图像和 x 轴之间绘制了阴影区域。

在有限有序区间a<b上，黎曼可积函数的定积分表示带符号面积：横轴上方的区域计为正，下方计为负。图中的分段曲线连续，这足以保证可积。两段弧线按本几何题给定的半圆处理，不能把任意相似曲线都认定为圆。

1. $f$ 的图像在 $[a,b]$ 上可用。

2. 该区域可以分解为已知面积的标准形状。

3. 只有区域位于横轴同一侧时，才能统一赋予一个正负号；跨越横轴时应分别累加正负部分。

1. 声音
   观察依据

   三角形部分的面积用底乘垂直高，再取一半。

2. 公式
   观察依据

   此处的小三角形计算使用二分之一乘底1乘高2，面积为1；较大的三角形在后续处理。

三角形的面积等于其二分之一底乘高。视频应用了两次此公式：一次用于底为 1 高为 2 的小三角形，另一次用于底为 3 高为 4 的大三角形。

1. $b$ 是选定的底边长度。

2. $h$ 是对应于该底边的垂直高度。

1. 声音
   观察依据

   矩形部分的面积由两个边长相乘得到。

2. 图示
   观察依据

   在图像上识别出 x 轴下方阴影区域的一个矩形部分。

矩形的面积是长乘宽。在示例中，矩形的边长为 2 和 1，面积为 2。

1. $l$ 和 $w$ 是矩形的边长。

1. 声音
   观察依据

   讲解将圆面积公式用于最后半圆的半径，并取整个圆面积的一半。

2. 公式
   观察依据

   写作 $\pi \cdot 1^2$，然后对于半圆除以 2。

完整圆的面积是 $\pi r^2$。如果只有半个圆存在，如最后一个区间所示，面积减半：$\frac{\pi r^2}{2}$。当 $r=1$ 时，半圆面积为 $\frac{\pi}{2}$。

1. 该区域是一个完整的圆或恰好半个圆。

2. $r$ 是半径。

1. 声音
   观察依据

   多边形各部分先相加得到普通面积，再因区域在横轴下方而取负积分。

2. 公式
   观察依据

   $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$ 的答案写作 $-4$。

如果图像与 x 轴之间的相关区域位于 x 轴下方，则该区间上的定积分等于普通几何面积的负值。

1. $f$ 的图像在所考虑的区间上位于 x 轴下方。

2. 已计算出该区域的总无符号面积。

3. 在有限有序区间a<b上，黎曼可积函数的定积分表示带符号面积：横轴上方的区域计为正，下方计为负。图中的分段曲线连续，这足以保证可积。两段弧线按本几何题给定的半圆处理，不能把任意相似曲线都认定为圆。

对图中有序区间，函数非正且普通面积为正；横轴上的端点贡献为零。

1. 声音
   观察依据

   上方三角形根据图中的底和高求面积，正的几何面积就是该积分。

2. 公式
   观察依据

   书面结果：$\frac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$。

当有界区域位于 x 轴上方时，定积分等于该区域的正几何面积。

1. $f$ 的图像在所考虑的区间上位于 x 轴上方。

2. 已计算出该区域的几何面积。

3. 在有限有序区间a<b上，黎曼可积函数的定积分表示带符号面积：横轴上方的区域计为正，下方计为负。图中的分段曲线连续，这足以保证可积。两段弧线按本几何题给定的半圆处理，不能把任意相似曲线都认定为圆。

对图中有序区间，函数非负且普通面积为正。

1. 声音
   观察依据

   首个计算将圆面积减半，得到图中的半圆结果。

2. 公式
   观察依据

   手写链显示 (π·2²)/2 = 2π。

3. 图示
   观察依据

   从 x=-6 到 x=-2 的阴影半圆形区域被确定为相关面积。

1. 公式

   $$\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$$
   解释

   从第一个要求的定积分开始。

   步骤依据

   这是屏幕上显示的问题陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{area under } f \text{ 且 above the } x\text{-axis on }[-6,-2]$$
   解释

   将积分解释为阴影区域的几何面积。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{region is a semicircle with radius }2$$
   解释

   识别形状并从图中读出其半径。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi\cdot 2^2}{2}$$
   解释

   使用圆面积公式，并取其一半，因为该区域是半圆。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
5. 公式

   $$2\pi$$
   解释

   简化表达式以获得积分的值。

   步骤依据

   对 (π·2²)/2 进行算术简化。

   视频直接表达

$\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$ = 2π。

1. 声音
   观察依据

   第二问先确定负号，再开始分解横轴下方的区域。

2. 图示
   观察依据

   从 x=-2 到 x=1 的区域在轴下方被阴影填充，然后分割成更简单的形状。

3. 公式
   观察依据

   一个三角形被写为 1 乘以 2 乘以二分之一。

1. 在此前段时间点，第二问仍在计算中；同一完整视频随后得到−4，并继续完成最后两问。

1. 公式

   $$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$$
   解释

   开始第二个要求的定积分。

   步骤依据

   这是接下来显示并大声朗读的问题。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(x)\le0\quad(-2\le x\le1)$$
   解释

   图像在闭区间上非正，在内部为负，两端点都在横轴上。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   补充解释
3. 公式

   $$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx = -(\text{geometric area of the region})$$
   解释

   通过添加减号将几何面积转换为带符号的积分值。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{area can be found as a trapezoid or as rectangle + two triangles}$$
   解释

   选择一种方法来计算多边形区域的几何面积。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
5. 公式

   $$A_{\triangle}=\frac{1\cdot 2}{2}$$
   解释

   计算分解中的一个三角形部分。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达

在此前段时间点，第二问仍在计算中；同一完整视频随后得到−4，并继续完成最后两问。

1. 声音
   观察依据

   多边形各部分先相加得到普通面积，再因区域在横轴下方而取负积分。

2. 公式
   观察依据

   最终书面答案是 $-4$。

1. 公式

   $$A_1=1$$
   解释

   阴影区域的一个小三角形部分的面积为 1。

   步骤依据

   三角形面积公式 $\frac12 bh$，底为 1，高为 2。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A_2=2$$
   解释

   一个矩形部分的面积为 2。

   步骤依据

   矩形面积公式 $lw$，边长为 2 和 1。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A_3=1$$
   解释

   另一个三角形部分的面积也为 1。

   步骤依据

   三角形面积公式 $\frac12 bh$，底为 1，高为 2。

   视频直接表达
4. 公式

   $$A_{\text{total}}=1+2+1=4$$
   解释

   将三个无符号面积相加得到总几何面积。

   步骤依据

   非重叠部分的面积可加性。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=-4$$
   解释

   因为整个区域位于 x 轴下方，有向积分是总面积的负值。

   步骤依据

   定积分的有向面积解释。

   视频直接表达

$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=-4$。

1. 声音
   观察依据

   上方三角形根据图中的底和高求面积，正的几何面积就是该积分。

2. 公式
   观察依据

   书面计算：$\frac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$。

1. 公式

   $$b=4-1=3$$
   解释

   三角形的底边从 $x=1$ 延伸到 $x=4$。

   步骤依据

   从图像读取水平范围。

   视频直接表达
2. 公式

   $$h=4$$
   解释

   三角形的高度为 4 个单位。

   步骤依据

   从图像读取垂直范围。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A=\frac12 \cdot 3 \cdot 4=6$$
   解释

   应用三角形面积公式。

   步骤依据

   $A_{\triangle}=\frac12 bh$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{1}^{4} f(x)\,dx=6$$
   解释

   区域位于 x 轴上方，因此有向面积为正。

   步骤依据

   定积分的有向面积解释。

   视频直接表达

$\int_{1}^{4} f(x)\,dx=6$。

1. 声音
   观察依据

   下方弧形区域被识别为半圆，面积为圆面积的一半，积分再赋予负号。

2. 公式
   观察依据

   书面结果：$-\frac{\pi \cdot 1^2}{2}=-\frac{\pi}{2}$。

1. 公式

   $$r=1$$
   解释

   弯曲区域被识别为半径为 1 的半圆。

   步骤依据

   从图像的视觉识别和说话者的陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A_{\text{circle}}=\pi r^2=\pi\cdot 1^2$$
   解释

   从完整圆的面积公式开始。

   步骤依据

   圆面积公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A_{\text{semicircle}}=\frac{\pi\cdot 1^2}{2}$$
   解释

   因为只有半个圆存在，所以除以 2。

   步骤依据

   半圆是圆的一半。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{4}^{6} f(x)\,dx=-\frac{\pi\cdot 1^2}{2}=-\frac{\pi}{2}$$
   解释

   半圆形区域位于 x 轴下方，因此积分为负。

   步骤依据

   定积分的有向面积解释。

   视频直接表达

$\int_{4}^{6} f(x)\,dx=-\frac{\pi}{2}$。

1. 公式
   观察依据

   列出的第一个积分是 $\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$ = ?。

2. 声音
   观察依据

   首个计算将圆面积减半，得到图中的半圆结果。

3. 图示
   观察依据

   x 轴上方的半圆形区域被阴影填充。

从给定的 f 的图像中找到定积分 $\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$。

1. 提供了 f 的图像。

2. 在 [-6,-2] 上，图像形成 x 轴上方的半圆。

3. 半圆的半径是 2。

计算定积分的精确值。

1. 公式

   $$\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$$
   解释

   识别目标积分。

   步骤依据

   在屏幕上的问题列表中给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{area of shaded region above the }x\text{-axis}$$
   解释

   将积分转化为面积问题。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\pi\cdot 2^2}{2}$$
   解释

   使用半径为 2 的半圆面积公式。

   步骤依据

   该区域被识别为半圆，且圆面积公式是 πr²。

   视频直接表达
4. 公式

   $$2\pi$$
   解释

   简化为最终值。

   步骤依据

   直接算术简化。

   视频直接表达

$2\pi$

结果与第一个积分旁边显示的最终手写表达式相符。

1. 公式
   观察依据

   列出的第二个积分是 $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$ = ?。

2. 声音
   观察依据

   第二问先确定负号，再开始分解横轴下方的区域。

3. 图示
   观察依据

   x 轴下方的区域被阴影填充并分割成更简单的多边形部分。

1. 在此前段时间点，第二问仍在计算中；同一完整视频随后得到−4，并继续完成最后两问。

从相同的 f 的图像中找到定积分 $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$。

1. 提供了 f 的图像。

2. 在 [-2,1] 上，相关区域位于 x 轴下方。

3. 下部区域可以被视为梯形或分解为一个矩形和两个三角形。

4. 一个三角形的底是 1，高是 2。

使用几何面积和符号计算定积分。

1. 公式

   $$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$$
   解释

   识别第二个目标积分。

   步骤依据

   在屏幕上的问题列表中给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{function is below the }x\text{-axis}$$
   解释

   认识到该区域贡献负的带符号面积。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-(\text{geometric area})$$
   解释

   计划先计算普通面积然后取负。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{trapezoid or rectangle + two triangles}$$
   解释

   选择面积的几何分解。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{1\cdot 2}{2}$$
   解释

   开始计算一个三角形组件。

   步骤依据

   依据此处图中的区域、已经识别的形状及所说明的面积公式。

   视频直接表达

在此前段时间点，第二问仍在计算中；同一完整视频随后得到−4，并继续完成最后两问。

同一视频后续的结果−4验证了负号与普通面积4。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上的提示：$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=?$；最终书面答案 $-4$。

2. 声音
   观察依据

   多边形各部分先相加得到普通面积，再因区域在横轴下方而取负积分。

根据给定图像求 $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$。

1. 坐标平面上的 $f$ 图像。

2. 区间 $[-2,1]$。

3. x 轴下方由两个三角形和一个矩形组成的区域。

将有向面积计算为定积分。

1. 公式

   $$A_{\triangle}=\frac12\cdot 1\cdot 2=1$$
   解释

   计算第一个小三角形的面积。

   步骤依据

   三角形面积公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A_{\text{rect}}=2\cdot 1=2$$
   解释

   计算矩形的面积。

   步骤依据

   矩形面积公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A_{\triangle}=\frac12\cdot 1\cdot 2=1$$
   解释

   计算第二个小三角形的面积。

   步骤依据

   三角形面积公式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$1+2+1=4$$
   解释

   将无符号面积相加。

   步骤依据

   总面积是各部分之和。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=-4$$
   解释

   因为区域在 x 轴下方，所以赋予负号。

   步骤依据

   定积分的有向面积规则。

   视频直接表达

$-4$

与屏幕上写的最终答案一致。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上的提示：$\int_{1}^{4} f(x)\,dx=?$；书面计算 $\frac12\cdot 3\cdot 4=6$。

2. 声音
   观察依据

   上方三角形根据图中的底和高求面积，正的几何面积就是该积分。

根据给定图像求 $\int_{1}^{4} f(x)\,dx$。

1. $f$ 的图像。

2. 区间 $[1,4]$。

3. x 轴上方呈三角形形状的区域。

将有向面积计算为定积分。

1. 公式

   $$b=3$$
   解释

   底边从 $x=1$ 延伸到 $x=4$。

   步骤依据

   图像上的水平距离。

   视频直接表达
2. 公式

   $$h=4$$
   解释

   高度为 4 个单位。

   步骤依据

   从图像读取的垂直范围。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac12\cdot 3\cdot 4=6$$
   解释

   应用三角形面积公式。

   步骤依据

   $A_{\triangle}=\frac12 bh$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{1}^{4} f(x)\,dx=6$$
   解释

   区域在 x 轴上方，因此有向面积为正。

   步骤依据

   有向面积解释。

   视频直接表达

$6$

与屏幕上写的最终答案一致。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上的提示：$\int_{4}^{6} f(x)\,dx=?$；书面结果 $-\frac{\pi\cdot 1^2}{2}=-\frac{\pi}{2}$。

2. 声音
   观察依据

   下方弧形区域被识别为半圆，面积为圆面积的一半，积分再赋予负号。

根据给定图像求 $\int_{4}^{6} f(x)\,dx$。

1. $f$ 的图像。

2. 区间 $[4,6]$。

3. x 轴下方呈半径为 1 的半圆形状的区域。

将有向面积计算为定积分。

1. 公式

   $$r=1$$
   解释

   识别半圆的半径。

   步骤依据

   图像的视觉读取加上说话者的陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A_{\text{full circle}}=\pi r^2=\pi\cdot 1^2$$
   解释

   写出完整圆的面积。

   步骤依据

   圆面积公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A_{\text{semicircle}}=\frac{\pi\cdot 1^2}{2}$$
   解释

   因为只出现半圆，所以取一半。

   步骤依据

   半圆是圆的一半。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{4}^{6} f(x)\,dx=-\frac{\pi\cdot 1^2}{2}=-\frac{\pi}{2}$$
   解释

   因为区域在 x 轴下方，所以取负。

   步骤依据

   有向面积解释。

   视频直接表达

$-\frac{\pi}{2}$

与屏幕上写的最终答案一致。

1. 图示
   观察依据

   整个过程中可见带有标记轴和 f 的青色图形的坐标网格。

2. 公式
   观察依据

   屏幕左侧列出了四个积分。

1. 笛卡尔坐标平面

2. f 的图像

3. 四个定积分列表

4. 紫色指针点

1. 指针在列出的积分和图形的相应部分之间移动。

2. 随着讨论的进行，前两个积分旁边出现手写注释。

1. f 的图像保持在右侧固定。

2. 四个积分提示保持在左侧列出。

视觉设置将每个代数积分与 f 图形下的特定区域联系起来。

1. 图示
   观察依据

   从 x=-6 到 x=-2 在 x 轴上方的区域被阴影填充。

2. 公式
   观察依据

   手写表达式 (π·2²)/2 = 2π 出现在第一个积分旁边。

1. x 轴上方的半圆形区域

2. 标记为 2 的半径标记

3. 手写面积公式

1. 半圆形区域变为阴影。

2. 写入半径注释和面积计算。

1. 图的其余部分保持不变。

动画在视觉上将第一个定积分转换为半圆面积问题。

1. 图示
   观察依据

   从 x=-2 到 x=1 在 x 轴下方的区域被阴影填充。

2. 动画
   观察依据

   下部区域随后被细分为更简单的多边形部分。

1. 在此前段时间点，第二问仍在计算中；同一完整视频随后得到−4，并继续完成最后两问。

1. x 轴下方的多边形区域

2. 矩形部分

3. 两个三角形部分

4. 梯形解释

1. 下部区域被阴影填充。

2. 内部线条将区域划分为更简单的形状以进行面积计算。

1. 从 x=-2 到 x=1 的区域的外边界保持不变。

视觉过程支持先计算几何面积然后给积分分配负号的口头方法。

1. 图示
   观察依据

   图像显示了曲线和 x 轴之间的几个彩色区域，对应于四个请求的积分。

2. 动画
   观察依据

   当讨论每个积分时，相关区域在视觉上被强调。

1. 音频中没有完全描述每个子区域的确切颜色编码。

1. 标记为 $x$ 和 $y$ 的坐标轴。

2. $f$ 的图像。

3. $[-6,-2]$、$[-2,1]$、$[1,4]$ 和 $[4,6]$ 上的阴影区域。

4. 左侧列出的四个定积分。

1. 注意力从一个积分转移到下一个。

2. 当讨论其积分时，每个目标区域都被高亮显示。

1. $f$ 的基础图像在整个过程中保持不变。

2. 四个请求的积分一直列在屏幕上。

视觉设置支持将每个定积分解释为指定区间上图像与 x 轴之间的有向面积。

1. 图示
   观察依据

   $[-2,1]$ 的区域被分解为更简单的几何部分。

2. 声音
   观察依据

   多边形各部分先相加得到普通面积，再因区域在横轴下方而取负积分。

1. 一个小三角形。

2. 一个矩形。

3. 另一个小三角形。

1. 说话者逐块遍历复合区域。

2. 单独的面积被求和为一个总数。

1. 所有部分都位于 x 轴下方。

2. 整体区间保持为 $[-2,1]$。

可以通过将其分割为标准形状、求和它们的面积，然后应用正确的符号来评估复合区域。

1. 图示
   观察依据

   $[1,4]$ 的区域是 x 轴上方的单个三角形。

2. 声音
   观察依据

   上方三角形根据图中的底和高求面积，正的几何面积就是该积分。

1. 一个由图像和 x 轴围成的三角形。

1. 直接从图像识别底和高。

1. 区域完全保持在 x 轴上方。

当区域是单个简单形状时，可以直接读取其面积并将其用作积分的正值。

1. 图示
   观察依据

   $[4,6]$ 的区域是 x 轴下方的半圆形帽。

2. 声音
   观察依据

   下方弧形区域被识别为半圆，面积为圆面积的一半，积分再赋予负号。

1. 一个半径为 1 的半圆。

1. 通过除以 2 将完整圆面积公式调整为半圆。

2. 然后因为区域在轴下方而反转符号。

1. 形状在整个解释过程中保持圆形/半圆形。

弯曲区域仍然可以通过将它们识别为圆的分数并应用相同的有向面积原理来处理。

1. 声音
   观察依据

   讲解识别下方区域，并在积分贡献中赋予负号。

人们可能只计算 x 轴下方区域的几何面积而忘记定积分带有负号。

视频明确警告当函数在 x 轴下方时，积分等于几何面积的负值。

1. 声音
   观察依据

   多边形各部分先相加得到普通面积，再因区域在横轴下方而取负积分。

在相加各部分的面积后，人们可能错误地得出结论 $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=4$。

定积分是有向面积。由于区域位于 x 轴下方，正确值是 $-4$，而不是 $4$。

1. 声音
   观察依据

   首个正值区域通过几何面积与定积分联系起来。

定积分作为面积的定义应用于第一个例子中的半圆形区域。

1. 声音
   观察依据

   下方梯形可以整体求面积，也可以拆成较简单的多边形区域。

带符号面积规则决定最终符号，而梯形/分解方法提供几何面积的大小。

1. 声音
   观察依据

   讲解根据底和高开始计算三角形部分的面积。

分解方法包含三角形面积计算作为其子步骤之一。

1. 声音
   观察依据

   三角形部分的面积用底乘垂直高，再取一半。

有向面积方法将积分简化为几何面积计算，包括三角形公式。

1. 声音
   观察依据

   矩形部分的面积由两个边长相乘得到。

相同的积分评估方法对一个子区域使用矩形面积公式。

1. 声音
   观察依据

   讲解将圆面积公式用于最后半圆的半径，并取整个圆面积的一半。

对于最后一个区间，有向面积方法依赖于圆/半圆面积公式。

1. 声音
   观察依据

   这些例题说明横轴上方贡献为正、下方贡献为负。

x 轴下方的区域贡献负有向面积，而上方的区域贡献正有向面积。

1. 声音
   观察依据

   讲解将上方弧形区域识别为半圆，并说明图中的半径。

1. 作为 x 轴上方几何面积的定积分
2. 由圆面积公式得出的半圆面积
3. 通过半圆面积评估 $\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$
4. 例 1：$\int_{-6}^{-2} f(x)\,dx$

1. 声音
   观察依据

   讲解识别下方区域，并在积分贡献中赋予负号。

1. 当图像在 x 轴下方时定积分为负
2. 不要在定积分中将 x 轴下方的面积视为正
3. 使用带符号面积和分解部分评估 $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$

1. 声音
   观察依据

   下方梯形可以整体求面积，也可以拆成较简单的多边形区域。

1. 通过梯形公式或分解计算多边形面积
2. 第二个例子中的三角形面积计算
3. 使用带符号面积和分解部分评估 $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$

1. 图示
   观察依据

   屏幕将列出的积分与 f 图形上的阴影区域配对。

1. 作为 x 轴上方几何面积的定积分
2. 例题的整体布局
3. 第一个积分的阴影和注释
4. 第二个积分的阴影和分解

1. 声音
   观察依据

   多边形各部分先相加得到普通面积，再因区域在横轴下方而取负积分。

1. 利用有向面积从图像评估定积分
2. x 轴下方区域的积分为负
3. 误将总几何面积当作定积分

1. 声音
   观察依据

   上方三角形根据图中的底和高求面积，正的几何面积就是该积分。

1. 三角形面积公式
2. 示例：$\int_{1}^{4} f(x)\,dx$

1. 声音
   观察依据

   下方弧形区域被识别为半圆，面积为圆面积的一半，积分再赋予负号。

1. 圆和半圆的面积公式
2. 示例：$\int_{4}^{6} f(x)\,dx$

1. 声音
   观察依据

   这些例题说明横轴上方贡献为正、下方贡献为负。

1. 利用有向面积从图像评估定积分