导数的乘积法则｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   f(x) 以粉色书写。

2. 声音
   观察依据

   讲解将 f 标作第一个因子。

f(x)

乘积中的第一个函数。

视频中未指定。

1. 公式
   观察依据

   g(x) 以绿色书写。

2. 声音
   观察依据

   讲解将 g 标作第二个因子。

g(x)

乘积中的第二个函数。

视频中未指定。

1. 公式
   观察依据

   d/dx 以白色书写。

2. 声音
   观察依据

   讲解介绍对乘积求导的操作。

d/dx

关于 x 的导数算子。

应用于 x 的函数。

1. 公式
   观察依据

   f'(x) 以粉色书写。

2. 声音
   观察依据

   讲解对第一个因子求导。

f'(x)

f(x) 关于 x 的导数。

视频中未指定。

1. 公式
   观察依据

   g'(x) 以绿色书写。

2. 声音
   观察依据

   讲解对第二个因子求导。

g'(x)

g(x) 关于 x 的导数。

视频中未指定。

1. 公式
   观察依据

   x^2 以白色书写。

2. 声音
   观察依据

   例题先给出因子 x 的平方。

x^2

示例中使用的特定函数。

视频中未指定。

1. 公式
   观察依据

   sin x 以白色书写。

2. 声音
   观察依据

   例题另一个因子是正弦函数。

\sin x

示例中使用的特定三角函数。

视频中未指定。

1. 公式
   观察依据

   算子 $\frac{d}{dx}$ 以黄色写在顶部，并用于该示例。

\frac{d}{dx}

对 x 求导

微积分

1. 公式
   观察依据

   $f(x)$ 出现在乘积法则公式中，并被赋值为 $x^2$。

f(x)

乘积法则中的第一个函数；在示例中设为 $x^2$

实值函数

1. 公式
   观察依据

   $g(x)$ 出现在乘积法则公式中，并被赋值为 $\sin x$。

g(x)

乘积法则中的第二个函数；在示例中设为 $\sin x$

实值函数

1. 公式
   观察依据

   $f'(x)$ 出现在乘积法则公式中，计算结果为 $2x$。

f'(x)

$f(x)$ 的导数

实值函数

1. 公式
   观察依据

   $g'(x)$ 出现在乘积法则公式中，计算结果为 $\cos x$。

g'(x)

$g(x)$ 的导数

实值函数

1. 公式
   观察依据

   屏幕上写有公式 d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

2. 声音
   观察依据

   讲解逐次对一个因子求导，解释最后相加的两项。

乘积法则指出，两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

1. f 与 g 在所求导数的点都可微。

1. 公式
   观察依据

   使用了记号 d/dx。

2. 声音
   观察依据

   讲解介绍关于该变量求导的操作。

记号 d/dx 表示对函数关于变量 x 求导的操作。

1. 公式
   观察依据

   一般的乘积法则公式写在屏幕顶部。

2. 声音
   观察依据

   讲解由一般公式转入例题计算。

两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

1. f 与 g 在所求导数的点都可微。

1. 声音
   观察依据

   讲解用幂法则对平方因子求导。

2. 公式
   观察依据

   写有 $f'(x) = 2x$。

用于求 $x^n$ 的导数，结果为 $nx^{n-1}$。此处用于求 $x^2$ 的导数。

1. 对于任意实数 n，所列幂法则适用于 x>0。

2. 本例 n=2，作为多项式，其导数对所有实数 x 都成立。

1. 声音
   观察依据

   讲解用余弦作为正弦的导数。

2. 公式
   观察依据

   写有 $g'(x) = \cos x$。

正弦函数对 x 的导数是余弦函数。

1. 自变量 x 采用弧度制。

1. 声音
   观察依据

   原片说明本课演示法则的使用，不提供法则证明。

本视频不会提供乘积法则的证明，而是侧重于其应用。

无

1. 声音
   观察依据

   讲解依次将两个因子及其导数代入法则。

2. 公式
   观察依据

   在黑板上逐步写出解题过程。

1. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2 \sin x]$$
   解释

   识别问题为求乘积的导数。

   步骤依据

   给定表达式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(x) = x^2, g(x) = \sin x$$
   解释

   分配各个函数以匹配乘积法则的结构。

   步骤依据

   乘积法则组件的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f'(x) = 2x$$
   解释

   计算第一个函数的导数。

   步骤依据

   幂法则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$g'(x) = \cos x$$
   解释

   计算第二个函数的导数。

   步骤依据

   幂法则给出平方因子的导数；正弦导数采用弧度制。

   补充解释
5. 公式

   $$f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
   解释

   用具体函数写出乘积法则公式。

   步骤依据

   乘积法则公式。

   视频直接表达
6. 公式

   $$(2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x)$$
   解释

   将计算出的导数和原始函数代入公式。

   步骤依据

   代数替换。

   视频直接表达
7. 公式

   $$2x \sin x + x^2 \cos x$$
   解释

   通过去除括号简化表达式。

   步骤依据

   代数简化。

   视频直接表达

$x^2 \sin x$ 的导数是 $2x \sin x + x^2 \cos x$。视频以此最终表达式结束。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上写有表达式 x^2 \sin x。

2. 声音
   观察依据

   讲解选择平方函数乘以正弦函数作为例题。

1. 本 63–79 秒区间是例题准备；同一完整视频在后续区间解完计算。

使用乘积法则求函数 x^2 \sin x 的导数。

1. 函数为 f(x) = x^2 \sin x。

设置乘积法则的应用以求导数。

1. 公式

   $$x^2 \sin x$$
   解释

   将该函数识别为两项 x^2 和 \sin x 的乘积。

   步骤依据

   来自视频的观察。

   视频直接表达

本区间选定两个因子；完整后续讲解算出导数。

所选两个因子的乘积与画面例题函数一致。

1. 声音
   观察依据

   讲解完成例题的代入与化简。

2. 公式
   观察依据

   所有数学步骤都写在屏幕上。

求 $x^2 \sin x$ 的导数。

1. 待微分的函数：$x^2 \sin x$

2. 乘积法则公式

3. f 与 g 在所求导数的点都可微。

4. 正弦函数的自变量采用弧度制。

计算 $\frac{d}{dx}[x^2 \sin x]$。

1. 公式

   $$f(x) = x^2, g(x) = \sin x$$
   解释

   将乘积分解为两个函数。

   步骤依据

   乘积法则的结构。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f'(x) = 2x, g'(x) = \cos x$$
   解释

   分别对每个函数求导。

   步骤依据

   幂法则给出平方因子的导数；正弦导数采用弧度制。

   补充解释
3. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2 \sin x] = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x)$$
   解释

   应用乘积法则公式。

   步骤依据

   乘积法则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$= 2x \sin x + x^2 \cos x$$
   解释

   简化结果。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达

2x \sin x + x^2 \cos x

结果与片段末尾黑板上写的最终表达式一致。

1. 动画
   观察依据

   乘积法则的公式在黑色背景上逐步写出。公式的不同部分用颜色编码（f(x) 和 f'(x) 为粉色，g(x) 和 g'(x) 为绿色，算子和其他符号为白色）。

1. 文本 'Product Rule'

2. 公式 d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

1. 公式在屏幕上逐步写出。

1. 黑色背景保持不变。

视觉演示分解了乘积法则公式的各个组成部分，使用颜色编码来区分两个函数及其导数。

1. 图示
   观察依据

   在整个讲解过程中，函数及其导数使用颜色编码（f 为粉色，g 为绿色）。

1. f(x) 及其导数

2. g(x) 及其导数

1. 一致地应用颜色来标识公式的哪些部分对应哪些函数。

1. 从定义到最终替换，颜色关联保持不变。

视觉辅助工具，帮助学生在替换过程中追踪乘积法则的各个组成部分。

1. 声音
   观察依据

   讲解始终使用导数记号。

理解导数的基本概念是理解乘积法则的前提。

1. 声音
   观察依据

   讲解运用幂法则得到第一个因子的导数。

幂法则是较大推导中使用的前置方法。

1. 声音
   观察依据

   讲解利用正弦的标准导数处理另一个因子。

正弦的标准导数是较大推导中使用的前置事实。

1. 声音
   观察依据

   讲解介绍乘积法则。

1. 乘积法则公式

1. 声音
   观察依据

   讲解从法则转入例题。

1. 乘积法则公式
2. 设置乘积法则示例

1. 声音
   观察依据

   例题展示法则的完整应用过程。

1. 乘积法则公式
2. x² sin x 的求导计算
3. 对 x^2 sin x 应用乘积法则

1. 公式
   观察依据

   写有 g'(x) = cos x。

1. 正弦函数的导数