导数的直观理解：Khan Academy 演示

1. 公式
   观察依据

   左上角文字显示 f(x) = 2x^3。

f(x)=2x^3

在坐标平面上以蓝色绘制的三次函数。

交互窗口中显示的所有实数 x；未声明显式的定义域限制。

1. 声音
   观察依据

   讲解围绕 f(-2) 对应的答案项展开，但有一句措辞暂时混淆了函数的输入与输出。

2. 公式
   观察依据

   答案面板显示 \frac{d}{dx} f(-2)。

1. 口头措辞混淆了输出与输入；图像及答案栏表明实际指的是输入 x=-2。

2. 需要确认这仅仅是口误还是有意为之的数学陈述。

\frac{d}{dx} f(a)

f 在输入 a 处的导数值；视觉上通过调整橙色点来表示，该点设定了在 x=a 处切线的斜率。

此处用于特定样本输入，如 a=-2,-1.5,-1,0,1,1.5,2。

1. 公式
   观察依据

   右侧答案列表随着点的拖动更新数值：例如包括 \frac{d}{dx} f(-2)=24, \frac{d}{dx} f(0)=0, \frac{d}{dx} f(1)=6, \frac{d}{dx} f(1.5)=13.5, \frac{d}{dx} f(2)=24。

2. 动画
   观察依据

   数值在拖动过程中连续变化，然后稳定在这些数字附近。

1. -1.5 和 -1 附近的中间值在目测估算时会轻微波动。

2. 一些后期帧在最终稳定之前显示出与精确倍数的微小偏差。

answer entries \frac{d}{dx} f(c)

分配给每个可拖动点的当前估计斜率。

练习界面使用的七个选定 x 值。

1. 公式
   观察依据

   接近结尾时，顶部区域显示 \frac{d}{dx} f(x) = 6x^2 以及 f(x)=2x^3。

2. 图示
   观察依据

   一条黄色曲线穿过调整后的橙色点出现。

\frac{d}{dx} f(x)=6x^2

导函数的公式，其图像穿过七个估计的切线斜率点。

在交互模块达到足够精度后显示。

1. 公式
   观察依据

   左上角文本显示 f(x) = 2x^3。

f(x)

图中蓝色曲线所示的原始三次函数。

实数 x；大致在 [-2.5, 2.5] 范围内显示。

1. 公式
   观察依据

   左上角文本显示 d/dx f(x) = 6x^2。

2. 声音
   观察依据

   旁白提到橙色点足够接近实际导数，且整条曲线代表任意一点处切线的斜率。

\frac{d}{dx} f(x)

f 的导函数，解释为在每个 x 值处 f 的切线斜率。

实数 x；显示为经过 (0,0) 的开口向上的抛物线。

1. 图示
   观察依据

   水平轴标有包括 -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 在内的数值。

x

输入变量或横坐标，既用于表示 f 上的点，也用于评估导数斜率。

1. 图示
   观察依据

   垂直轴刻度标签包括 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0, -5, -10, -15, -20。

1. 旁白口头提及大约 2.5 的值，正在讨论的输入是 x=-0.5；但不清楚是指图上接近 1.5 的纵坐标高度还是其他附近网格线。

y

绘制的曲线和导数值共享的输出尺度。

1. 字幕依据
   观察依据

   右侧答案面板列出 \frac{d}{dx}f(-2)=24, \frac{d}{dx}f(-1.5)=13.5, \frac{d}{dx}f(-1)=6, \frac{d}{dx}f(0)=0, \frac{d}{dx}f(1)=6, \frac{d}{dx}f(1.5)=13.5, \frac{d}{dx}f(2)=24。

\left\{-2,-1.5,-1,0,1,1.5,2\right\}

练习要求计算切线斜率/导数值的七个选定输入点。

1. 声音
   观察依据

   解说通过切线的局部斜率介绍导数。

2. 公式
   观察依据

   说明文本指出，函数的导数定义为曲线在每个点处的切线斜率。

片段概念上将导数定义为给定图形上某一点的切线斜率。这是直接与图形活动相关的直观定义，而非通过极限或代数规则呈现。

1. 编辑性数学条件：普通导数要求差商的有限存在极限（等价于可微点处的有限切线斜率）；仅垂直切线不能给出有限导数。

2. 在此光滑多项式曲线 f(x)=2x^3 上演示。

1. 公式
   观察依据

   顶部显示变为 \frac{d}{dx} f(x)=6x^2，对应原函数 f(x)=2x^3。

2. 图示
   观察依据

   绘制了一条匹配这些导数值的类似抛物线的黄色曲线。

1. 视频揭示了结果，但在本摘录中没有逐步口头推导幂法则。

对于显示的函数 f(x)=2x^3，其导数显示为 6x^2。片段使用这一关系作为原始曲线与绘制的斜率估计之间的目标联系。

1. 特指此示例中的 f(x)=2x^3。

2. 片段中未提供一般幂法则的证明。

1. 通过切线斜率定义的导数

1. 声音
   观察依据

   讲解者解释上下移动橙点直到它们匹配切线斜率。

2. 动画
   观察依据

   拖动每个点使其对应的直线旋转趋向相切，并更新数值导数估计。

3. 公式
   观察依据

   界面让学习者竖直拖动 7 个橙色控制点，调整对应的切线斜率。

演示的方法是纯视觉的：在曲线上选择一个点 x=c，拖动相关的控制点直到附着的直线看起来相切，然后读出相应的数值 \frac{d}{dx} f(c)。对几个 c 重复此操作会产生导函数的离散样本。

1. 需要一个具有可识别局部陡峭度的可见图形。

2. 除非对照已知公式检查，否则准确性取决于目测估算。

1. 通过切线斜率定义的导数

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕说明将每个导数值与同一输入位置的切线斜率联系起来。

2. 声音
   观察依据

   旁白解释说，一旦拥有整个导数曲线，它在任意点都给出该点切线的斜率。

此片段使用导数的几何定义：对于可微函数，某点的导数是图像在该点处切线的斜率。交互式任务通过要求用户调整直线使其斜率匹配 f(x)=2x^3 的真实局部斜率来强化这一概念。

1. 适用于所考虑的点存在切线的情况。

2. 此处用于实数域上的多项式函数。

1. 公式
   观察依据

   显示的结果：d/dx f(x) = 6x^2 与 f(x)=2x^3 并列。

2. 声音
   观察依据

   旁白提到在足够紧密地匹配特殊点后，找到了每一点的导数。

1. 视频直接显示了最终公式，而不是在此摘录中逐步推导出来。

对于给定函数 f(x)=2x^3，其导数显示为 6x^2。这符合单项式的标准幂法则模式：乘以指数并将指数减一。

1. 对所有实数 x 上的 f(x)=2x^3 有效。

1. 本模块使用的定义：导数等于切线斜率

1. 声音
   观察依据

   解说将新显示的图像理解为：它给出了整个可见区间各处的切线斜率。

2. 图示
   观察依据

   当旁白读出对应于斜率的近似高度时，橙色抛物线在整个绘图区域保持可见。

仅在正确调整了七个采样点后，界面揭示了完整的导数曲线。方法随后从离散猜测转变为连续读取：选择域中的任意 x，垂直向上看导数图像，并将该高度解释为 f 在同一 x 处的切线斜率。

1. 需要认识到导数图像的垂直位置编码的是斜率，而不仅仅是 f 本身的函数输出。

1. 本模块使用的定义：导数等于切线斜率

1. 声音
   观察依据

   在原点，解说指出切线水平，并将这里称为拐点。

2. 公式
   观察依据

   答案项稳定在 \frac{d}{dx} f(0)=0。

3. 图示
   观察依据

   在 x=0 处，调整后的线条在原点区域变得水平。

对于绘制的函数 f(x)=2x^3，演讲者断言在 x=0 处切线斜率为 0，并将该位置标识为拐点。

1. 讨论下的函数是显示的 f(x)=2x^3。

2. 观察来自交互式图形，而非正式曲率论证。

单点 x=0 处的局部陈述。

1. 声音
   观察依据

   解说说明，斜率估计足够接近时，程序会显示导函数图像。

2. 动画
   观察依据

   经过多次调整后，一条黄色曲线连接了七个斜率控制位置。

3. 公式
   观察依据

   最终叠加层显示 \frac{d}{dx} f(x)=6x^2。

1. 视频展示了导数形状的视觉重建；它没有从有限多个采样点形式化证明唯一性。

如果用户将所有七个橙色点调整到足够接近真实切线斜率的位置，界面就会绘制出原函数的导数曲线。

1. 在估计单个斜率方面已达到足够的准确性。

2. 底层函数在整个过程中保持为显示的 f(x)=2x^3。

关于交互演示的条件性实用主张。

1. 声音
   观察依据

   解说将显示出的曲线看作可见图像范围内的导函数。

2. 图示
   观察依据

   一条平滑的橙色抛物线跨越绘图区域并穿过采样的导数点。

在本练习中，橙色曲线是 d/dx f(x)=6x^2 的图形表示，给出了每个显示的 x 处 f 的切线斜率。

1. 底层函数是 f(x)=2x^3。

2. 接受的左上角显示的公式 d/dx f(x)=6x^2 是正确的。

1. 声音
   观察依据

   在 x=-0.5 时，旁白估计略高于 1；在 x≈-2.25 时，他估计约为 30。

2. 公式
   观察依据

   由 6x^2 得到精确值 1.5（对应 x=-0.5）与 30.375（对应 x=-2.25）。

1. 口头的近似值是视觉目测陈述，并非屏幕上打印的确切符号求值。

叙述的大致读数在数值上对应于在这些 x 值处评估 6x^2。

1. 导数公式是 6x^2。

2. 引用的 x 值大约是 -0.5 和 -2.25。

1. 声音
   观察依据

   讲述者叙述从 -2 处的大正斜率开始，通过中间点递减，在 0 处达到零，然后在正 x 方向再次递增。

2. 公式
   观察依据

   稳定的读数包括有序样本点上的 24、约 13.5、约 6、0、6、13.5、24。

3. 图示
   观察依据

   切线明显变平趋近 x=0，并以对称方式远离它变得更陡。

1. 在被接受之前，确切的中间目测值逐帧变化。

2. 这是一种基于 GUI 的观察模式推导，而不是符号证明。

1. 公式

   $$\frac{d}{dx} f(-2)\approx 24$$
   解释

   从最左侧开始，第一个切线估计对应一个非常陡的正斜率。

   步骤依据

   从更新的字段和 x=-2 处陡峭的橙色线观察到。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{d}{dx} f(-1.5)\approx 13.5$$
   解释

   向右移动，下一个切线仍然是正的，但不像 -2 处那么陡。

   步骤依据

   讲述者评论说斜率在减小但仍然很正；答案面板后来稳定在 13.5 附近。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{d}{dx} f(-1)\approx 6$$
   解释

   第三个样本继续变平的趋势，同时保持在零以上。

   步骤依据

   音频描述进一步下降到大约五/六，最终接受的读数约为 6。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{d}{dx} f(0)=0$$
   解释

   在中间样本处，线条变成水平的。

   步骤依据

   明确陈述为零斜率/平坦，并由答案字段确认。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{d}{dx} f(1)\approx 6$$
   解释

   在零的右侧，斜率开始再次增加，并与 x=-1 处的早期幅度相匹配。

   步骤依据

   音频注意到斜率现在正在增加；显示的值达到 6。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\frac{d}{dx} f(1.5)\approx 13.5$$
   解释

   继续向右得到另一个更大的正斜率，镜像了左侧。

   步骤依据

   最终稳定的数值条目和构建的黄色曲线的对称性支持这一点。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\frac{d}{dx} f(2)\approx 24$$
   解释

   最后一个样本返回到一个与第一个相当的陡峭正斜率。

   步骤依据

   已接受的答案字段显示斜率 24，对应 x=2。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\text{Pattern: } +,+ ,+,0,+,+,+$$
   解释

   在这七个点上，导数在 x=0 处降至 0，然后对称地增加。

   步骤依据

   源自观察到的值序列及其在屏幕上的几何排列。

   依据视频推导

视觉证据支持 f(x)=2x^3 的导数在采样点非负，在 x=0 处消失，并且随着 |x| 远离 0 而增长，这与揭示的二次导数 6x^2 一致。

1. 动画
   观察依据

   一旦最后几个点被准确设置，一条黄色曲线自动穿过它们绘制出来。

2. 公式
   观察依据

   叠加层将绘制的曲线标识为 \frac{d}{dx} f(x)=6x^2。

3. 声音
   观察依据

   声音讲解将准确的斜率估计与导函数图像的自动出现联系起来。

1. 自动绘制的机制是软件行为的一部分，未在片段内进行数学论证。

1. 公式

   $$\{(c_i, m_i)\}_{i=1}^{7}$$
   解释

   每个调整的橙色控件编码一对（输入 c_i，估计斜率 m_i）。

   步骤依据

   直接从点位置和答案列值之间的映射观察到。

   视频直接表达
2. 公式

   $$m_{-2}=24,\ m_{-1.5}\approx13.5,\ m_{-1}\approx6,\ m_0=0,\ m_1\approx6,\ m_{1.5}\approx13.5,\ m_2=24$$
   解释

   这些是收集到的导数的近似采样高度。

   步骤依据

   从片段末尾附近的稳定答案字段读取。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(c,m)=(x,6x^2)$$
   解释

   显示的公式表明采样对位于 y=6x^2 上。

   步骤依据

   一旦导数曲线出现，就在顶部叠加层中明确显示。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{yellow curve}=\frac{d}{dx}f(x)$$
   解释

   软件将样本之间充分的同意解释为完成，并渲染完整的导数图。

   步骤依据

   旁白加上连接的黄色曲线的立即出现。

   视频直接表达

七个切线斜率估计被用来重构导数的图像，程序将其标识为 y=6x^2。

1. 声音
   观察依据

   旁白对比了仅在特殊的可移动橙点处找到导数与现在因为画出了整个导数而在每一点都知道的情况。

2. 动画
   观察依据

   交互设置提到了七个可拖动的橙色点；片段侧重于调整后的状态，此时可见完整的橙色曲线。

1. 答案检查动作发生的确切时刻未在此摘录中显示；片段开始于调整阶段之后。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从已知函数 f(x)=2x^3 及其蓝色图像开始。

   步骤依据

   直接在左上角标签和主图中显示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   使用七个选定的 x 值 (-2, -1.5, -1, 0, 1, 1.5, 2)，学习者调整类似切线的直线的斜率，直到它们匹配真实的局部斜率。

   步骤依据

   在说明性文字中陈述，并反映在右侧的答案列表中。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   一旦这些样本足够准确，系统揭示整个导数曲线，而不仅仅是孤立的点。

   步骤依据

   解说指出，完成斜率估计后，程序就显示了完整的导函数图像。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{d}{dx} f(x)=6x^2$$
   解释

   揭示的曲线对应于左上角显示的导数公式。

   步骤依据

   公式明显存在于 f(x)=2x^3 旁边。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   然后可以选择任何 x，针对橙色曲线垂直读取以获取那里 f 的切线斜率。

   步骤依据

   旁白通过在 x=-0.5 和 x≈-2.25 处估计值演示了这一点。

   视频直接表达

该练习教导我们，检查有限数量的代表性切线斜率可以导致对完整导函数的识别，从而提供连续的斜率信息。

1. 声音
   观察依据

   解说估计：略高于 1 的斜率对应 x=-0.5，接近 30 的斜率对应 x≈-2.25。

2. 公式
   观察依据

   左上角公式给出 d/dx f(x)=6x^2。

1. 这些计算是使用显示公式的分析员添加的检查；视频本身没有写出代数替换步骤。

1. 公式

   $$\frac{d}{dx}f(-0.5)=6(-0.5)^2=6\cdot 0.25=1.5$$
   解释

   在 x=-0.5 处评估显示的导数。

   步骤依据

   代入 6x^2。

   依据视频推导
2. 公式

   $$\frac{d}{dx}f(-2.25)=6(-2.25)^2=6\cdot 5.0625=30.375$$
   解释

   在 x=-2.25 处评估显示的导数。

   步骤依据

   代入 6x^2。

   依据视频推导
3. 公式

   $$$$
   解释

   与旁白的口头近似进行比较：略高于 1 和约 30。

   步骤依据

   与定性的口头估计密切吻合。

   依据视频推导

口头的视觉估计与显示的导数公式隐含的解析值相符。

1. 声音
   观察依据

   连续解说贯穿整个交互任务。

2. 图示
   观察依据

   带有七个可调切线控制的 f(x)=2x^3 图表。

3. 动画
   观察依据

   successive dragging of points and updating of answer entries.

1. 这个前 180 秒的分析段在一句话中途结束；原始的 238 秒视频继续。后面的部分提供了结论性评论。

2. 早期的几秒主要包含设置/界面描述，实质性操作才开始。

给定 f(x)=2x^3 的图表，使用七个可拖动的橙色点来估计选定 x 值处的导数，从而发现导函数的形状。

1. 显示的函数：f(x)=2x^3。

2. 界面中有七个可用样本输入：-2, -1.5, -1, 0, 1, 1.5, 2。

3. 任务指令：上下移动每个橙色点以调整相应切线的斜率。

4. 概念前提：导数等于切线斜率。

在近似的 \frac{d}{dx}f(c) 在列出的样本点，并观察产生的导数曲线。

1. 公式

   $$\text{Introduce idea: } f'(c)=\text{slope of tangent at }x=c$$
   解释

   在操纵任何东西之前，叙述者将整个练习框架定为寻找局部切线斜率。

   步骤依据

   口头解释和屏幕上的指令都说明了这一定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=-2}\approx 24$$
   解释

   首先，x=-2 处的点被抬高，直到其线与立方的陡峭左支看起来相切。

   步骤依据

   在初始拖动序列期间观察到；最终接受的值显示为 24。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=-1.5}\approx 13.5$$
   解释

   接下来，相邻的点相对于前一个降低，因为曲线仍在上升但没那么陡。

   步骤依据

   叙述者评论说斜率在减小但仍然很正；稳定答案在 13.5 附近。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=-1}\approx 6$$
   解释

   第三个左侧样本进一步减少，反映向原点持续变平。

   步骤依据

   语音提到大约五/六，接口最终记录约为 6。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=0}=0$$
   解释

   在中心点，切线被做成水平的。

   步骤依据

   明确指出为零斜率，并在口头中被确定为拐点。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=1}\approx 6$$
   解释

   在原点的右侧，斜率开始再次增加，并与 x=-1 处的较早值相呼应。

   步骤依据

   音频注明零之后增加；答案字段显示 6。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=1.5}\approx 13.5$$
   解释

   下一个右侧点升高得更高，与 -1.5 处的对称左侧样本相匹配。

   步骤依据

   最终确定的读数和最终黄色曲线的对称放置。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=2}\approx 24$$
   解释

   最右端点设置为类似于最左起点的陡峭正斜率。

   步骤依据

   完成前的最后一次调整；接受值为 24。

   视频直接表达
9. 公式

   $$\text{Revealed derivative curve: } y=6x^2$$
   解释

   当所有七个样本足够接近时，系统绘制连接它们的导数图。

   步骤依据

   软件动画加上顶部叠加公式 \frac{d}{dx}f(x)=6x^2。

   视频直接表达

完成后的导数近似值依次约为 24, 13.5, 6, 0, 6, 13.5, 24，分别对应 x=-2,-1.5,-1,0,1,1.5,2；界面揭示导数曲线 \frac{d}{dx}f(x)=6x^2。

在片段内，验证是模块内部的：一旦点足够接近，正确的导数曲线就会被自动绘制并标记。除了软件反馈外，没有执行单独的外部检查。

1. 字幕依据
   观察依据

   界面要求竖直调整 7 个橙色斜率控制点。

2. 字幕依据
   观察依据

   任务是在局部让每条试验直线与曲线方向相符，从而估计该输入处的导数 d/dx f[x]。

3. 图示
   观察依据

   f(x)=2x^3 的蓝色图像，橙色导数相关的点/曲线，灰色切线风格的线段，以及列出七个导数值的答案面板。

1. 片段未显示拖动前的初始未调整状态，也未显示导致完成显示的点击序列。

给定 f(x)=2x^3，通过调整切线斜率直到它们在视觉上匹配曲线的局部斜率，确定几个选定点处的导数。

1. 函数 f(x)=2x^3 以蓝色绘制。

2. 有 7 个可选/橙色点。

3. 右侧列出的目标 x 值为 -2, -1.5, -1, 0, 1, 1.5, 2。

查找指定点处的 \frac{d}{dx}f(x) 并理解由此产生的导数曲线。

1. 公式

   $$$$
   解释

   识别蓝色曲线上每个标记 x 值所需的局部斜率。

   步骤依据

   说明性文字将导数定义为各点的切线斜率。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{d}{dx}f(-2)=24,\quad \frac{d}{dx}f(-1.5)=13.5,\quad \frac{d}{dx}f(-1)=6,\quad \frac{d}{dx}f(0)=0,\quad \frac{d}{dx}f(1)=6,\quad \frac{d}{dx}f(1.5)=13.5,\quad \frac{d}{dx}f(2)=24$$
   解释

   从右侧面板读取已完成的答案。

   步骤依据

   值明确显示在答案部分。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{d}{dx}f(x)=6x^2$$
   解释

   认识到这七个检查过的值位于显示的橙色抛物线上，并等于左上角显示的一般导数公式。

   步骤依据

   结合了可见公式、绘制的曲线对称性和表格化的值。

   依据视频推导

请求点处的导数值分别为 24, 13.5, 6, 0, 6, 13.5, 24，总体导数为 6x^2。

每个列出的值都与直接代入 6x^2 一致：6(-2)^2=24, 6(-1.5)^2=13.5, 6(-1)^2=6, 6(0)^2=0, 等等。

1. 图示
   观察依据

   居中原点的蓝色立方曲线；水平对齐的七个灰色/橙色控制标记；右侧面板列出七个最初为 0 的导数表达式。

2. 公式
   观察依据

   可见标题包括 f(x)=2x^3 和调整切线斜率的说明文字。

1. blue graph of f(x)=2x^3

2. seven draggable control points

3. horizontal default tangent lines

4. right-side answer list initialized to 0

1. 鼠标光标悬停在画布周围和点上，尚未发生大的数值变化。

1. 底层函数保持为 f(x)=2x^3。

2. 样本位置固定在七个选定的 x 值。

开场视图确立了任务是给固定曲线上的预选择点分配斜率，而不是沿曲线移动点本身。

1. 动画
   观察依据

   悬停高亮一个标记，其线变成橙色；向上拖动使相应的线更陡。

2. 公式
   观察依据

   \frac{d}{dx} f(-2) 的答案条目从 0 上升到二十出头，然后稳定在 24。

1. 中间数值更新的确切路径逐帧变化。

1. control point at x=-2

2. its orange tangent line

3. corresponding answer row \frac{d}{dx} f(-2)

1. 随着点在垂直方向上拖动，线逆时针/向上旋转。

2. 数值导数估计从 0 增加到约 24。

1. 点保持与 x=-2 关联。

2. 曲线本身不移动。

控制的垂直位移编码斜率大小；较高的高度意味着较陡的正切线。

1. 动画
   观察依据

   随后的点从左到右进行编辑，产生逐渐变平的线趋近 x=0，然后再变陡。

2. 公式
   观察依据

   行依次更新为近似值，包括 13.5, 6, 0, 6, 13.5, 24。

3. 图示
   观察依据

   橙色/金色切线段累积跨越绘图区。

1. 在一些行完全稳定之前会发生轻微波动。

1. six additional control points

2. their rotating tangent lines

3. live-updating answer column

1. 斜率从最左边样本单调递减至 x=0 处的 0。

2. 斜率随后从 x=0 单调递增至最右边样本。

3. 调整高度的集合越来越暗示一种 U 形图案。

1. 相同的基函数 f(x)=2x^3 始终如此。

2. 相同的七个评估横坐标始终如此。

变化的线方向使得抽象导数可见为离散输入处局部斜率的场。

1. 动画
   观察依据

   一条黄色曲线突然出现在先前放置的橙色点之间。

2. 公式
   观察依据

   顶部叠加层添加 \frac{d}{dx} f(x)=6x^2 旁边 f(x)=2x^3。

3. 声音
   观察依据

   导函数完整图像出现时，解说确认这次操作已经完成。

1. 触发揭示的确切阈值容差不披露。

1. yellow derivative curve

2. seven finalized control points

3. top formula overlay

1. 离散的斜率样本成为连接成一个看似连续的图。

2. 屏幕获得导数公式的明确标识。

1. 原来的蓝色立方体在新叠加层下保持不变。

2. 选择的 x 值保持不变。

界面将局部估计的切线斜率转化为导函数的全局图片。

1. 图示
   观察依据

   在整个摘录期间，布局保持不变：标题/说明和公式在左上角，大的笛卡尔平面图在中左部，答案/提示/帮助面板在右侧。

2. 动画
   观察依据

   没有发生重大场景变化；只有鼠标光标的位置随图和侧边栏的变化而变化。

1. 采样可能会错过帧之间微小的瞬态 UI 闪烁。

1. f(x)=2x^3 的蓝色三次曲线

2. 6x^2 的橙色抛物线导数曲线

3. 灰色的短切线风格线段

4. 带数字刻度的坐标轴

5. 带有七个导数值的答案面板

6. 在图表区域移动的鼠标光标

1. 光标在左侧负区域、原点附近和图的右上部分之间移动。

2. 叙述注意力从以前可调的橙色点转移到沿完整导数曲线读取任意点。

1. 显示的公式保持为 f(x)=2x^3 和 d/dx f(x)=6x^2。

2. 答案列表在此摘录期间保持不变。

3. 橙色曲线继续表示可见域上的斜率值。

视觉上，该片段强调从有限的采样切线调整到导数图的连续解释的转变：相同的橙色曲线同时编码了蓝色三次的所有切线斜率。

1. 声音
   观察依据

   一句口头说明将选中的自变量说得像是函数的输出值。

2. 公式
   观察依据

   显示的符号是 \frac{d}{dx} f(-2)，意思是在输入 -2 处求导数值。

1. 不清楚这是暂时的口头简写还是真正的困惑；屏幕上的数学是无歧义的。

这种不精确的措辞可能使学习者去寻找 f(x)=-2 的位置，而原意是输入 x=-2。

符号 \frac{d}{dx} f(-2) 指的是输入值 x=-2 处的导数，而不是输出 f(x) 恰好为 -2 的地方。在这个片段中，图上相关点是横坐标为 -2 的那个。

1. 声音
   观察依据

   在 x=0 处，演讲者强调斜率为零并称该点为拐点。

2. 图示
   观察依据

   曲线穿过原点，在那里有水平切线。

学习者可能会假设水平切线总是标记峰值或谷值。

在这个例子中，x=0 处的导数为 0，但被描述为拐点，这表明即使图形既未达到局部最大也未达到局部最小，切线也可以是水平的。

1. 声音
   观察依据

   旁白强调虽然我们没有在 -0.5 处移动一个点，但完整的导数仍然告诉我们那里的斜率。

人们可能认为导数仅在七个特别操纵的点处被找到。

视频明确拓宽了这一想法：一旦知道了整个导数曲线，它就给出显示范围内每一点的切线斜率，而不仅仅是在最初拖动的位置。

1. 声音
   观察依据

   导数作为切线斜率的定义先于动手调整过程。

2. 动画
   观察依据

   整个互动由设置切线斜率组成。

图形方法直接应用了导数等于某点切线斜率的定义。

1. 动画
   观察依据

   收集的斜率样本导致曲线的自动绘制。

2. 公式
   观察依据

   那条曲线随后被命名为 \frac{d}{dx} f(x)=6x^2。

反复应用抽样方法揭示了特定示例 f(x)=2x^3 的整体导数函数。

1. 公式
   观察依据

   展示的具体实例：2x^3 的导数是 6x^2。

1. 一般幂法则是分析师提供的背景知识，并未在本摘录中明确教授。

编辑关系：显示的结果 d/dx(2x^3)=6x^2 将导数作为切线斜率的思想应用于这个立方体。标准幂法则解释了公式，但其一般证明是背景知识，未在本段中提出。

1. 字幕依据
   观察依据

   定义文字将导数与切线斜率联系起来。

2. 公式
   观察依据

   特定显示的配对 f(x)=2x^3 和 d/dx f(x)=6x^2。

导数为斜率的一般定义由显示的公式 6x^2 具体实例化为三次函数。

1. 声音
   观察依据

   旁白使用整个导数曲线来估计新 x 值如 -0.5 和 -2.25 处的斜率。

知道显式导数公式使读取方法有意义：橙色图正是由 6x^2 产生的值的集合。

1. 字幕依据
   观察依据

   说明将导数定义为切线斜率并要求用户据此调整斜率。

交互式任务依赖于所述的导数的几何定义；如果不将导数解释为切线斜率，拖动直线的活动就失去了意义。

1. 声音
   观察依据

   简单地说成切线斜率的定义。

1. 通过切线斜率定义的导数

1. 公式
   观察依据

   答案列表中显示符号 \frac{d}{dx} f(-2)。

2. 声音
   观察依据

   演讲者试图大声解释符号。

1. 通过切线斜率定义的导数
2. 言语中可能的输入和输出混淆

1. 声音
   观察依据

   演讲者说斜率为零并称其为拐点。

2. 图示
   观察依据

   x=0 处的水平切线。

1. 关于 x=0 处行为的断言
2. 零斜率不需要这里的局部最大值或最小值

1. 动画
   观察依据

   调整后的点触发了导数曲线的出现。

2. 公式
   观察依据

   最终标签 \frac{d}{dx} f(x)=6x^2。

1. 通过调整切线来估计导数
2. 从采样的切线斜率到导数图
3. f(x)=2x^3 的导数公式

1. 公式
   观察依据

   选定输入处的稳定答案值。

1. 工作演示：从切线斜率估计 f(x)=2x^3 的导数
2. answer entries \frac{d}{dx} f(c)

1. 声音
   观察依据

   旁白说画出了导数的整体斜率，并将其描述为任意点处切线的斜率。

1. 本模块使用的定义：导数等于切线斜率
2. 显示的三次函数的导数公式
3. 将完整导数曲线作为斜率函数读取

1. 声音
   观察依据

   旁白演示了在 x=-0.5 处读取斜率，尽管那里没有移动过点。

1. 将完整导数曲线作为斜率函数读取
2. 从七个已检查的样本斜率到连续的导数图

1. 公式
   观察依据

   左上角显示 d/dx f(x)=6x^2，对应原函数 f(x)=2x^3。

1. 推导本身未在此摘录中显示。

1. 显示的三次函数的导数公式
2. 对照 6x^2 检查叙述的目测值

1. 字幕依据
   观察依据

   答案面板列出了七个特定的导数值。

1. 可汗学院交互式导数直觉问题
2. 显示的三次函数的导数公式
3. 对照 6x^2 检查叙述的目测值