三重积分 1 | 二重积分与三重积分 | 多变量微积分 | 可汗学院

1. 公式
   观察依据

   左上区域写有绿色手写不等式 `$0 \le x \le 3$`。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，x 大于或等于 0，且小于或等于 3。

x

长方体某一边长的坐标变量；其取值区间为从 0 到 3。

x 大于等于 0 且小于等于 3

1. 公式
   观察依据

   绿色手写不等式 `$0 \le y \le 4$` 写在 x 界限下方。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，y 大于或等于 0，且小于或等于 4。

y

长方体另一条边长的坐标变量；其取值区间为从 0 到 4。

y 大于等于 0 且小于等于 4

1. 公式
   观察依据

   绿色手写不等式 `$0 \le z \le 2$` 写在 y 界限下方。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，z 大于或等于 0，且小于或等于 2。

z

长方体高度的坐标变量；其取值区间为从 0 到 2。

z 大于等于 0 且小于等于 2

1. 图示
   观察依据

   绘制了三条绿色坐标轴，并在三维坐标示意图中标注为 x、y 和 z。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出所绘制的坐标轴分别为 x 轴、z 轴和 y 轴。

x,y,z

用于绘制长方体的三条两两互相垂直的坐标轴的标签。

三维笛卡尔坐标系

1. 公式
   观察依据

   左上角手写的不等式包括$0 \le x \le 3$。

2. 声音
   观察依据

   说话人随后将小立方体的一条棱标记为$dx$。

x

本片段中，大长方体沿深度方向的笛卡尔坐标。

对应的式子为：$0 \le x \le 3$

1. 公式
   观察依据

   左上角手写的不等式包括$0 \le y \le 4$。

2. 声音
   观察依据

   说话人将小立方体的一条棱标记为$dy$。

y

本片段中，大长方体沿宽度方向的笛卡尔坐标。

对应的式子为：$0 \le y \le 4$

1. 公式
   观察依据

   左上角手写的不等式包括$0 \le z \le 2$。

2. 声音
   观察依据

   说话人称高度为$dz$，并指出$z$表示上下方向。

z

笛卡尔竖直坐标，用于表示大长方体的高度方向。

对应的式子为：$0 \le z \le 2$

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“然后它的深度是 dx。”

2. 公式
   观察依据

   最终写在黑板上的公式是$dV = dx\,dy\,dz$，其中包含$dx$。

dx

沿$x$方向的无穷小长度增量，对应于小立方体的深度。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设它的宽度是 dy。”

2. 公式
   观察依据

   最终写在黑板上的公式是$dV = dx\,dy\,dz$，其中包含$dy$。

dy

沿$y$方向的无穷小长度增量，对应于小立方体的宽度。

1. 声音
   观察依据

   主讲人更正后说，它的高度是$dz$。

2. 公式
   观察依据

   最终写在黑板上的公式是$dV = dx\,dy\,dz$，其中包含$dz$。

dz

沿$z$方向的无穷小长度增量，对应于小立方体的高度。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“你可以把它叫做 dV，也就是体积微分。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$dV = dx\,dy\,dz$。

dV

体积微分，即大区域内部一个小长方体的无穷小体积。

1. 公式
   观察依据

   左上角绿色文字显示不等式$0 \le x \le 3$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者随后指出，需沿x方向从$x = 0$积分到$x = 3$。

x

沿x轴的笛卡尔坐标；矩形体积分中的最外层积分变量。

x 大于等于 0 且小于等于 3

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他希望借助该例题，帮助观众熟悉三重积分的形式及其与二重积分的关系。

本视频选用简单的长方体，并非因为几何方法不够用，而是为了先让观众熟悉三重积分的形式及其与二重积分的关系，再过渡到更复杂的例子。

1. 该区域是一个各坐标边界均为常数的长方体。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，利用基础几何知识，可通过宽 × 高 × 深直接算出体积。

对于长方体，其体积可通过相乘对应于宽、高、深的三条棱长得到。

1. 该立体是一个各棱边两两互相垂直的长方体。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问：“那么三重积分意味着什么？”

本片段从概念上引入三重积分，将其视为一种数学对象，其含义源于对三维区域内部无穷小体积的求和。

1. 该区域是三维的。

2. 讲解中采用一个小长方体作为基本体积单元。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将这个小体积命名为$dV$，并称之为体积微元。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出$dV = dx\,dy\,dz$。

大长方体内部的无穷小体积单元记为$dV$；在直角坐标系下，它等于一个极小长方体三条边长的乘积。

1. 坐标系为直角坐标系。

2. 该微小部分被视作一个长方体，其各边的增量分别为$dx$、$dy$和$dz$。

1. 小立方体的尺寸

1. 声音
   观察依据

   主讲人指定宽度为$dy$，将高度更正为$dz$，并指定深度为$dx$。

2. 图示
   观察依据

   一个小立方体绘制在较大的虚线长方体内部。

位于较大长方体内部的小立方体，其宽度为$dy$、高度为$dz$、深度为$dx$，分别对应坐标轴上标出的三个坐标方向。

1. 该立方体与坐标轴对齐。

2. 较大区域是一个长方体。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“你可以调换这些因子的顺序……因为乘法满足结合律，且顺序无关紧要。”

由于$dV$被写成标量微分的乘积形式，因此因子$dx$、$dy$和$dz$可以重新排序，而不会改变该乘积的值。

1. 该陈述仅涉及微分因子的乘法，并未涉及完整的累次积分设置。

1. 体积微元$dV$

1. 公式
   观察依据

   黑板右上角以青色显示 dV = dx dy dz。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说要对这些 dV 求和，并在累次积分中写下 dz、dy、dx。

3. 图示
   观察依据

   一个青色的小立方体被画在较大的虚线长方体框内部，代表体积的一个无穷小部分。

对于与坐标轴对齐的长方体区域，其无穷小体积微元写作 $dV = dx\,dy\,dz$。视频中，该微元由大长方体内部的一个小立方体表示，而三重积分则对整个区域内的所有此类微元求和。

1. 该区域使用直角坐标系描述。

2. 这个小体积微元呈长方体形状，其边长分别为 dx、dy 和 dz。

1. 公式
   观察依据

   左上角的绿色不等式为：$0 \le x \le 3$，$0 \le y \le 4$，$0 \le z \le 2$。

2. 图示
   观察依据

   在一个3D坐标系中绘制了一个虚线矩形框，坐标轴分别标记为x、y和z。

3. 声音
   观察依据

   主讲人利用这些边界依次确定z、y、x的积分限。

被积的立体区域是矩形框$0\le x\le 3$、$0\le y\le 4$、$0\le z\le 2$。图示展示了该矩形框在3D空间中的位置，不等式则给出了各坐标方向上所用的常数积分限。

1. 该矩形框与坐标轴对齐。

2. 全部三个坐标的区间均为常数，且彼此独立。

1. 公式
   观察依据

   教师写出一个累次积分：最内层关于z的积分限为0到2，接着添加关于y的积分限0到4，最后添加关于x的积分限0到3，微分顺序为dz dy dx。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释说，先对z积分，再对y积分，最后对x积分，由此可计算出整个图形的体积。

1. 最终的积分在本片段中并未完全计算；主讲人仅表示其计算过程十分直接。

为计算该矩形框的体积，视频建立了累次积分$\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{4}\int_{z=0}^{2} dz\,dy\,dx$。其思路是：先沿z方向积分，得到一根柱体的高度；再沿y方向对柱体求和，形成一张薄片；最后沿x方向对薄片求和，从而获得总体积。

1. 被积函数为1，因此该积分度量的是体积。

2. 积分限为常数，因为积分区域是一个长方体。

3. 所选积分次序是先对 z 积分，再对 y 积分，最后对 x 积分。

1. 体积微元 dV
2. 三变量下的矩形框区域

1. 公式
   观察依据

   左上方的边界为$0 \le x \le 3$，$0 \le y \le 4$，$0 \le z \le 2$。

2. 公式
   观察依据

   居中顶部的公式为 dV = dx dy dz。

3. 公式
   观察依据

   累次积分为 $\int _{z=0}^{z=2} 1 dz dy dx$。

4. 图示
   观察依据

   在3D坐标系中绘制了一个虚线矩形框，坐标轴标记为 x、y、z。

该片段通过积分常数被积函数 1 在区域 $0 \le x \le 3$，$0 \le y \le 4$，$0 \le z \le 2$ 上来建立长方体的体积。所示微分顺序为 dz dy dx，因此积分先对 z 进行，再对 y，最后对 x。

1. 该区域是一个与坐标轴对齐的长方体。

2. 被积函数为1，因为目标是求体积。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“首先我们对 z 进行积分。”

2. 公式
   观察依据

   内层计算写作 [z]_0^2。

3. 公式
   观察依据

   中层计算写作 [2y]_0^4。

4. 公式
   观察依据

   外层求值写作 [8x]_0^3。

所演示的方法是：先计算最内层积分，代入其上下限，将所得表达式向外传递，重复此过程直至仅剩一个变量。每一步均使用当前被积函数关于当前变量的原函数。

1. 该积分以带有明确上下限的累次积分形式写出。

2. 每次积分均针对微分符号所指示的变量进行。

1. 长方体体积的三重积分设定

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，对 z 积分后得到的是一个二重积分，而这正是此前关于二重积分的视频中所讨论的那个确切积分。

2. 公式
   观察依据

   内层步骤完成后，黑板上显示 $\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} 2$ \, dy \, dx。

3. 公式
   观察依据

   写出表达式 $z(x,y)=2$，以将结果与曲面高度关联起来。

对于这个矩形长方体，将 1 关于 z 从 0 积分到 2，得到常数 2。剩余的二重积分 $\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} 2$ \, dy \, dx，与先前二重积分视角一致，即 xy 区域上方的高度为常函数 $z(x,y)=2$。

1. 上曲面为 $z=2$，下曲面为 $z=0$。

2. xy 区域为 $0 \le x \le 3$ 且 $0 \le y \le 4$。

1. 长方体体积的三重积分设定

1. 声音
   观察依据

   说话人说，积分帮助我们对无穷小的距离（如$dz$、$dx$或$dy$）进行无限求和。

积分被描述为对无穷小量（如$dx$、$dy$和$dz$）进行无限求和的工具。

1. 被求和的量由无穷小的部分构成。

2. 本片段中引入的体积计算是本问题的背景。

无穷多个无穷小的部分

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，按所写形式的积分对任意 x 和 y 给出一个柱体的体积；又因所有量均为常数，该积分化为 2 乘以 dy dx。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示的内层积分为关于 z 的积分，积分限为 $z = 0$ 到 $z = 2$，微分为 dz。

对固定的 x 和 y，内层积分 $\int_{z=0}^{2} dz$ 等于高度 2，因此一个竖直柱体的贡献为 $2\,dy\,dx$。

1. 该区域在 z 方向的界为常数：$0 \le z \le 2$。

2. 被积函数为 1，因此该积分计算的是体积。

3. 在对 z 积分时，x 和 y 保持固定。

对长方体中任意固定的 x 和 y。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，在求得柱体高度后，可沿 y 方向将这些柱体从 $y = 0$ 到 $y = 4$ 求和，从而得到一张平行于 zy 平面的薄片的体积。

2. 公式
   观察依据

   添加第二个积分号，其下限为 0，上限为 4。

在 $0\le y\le 4$ 上对竖直列求和，得到一个平行于 $zy$-平面的薄片的体积。

1. 上一步已计算出 z 方向一列的高度。

2. y 的界限在 0 到 4 之间为常数。

这是对固定 x 切片沿 y 方向求和。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，余下只需将这些薄片沿 x 方向从 $x = 0$ 加到 $x = 3$，即可得到整个立体的体积。

2. 公式
   观察依据

   添加第三个积分号，其下限为 0，上限为 3。

1. 本片段未给出总体积的数值。

在 $0\le x\le 3$ 上对薄片求和，得到整个长方体的体积。

1. y 步骤已生成平行于 zy 平面的薄片体积。

2. x 的界限在 0 到 3 之间为常数。

在整个盒子的 x 区间上。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“这里没有写任何内容，但我们可直接假设有1”，并解释 dz dy dx 等同于1乘以 dz dy dx。

2. 公式
   观察依据

   一个红色的1被插入到积分中 dz 的前面。

当用 dV = dz dy dx 计算体积且未写出其他被积函数时，隐含的被积函数是1。

1. 该积分用于计算体积。

2. 微元表达式未附加额外的函数因子。

针对本片段中展示的体积积分。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们用三重积分所做的事情，其实真的、真的没什么不同”，并指出剩下的二重积分与之前讨论过的积分类型相同。

1. 说话人表示他“稍后”将说明三重积分为何有用，但该解释并未包含在本片段中。

在此长方体盒子的例子中，三重积分被呈现为：在完成 z 方向积分后，其作用本质上与之前讨论过的二重积分相同。

1. 该区域是所显示的长方体盒子，其上表面为常数 $z = 2$。

2. 积分按 dz dy dx 的顺序计算。

本片段中展示的具体例子。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，如果物体质量分布均匀，那么只需将其均匀密度乘以体积，即可得到其质量。

若物体在整个体积内具有均匀密度，则其总质量可通过将该恒定密度乘以其体积得到。

1. 该物体内部各处密度均匀。

2. 该物体的体积已知。

适用于整个体积内密度恒定的物体。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，当体积内被积函数为常数时，本可直接计算二重积分。

1. 该陈述以口头方式呈现，作为与已写出的三重积分的对比；视频片段并未完整推导二者等价性。

在计算图中立体体积时，若体积内被积函数为常数，则本可采用二重积分，而非当前展示的三重积分设定。

1. 目标是计算体积，而非变密度下的质量。

2. 在该体积上的被积函数为常数。

在黑板上所示的体积计算情境中。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，深度为3，宽度为4，底面积为12，且12乘以2等于24立方单位。

2. 图示
   观察依据

   所绘制的立体图形在坐标轴上的范围对应x方向长度3、y方向长度4以及z方向高度2。

1. 公式

   $$3 \times 4 = 12$$
   解释

   底面积由两条水平方向的边长计算得出。

   步骤依据

   该立体为长方体，因此其底面是一个边长分别为3和4的矩形。

   视频直接表达
2. 公式

   $$12 \times 2 = 24$$
   解释

   将底面积乘以垂直方向的高度，即可得到体积。

   步骤依据

   对于长方体，体积等于底面积乘以高。

   视频直接表达

该长方体的体积为24立方单位。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，小体积等于宽乘以长乘以高。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出$dV = dx\,dy\,dz$。

1. 公式

   $$dV$$
   解释

   从大长方体内部的小立方体的无穷小体积出发。

   步骤依据

   说话者明确将$dV$引入为小体积微分。

   视频直接表达
2. 公式

   $$dx\,dy\,dz$$
   解释

   将小立方体的三条边长相乘：深度$dx$、宽度$dy$和高度$dz$。

   步骤依据

   说话者指出体积等于宽乘以长乘以高，并指明了这三条边长。

   视频直接表达

小长方体的体积微分为$dV = dx\,dy\,dz$。

1. 声音
   观察依据

   说话者表示，他们可以先沿$z$方向累加这些小立方体，从而得到一列的体积。

2. 图示
   观察依据

   光标先绕小立方体移动，然后指向垂直的$z$轴。

1. 视频片段在柱体的实际积分符号写出之前就结束了。

1. 公式

   $$dV = dx\,dy\,dz$$
   解释

   从小立方体的无穷小体积元开始。

   步骤依据

   这一点此前已在黑板上确立。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{sum } dV \text{ along } z$$
   解释

   沿$z$轴向上和向下叠加多个小立方体，同时保持另外两个维度不变。

   步骤依据

   主讲人说，取这个立方体，并沿$z$方向将其累加。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{volume of a column}$$
   解释

   该第一步求和的结果被描述为一列的体积。

   步骤依据

   主讲人明确指出，这一操作得到的是一列的体积。

   视频直接表达

视频中选定的第一个概念性积分方向是$z$方向，由此生成柱状的中间体积。

1. 声音
   观察依据

   主讲人逐步构建积分：先对 z 从0积分到2，再对 y 从0积分到4，最后对 x 从0积分到3。

2. 公式
   观察依据

   黑板上逐步展示嵌套的积分符号，对应写出积分限及微分 dz dy dx。

1. 公式

   $$\int_{z=0}^{2} dz$$
   解释

   从 z 方向的最内层积分开始，因为最小的立方体是沿竖直方向从盒子底部堆叠至顶部的。

   步骤依据

   所显示的积分限包括$0 \le z \le 2$，且主讲人明确指出应首先对 z 积分。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2\,dy\,dx$$
   解释

   对 z 积分后，一根竖直柱体的高度为2，底面积为 dy dx，因此其体积为2 dy dx。

   步骤依据

   主讲人指出，该柱体的高度为2，宽度与深度分别为 dy 和 dx。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\int_{y=0}^{4} \int_{z=0}^{2} dz\,dy\,dx$$
   解释

   接下来，在 y 方向上将这些柱体相加，形成一张平行于 zy 平面的薄片。

   步骤依据

   主讲人表示需再对 y 方向作一次积分，并使用积分限 $y = 0$ 到 $y = 4$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{x=0}^{3} \int_{y=0}^{4} \int_{z=0}^{2} dz\,dy\,dx$$
   解释

   最后，在 x 方向上将这些薄片相加，得到整个盒子的体积。

   步骤依据

   主讲人指出，需在 x 方向上将薄片从 $x = 0$ 加总至 $x = 3$。

   视频直接表达

长方体的体积由累次三重积分$\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{4}\int_{z=0}^{2} dz\,dy\,dx$表示。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\int_{0}^{3}\int_{0}^{4}\int_{0}^{2} 1$ \, dz \, dy \, dx。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 [z]_0^2，然后 $\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} 2$ \, dy \, dx，接着 [2y]_0^4，再然后 $\int_{0}^{3} 8$ \, dx，接着 [8x]_0^3，最后是 24。

3. 声音
   观察依据

   主讲人逐项叙述每个原函数及上下限代入过程，最后说：“24 立方单位。”

1. 公式

   $$\int_{0}^{3}\int_{0}^{4}\int_{0}^{2} 1 \, dz \, dy \, dx$$
   解释

   从黑板上显示的长方体体积的累次积分出发。

   步骤依据

   黑板上写出边界条件 $0 \le x \le 3$、$0 \le y \le 4$、$0 \le z \le 2$，以及 dV = dx dy dz。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} [z]_{0}^{2} \, dy \, dx$$
   解释

   对最内层的 1 关于 z 进行积分。

   步骤依据

   主讲人指出：1 关于 z 的原函数是 z。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} 2 \, dy \, dx$$
   解释

   计算 [z]_{0}^{2}=2-0。

   步骤依据

   将积分中所示的 z 的上限与下限代入。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_{0}^{3} [2y]_{0}^{4} \, dx$$
   解释

   对中间被积函数2关于 y 进行积分。

   步骤依据

   2关于 y 的原函数是2y。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\int_{0}^{3} 8 \, dx$$
   解释

   计算[2y]_{0}^{4} = 8 - 0。

   步骤依据

   代入黑板上标出的 y 积分限0和4。

   视频直接表达
6. 公式

   $$[8x]_{0}^{3}$$
   解释

   对外层被积函数8关于 x 进行积分。

   步骤依据

   8关于 x 的原函数是8x。

   视频直接表达
7. 公式

   $$24$$
   解释

   计算[8x]_{0}^{3} = 24 - 0。

   步骤依据

   代入黑板上标出的 x 积分限0和3。

   视频直接表达

所展示的三重积分的值为24立方单位。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示了$\int_0^3\int_0^4\int_0^2 1\, dz\, dy\, dx$以及依次计算出的各行结果：$[z]_0^2$、$\int_0^3\int_0^4 2\, dy\, dx$、$[2y]_0^4$、$\int_0^3 8\, dx$、$[8x]_0^3$和$24$。

2. 图示
   观察依据

   左侧图示用$0\le x\le 3$、$0\le y\le 4$和$0\le z\le 2$标注了长方体盒子。

1. 公式

   $$\int_0^3\int_0^4\int_0^2 1\, dz\, dy\, dx$$
   解释

   从黑板上所写的长方体的累次积分出发。

   步骤依据

   直接由黑板上的公式观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\int_0^3\int_0^4 [z]_0^2\, dy\, dx$$
   解释

   对最内层被积函数$1$关于$z$进行积分。

   步骤依据

   $1$关于$z$的原函数是$z$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\int_0^3\int_0^4 2\, dy\, dx$$
   解释

   计算$[z]_0^2=2-0=2$。

   步骤依据

   代入黑板上所示的关于$z$的积分限。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_0^3 [2y]_0^4\, dx$$
   解释

   对中间层被积函数$2$关于$y$进行积分。

   步骤依据

   $2$关于$y$的原函数是$2y$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\int_0^3 8\, dx$$
   解释

   计算$[2y]_0^4=2\cdot 4-2\cdot 0=8$。

   步骤依据

   代入黑板上所示的$y$-限。

   视频直接表达
6. 公式

   $$[8x]_0^3$$
   解释

   对外层被积函数进行积分$8$ 关于$x$。

   步骤依据

   $8$关于$x$的原函数是$8x$。

   视频直接表达
7. 公式

   $$24$$
   解释

   计算$[8x]_0^3=8\cdot 3-8\cdot 0=24$。

   步骤依据

   代入黑板上所示的$x$-限。

   视频直接表达

所展示的三重积分值为$24$，与边长分别为$3$、$4$和$2$的长方体体积一致。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上标出边界：`$0 \le x \le 3$`、`$0 \le y \le 4$` 和 `$0 \le z \le 2$`。

2. 图示
   观察依据

   依据这些边界，在第一卦限中草绘了一个三维长方体。

3. 声音
   观察依据

   主讲人指出目标是求该立方体／长方体的体积，并随后计算得出其体积为24立方单位。

1. 主讲人称该物体为立方体，但图中显示的三条边长分别为3、4和2，因此实际所展示的数学对象是一个长方体，而非真正的立方体。

已知一个立体由 $0 \le x \le 3$、$0 \le y \le 4$ 和 $0 \le z \le 2$ 所围成，求其体积。

1. x 大于等于 0 且小于等于 3

2. y 大于等于 0 且小于等于 4

3. z 大于等于 0 且小于等于 2

计算该立体的体积。

1. 公式

   $$0 \le x \le 3,\quad 0 \le y \le 4,\quad 0 \le z \le 2$$
   解释

   记录定义该立体的坐标范围。

   步骤依据

   这些不等式在视频中明确写出并口述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$V = (3)(4)(2)$$
   解释

   使用长方体体积公式，其三条棱长分别为 3、4 和 2。

   步骤依据

   该立体与坐标轴对齐，且在每个坐标方向上的边界均为常数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$V = 24$$
   解释

   将三条棱长相乘，得到具体的体积数值。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达

24 立方单位

结果与说话人口头计算一致：底面积 12 乘以高 2 得到 24。

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出了$0 \le x \le 3$、$0 \le y \le 4$和$0 \le z \le 2$。

2. 图示
   观察依据

   在一个3D坐标系中画出了一个虚线矩形框。

在$xyz$空间中使用一个长方体，通过累加微小体积元素来解释三重积分的含义。

1. 对应的式子为：$0 \le x \le 3$

2. 对应的式子为：$0 \le y \le 4$

3. 对应的式子为：$0 \le z \le 2$

4. 一个小立方体被放置在大长方体内部的某个位置。

识别无穷小体积元素，并描述第一次求和的方向。

1. 公式

   $$0 \le x \le 3,\; 0 \le y \le 4,\; 0 \le z \le 2$$
   解释

   该区域是一个与坐标轴对齐的长方体。

   步骤依据

   这些积分限直接写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$dV = dx\,dy\,dz$$
   解释

   在长方体内选取一个微小的长方体立方体，并将其体积计算为三条边长的乘积。

   步骤依据

   主讲人将三条边分别标记为$dx$、$dy$、$dz$，并在黑板上写出公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{sum } dV \text{ in the } z\text{-direction}$$
   解释

   下一个概念步骤是将这些小立方体沿竖直方向堆叠，形成一列。

   步骤依据

   主讲人表示，可以先沿$z$方向累加，从而得到一个柱体的体积。

   视频直接表达

视频片段设定了体积微元$dV = dx\,dy\,dz$，并通过首先沿$z$方向求和，开启三重积分的解释。

手写的积分限、所画的长方体以及口头讲解，三者均对应同一笛卡尔坐标系下的体积设定。

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出了$0 \le x \le 3$、$0 \le y \le 4$、$0 \le z \le 2$，并据此构造了具有这些积分限的嵌套积分。

2. 图示
   观察依据

   在3D坐标系中展示了一个虚线绘制的长方体，其内部有一个小立方体。

3. 声音
   观察依据

   主讲人解释说，该积分将给出整个图形的体积。