定积分作为黎曼和的极限｜Khan Academy

1. 图示
   观察依据

   图表在绘制的曲线上方用紫色标记为 y=f(x)。

2. 声音
   观察依据

   讲解用左端点函数值确定图中矩形的高度。

f(x)

其图形界定了由矩形近似区域的函数。

区间 [a,b] 上的实值函数；视频未陈述进一步的规则性假设。

1. 图示
   观察依据

   x 轴在阴影区域的左端显示黄色标签 a。

2. 声音
   观察依据

   讲解指明由a和b界定的区间。

a

被近似面积所在区间的左端点。

作为分割区间下边界的实数。

1. 图示
   观察依据

   x 轴在阴影区域的右端显示黄色标签 b。

2. 声音
   观察依据

   讲解指明由a和b界定的区间。

b

被近似面积所在区间的右端点。

作为分割区间上边界的实数。

1. 图示
   观察依据

   求和公式的上标为 n，且 Δx 公式除以 n。

2. 声音
   观察依据

   等分区间给出各矩形底边的公共宽度。

n

显示的近似中使用的子区间或矩形的数量。

正整数；视频未明确说明这一点，但公式将其用作计数参数。

1. 公式
   观察依据

   书面公式陈述“其中 Δx = (b-a)/n”。

2. 声音
   观察依据

   等分区间给出各矩形底边的公共宽度。

Δx

等分示例中每个矩形的宽度。

在显示的公式中定义为 (b-a)/n，针对所示情况。

1. 公式
   观察依据

   求和项是 f(x_{i-1})。

2. 声音
   观察依据

   讲解用左端点函数值确定图中矩形的高度。

1. 视频没有写出单独定义 x_{i-1} 的公式；其含义是从口述的左端点描述和求和记号中推断出来的。

x_{i-1}

显示的左端点和中第 i 个矩形使用的采样点；视觉上对应于该子区间的左端点。

在等分设置下 [a,b] 的第 i 个子区间中的一个点。

1. 公式
   观察依据

   西格玛记号写为 Σ 下方为 i=1，Σ 上方为 n。

i

遍历矩形的从 1 到 n 的求和索引。

显示的求和中的整数索引。

1. 公式
   观察依据

   n 出现在求和的上限以及 Δx = (b-a)/n 中。

2. 声音
   观察依据

   课程用更多、更窄的矩形说明近似趋细的直观过程。

n

黎曼和中使用的子区间数量。

正整数；定义随后取 n → ∞。

1. 公式
   观察依据

   i 出现在从 i=1 到 n 的求和索引中。

i

标记一个矩形/子区间的求和索引。

1. 公式
   观察依据

   x_{i-1} 出现在和式中的 f(x_{i-1}) 内。

2. 图示
   观察依据

   图表显示曲线下方标记为 1, 2, 3, ..., n 的采样点。

1. 屏幕没有另写分割点的坐标公式；图中及前段口述均采用左端点。

x_{i-1}

图中子区间的左端点；前段已说明采用这一采样方式。

1. 公式
   观察依据

   Δx 在和式中与 f(x_{i-1}) 相乘。

2. 公式
   观察依据

   公式指出 Δx = (b-a)/n。

Δx

显示的黎曼和中每个子区间的宽度。

1. 公式
   观察依据

   a 作为 Δx = (b-a)/n 中的下端点出现。

2. 图示
   观察依据

   a 标记 x 轴上区间的左端点。

3. 声音
   观察依据

   讲解指明由a和b界定的区间。

a

积分区间的左端点。

1. 声音
   观察依据

   讲解把矩形面积的总和连接到屏幕上的有限求和式。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示 Σ_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) Δx，其中 Δx = (b-a)/n。

3. 图示
   观察依据

   演讲者写下“Riemann Sum”并画箭头指向显示的求和公式。

1. 片段提供了背景解释，而不是对一般黎曼和的完全正式定义。

左端点、右端点与中点和在各子区间选取一个采样值，也可以采用不等宽分割。课程还提到梯形法；这种相关求积方法使用两端函数值的平均，区别于标准的单采样点矩形和。

1. 显示的示例使用区间 [a,b]。

2. 显示的公式使用相等的子区间宽度。

3. 显示的采样点对应于左端点。

1. 通过求和矩形面积来近似面积

1. 声音
   观察依据

   讲解用左端点函数值确定图中矩形的高度。

2. 图示
   观察依据

   y=f(x) 下方的蓝色矩形的高度由其左边缘曲线上的值决定。

3. 公式
   观察依据

   求和使用 f(x_{i-1}) 作为采样的“高度”。

对于黑板上的特定图片，每个矩形的高度是通过在其子区间的左端点处评估 f 获得的。将这些高度乘以公共宽度 Δx 并求和，得到曲线下方面积的显示近似值。

1. 区间 [a,b] 被分割成 n 个相等的子区间。

2. 每个矩形使用其子区间的左端点作为采样点。

1. 等宽分割公式

1. 声音
   观察依据

   等分区间给出各矩形底边的公共宽度。

2. 公式
   观察依据

   黑板写着 Δx = (b-a)/n。

当 [a,b] 被分成 n 个相等的子区间时，每个子区间的宽度为 Δx=(b-a)/n。这是显示的矩形和中使用的宽度。

1. 分割是均匀的。

2. a 和 b 之间有 n 个子区间。

1. 声音
   观察依据

   讲解把矩形面积的总和连接到屏幕上的有限求和式。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示了对矩形贡献的求和。

该片段回顾了通过将区域分解为矩形并添加它们的面积来估计曲线下方面积的基本策略。显示的西格玛记号紧凑地表示了该总和。

1. 在图示示例中，区域上方由 y=f(x) 界定，下方由 [a,b] 上的 x 轴界定。

1. 声音
   观察依据

   课程讨论其他采样方式，并提到梯形近似。

2. 声音
   观察依据

   课程讨论其他采样方式，并提到梯形近似。

1. 片段口头命名了这些变体，但没有显示右端点、中点、梯形或不均匀分割和的公式。

左端点、右端点与中点和在各子区间选取一个采样值，也可以采用不等宽分割。课程还提到梯形法；这种相关求积方法使用两端函数值的平均，区别于标准的单采样点矩形和。

1. 该陈述是关于被称为黎曼和的更广泛的构造类。

2. 显示的公式只是一个特例。

1. 黎曼和作为显示的面积近似的通用名称

1. 公式
   观察依据

   Σ_{i=1}^n f(x_{i-1}) Δx，其中 Δx = (b-a)/n 显示在屏幕上。

2. 图示
   观察依据

   绘制了 [a,b] 上 y=f(x) 下方的矩形以说明该和。

3. 声音
   观察依据

   讲解把矩形面积的总和连接到屏幕上的有限求和式。

1. 视频未陈述关于 f 或采样点 x_{i-1} 选择的一般条件。

片段将黎曼和显示为 i=1,...,n 时矩形面积 f(x_{i-1})Δx 的总和，具有相等的子区间宽度 Δx=(b-a)/n。演讲者强调这是黎曼和的一个例子，而不是唯一可能的例子。

1. 区间端点是 a 和 b。

2. 有 n 个子区间。

3. 显示的版本使用等宽 Δx=(b-a)/n。

1. n
2. i
3. x_{i-1}
4. Δx
5. a
6. b
7. f(x)
8. Σ

1. 公式
   观察依据

   lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(x_{i-1}) Δx 写在和式之前。

2. 公式
   观察依据

   ∫_a^b f(x) dx 写为结果记号。

3. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

1. 视频未明确陈述极限的存在性条件或 f 的可积性假设。

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 在 [a,b] 上使用黎曼和。

2. 取 n→∞ 的极限。

3. 结果由从 a 到 b 的定积分表示。

4. 补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 屏幕上显示的黎曼和公式
2. lim_{n→∞}
3. ∫_a^b f(x) dx
4. dx

1. 声音
   观察依据

   课程讨论其他采样方式，并提到梯形近似。

左端点、右端点与中点和在各子区间选取一个采样值，也可以采用不等宽分割。课程还提到梯形法；这种相关求积方法使用两端函数值的平均，区别于标准的单采样点矩形和。

1. 适用于使用有限和近似定积分时。

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

2. 公式
   观察依据

   显示方程 $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx$。

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 极限必须存在。

2. n 代表子区间的数量。

3. $\Delta x$ 代表子区间的宽度。

4. 补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 黎曼和的类型

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

1. 在本条目前段时间点，下一部分尚未展开；同一完整视频在后续继续讲解。

演讲者陈述黎曼和用于定义黎曼积分。

1. 背景是一年级微积分课程。

2. 讨论涉及黎曼和在积分理论中的标准作用。

片段中没有陈述明确的量词。

1. 声音
   观察依据

   课程识别肖像为黎曼，并将术语名称与他联系起来。

2. 图示
   观察依据

   显示一张肖像，带有手写标签“Bernhard Riemann”。

片段将名称“黎曼和”归因于伯恩哈德·黎曼。

演讲者陈述的普遍命名归因；未给出形式逻辑量词。

1. 声音
   观察依据

   讲解者把黎曼方法介绍为微积分中采用的一种形式定义。

1. 这被呈现为讲师的特征描述，而不是片段内证明的陈述。

黎曼积分被呈现为积分的主流形式或严格定义。

片段中未陈述明确的量词。

1. 声音
   观察依据

   课程用更多、更窄的矩形说明近似趋细的直观过程。

2. 图示
   观察依据

   初始绘图显示有限个矩形近似曲线下的面积。

1. 片段未证明这种单调改进的主张；它是口头陈述的。

在可积且分割网格趋细的条件下，近似和收敛。这不保证每次增加矩形数量，绝对误差都严格减小。

1. 使用黎曼和来近似 [a,b] 上曲线下的面积。

2. 补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

对黎曼可积f及网格趋零的带标记分割成立；不主张逐次绝对误差严格减小。

1. 声音
   观察依据

   讲解说明极限思想不局限于图中这一种采样方式。

1. 片段未指定允许的黎曼和的精确类别，也未证明选择的独立性。

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

对黎曼可积函数，涵盖所有合法采样点及网格趋零的分割。

1. 声音
   观察依据

   讲解把矩形面积的总和连接到屏幕上的有限求和式。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示 Σ_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) Δx，其中 Δx=(b-a)/n。

3. 图示
   观察依据

   y=f(x) 下方的矩形在视觉上匹配左端点构造。

1. 片段没有逐步写出中间代数推导；它直接呈现最终的西格玛形式。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从几个矩形近似 y=f(x) 在 [a,b] 上面积的几何图片开始。

   步骤依据

   依据课程说明的矩形宽度和采样构造。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$
   解释

   因为区间被等分成 n 部分，所以每个矩形具有相同的宽度。

   步骤依据

   在音频中明确陈述并写在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f(x_{i-1})$$
   解释

   对于第 i 个矩形，高度取自该子区间左端点处的函数值。

   步骤依据

   在音频中明确陈述并与图表一致。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x$$
   解释

   将所有 n 个矩形的面积相加得到显示的有限和。

   步骤依据

   每个矩形的面积是高度乘以宽度；对 i 求和得到西格玛表达式。

   依据视频推导

图片中的左端点等宽矩形近似由公式 Σ_{i=1}^{n} f(x_{i-1})Δx 总结，其中 Δx=(b-a)/n。

1. 公式
   观察依据

   lim_{n→∞} 添加在黎曼和前面。

2. 动画
   观察依据

   绘制了第二个图表，曲线下方有更多更窄的矩形。

3. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

4. 公式
   观察依据

   写出最终记号 ∫_a^b f(x) dx。

1. 推导是概念性和视觉性的；片段未提供 epsilon-delta 证明或讨论收敛准则。

1. 公式

   $$\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\,\Delta x$$
   解释

   从代表曲线下 n 个矩形总面积的有限黎曼和开始。

   步骤依据

   这是已经写在屏幕上并被口头标识为黎曼和的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\,\Delta x$$
   解释

   在等分情形中，n增加使所有子区间宽度趋零；在黎曼可积条件下，和式收敛。

   步骤依据

   依据课程说明的矩形宽度和采样构造。

   补充解释
3. 公式

   $$\int_a^b f(x)\,dx$$
   解释

   用定积分表示共同极限；图中的正值例子可以解释为普通面积。

   步骤依据

   依据课程说明的矩形宽度和采样构造。

   补充解释

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限宽度趋小与dx记号联系起来，并在后段提醒无穷小图像只是直观理解。

2. 图示
   观察依据

   向 dx 添加了视觉注释“无限小”。

1. 演讲者指出这不是一种严谨的思考方式。

1. 公式

   $$\Delta x$$
   解释

   从黎曼和中矩形的有限宽度开始。

   步骤依据

   黎曼和组件的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\Delta x \to 0$$
   解释

   考虑宽度变得无限小。

   步骤依据

   依据课程说明的矩形宽度和采样构造。

   视频直接表达
3. 公式

   $$dx$$
   解释

   作者用无限小宽度作直观解释，并明确说这种理解不够严谨。在通常的实变量黎曼积分中，dx标记积分变量；它不是有限矩形宽度，也不是新定义的非零无穷小实数或实数零。积分定义使用有限和的极限。

   步骤依据

   微分的记号。

   补充解释

作者用无限小宽度作直观解释，并明确说这种理解不够严谨。在通常的实变量黎曼积分中，dx标记积分变量；它不是有限矩形宽度，也不是新定义的非零无穷小实数或实数零。积分定义使用有限和的极限。

1. 图示
   观察依据

   显示了 y=f(x) 在 [a,b] 上的图表，曲线下方有几个蓝色矩形。

2. 公式
   观察依据

   黑板写着 Σ_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) Δx，其中 Δx = (b-a)/n。

3. 声音
   观察依据

   讲解把矩形面积的总和连接到屏幕上的有限求和式。

1. 未指定数值函数、区间端点或 n 的值，因此无法从片段计算数值答案。

使用高度来自左端点的等距矩形近似从 x=a 到 x=b 的 y=f(x) 下方的面积。

1. 函数图 y=f(x)。

2. 区间端点 a 和 b。

3. n 个相等子区间。

4. 矩形高度使用左端点 x_{i-1}。

用西格玛记号表示矩形面积近似并将其识别为黎曼和。

1. 公式

   $$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$
   解释

   将 [a,b] 分割成 n 个相等子区间，使每个矩形具有相同的宽度。

   步骤依据

   依据课程说明的矩形宽度和采样构造。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{height}_i=f(x_{i-1})$$
   解释

   使用第 i 个子区间左端点处的函数值作为矩形高度。

   步骤依据

   依据课程说明的矩形宽度和采样构造。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x$$
   解释

   对所有矩形的面积求和以获得近似值。

   步骤依据

   遵循在所有子区间上添加高度乘以宽度的原则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Riemann Sum}$$
   解释

   将得到的有限和标记为黎曼和。

   步骤依据

   依据课程说明的矩形宽度和采样构造。

   视频直接表达

显示的近似值是黎曼和 $\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x$，其中 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$。

公式与视觉构造匹配：y=f(x) 在 [a,b] 上的等宽矩形，高度取自左端点。

1. 图示
   观察依据

   屏幕左侧显示标记为“Bernhard Riemann”的肖像，右上显示带有 y=f(x) 和矩形的坐标图，下方显示求和公式。

2. 动画
   观察依据

   光标在肖像、矩形、标签 a 和 b 以及公式之间移动。

1. 标记为“Bernhard Riemann”的肖像。

2. 坐标轴 x 和 y。

3. 标记为 y=f(x) 的曲线。

4. [a,b] 上曲线下方的蓝色矩形。

5. 公式 Σ_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) Δx，其中 Δx=(b-a)/n。

1. 光标首先指向矩形和区间端点。

2. 然后移动到求和公式。

3. 后来指向肖像和手写标签“Riemann Sum”。

1. 图表在整个过程中保持在 [a,b] 上。

2. 显示的公式在整个片段中保持不变。

3. 矩形继续代表左端点等宽构造。

视觉排列将历史人物、几何矩形图片和符号黎曼和公式联系起来，作为同一思想的三种表示。

1. 动画
   观察依据

   手写文本出现在公式附近。

2. 图示
   观察依据

   新标签读取为“Riemann Sum”，带有指向求和表达式的箭头。

1. 手写的确切笔画时间从采样的帧中是近似的。

1. 手写单词“Riemann Sum”。

2. 指向求和公式的箭头。

1. 短语“Riemann Sum”写在黑板上。

2. 从短语向公式画了一个箭头。

1. 底层公式 Σ_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) Δx 没有改变。

此注释明确将显示的有限和标识为黎曼和的一个实例。

1. 图示
   观察依据

   左侧出现标记为“Bernhard Riemann”的肖像；中间出现 [a,b] 上带有矩形的 y=f(x) 图；下方写出公式 Σ_{i=1}^n f(x_{i-1})Δx，其中 Δx=(b-a)/n；右侧写有“Riemann Sum”及箭头。

1. 标记为 Bernhard Riemann 的肖像

2. 坐标轴 x 和 y

3. 标记为 y=f(x) 的曲线

4. [a,b] 上曲线下方的矩形

5. 公式 Σ_{i=1}^n f(x_{i-1})Δx

6. 定义 Δx=(b-a)/n

7. 标签 'Riemann Sum'

1. 光标在求和符号、矩形和公式组件之间指点。

1. 区间端点 a 和 b 保持固定。

2. 第一个图中的曲线 y=f(x) 保持不变。

白板在视觉上将从几何矩形近似到代数黎曼和公式联系起来。

1. 动画
   观察依据

   在左下角绘制一个新的坐标系，然后在 a 和 b 之间绘制一条曲线和许多窄蓝色矩形。

2. 声音
   观察依据

   课程用更多、更窄的矩形说明近似趋细的直观过程。

1. 未指定矩形的确切数量；绘图是示意性的。

1. 新的 x-y 轴

2. [a,b] 上的曲线

3. 许多窄蓝色矩形

4. 标签 a 和 b

1. 在原始内容下方添加了第二个图表。

2. 矩形比第一个图中的更细且更多。

1. 概念区间仍从 a 到 b。

2. 目的仍是近似曲线下面积。

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 公式
   观察依据

   ∫_a^b f(x) dx 写在极限表达式的右侧。

2. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

1. 表达式 lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(x_{i-1})Δx

2. 新记号 ∫_a^b f(x) dx

1. 在建立极限表达式后添加积分记号。

1. 引用相同的区间 [a,b] 和函数 f。

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 动画
   观察依据

   单词“无限小”手写在积分公式中的 dx 项旁边。

1. 文本“无限小”

2. 公式项 dx

1. 文本出现在屏幕上。

1. 公式的其余部分保持不变。

作者用无限小宽度作直观解释，并明确说这种理解不够严谨。在通常的实变量黎曼积分中，dx标记积分变量；它不是有限矩形宽度，也不是新定义的非零无穷小实数或实数零。积分定义使用有限和的极限。

1. 声音
   观察依据

   课程讨论其他采样方式，并提到梯形近似。

2. 声音
   观察依据

   课程讨论其他采样方式，并提到梯形近似。

人们可能认为黎曼和必须始终使用具有左端点高度的等宽矩形。

片段陈述显示的构造只是一个特定实例；更一般的黎曼和允许不同的采样点和非均匀分割。

1. 声音
   观察依据

   讲解说明极限思想不局限于图中这一种采样方式。

人们可能认为特定的和 Σ_{i=1}^n f(x_{i-1})Δx 且 Δx=(b-a)/n 是唯一重要的黎曼和。

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 声音
   观察依据

   课程比较有限矩形近似与积分所表示的极限。

2. 动画
   观察依据

   显示增加 n 可改善近似。

1. 这种误解是从视频中做出的对比推断出来的，而不是直接命名的。

误以为有限和总是等于积分，或者相反认为它绝不可能等于积分。

一般而言有限和是近似；某些特殊函数与采样方式可以已经恰好相等。在可积且网格趋零的条件下，极限定义保证共同的积分值。

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限宽度趋小与dx记号联系起来，并在后段提醒无穷小图像只是直观理解。

认为将 dx 简单视为一个“无限小的数”在数学上是严谨的。

作者用无限小宽度作直观解释，并明确说这种理解不够严谨。在通常的实变量黎曼积分中，dx标记积分变量；它不是有限矩形宽度，也不是新定义的非零无穷小实数或实数零。积分定义使用有限和的极限。

1. 声音
   观察依据

   讲解把矩形面积的总和连接到屏幕上的有限求和式。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示对应于矩形图片的西格玛表达式。

这里通过黑板上显示的具体左端点法则应用了求和矩形面积的一般方法。

1. 声音
   观察依据

   课程讨论其他采样方式，并提到梯形近似。

2. 图示
   观察依据

   标签“Riemann Sum”附加在特定公式上。

命名的概念“黎曼和”推广了示例中显示的具体左端点等宽公式。

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

1. 在本条目前段时间点，下一部分尚未展开；同一完整视频在后续继续讲解。

前段提出积分联系，后续写出极限并继续讨论dx。

1. 公式
   观察依据

   lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(x_{i-1})Δx = ∫_a^b f(x) dx 在板上组装而成。

2. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限宽度趋小与dx记号联系起来，并在后段提醒无穷小图像只是直观理解。

2. 公式
   观察依据

   Δx 出现在和式中，dx 出现在积分记号中。

1. 在本条目前段时间点，下一部分尚未展开；同一完整视频在后续继续讲解。

此处开始比较宽度与积分记号，完整视频在后续继续展开。

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限宽度趋小与dx记号联系起来，并在后段提醒无穷小图像只是直观理解。

作者用无限小宽度作直观解释，并明确说这种理解不够严谨。在通常的实变量黎曼积分中，dx标记积分变量；它不是有限矩形宽度，也不是新定义的非零无穷小实数或实数零。积分定义使用有限和的极限。

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

补充适用条件：f在有限区间[a,b]上黎曼可积，a<b；连续是充分条件。采样点位于各自子区间，最大子区间宽度趋于零。显示的等分情形中，n→∞保证这一条件。非负f对应普通面积；变号f对应正负面积的净值。

1. 声音
   观察依据

   讲解把矩形面积的总和连接到屏幕上的有限求和式。

2. 图示
   观察依据

   黑板在公式旁边写着“Riemann Sum”。

1. 黎曼和作为显示的面积近似的通用名称
2. 超出显示示例的黎曼和的一般性

1. 声音
   观察依据

   讲解用左端点函数值确定图中矩形的高度。

2. 公式
   观察依据

   求和使用 f(x_{i-1})。

1. 显示示例中的左端点矩形法则
2. x_{i-1}

1. 声音
   观察依据

   等分区间给出各矩形底边的公共宽度。

2. 公式
   观察依据

   黑板写着 Δx=(b-a)/n。

1. 等宽分割公式

1. 声音
   观察依据

   课程讨论其他采样方式，并提到梯形近似。

1. 超出显示示例的黎曼和的一般性
2. 误将显示的示例当作整个定义

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

1. 在本条目前段时间点，下一部分尚未展开；同一完整视频在后续继续讲解。

1. 黎曼和用于定义黎曼积分
2. 黎曼和作为显示的面积近似的通用名称

1. 公式
   观察依据

   显示 Σ_{i=1}^n f(x_{i-1})Δx，其中 Δx=(b-a)/n。

2. 声音
   观察依据

   讲解把矩形面积的总和连接到屏幕上的有限求和式。

1. 屏幕上显示的黎曼和公式

1. 公式
   观察依据

   写出 lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(x_{i-1})Δx = ∫_a^b f(x) dx。

2. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

1. 定义为黎曼和极限的定积分
2. 从有限黎曼和到定积分记号

1. 声音
   观察依据

   课程用更多、更窄的矩形说明近似趋细的直观过程。

2. 动画
   观察依据

   第二个图表显示更多更窄的矩形。

1. 分割趋细时的收敛
2. 使用许多窄矩形可视化 n→∞

1. 声音
   观察依据

   讲解说明极限思想不局限于图中这一种采样方式。

1. 极限定义不局限于一个特定的显示和
2. 误以为显示的公式是唯一可能的黎曼和

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限宽度趋小与dx记号联系起来，并在后段提醒无穷小图像只是直观理解。

1. dx
2. 概念化微分 dx

1. 声音
   观察依据

   讲解把有限和的极限连接到定积分记号。

1. 定积分的黎曼定义