从函数图像计算定积分例题｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   定积分写作 \int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2} dx。

\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2} dx

从负三到三对九减 x 平方的平方根进行定积分。

x \in [-3, 3]

1. 图示
   观察依据

   绘制了一条垂直轴并标记为 'y'。

y

用于绘制函数图像的垂直坐标轴。

实数

1. 图示
   观察依据

   绘制了一条水平轴并标记为 'x'。

x

用于绘制函数图像的水平坐标轴。

实数

1. 公式
   观察依据

   函数写作 y = f(x) = \sqrt{9-x^2}。

f(x)

被积函数，定义为九减 x 平方的平方根。

x \in [-3, 3]

1. 公式
   观察依据

   方程写作 y^2 + x^2 = 9。

y^2 + x^2 = 9

以原点为中心、半径为三的圆的方程。

(x, y) \in \mathbb{R}^2

1. 公式
   观察依据

   左上角黑板显示 $\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx$。

$\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx$

正在通过几何方法求值的定积分。

积分变量 $x$ 从 $-3$ 到 $3$。

1. 公式
   观察依据

   右侧以 $y=f(x)=\sqrt{9-x^2}$ 开头。

2. 声音
   观察依据

   主平方根选取画面中圆的关系的非负分支。

$f(x)=\sqrt{9-x^2}$

由正平方根得到的上半圆函数。

在 $-3 \le x \le 3$ 时为实值。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $y^2+x^2=9$。

2. 声音
   观察依据

   讲解识别圆的关系与半径 3。

$y^2+x^2=9$

圆心在原点、半径为 3 的完整圆的方程。

满足该方程的所有实数对 $(x,y)$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着 "radius = 3"。

2. 声音
   观察依据

   讲解识别圆的关系与半径 3。

$r=3$

用于面积计算的圆及半圆区域的半径。

正实数。

1. 公式
   观察依据

   绿色字迹显示 $\pi 3^2 = 9\pi$，然后是 $\frac{\pi 3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解使用整圆面积，再取一半来计算本题积分。

$\frac{9\pi}{2}$

上半圆的面积，等于定积分的值。

非负实数面积。

1. 声音
   观察依据

   讲解以对称区间上的平方根积分为问题。

2. 公式
   观察依据

   \int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2} dx

视频展示了一个定积分问题，可以通过将被积函数解释为函数的图像来解决，而不是使用代数积分技术。

1. 积分限为 -3 和 3。

2. 被积函数是 \sqrt{9-x^2}。

1. 声音
   观察依据

   讲解建议辨认图像，代替求原函数。

本题函数在有序区间 [-3,3] 上连续且非负，因此定积分等于图像下方的普通面积。识别上半圆后可以使用面积公式。若可积函数改变正负号，应按符号计算各部分贡献，不能把所有面积都作为正数相加。一般适用条件为编辑补充。

1. 画面中的函数在 [-3,3] 上连续且非负。

2. 一般积分解释要求函数可积，并按有序区间讨论。

1. 定积分问题

1. 声音
   观察依据

   主平方根选取画面中圆的关系的非负分支。

2. 公式
   观察依据

   黑板对比了 $y=f(x)=\sqrt{9-x^2}$ 与导致 $y^2+x^2=9$ 的平方关系。

视频区分了完整的圆关系与由正平方根给出的函数。取 $\sqrt{9-x^2}$ 意味着选择非负的 $y$ 值，因此图形只是圆的上半部分，而不是两部分。

1. 在实数范围内工作。

2. 使用主（非负）平方根。

1. 公式
   观察依据

   右侧显示 $y^2=9-x^2$，然后是 $y^2+x^2=9$，标记为 "circle" 和 "radius = 3"。

2. 声音
   观察依据

   讲解识别圆的关系与半径 3。

平方后，关系变为 $y^2+x^2=9$，这是圆心在原点、半径为 3 的圆的标准方程。这个完整的圆包含上半和下半分支，不同于原始的平方根函数。

1. 中心在 $(0,0)$。

2. 半径 $3$。

1. 主平方根选择上半分支

1. 声音
   观察依据

   讲解把实数平方根限制在被开方数非负的输入范围内。

2. 公式
   观察依据

   显示的函数中的被开方数是 $9-x^2$。

为了使平方根保持实值，内部的表达式必须是非负的。视频指出，当 $|x|>3$ 时，量 $9-x^2$ 变为负数，因此在实数设定下主平方根在那里没有定义。

1. 平方根的实值解释。

2. 主平方根约定。

1. 主平方根选择上半分支

1. 声音
   观察依据

   讲解把水平轴上方的阴影区域与积分联系起来。

2. 图示
   观察依据

   粉色半圆下方且 x 轴上方的区域被涂成绿色。

片段使用了定积分的几何意义：因为图形在 $[-3,3]$ 上位于 x 轴上或上方，积分等于曲线与轴之间阴影区域的面积。

1. 函数在区间上非负。

2. 区间匹配半圆的可见支撑集。

3. 画面中的函数在闭合有序区间上连续，因此可积。

1. $y=\sqrt{9-x^2}$ 的图形是一个上半圆

1. 声音
   观察依据

   讲解在坐标平面中画出上半圆。

2. 图示
   观察依据

   坐标轴在 x 轴的 $-3$、$3$ 处和 y 轴的 $3$ 处做了标记；画出了一个粉色的上半圆。

该函数被绘制为圆心在原点、半径为 3 的圆的上半部分。其端点是 $(-3,0)$ 和 $(3,0)$，最高点是 $(0,3)$。

1. 主平方根。

2. 实平面坐标。

1. 主平方根选择上半分支
2. 平方方程描述完整的圆

1. 声音
   观察依据

   讲解使用整圆面积，再取一半来计算本题积分。

2. 公式
   观察依据

   计算通过 $\pi 3^2=9\pi$ 然后除以 2 进行。

一旦识别出被积函数是上半圆，就可以从初等几何计算积分：找到完整圆的面积并将其减半。不需要任何积分技巧。

1. 识别图形为半圆。

2. 使用圆的真实几何面积公式。

1. $y=\sqrt{9-x^2}$ 的图形是一个上半圆
2. 定积分解释为图形下方的有向面积

1. 声音
   观察依据

   主平方根选取画面中圆的关系的非负分支。

2. 公式
   观察依据

   黑板将平方根表达式标记为 "top of circle"。

对于实数 $x$，$y=\sqrt{9-x^2}$ 给出 $x^2+y^2=9$ 的上半圆。

1. 平方根表示主非负根。

2. 在实平面中工作。

对于所有实数 $x$，满足 $-3\le x\le 3$ 的情形。

1. 声音
   观察依据

   讲解把实数平方根限制在被开方数非负的输入范围内。

如果 $|x|>3$，那么 $9-x^2<0$，因此在主根约定下 $\sqrt{9-x^2}$ 不是实值的。

1. 实值平方根。

2. 主平方根约定。

对于所有实数 $x$，满足 $|x|>3$ 的情形。

1. 声音
   观察依据

   讲解使用整圆面积，再取一半来计算本题积分。

2. 公式
   观察依据

   最终写出的结果是 $\frac{9\pi}{2}$。

$\displaystyle \int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}$。

1. 将积分解释为 $[-3,3]$ 上图形的面积。

2. 识别图形为半径为 3 的上半圆。

显示的定积分的精确相等。

1. 公式
   观察依据

   y = \sqrt{9-x^2}

2. 公式
   观察依据

   y^2 = 9-x^2

3. 公式
   观察依据

   y^2 + x^2 = 9

4. 声音
   观察依据

   函数方程经平方与移项，可识别对应的圆。

1. 公式

   $$y = \sqrt{9-x^2}$$
   解释

   从给定的函数开始。

   步骤依据

   被积函数的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y^2 = 9-x^2$$
   解释

   平方得到画面中的圆方程。须保留主平方根给出的 y≥0 与 x∈[-3,3]；若只反推平方后的方程，还会包含下半圆。

   步骤依据

   代数变换。

   补充解释
3. 公式

   $$y^2 + x^2 = 9$$
   解释

   两边加上 x^2。

   步骤依据

   代数变换。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x^2+y^2=9,\quad (0,0),\quad r=3$$
   解释

   识别圆的标准方程形式。

   步骤依据

   标准圆锥曲线知识。

   补充解释

关系 y²+x²=9 是半径 3 的圆；加上 y≥0 后才得到原函数的上半圆。单独的整圆方程不与原函数等价。

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $y=f(x)=\sqrt{9-x^2}$，然后是 $y^2=9-x^2$，然后是 $y^2+x^2=9$。

2. 声音
   观察依据

   主平方根选取画面中圆的关系的非负分支。

1. 公式

   $$y=\sqrt{9-x^2}$$
   解释

   从给定的函数开始。

   步骤依据

   显示在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y^2=9-x^2$$
   解释

   两边平方以去除根号。

   步骤依据

   黑板上显示的代数操作。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y^2+x^2=9$$
   解释

   重排为标准圆形式。

   步骤依据

   两边加上 $x^2$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$y=\sqrt{9-x^2}\ \Rightarrow\ y\ge 0$$
   解释

   因为原始表达式使用主平方根，所以只保留圆的上半部分。

   步骤依据

   在音频中明确陈述并标注为 "top of circle"。

   视频直接表达

$y=\sqrt{9-x^2}$ 的图形是 $x^2+y^2=9$ 的上半圆。

1. 声音
   观察依据

   讲解使用整圆面积，再取一半来计算本题积分。

2. 公式
   观察依据

   绿色字迹显示 $\pi 3^2=9\pi$，然后是 $\frac{\pi 3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}$。

1. 公式

   $$\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx = \text{area under } y=\sqrt{9-x^2} \text{ on } [-3,3]$$
   解释

   将积分重写为阴影几何面积。

   步骤依据

   在阴影区域时直接在音频中陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{full circle area} = \pi r^2 = \pi(3)^2 = 9\pi$$
   解释

   计算半径为 3 的整个圆的面积。

   步骤依据

   标准圆面积公式，口头说出并写出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{semicircle area} = \frac{9\pi}{2}$$
   解释

   取整个圆的一半，因为图形只是上半部分。

   步骤依据

   原片因阴影区域是上半圆，而将整圆面积减半。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}$$
   解释

   将半圆面积代回作为积分的值。

   步骤依据

   结论写在黑板上。

   视频直接表达

定积分等于 $\frac{9\pi}{2}$。

1. 声音
   观察依据

   例题从绘图与辨认函数图像入手。

2. 公式
   观察依据

   \int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2} dx

1. 首 105 秒分段在面积计算之前结束；完整后续讲解完成数值结果。

计算 \int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2} dx。

1. 被积函数是 \sqrt{9-x^2}。

2. 积分限为 -3 和 3。

通过将其解释为面积来找到定积分的值。

1. 公式

   $$y = \sqrt{9-x^2}$$
   解释

   定义要绘制的函数。

   步骤依据

   将被积函数识别为一个函数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y^2 + x^2 = 9$$
   解释

   重新排列方程以识别几何形状。

   步骤依据

   代数变换以找到圆锥曲线。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x^2+y^2=9,\quad y\ge0,\quad r=3$$
   解释

   由于 y = \sqrt{9-x^2} 意味着 y \ge 0，图像是圆的上半部分。

   步骤依据

   主平方根是非负的。

   补充解释

此阶段已识别积分为半径 3 的上半圆面积；后续讲解完成计算。

检查推导出的几何形状是否与函数的定义域和值域匹配。

1. 公式
   观察依据

   问题陈述是 $\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx$。

2. 图示
   观察依据

   绘制了一个带有上半圆和阴影区域的坐标平面。

3. 声音
   观察依据

   讲解使用整圆面积，再取一半来计算本题积分。

求 $\displaystyle \int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx$ 的精确值。

1. 被积函数：$\sqrt{9-x^2}$。

2. 积分限：$-3$ 到 $3$。

3. 对应的圆的关系为 x²+y²=9；原平方根图像还须保留 y≥0。

4. 半径：$3$。

不使用原函数计算定积分。

1. 公式

   $$y=\sqrt{9-x^2}$$
   解释

   将被积函数识别为 $x$ 的函数。

   步骤依据

   在黑板上给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x^2+y^2=9$$
   解释

   平方以识别潜在的圆。

   步骤依据

   在黑板上代数展示。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y\ge 0$$
   解释

   因为原始表达式是主平方根，只保留上半圆。

   步骤依据

   在音频中明确讨论。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx = \text{area of upper semicircle}$$
   解释

   将积分转化为几何面积问题。

   步骤依据

   在阴影区域时陈述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{1}{2}\pi(3)^2 = \frac{9\pi}{2}$$
   解释

   使用圆面积公式并将其减半。

   步骤依据

   在最终计算中写出并说出。

   视频直接表达

$\displaystyle \frac{9\pi}{2}$

答案匹配半径为 3 的半圆面积，即 $9\pi$ 的一半。

1. 动画
   观察依据

   绘制一条垂直线，随后绘制一条与之相交的水平线，形成笛卡尔坐标系。

1. y 轴

2. x 轴

1. 在黑屏上绘制坐标轴。

1. 原点保持在交点处。

设置坐标平面以绘制函数图像。

1. 动画
   观察依据

   依次写出方程 y = f(x) = \sqrt{9-x^2}、y^2 = 9-x^2 和 y^2 + x^2 = 9。

1. 函数方程

2. 平方方程

3. 圆方程

1. 方程逐个出现在积分下方。

1. 积分保持在左上角可见。

演示将函数转换为圆的标准方程的代数步骤。

1. 图示
   观察依据

   左侧已有坐标轴；右侧显示代数设置和标签 "circle" 和 "radius = 3"。

2. 公式
   观察依据

   在积分表达式下方添加了注释 "top of circle"。

1. 积分 $\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx$

2. 函数行 $y=f(x)=\sqrt{9-x^2}$

3. 推导方程 $y^2=9-x^2$ 和 $y^2+x^2=9$

4. 标签 "circle", "radius = 3", "top of circle"

5. 坐标轴

1. 在积分下方添加了注释 "top of circle"。

2. 注意力从代数识别转向绘制图形。

1. 积分表达式保持在左上角固定。

2. 圆方程和半径标签保持在右侧可见。

视觉设置确立了被积函数不是整个圆，而是其上半分支。

1. 动画
   观察依据

   刻度出现在 x 轴的 $-3$、$3$ 处和 y 轴的 $3$ 处，然后画出一条粉色弧线，从 $(-3,0)$ 经过 $(0,3)$ 到 $(3,0)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解在坐标平面中画出上半圆。

1. x 轴和 y 轴

2. $-3$、$3$ 和 $3$ 处的刻度

3. 粉色半圆弧

1. 首先添加轴标签。

2. 然后在区间 $[-3,3]$ 上绘制上半圆。

1. 中心保持为原点。

2. 在整个绘制过程中半径保持为 3。

动画将代数描述转换为将要积分面积的几何对象。

1. 动画
   观察依据

   垂直的绿色笔画填充了粉色半圆和 x 轴之间的区域。

2. 声音
   观察依据

   讲解把水平轴上方的阴影区域与积分联系起来。

1. 粉色上半圆

2. 从 $-3$ 到 $3$ 的 x 轴线段

3. 绿色阴影区域

1. 弧线下方的先前空白内部被绿色阴影填充。

1. 边界曲线保持不变。

2. 区间端点保持在 $-3$ 和 $3$。

阴影区域是定积分的几何意义。

1. 公式
   观察依据

   出现绿色字迹：$\pi 3^2 = 9\pi$，然后是 $\frac{\pi 3^2}{2} = \frac{9\pi}{2}$，加框。

2. 公式
   观察依据

   原始积分完成为 $\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}$。

1. 圆面积表达式 $\pi 3^2$

2. 半圆面积表达式 $\frac{\pi 3^2}{2}$

3. 加框结果 $\frac{9\pi}{2}$

4. 完成的积分方程

1. 首先写出整个圆的面积。

2. 然后除以 2 得到半圆面积。

3. 最后将结果附加到原始积分。

1. 半径保持为 3。

2. 区域保持为圆的上半部分。

视觉结论将阴影区域直接联系到积分的精确值。

1. 声音
   观察依据

   讲解区分单值平方根图像与完整圆的关系。

假设因为代数变换导致 x^2 + y^2 = 9，所以 y = \sqrt{9-x^2} 的图像是整个圆。

函数 y = \sqrt{9-x^2} 仅产生非负的 y 值，因此其图像严格来说是上半圆，而不是完整的圆。

1. 声音
   观察依据

   主平方根选取画面中圆的关系的非负分支。

2. 公式
   观察依据

   黑板分别显示 $y=\sqrt{9-x^2}$ 和 $y^2+x^2=9$。

人们可能认为 $\sqrt{9-x^2}$ 已经代表了整个圆 $x^2+y^2=9$。

平方方程描述完整的圆，但原始主平方根只给出 $y\ge 0$ 的上半圆。

1. 声音
   观察依据

   讲解把实数平方根限制在被开方数非负的输入范围内。

人们可能假设 $\sqrt{9-x^2}$ 可以对每个实数 $x$ 求值。

在实数上，被开方数必须非负，因此函数仅存在于 $-3\le x\le 3$。

1. 声音
   观察依据

   讲解使用整圆面积，再取一半来计算本题积分。

人们可能认为评估定积分总是需要找到原函数。

可识别的图像有时能把积分转化为几何计算。本例的被积函数连续且非负，因此积分等于普通阴影面积；若可积函数改变符号，应按符号计算各部分贡献。

1. 声音
   观察依据

   解法采用积分的几何面积解释。

此方法能在本题使用普通面积解释，是因为画面中的被积函数在整个积分区间上连续且非负。

1. 公式
   观察依据

   从 y = \sqrt{9-x^2} 到 y^2 + x^2 = 9 的转换。

辨认圆的关系并保留平方根的非负分支，可以确定本题计算所需的几何图形。

1. 声音
   观察依据

   主平方根选取画面中圆的关系的非负分支。

2. 公式
   观察依据

   黑板注释 "top of circle" 出现在平方根表达式下方。

识别主平方根是将完整圆方程转化为上半圆图形的关键。

1. 公式
   观察依据

   黑板推导出 $x^2+y^2=9$ 然后绘制相应的半圆。

$y=\sqrt{9-x^2}$ 的图形作为其上半部分包含在完整圆 $x^2+y^2=9$ 中。

1. 声音
   观察依据

   讲解把水平轴上方的阴影区域与积分联系起来。

2. 图示
   观察依据

   绘制的半圆下方的区域被阴影化。

一旦识别出图形，定积分就被应用为该几何区域的面积。

1. 声音
   观察依据

   讲解使用整圆面积，再取一半来计算本题积分。

面积解释使得能够从圆公式几何地评估积分。

1. 声音
   观察依据

   讲解把实数平方根限制在被开方数非负的输入范围内。

2. 图示
   观察依据

   绘制的半圆正好跨越 x 轴上的 $-3$ 到 $3$。

实定义域限制解释了为什么图形仅占据区间 $[-3,3]$。

1. 声音
   观察依据

   本课提出根据图像计算积分。

1. 定积分问题
2. 用几何图形计算

1. 公式
   观察依据

   圆方程的代数推导。

1. 推导圆的方程
2. 混淆函数图像与完整圆

1. 声音
   观察依据

   主平方根选取画面中圆的关系的非负分支。

1. 主平方根选择上半分支
2. 平方方程描述完整的圆
3. $y=\sqrt{9-x^2}$ 的图形是一个上半圆

1. 声音
   观察依据

   讲解把实数平方根限制在被开方数非负的输入范围内。

1. $\sqrt{9-x^2}$ 在实数上的定义域
2. $y=\sqrt{9-x^2}$ 的图形是一个上半圆

1. 声音
   观察依据

   讲解把水平轴上方的阴影区域与积分联系起来。

1. 定积分解释为图形下方的有向面积
2. $y=\sqrt{9-x^2}$ 的图形是一个上半圆

1. 声音
   观察依据

   讲解使用整圆面积，再取一半来计算本题积分。

1. 使用圆面积而非原函数来评估此积分
2. 定积分解释为图形下方的有向面积

1. 公式
   观察依据

   最终加框结果是 $\frac{9\pi}{2}$。

1. 使用圆面积而非原函数来评估此积分
2. 定积分的值