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香农熵法 - 简易方法 - 如何估计多准则决策问题的权重 #熵

Vitarka · YouTube · 10:36

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视频中的要点

01多准则决策中的香农熵权法
02熵作为信息与不确定性的度量
03为何熵适用于决策赋权

来自学习笔记

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}

步骤1：决策矩阵的列归一化

选中时刻

源自原始论文的决策矩阵

建议预备知识

多准则决策（MCDM）
基础矩阵记号
自然对数 $\ln$
求和记号
概率／离散分布的概念
曾接触过层次分析法（仅作对比提及）
多准则决策基本概念
决策矩阵表示法
自然对数
按列归一化
电子表格公式引用
基础对数知识
按列求和
归一化矩阵元素
具备电子表格及单元格公式的初步使用经验
理解决策模型中的权重通常需归一化，使其总和为1
各准则熵值的预先计算

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本180秒的讲座片段介绍了香农熵权法，用于多准则决策中客观准则权重的估计。在简短的、不含数学内容的频道导语之后，主讲人指出熵源于信息论，援引了C.E. Shannon（1948），并把熵描述为离散概率分布中期望信息量与不确定性的度量。该片段的核心是幻灯片展示的三步流程：通过 $p_{ij}=x_{ij}/\sum_{i=1}^{m}x_{ij}$ 对决策矩阵进行归一化；通过 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$ 并结合 $k=1/\ln(m)$ 计算各准则的熵值；再通过 $w_j=(1-E_j)/\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ 得到权重。片段最后打开了一份来自Manshadi等（2007）的PDF表格，作为即将展开的实例演算，但在所提供的时间范围内并未进行具体数值求解。这段时长为180秒的片段演示了香农熵权法在 $7\times 7$ 材料选择决策矩阵中的建模准备与首个计算步骤。主讲人明确了七个备选方案与七个评价准则，并在Excel中将各准则列归一化为比例p_{ij}=x_{ij}/\sum_{ $i=1$ }^{m}x_{ij}，采用绝对引用方式，使公式可复制至整个矩阵。完成后的归一化数据块被标记为Pij。幻灯片还展示了后续的熵值与权重公式，包括 $k=1/\ln(m)$ 及 $w_j=(1-E_j)/\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ ，但这些步骤仅以符号形式引入，本片段中并未执行数值计算。一个值得注意的问题是：幻灯片上印出的熵值公式存在下标不一致的情况。这段时长为 180 秒的片段通过从公式幻灯片过渡到 Excel 实操，讲解香农熵权法：定义标准化公式 p_{ij}=x_{ij}/\sum_{ $i=1$ }^{m}x_{ij}，熵值度量公式 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}，以及常数 $k=1/\ln(m)$ 。实例中设 $m=7$ ，计算得 k≈1.183294662，构造乘积项 p_{ij} $\ln p$ _{ij}，按列求和后乘以 -k，最终生成标记为 Eij 的熵值行。这段96秒的片段讲解香农熵权重法的第3步：在获得熵值后，通过公式 $w_j=(1-E_j)/\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ 计算客观权重。视频首先在幻灯片上展示该公式，随后在 Excel 中实现：基于已有的 Eij 行创建一行为1-Eij 的行，对该行求和得到0.597，用 $SR$ 24固定分母，并将每个补值除以总和，从而得出最终权重（0.243, 0.203, 0.076, 0.079, 0.035, 0.303, 0.061）。主讲人最后指出，这些权重之和为1。

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章节

0:00频道导语 0:07香农熵权法在多准则决策中的作用 0:50熵的概念背景及其在决策分析中的依据 1:49第1步：决策矩阵的归一化 2:03第2步：熵值的计算 2:19第3步：客观权重公式 2:45引入一个实例演算表格 3:00源自原始论文的决策矩阵 3:25香农熵计算流程及步骤1归一化 3:35p_{ij}在Excel中的实现 4:05填充完整的归一化矩阵Pij 5:20熵值与权重公式的引入 6:00幻灯片上的香农熵公式 6:08Excel 设置及由

m=7

计算 k 6:40在工作表中计算 p_{ij} ln(p_{ij})7:52按列对乘积项求和 8:12乘以 -k 并将该行标记为 Eij 9:00转入第3步 9:02幻灯片上展示客观权重公式 9:12在 Excel 中计算1-Eij 9:31对补值求和 9:47用总和去除各补值得到 wij 10:08验证权重之和是否为1 10:31片尾

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

该片段以一段简短的频道标识开始，不含任何数学内容。

主讲人将香农熵权法介绍为一种用于估计多准则决策中属性权重的技术。他将问题设定为决策者需要确定各准则的权重，并明确将该方法与此前已讨论过的层次分析法加以对比。

随后，主讲人回溯以更广泛地定义熵。幻灯片列出了其应用领域，如社会科学与自然科学、经济学、谱分析及语言建模，并将信息论基础归功于C.E. Shannon（1948）。熵被描述为一条消息的期望信息量，也被视为刻画离散概率分布所表征不确定性程度的准则。

接着，主讲人解释熵为何与决策分析相关：它可衡量不同数据集之间的差异，并阐明传递给决策者的平均内在信息量。这促使我们不仅将熵视作一种抽象的信息度量，更将其作为客观赋权的依据。

该方法随后以三个步骤呈现：步骤1通过列求和对决策矩阵元素 $x_{ij}$ 进行归一化，得到 $p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}$ ；主讲人指出 $m$ 为备选方案的数量。

步骤2利用 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$ 计算各准则列的熵值，其中 $k=1/\ln(m)$ ；此步骤将归一化后的列数值转化为每个准则对应的一个不确定性评分。

步骤3通过 $w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}$ 将这些熵值转换为目标权重；公式表明，权重基于熵的补数，并在全部准则上完成归一化。

最后，主讲人从理论转入实践，打开一份标注为‘表8 示例2的决策矩阵（Manshadi 等人，2007）’的 PDF 表格；他表示将在此已解算的论文示例中使用 Excel 进行演示，该示例涉及低温储罐的材料选择，但视频片段在任何数值计算开始前即结束。

片段起始于一篇研究论文中的表格，该表格定义了多准则决策问题。共有七个材料备选方案与七个属性：韧性指数、屈服强度、弹性模量、密度、热膨胀系数、热导率以及比热容。前三个属性被标注为“极大型”准则，后四个则为“极小型”准则。由此确立了待处理的原始决策矩阵 $x_{ij}$ 。

画面切换至一张标题为“香农熵权法”的PowerPoint幻灯片。该方法分为三步：首先对决策矩阵归一化以获得 $p_{ij}$ ，其次计算熵值 $E_j$ ，最后推导权重 $w_j$ 。本片段中仅数值化执行了步骤1。

在Excel中直接实现归一化公式。针对第一个韧性指标单元格，主讲人输入 $=C5/SUM(C5:C11)$ ，对应于 $p_{ij}=x_{ij}/\sum_{i=1}^{m}x_{ij}$ 。显示结果为 $0.041518$ 。这验证了每个原始数值正被转换为该列总和所占的比例。

为使公式可复制，分母被改为绝对引用： $=C5/SUM($ C $5:$ C $11)$ 。这样可固定列总和，而分子随单元格位置逐行变化。从数学角度看，这保持了归一化定义所要求的、按准则固定的分母。

随后，该公式被横向拖拽至其余各准则列，并纵向拖拽覆盖全部七个备选方案。最终得到一个完整的 $7\times7$ 归一化矩阵。此时每列数值之和均为1，因此原始决策矩阵已被转化为熵值计算所需的、具有概率特征的矩阵 $P=[p_{ij}]$ 。

完成的方块标记为“Pij”，以强调这些条目正是第 1 步所得的归一化结果。随后，主讲人返回幻灯片并介绍第 2 步：熵值度量。屏幕上显示的公式为 $E_j=-k\sum_{j=1}^{n}p_{ij}\ln p_{ij}$ ，其中 $k=1/\ln(m)$ 。如所印制，下标不一致；预期的按准则计算的熵值应对每个固定准则 $i=1,\dots,m$ 在所有备选方案 $j$ 上求和。

最后，步骤3以符号形式呈现： $w_j=(1-E_j)/\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ 。这意味着熵值越小，对应权重越大，因为当该准则对各备选方案的区分能力越强时， $1-E_j$ 的值就越大。然而，在本片段中，熵值及最终权重尚未实际计算；摘录结束于主讲人刚从标准化矩阵过渡到熵值计算步骤之时。

视频片段以一张标题为“香农熵权法”的 PowerPoint 幻灯片开始，副标题为“通过香农熵确定客观权重的步骤”。幻灯片上显示两个公式：步骤1通过 $p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}$ 对决策矩阵进行归一化；步骤2通过 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$ 计算熵值，其中 $k=\frac{1}{\ln(m)}$ 。主讲人的口述略显含糊，听起来像“p a j”，但幻灯片上的数学表达式明确了应使用的符号。

画面切换至 Excel，其中已存在一个数值型决策矩阵及一个标有 $p_{ij}$ 的归一化数据块。演示者从识别备选方案数量开始进行数值实现：他输入 $m=7$ ，与工作表中七行数据一致；随后依据幻灯片公式 $k=\frac{1}{\ln(m)}$ 计算缩放常数。在 Excel 中，该计算以基于对数的除法形式输入，所得结果约为 $1.183294662$ 。

在 $k$ 固定后，下一步是构建内层熵项 $p_{ij}\ln p_{ij}$ 。演示者选取一个归一化单元格，输入等效于将该单元格值与其对数相乘的公式，明显使用了 Excel 语法，例如 `=K4*LOG(K4)`。由于归一化后的数值介于0与1之间，其对数值为负数，因此工作表中显示的乘积值为负数，例如 $-0.05737$ 。接着，他将该公式向下拖拽覆盖全部七个备选方案，从而对单一准则列实现了索引范围 $i=1,\dots,m$ 。

乘积列填满后，演示者对该列数值求和。这对应幻灯片公式中的求和式 $\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$ 。在 Excel 中，他使用 `SUM` 函数对七个乘积单元格求和，示例列所显示的结果为 $-0.72253$ 。此步骤将逐行乘积转化为单个按列汇总的量，进而可缩放为熵值度量。

最终变换应用了前导因子 $-k$ 来自 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$ 。主讲人将存储的和乘以存储的 $k$ 值，并插入绝对引用，使得 $k$ 在公式横向复制到各准则列时保持不变。随后，他将显示结果四舍五入至小数点后三位，并将所得行标记为“Eij”。可见的熵行是 $0.855,\ 0.879,\ 0.954,\ 0.953,\ 0.979,\ 0.819,\ 0.964$ ，即幻灯片中所介绍的准则熵 $E_j$ 在工作表中的具体实现。

该片段从此前估算出的熵量出发，过渡到香农熵加权法的下一个正式步骤。

幻灯片上，第3步将客观权重定义为 $w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}$ 。用文字表述即：每一准则的权重等于其熵补值除以所有熵补值的总和。

Excel 演示首先取已计算好的、标记为 Eij 的行，创建一个新行，标记为1-Eij。第一格使用 $=1-K22$ ，该公式向右复制到整行，使每个准则都获得其自身的补值。

在任何权重最终确定之前，必须先计算分母。表格对整个1-Eij 行求和，使用 $=SUM(K24:Q24)$ ，得到单一的归一化总和 $0.597$ 。

下一步操作是将每个补值除以这个公共总和。在 Excel 中，该公式输入为 =这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。\24，其中美元符号用于锁定分母单元格，使其在公式向右拖拽至其余列时保持不变。

完成除法运算并向右复制后，最终标记为 wij 的行即包含目标权重： $0.243,\ 0.203,\ 0.076,\ 0.079,\ 0.035,\ 0.303,\ 0.061$ 。

接着，主讲人给出该方法的合理性检验：将所有这些权重相加，结果应为 $1$ ，从而验证归一化已生成一个有效的权重向量。

教学部分最后重申：这是利用香农熵估计权重的步骤，随后是一个非数学性的结束画面。

知识卡片

多准则决策中的香农熵权法

类型：方法。本片段将香农熵权法作为多准则决策中客观估计准则权重的一种方式予以介绍；主讲人将其与先前讨论的层次分析法（AHP）进行对比，强调熵权法是从数据结构本身导出权重，而非源自早期 AHP 风格的两两比较过程。时间依据：7–50秒。

熵作为信息与不确定性的度量

类型：定义。熵通过信息论引入：它用于评估期望信息量，并作为离散概率分布所表征不确定性程度的判据；幻灯片同时引述 C.E. 香农（1948），并列举其应用领域，包括经济学、谱分析及语言建模。时间依据：50–95秒。

为何熵适用于决策赋权

类型：方法原理。讲座指出，熵可用于决策赋权，因其能有效衡量不同数据集之间既有的差异性，并阐明传递给决策者的平均内在信息量；这正是从抽象信息论通向实际多准则决策赋权的桥梁。时间依据：95–109秒。

步骤1：决策矩阵的列归一化

类型：公式。原始性能指标 $x_{ij}$ 通过将每项除以其所在列在所有备选方案中的总和，转化为标准化结果 $p_{ij}$ by dividing each entry by the sum of its column over all alternatives $i=1,\dots,m$ 这是熵值计算所需的输入预处理。时间证据：109–123秒。

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}

步骤2：基于标准化结果的准则熵

类型：公式。对于每个准则 $j$ ，该方法从标准化后的列值计算一个熵值。缩放常数为 $k=1/\ln(m)$ ，其中 $m$ 为备选方案的数量。结果 $E_j$ 汇总了与该准则相关的不确定性。时间证据：123–139秒。

E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)}

步骤3：基于熵补的客观权重

类型：公式。最终权重通过对每个准则取 $1-E_j$ 并将其在所有准则上归一化而得到。这意味着熵值较低的准则在归一化前会获得相对更大的权重贡献。时间证据：139–165秒。

w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}

曼沙迪等人（2007）提供的算例设定

类型：例题引入。在公式幻灯片之后，主讲人打开一份标注为‘表8 示例2的决策矩阵（曼沙迪等，2007）’的PDF表格，并说明该例涉及低温储罐的材料选择。表格列出了七种材料和七个属性，并标有最大化（MAX）/最小化（MIN）方向，但本片段中未进行任何数值化的熵计算。时间证据：165–180秒。

常见误区：切勿直接对原始数据应用熵

类型：误解澄清。所展示的流程明确指出，步骤2使用的是 $p_{ij}$ ，而非 $x_{ij}$ 。因此，熵公式仅应在列标准化之后应用。另一相关注意事项是，权重公式使用的是 $1-E_j$ ，故熵本身并非最终权重。时间证据：109–165秒。

香农熵权法概述

该视频介绍了一种用于多准则决策的三步客观赋权流程：首先将决策矩阵标准化，得到 $p_{ij}$ ；其次计算各准则的熵值 $E_j$ ；最后将这些熵值转化为权重 $w_j$ 。在本摘录中，仅标准化步骤在Excel中进行了数值计算；后续公式虽显示在幻灯片上，但并未实际求值。

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}},\quad E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)},\quad w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}

材料选择决策矩阵

该示例包含七种材料备选方案与七项工程准则。行依次为：Al2024-T6、Al5052-O、SS301-FH、SS310-3AH、Ti-6Al-4V、Inconel718以及70Cu-30Zn；列依次为：韧性指数、屈服强度、弹性模量、密度、热膨胀系数、热导率和比热容。前三个准则标记为“最大化”（MAX），后四个标记为“最小化”（MIN）。

步骤1：标准化以获得p_{ij}

每个原始数据项均除以其所在准则列的总和。此举将决策矩阵转换为一列列比例构成的矩阵。对于每一准则 $j$ ，标准化后的元素满足 $\sum_{i=1}^{m}p_{ij}=1$ 。在Excel中，首个计算出的值来自韧性列，即 $0.041518$ 。

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}

Excel中用于标准化的绝对引用技巧

为复制标准化公式且保持分母不变，需用美元符号锁定列求和范围。公式变为 $=C5/SUM($ C $5:$ C $11)$ ，从而复用同一组七个单元格的总和，而分子则随行列方向自动递进。

已完成的标准化矩阵Pij

在将公式填充至全部七个准则与七个备选方案后，电子表格中生成了一个完整的 $7\times7$ 数值块，并标注为Pij。该数值块即为熵值计算步骤所需的标准化比例矩阵。

步骤2：熵公式与索引注意事项

本幻灯片将熵定义为 $E_j=-k\sum_{j=1}^{n}p_{ij}\ln p_{ij}$ ，其中包含 $k=1/\ln(m)$ 。但印刷的下标存在不一致：对于固定准则 $j$ ，求和应遍历所有备选方案 $i=1,\dots,m$ 。本片段中未计算任何数值型熵值。

E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)}

步骤3：权重公式

权重通过对所有准则归一化 $1-E_j$ 得到。熵值较小的准则获得较大权重，因为它们对备选方案的区分能力更强。该公式在幻灯片上可见，但本片段中未进行数值计算。

w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}

香农熵权法

该视频展示了一个两步目标赋权过程：第一步，将原始决策矩阵元素 $x_{ij}$ 归一化为 $p_{ij}$ ；第二步，利用归一化值及一个依赖于备选方案数量 $E_j$ 的常数 $k$ ，将每个准则列转换为熵度量 $m$ 。

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}},\quad E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)}

m 与 k 的含义

此处 $m$ 表示决策矩阵中备选方案（行）的数量。在本例中， $m=7$ 。常数 $k=1/\ln(m)$ 用于缩放熵值总和；当 $m=7$ 时，工作表中显示为 $k\approx 1.183294662$ 。

m=7,\quad k=\frac{1}{\ln(7)}\approx 1.183294662

为何乘积项为负

熵公式中使用了 $p_{ij}\ln p_{ij}$ 。由于 Excel 中显示的归一化数值满足 $0<p_{ij}<1$ ，其对数值为负，因此在施加外层因子 $-k$ 之前，工作表中显示的乘积值为负。

p_{ij}\ln p_{ij}

按列求和步骤

对于每个评价准则列，该方法将所有备选方案对应的七个乘积值相加。在示例中，Excel 计算一个区域的和，并在某一列显示为 $-0.72253$ ，对应于 $\sum_{i=1}^{7}p_{ij}\ln p_{ij}$ 。

\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}

从列和到熵值行 Eij

某评价准则的最终熵值，由该列的和乘以 $-k$ 得到。演示者使用绝对引用，使得在向右复制公式时 $k$ 保持不变；随后将结果保留三位小数，并将该行标记为“Eij”。屏幕上显示的结果行为0.855、0.879、0.954、0.953、0.979、0.819、0.964。

E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}

第3步：目标权重公式

在熵值已知之后，香农熵权重法将准则 j 的目标权重定义为：其熵的补值除以所有补值之和。这是本视频片段所讲授的核心公式。

w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}

计算补值行 $1-E_j$

第一步实现操作是将每个熵值转换为 $1-E_j$ 。在 Excel 示例中，以 Eij 行作为输入，生成新行1-Eij，并在各准则列中复制公式 $=1-K22$ 。

1-E_j

对补值求和，得到分母

第3步中的分母并非针对特定准则；它是所有补值的总和。示例中使用 $\sum(1-E_{ij})$ 与 $=SUM(K24:Q24)$ 计算，得到 $0.597$ 。

\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)

对每个补集进行归一化以得到权重

1-Eij 行中的每个值都除以相同的总和，从而得到最终的权重行 wij。电子表格公式 =这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。\24展示了该公共分母被应用于所有准则。

w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 28

p_{ij}

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤1展示了 $p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}$ ，幻灯片文字说明这给出了项目结果 $p_{ij}$ 。
声音
观察依据
讲师指出，需对决策矩阵的数组进行归一化处理，以获得项目结果 $p_{ij}$ 。

符号

p_{ij}

含义

归一化的项目结果，或由决策矩阵元素 $x_{ij}$ 所得的列归一化项。

适用范围

对每个矩阵元素定义为将其除以 $x_{ij}$ 该列中所有元素的和 $i=1,\dots,m$ ，即同一列中的所有元素 $j$ ；视频未明确说明非负性要求或分母为零时的处理方式。

x_{ij}

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤1中的分子与分母均使用 $x_{ij}$ 。
声音
观察依据
讲师在引入归一化公式时提到了决策矩阵的数组。

符号

x_{ij}

含义

决策矩阵（性能指标）中第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。

适用范围

由 $i$ 和 $j$ 索引的矩阵元素；视频未在求和范围 $i=1$ 至 $m$ 之外单独定义完整的索引集。

m

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
$m$ 同时作为 $\sum_{i=1}^{m}x_{ij}$ 和 $k=1/\ln(m)$ 的上限。
声音
观察依据
讲师指出， $m$ 是我们多准则决策问题中所含的备选方案数量。

符号

含义

决策矩阵中备选方案的数量（即行数）。

适用范围

一个正整数，既用作归一化过程中的行数，也出现在 $\ln(m)$ 中；视频未讨论 $m=1$ 这一特殊情况，其中 $\ln(m)=0$ 。

$E_j$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤2显示 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$ 。
声音
观察依据
主讲人将此称为熵测度的计算，并用 $k=1/\ln(m)$ 朗读该公式。

符号

$E_j$

含义

与准则（列） $j$ 相关的熵测度，由所有备选方案上归一化后的值 $p_{ij}$ 计算得出。

适用范围

在归一化后为每一列 $j$ 定义；视频未明确说明含 $p_{ij}=0$ 项的约定。

k

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片上写着‘其中 $k=1/\ln(m)$ ’。
声音
观察依据
主讲人称 $k$ 等于一除以 $\ln$ 的 $m$ 次方。

符号

含义

熵公式中使用的缩放常数。

适用范围

设其等于 $1/\ln(m)$ ；视频未提及该定义成立所需的前提条件 $m>1$ 。

$w_j$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤3显示 $w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}$ 。
声音
观察依据
主讲人称此步骤基于熵的概念定义了客观权重。

符号

$w_j$

含义

经熵变换后分配给准则 $j$ 的客观权重。

适用范围

对每个准则 $j$ 分别计算，分母求和中使用全部 $E_j$ 值，求和范围从 $j=1$ 到 $n$ ；视频未明确讨论所有 $E_j=1$ 的情形。

n

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤3中的分母是 $\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ 。

待核验内容

符号 $n$ 在公式中可见，但在视频片段中未作口头定义。

符号

含义

权重归一化求和中关于准则的上标上限。

适用范围

根据公式上下文，它表现为准则数/列数；视频并未明确说明这一解释。

x_{ij}

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片展示公式：p_{ij}=x_{ij}/\sum_{ $i=1$ }^{m}x_{ij}；分子为 Excel 中当前单元格的数值。
声音
观察依据
主讲人描述该操作为‘用当前数值除以全部数值之和’。

符号

x_{ij}

含义

决策矩阵中，第 i 个备选方案在第 j 项准则下的原始性能值。

适用范围

正值型数值属性；本例中包括材料性能，如韧性指数、屈服强度、弹性模量、密度、热膨胀系数、热导率和比热容。

p_{ij}

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片将归一化后的量标记为 p_{ij}。
图示
观察依据
Excel 输出区域后续被标上标题“Pij”。
声音
观察依据
主讲人称第一步是归一化，并随后指出‘这就是 Pij’。

符号

p_{ij}

含义

归一化后的项目结果，或对应于 x_{ij} 的列方向比例。

适用范围

数值位于区间[0,1]内；在本例演算中，每一列的数值之和均为1。

m

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
归一化公式使用 $\sum_{i=1}^{m}x$ _{ij}。
声音
观察依据
主讲人指出共有七个备选方案。
图示
观察依据
Excel 表格包含七行数据，分别对应这七个备选方案。

符号

含义

决策矩阵中备选方案（行）的数量。

适用范围

本例中， $m=7$ 。

n

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
熵公式使用 $\sum_{j=1}^{n}p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}。
图示
观察依据
Excel 表格包含七列属性，标签分别为“韧性”至“比热容”。
声音
观察依据
讲解者依次列举了韧性指标、屈服强度、弹性模量、密度、热膨胀系数、热导率和比热容。

待核验内容

幻灯片记号中，在 $E_j$ 内部将 j 用作求和指标，这与 $E_j$ 按准则编号的记号不一致；其本意是对固定准则，对所有备选方案求和。

符号

含义

决策矩阵中准则（列）的数量。

适用范围

本例中， $n=7$ 。

$E_j$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片显示 $E_j=-k\sum_{j=1}^{n}p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}。
声音
观察依据
讲解者将第2步定义为利用所展示公式计算熵测度。

待核验内容

所展示公式混淆了指标： $E_j$ 的求和下标为 j，且项为 p_{ij}；而本意应是对固定准则 j，对所有备选方案 i 求和，以得到按准则计算的熵。

符号

$E_j$

含义

与准则 j 相关联的熵测度。

适用范围

每个准则对应的非负标量；确切定义域取决于修正后的索引方式。

知识点 · 21

香农熵权法的目的

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，香农熵权法基本用于各类权重的估计，即决策者在求解多准则决策问题时，需对其属性权重进行估计。
声音
观察依据
他进一步说明，该方法与先前讨论的层次分析法不同，因为它对决策变量的处理方式并不相同。

方法

解释

该视频片段将香农熵权法介绍为一种面向多准则决策的客观赋权方法；其作用是从数据中估计属性权重，而非依赖讲师此前提到的、类似层次分析法的主观比较过程。

公式

适用条件

用于多准则决策问题
当需要估计属性/准则的权重时应用
被呈现为区别于层次分析法

熵的概念及其在决策中的作用

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
幻灯片文字列出其应用领域：社会科学与自然科学、经济学、谱分析以及语言建模。
声音
观察依据
主讲人介绍了这些应用领域，然后指出C.E.香农于1948提出了通信的数学理论。
字幕依据
观察依据
后续要点指出：熵用于评估消息的期望信息量，可视为离散概率分布所表征的不确定性程度的判据；由于熵能够度量不同数据集之间的差异，并阐明传递给决策者的平均内在信息量，因此可用于决策过程。

定义

解释

视频首先将熵作为广泛的信息论概念予以介绍，再将其专门应用于决策分析。视频将熵定义为离散概率分布中期望信息量与不确定性的度量，并解释其在多准则决策（MCDM）中的用途：它能捕捉各数据列之间的差异，并量化传递给决策者的内在信息量。

公式

适用条件

熵在信息论中的讨论
不确定性由离散概率分布来表征
在多准则决策（MCDM）中，熵被用于比较数据集并推断有助于赋权的有用信息

第1步：归一化决策矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
幻灯片标题：“基于香农熵的客观权重确定步骤”
公式
观察依据
第1步文字：“对决策矩阵（性能指标）的数组进行归一化，以获得项目结果 $p_{ij}$ ：”，后接 $p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}$ 。
声音
观察依据
主讲人表示，第一步是将决策矩阵的数组进行归一化，以获得项目结果 $p_{ij}$ 。

公式

解释

第一个计算步骤是将原始性能指标转换为列归一化的结果。每个元素 $x_{ij}$ 除以其所在列所有元素之和，得到 $p_{ij}$ 。这一步通过将每个准则列转化为一组可比的比例值，为熵的计算做好准备。

公式

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}

适用条件

从性能指标的决策矩阵 $x_{ij}$ 开始
求和范围为每列内的行 $i=1$ 从 $m$ 到 $j$
输出为归一化矩阵 $p_{ij}$

先修条目

香农熵权法的目的

第2步：为每个评价准则计算熵值测度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
第2步文字：‘使用以下公式计算项目结果的熵值测度：’后接 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$ ，以及‘其中 $k=1/\ln(m)$ 。’
声音
观察依据
讲师指出下一步是计算熵值测度，并朗读公式，说明 $k=1/\ln(m)$ ，其中 $m$ 为备选方案的数量。

待核验内容

视频未说明当 $p_{ij}\ln p_{ij}$ 时 $p_{ij}=0$ 的约定。

公式

解释

归一化后，该方法为每个准则列计算一个熵值 $E_j$ for each criterion column $j$ 该公式对所有备选方案求和 $p_{ij}\ln p_{ij}$ 并乘以 $-k$ ，其中 $k=1/\ln(m)$ 。这将生成一个列级不确定性得分，后续将被转换为权重。

公式

E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)}

适用条件

使用归一化值 $p_{ij}$ （来自第 1
对备选方案求和 $i=1$ 至 $m$ ，针对每个固定准则 $j$
令 $k=1/\ln(m)$ ，其中 $m$ 为备选方案的数量

先修条目

第1步：归一化决策矩阵
p_{ij}
m
k

第3步：根据熵值推导客观权重

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
第3步文字：‘基于熵的概念定义客观权重：’后接 $w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}$ 。
声音
观察依据
主讲人指出，第三步是基于熵的概念定义客观权重，并且这些权重由前一步计算得出。

待核验内容

符号 $n$ 在视频片段中未作口头定义。
该视频片段未讨论分母为零的退化情形。

公式

解释

最终展示的步骤通过取各准则的补集 $1-E_j$ 并将这些补集在所有准则上归一化，将熵值转化为准则权重。由此得到多准则决策（MCDM）模型中所用的客观权重向量。

公式

w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}

适用条件

使用熵值 $E_j$ （来自第 2
对每个准则构造其补集 $1-E_j$
在由 $j=1$ 至 $n$ 索引的所有准则上进行归一化

先修条目

第2步：为每个评价准则计算熵值测度
$E_j$
n

香农熵权重法概述

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
PowerPoint 标题为“香农熵权重法”，副标题为“通过香农熵确定客观权重的步骤”。
声音
观察依据
说话人解释该方法按步骤推进：从标准化开始，接着计算熵，最后得出权重。

方法

解释

本视频介绍了一种用于多准则决策的客观赋权方法。该方法从原始决策矩阵出发，将每个准则列归一化为比例 p_{ij}，再基于这些比例计算各准则的熵值 $E_j$ ，最后将熵值转换为权重 $w_j$ 。在本片段中，仅在 Excel 中实际执行了设定步骤和完整的归一化步骤；熵值与权重的计算公式虽已展示，但尚未进行数值计算。

公式

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}},\quad E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)},\quad w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}

适用条件

现有一个包含 m 个备选方案和 n 个准则的决策矩阵。
幻灯片上显示的熵公式下标存在不一致；修正后的求和应针对每个固定准则 j，在所有备选方案 i 上进行。
本片段中仅数值执行了步骤1。

材料选择用决策矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
Word 文档展示了表8，其中行为材料，列为属性。
声音
观察依据
主讲人指出共有七个备选方案，并列出了各项实测输出值。

定义

解释

该示例采用一个 $7\times 7$ 决策矩阵。行代表材料备选方案：Al 2024-T6、Al 5052-O、SS 301-FH、SS 310-3AH、Ti-6Al-4V、Inconel 718以及70Cu-30Zn；列代表准则：韧性指数（MPa）、屈服强度（MPa）、弹性模量（GPa）、密度（g/cm^3）、热膨胀系数（ $10^-6$ /°C）、热导率（cal/s/cm^2/°C）以及比热容（cal/g/°C）。前三个准则被视为 MAX 型有益属性，后四个准则被视为 MIN 型非有益属性。

公式

适用条件

行代表备选方案。
列代表准则。
属性方向由源表格中的 MAX 或 MIN 标签标明。

步骤1：按列归一化，得到p_{ij}

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片步骤1显示 p_{ij}=x_{ij}/\sum_{ $i=1$ }^{m}x_{ij}。
声音
观察依据
主讲人指出，第一步是进行归一化处理，具体做法是将当前数值除以整个数据集的总和。
动画
观察依据
在K5单元格中输入Excel公式：=C5/SUM(C5:C11)，然后向右复制到各列、向下复制到各行。

公式

解释

每个原始值x_{ij}被替换为它占所在列总和的比例。对于固定准则j，分母为所有m个备选方案对应项之和。由此得到归一化矩阵P，其每一列元素之和均为1。在本例计算中，第一个得出的值是0.041518（韧性指标），由75.5除以七项韧性数值的列总和得到。

公式

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}

适用条件

对每个准则列分别执行该操作。
m表示备选方案的数量。
本片段中，所有列均采用相同的归一化方式，未针对极小型（MIN型）准则单独设置变换。

先修条目

材料选择用决策矩阵

在Excel中对列总和使用绝对引用

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，该总和在整个矩阵中是共用的，并插入美元符号以在整个过程中固定列引用。
动画
观察依据
公式由=C5/SUM(C5:C11)变为=C5/SUM( $C$ 5: $C$ 11)。

方法

解释

为在复制归一化公式时保持分母范围不变，视频中使用绝对引用锁定列总和范围，从而确保分母始终指向相同的七个单元格，而分子则随行号与列号的变化而逐单元格移动。

适用条件

在Excel中将公式复制到多个单元格时使用。
锁定的范围必须对应于待标准化准则的原始数值整列。

先修条目

步骤1：按列归一化，得到p_{ij}

步骤2：项目结果的熵度量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片步骤2显示 $E_j=-k\sum_{j=1}^{n}p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}，且 $k=1/\ln(m)$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“接下来我们将进行第二步”，并指向使用所展示公式的熵值计算。

待核验内容

幻灯片上印出的下标不一致；预期的按准则计算的熵值应对每个固定的 j，从 $i=1$ 到 m 求和。
本片段中未计算任何数值型熵值。

公式

解释

标准化后，该方法依据标准化后的比例，为每个准则计算一个熵值。幻灯片展示了熵表达式及常数 $k=1/\ln(m)$ 。从概念上讲，熵值越大，表示该准则在各备选方案间的取值越均匀；熵值越小，则表示该准则在各备选方案间具有更强的区分能力。本片段中，公式已被引入，但尚未在 Excel 中进行计算。

公式

E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)}

适用条件

需要标准化矩阵 p_{ij}。
使用自然对数。
幻灯片所展示的公式存在排版/下标错误；修正后的形式应对每个准则 j，在备选方案 i 上求和。

先修条目

步骤1：按列归一化，得到p_{ij}
香农熵权重法概述

步骤3：基于熵的目标权重

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片步骤3显示 $w_j=(1-E_j)/\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ 。
声音
观察依据
主讲人提到将基于熵的概念来定义客观权重。

待核验内容

权重公式在此片段中可见，但未进行数值计算。

公式

解释

最后一步通过计算1减去 $E_j$ ，并将所有准则的该差值归一化，从而将各准则的熵转化为权重。由此得到的权重之和为1。熵较低的准则获得更大的权重，因为它们在各备选方案之间提供了更具区分性的信息。

公式

w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}

适用条件

需要所有准则的熵值 $E_j$ 。
权重被归一化，使其总和为1。
本片段中未执行数值计算。

先修条目

步骤2：项目结果的熵度量

香农熵权法步骤

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
PowerPoint 标题为“香农熵权法”，副标题为“基于香农熵的客观赋权步骤”。
公式
观察依据
幻灯片列出第1步：归一化；第2步：熵值计算。

方法

解释

该片段介绍一种两步客观赋权流程：首先将决策矩阵元素归一化为 p_{ij}，然后利用归一化值及常数 $k=1/\ln(m)$ 计算各准则的熵值度量 $E_j$ 。

公式

p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}},\quad E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)}

适用条件

已提供一个元素为 x_{ij} 的决策矩阵。
该矩阵有 m 行（备选方案）和多个准则列。
熵值计算步骤按列应用于归一化后的数值。

定理与条件 · 5

熵理论的历史归属

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
幻灯片要点：“通信的数学理论由C.E.香农（1948）提出。”
声音
观察依据
主讲人指出，这是C.E.香农于1948年提出的关于通信的数学理论。

命题

通信的数学理论由C.E.香农于1948年提出。

量词

关于归属与年份的历史事实性陈述。

熵作为离散分布的不确定性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
幻灯片要点：「信息论中的熵概念可被视为衡量离散概率分布所表示的不确定性程度的一个准则。」
声音
观察依据
主讲人以基本相同的内容口头朗读该陈述。

命题

在信息论中，熵可被视为衡量离散概率分布所表示的不确定性程度的一个准则。

前提

背景设定为信息论。
不确定性由一个离散概率分布来表示。

量词

视频片段中以一般性概念主张的形式提出，未给出形式化证明。

为何熵对决策有用

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
幻灯片要点：「熵的思想可在决策过程中被有效运用，因为它度量了不同数据集之间已存在的差异，并阐明了传递给决策者的平均内在信息量。」
声音
观察依据
主讲人以口头方式朗读这一理由。

命题

熵可在决策中被有效运用，因为它度量了不同数据集之间已存在的差异，并阐明了传递给决策者的平均内在信息量。

前提

有多组数据可供比较。
决策情境要求从各项准则中提取具有信息量的差异。

量词

概念性依据在讲座中已作说明，但本片段内未予证明。

每个归一化后的列之和为1。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

图示
观察依据
Excel在标签Pij下方显示了一个已完成的 $7\times 7$ 归一化数据块。
公式
观察依据
归一化公式将每个单元格的值除以其所在列的列和。

命题

对于每个准则 j， $\sum_{i=1}^{m}p$ _{ij}=1，其中 p_{ij}=x_{ij}/\sum_{ $i=1$ }^{m}x_{ij} 已应用。

前提

分母是同一列中全部m个原始值的总和。
所有x_{ij}均为有限值，且列和不为零。

量词

对于每一列 j 以及所有行 $i=1$ , $\dots$ ,m。

所展示的熵公式下标不一致。

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
幻灯片上印出的公式为 $E_j=-k\sum_{j=1}^{n}p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}。
公式
观察依据
左侧表达式以 j 为下标，而求和符号也使用了 j，且被加项中仍含有 i。

命题

如幻灯片所印，其熵公式在记号上不一致；标准的按准则划分的形式应对固定准则 j，在备选方案 i 上求和。

前提

预期采用的方法是按准则进行香农熵加权。
$E_j$ 表示准则 j 的熵。

量词

对于每个准则 j，求和应针对 $i=1$ , $\dots$ ,m 进行。

推导与证明 · 8

从决策矩阵出发推导客观权重的三步法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
连续三张幻灯片依次展示步骤1、步骤2和步骤3的公式。
声音
观察依据
主讲人叙述该流程：首先进行标准化，其次计算熵值测度，第三步确定客观权重。

严格证明

步骤

公式
$p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}$
解释
将决策矩阵中每一项除以其所在列的总和，从而得到 $p_{ij}$ 。
步骤依据
这是幻灯片上显示的步骤1公式，也是主讲人所朗读的公式。
视频直接表达
公式
$E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij},\quad k=\frac{1}{\ln(m)}$
解释
对每一项准则 $j$ ，利用其标准化后的列数值计算一个熵值。
步骤依据
这是幻灯片上显示的步骤2公式；主讲人指出 $m$ 代表备选方案的数量。
视频直接表达
公式
$w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}$
解释
通过对熵值取补并对其在所有准则上进行标准化，将其转化为权重。
步骤依据
这是幻灯片上显示的步骤3公式，被描述为用于定义客观权重的公式。
视频直接表达

结论

香农熵权法从原始决策矩阵元素 $x_{ij}$ 出发，得到标准化结果 $p_{ij}$ ，再计算各准则的熵值 $E_j$ ，最终得出客观权重 $w_j$ 。

Excel 中首个归一化值的推导过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
演讲者说，取当前值除以全部数值之和，然后用美元符号固定列。
动画
观察依据
Excel 中显示为 =C5/SUM(C5:C11)，接着为 =C5/SUM( $C$ 5: $C$ 11)，得到 0.041518。

数值验证

步骤

公式
$p_{1,\text{Toughness}}=\frac{x_{1,\text{Toughness}}}{\sum_{i=1}^{7}x_{i,\text{Toughness}}}$
解释
写出第一个韧性条目的归一化规则。
步骤依据
幻灯片中步骤1的定义。
视频直接表达
公式
$=C5/SUM(C5:C11)$
解释
在 Excel 中输入原始值除以该列总和的结果。
步骤依据
对归一化公式进行直接实现。
视频直接表达
公式=C5/SUM( $C$ 5: $C$ 11)
解释
锁定分母区域，使公式复制时该区域保持不变。
步骤依据
Excel 的绝对引用确保同一列的总和在各行各列中保持一致。
视频直接表达
公式
$0.041518$
解释
计算得到的归一化值显示在该单元格中。
步骤依据
在电子表格中对公式进行数值计算。
视频直接表达

结论

第一个归一化条目通过将原始韧性值除以韧性列的总和得到，而绝对引用使得同一规则可被一致地复制。

填充整个归一化矩阵。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
将该公式向右拖拽至 K 列到 Q 列，再向下拖拽七行。
图示
观察依据
一个完整的 $7\times 7$ 小数矩阵出现，并随后被标记为 Pij。

视觉说明

步骤

公式
$K5:Q5$
解释
将首行的归一化公式复制到全部七个评价准则上。
步骤依据
一旦使用绝对引用，每一列便拥有自身固定的分母取值范围。
视频直接表达
公式
$K5:Q11$
解释
将已填充的第一行向下拖动，以覆盖全部七种备选方案。
步骤依据
同样的按列归一化方法适用于每一行。
视频直接表达
公式
$P_{ij}$
解释
将所得矩阵块标记为归一化矩阵。
步骤依据
这些表项恰好对应于步骤1中的 p_{ij}。
视频直接表达

结论

通过将单单元格公式横向扩展至所有准则列、纵向扩展至所有备选方案行，即可得到完整的归一化矩阵 P。

由 $m=7$ 计算 k。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：首先我们需要了解 m，m 等于七，然后 k 等于一除以 m 的对数。
图示
观察依据
Excel 显示 m 输入为7，k 计算得出为1.183294662。

待核验内容

Excel 中 LOG 函数内的底数参数在每一帧中均未能完全清晰显示。

数值验证

步骤

公式
$m=7$
解释
主讲人根据数据表确定了备选方案的数量。
步骤依据
Excel 矩阵中共有七行，且主讲人明确指出 m 等于七。
视频直接表达
公式
$k=\frac{1}{\ln(m)}$
解释
幻灯片中的公式定义了缩放常数。
步骤依据
直接从 PowerPoint 公式中读取。
视频直接表达
公式
$k=\frac{1}{\ln(7)}\approx 1.183294662$
解释
将 $m=7$ 代入后，得到后续使用的数值常数。
步骤依据
Excel 在输入公式后显示计算出的值1.183294662。
视频直接表达

结论

本例中，k 约为1.183294662。

计算乘积 p_{ij} ln p_{ij}。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人表示将把 p_{ij} 计算为 log p_{ij}，并沿垂直方向向下拖拽至第七行。
图示
观察依据
Excel 公式栏显示为 =K4*LOG(K4)，所得负值被向下填充至整列。

待核验内容

口语中变量名称不清晰，在某些地方听起来像“p a j”或“n a j”。

数值验证

步骤

公式
$p_{ij}\ln p_{ij}$
解释
每个归一化后的数值都乘以其对数。
步骤依据
这是幻灯片中所示熵公式中的内部项。
视频直接表达
公式
$=K4*LOG(K4)$
解释
在 Excel 中，第一个乘积直接输入到归一化列顶部的单元格中。
步骤依据
演示过程中可在公式栏中看到该公式。
视频直接表达
公式
$\text{fill down for }i=1,\dots,7$
解释
相同的乘积公式向下复制至全部七个备选方案。
步骤依据
说话者表示他将垂直向下拖动至第七行，网格随之自动填满。
视频直接表达

结论

对每一项准则，均得到一列 p_{ij} ln p_{ij} 的数值。

对所有备选方案求这些乘积之和。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人称：需先将 p_{ij} 与对数项相乘，再对结果求和，并估算该和的值。
图示
观察依据
Excel 公式栏显示 =SUM(K12:K18)，结果为 -0.72253。

数值验证

步骤

公式
$\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$
解释
熵公式要求对某一列中所有选项对应的乘积项求和。
步骤依据
请参看幻灯片上的公式。
视频直接表达
公式
$=SUM(K12:K18)$
解释
主讲人对某一列中的七个乘积单元格应用 Excel 的 SUM 函数。
步骤依据
该操作在公式栏中可见，并由旁白同步说明。
视频直接表达
公式
$-0.72253$
解释
对于当前显示的这一列，乘积之和为负数。
步骤依据
Excel 显示计算所得的和为 -0.72253。
视频直接表达

结论

先计算 p_{ij} $\ln p$ _{ij} 按列求和的结果，再乘以 -k 因子。

乘以 -k 得到 $E_j$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称此处公式为求和结果乘以负 k，并添加美元符号使 k 保持固定，随后拖拽公式，将结果显示保留三位小数，并将该行标记为 Eij。
图示
观察依据
Excel 公式栏显示为 =-( $I13*K20$ )，之后变为 =-( $I$ $13*K20$ )；所得行标记为 Eij，其值依次为0.855、0.879、0.954、0.953、0.979、0.819、0.964。

待核验内容

具体单元格引用随列而变，且仅部分清晰可辨；但公式的整体结构明确无误。

数值验证

步骤

公式
$E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$
解释
幻灯片上的公式指出，熵度量等于负 k 乘以该列的和。
步骤依据
直接来自 PowerPoint 中的公式。
视频直接表达
公式
$=-(I13*K20)$
解释
在 Excel 中，讲解者将存储的和的相反数乘以存储的 k 值。
步骤依据
在输入过程中，公式栏中可见。
视频直接表达
公式=-( $I$ $13*K20$ )
解释
添加了美元符号，使得在公式向右拖拽至其他列时，k 的引用保持不变。
步骤依据
讲解者明确指出 k 将保持恒定，并添加美元符号，使行号与列标均固定。
视频直接表达
公式
$\text{round/display to three decimals}$
解释
所得熵值保留三位小数显示。
步骤依据
讲解者表示将结果缩减为三位数字，且屏幕上显示的行也确为三位小数形式。
视频直接表达

结论

最后一行标记为 Eij，包含各准则的熵度量值，此处显示为0.855、0.879、0.954、0.953、0.979、0.819、0.964。

由熵值推导客观权重

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤3显示 $w_j = (1 - E_j) / \sum _{j=1}^{n}(1 - E_j)$ 。
声音
观察依据
主讲人解释该计算顺序：先估计 EIJ，再计算1减去 EIJ，接着求和，最后将每个值除以该总和。
图示
观察依据
Excel 通过以下行实现该顺序：Eij 行、1-Eij 行、总计0.597行，以及最终的 wij 行。

严格证明

步骤

公式
$w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}$
解释
从幻灯片上所示的步骤3公式出发，该公式用于根据熵定义客观权重。
步骤依据
直接源自幻灯片公式，并在讲解中重复提及。
视频直接表达
公式
$1-E_j$
解释
对每一项准则，计算其熵值的补数。
步骤依据
主讲人称这是所需的第一步，Excel 由此创建了标记为1-Eij 的行，其公式例如为 =1-K22。
视频直接表达
公式
$\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$
解释
将所有准则对应的补数相加，形成公共分母。
步骤依据
主讲人明确指出，在估算 wij 之前必须先求出该总和，Excel 计算 =SUM(K24:Q24)=0.597。
视频直接表达
公式
$w_j=\frac{1-E_j}{0.597}$
解释
将每个单独的补数除以总和，从而得到该项准则的归一化权重。
步骤依据
在电子表格中输入公式 =K24/ $SR$ 24，并向右拖拽填充整行，与幻灯片公式一致。
视频直接表达
公式
$\sum_{j=1}^{n} w_j = 1$
解释
所得权重构成一个归一化向量，其各分量之和为1。
步骤依据
讲话者指出，所有权重相加结果为1，并以此作为该计算过程的验证。
视频直接表达

结论

该片段通过将熵值转换为其补数、对这些补数求和，并用该总和对每个补数进行归一化，从而推导出目标权重向量，使得最终权重之和为1。

例题详解 · 6

引入一篇研究论文中的实例解析

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
PDF 页面显示标题为“表8 示例2的决策矩阵（Manshadi 等人2007）”。
声音
观察依据
讲师表示将选取一篇发表于 NCA 期刊的已解算论文，使用 Excel 软件求解其权重。
声音
观察依据
他进一步说明，这是 Manshadi 针对低温储罐材料选型所求解的一个决策矩阵。

待核验内容

口述的期刊名称听起来像“NCA 期刊”，但在该视频片段中未通过画面得到确认。
在该片段结束前，实际并未进行任何数值计算。

题目

利用一份已发表的决策矩阵，在真实的多准则决策（MCDM）数据集上展示香农熵权法的实施过程。

已知条件

显示一张 PDF 表格，标注为“表8 示例2的决策矩阵（Manshadi 等人2007）”。
该表格列出了若干材料及七个属性：韧性指数（MPa）、屈服强度（MPa）、弹性模量（GPa）、密度（g/cm^3）、热膨胀系数（ $10^-6$ /°C）、热导率（cal/s/cm/°C）、比热容（cal/g/°C）。
各属性的方向被标记为：前三个为极大型（MAX），后四个为极小型（MIN）。
讲师指出，该实例涉及低温储罐的材料选型。

目标

设置示例数据，这些数据后续将通过三步熵值法进行处理。

步骤

公式
解释
讲师宣布他将使用一份已解出的论文和 Excel 软件来估算权重。
步骤依据
该信息在幻灯片切换至 PDF 的音频中被直接陈述。
视频直接表达
公式
解释
屏幕切换至一页 PDF，显示表8，该表提供了本示例的原始决策矩阵。
步骤依据
视觉证据来自表格标题及可见的矩阵结构。
视频直接表达
公式
解释
讲师指出该表是 Manshadi 提出的用于低温储罐材料选择的决策矩阵。
步骤依据
该识别信息源自表格展示时同步播放的口头讲解。
视频直接表达

结果

该片段仅引入示例并展示原始决策矩阵；在所提供的180秒内并未计算任何权重。

检验

验证需将屏幕上显示的步骤1–步骤3公式应用于该表格数据，但本片段未展示这些计算过程。

材料选择决策矩阵示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
Word 文档中展示了表8，其中包含七种材料和七项属性。
声音
观察依据
讲解者指出共有七种备选方案，并列出了各项实测输出。

题目

在应用香农熵权法之前，先构建一个含七种备选方案与七项属性的多准则材料选择问题。

已知条件

备选方案：Al 2024-T6、Al 5052-O、SS 301-FH、SS 310-3AH、Ti-6Al-4V、Inconel 718、70Cu-30Zn。
准则：韧性指数（MPa）、屈服强度（MPa）、弹性模量（GPa）、密度（g/cm^3）、热膨胀系数（ $10^-6$ /°C）、热导率（cal/s/cm^2/°C）、比热容（cal/g/°C）。
前三个准则标记为MAX；后四个准则标记为MIN。

目标

确定将在步骤1中进行归一化的决策矩阵结构。

步骤

公式
$7\times 7\text{ matrix}$
解释
将材料作为行，属性作为列进行排列。
步骤依据
这是源表格中所示的标准决策矩阵布局。
视频直接表达
公式
$\text{MAX/MIN labels}$
解释
记录每个准则属于效益型还是成本型。
步骤依据
该表格明确标出了属性的方向。
视频直接表达

结果

为熵权法准备一个7行7列的材料备选方案与工程准则决策矩阵。

检验

该矩阵的维度与口头提到的七个备选方案及七个可见的属性列数量一致。

对第一个韧性数值进行归一化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
Excel公式栏显示=C5/SUM( $C$ 5: $C$ 11)，结果为0.041518。
声音
观察依据
说话人解释：当前值除以整个数据集的总和。

题目

计算韧性列中第一种材料的归一化值 $p_{1,\text{Toughness}}$ 。

已知条件

原始第一项韧性值位于单元格 C5。
韧性列占据 C5:C11。
归一化公式为 p_{ij}=x_{ij}/\sum_{ $i=1$ }^{m}x_{ij}。

目标

获取归一化矩阵的第一项元素。

步骤

公式
$=C5/SUM(C5:C11)$
解释
用第一个原始数值除以该列的总和。
步骤依据
直接代入归一化公式。
视频直接表达
公式=C5/SUM( $C$ 5: $C$ 11)
解释
将分母设为绝对引用，以便在复制时始终使用同一列的总和。
步骤依据
Excel 的绝对引用可固定该范围。
视频直接表达
公式
$0.041518$
解释
从单元格中读取所得的归一化数值。
步骤依据
电子表格计算。
视频直接表达

结果

对应的式子为：0.041518

检验

输入公式后，该数值直接显示在 Excel 单元格中。

构建完整的归一化矩阵 P。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
该公式向右复制到 K 列至 Q 列，并向下复制七行。
图示
观察依据
完成的小数块标记为 Pij。

题目

将单一归一化公式扩展至全部七个准则和七个备选方案。

已知条件

原始数据占据 C 列至 I 列、5行至11行。
首个归一化公式已输入至 K5。
每个准则列必须独立进行归一化。

目标

生成完整的 p_{ij} 值矩阵。

步骤

公式
$K5:Q5$
解释
将公式沿水平方向复制至所有准则列。
步骤依据
每列均有其自身固定的分母范围。
视频直接表达
公式
$K5:Q11$
解释
将首行归一化公式沿垂直方向复制至所有备选方案。
步骤依据
同一按列规则适用于每一行。
视频直接表达
公式
$Pij$
解释
将所得矩阵块标记为归一化矩阵。
步骤依据
这些元素恰好是步骤1中的 p_{ij} 值。
视频直接表达

结果

得到一个 $7\times 7$ 的归一化比例矩阵，并将其标记为 Pij。

检验

可见的 Excel 区域包含七行七列的小数值，与所述维度一致。

数值型香农熵工作表示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
Excel 工作表展示了一个决策矩阵，顶部为准则标题，其后是归一化后的 p_{ij} 数据块，再之后依次为计算所得的乘积行、求和行及熵值行。
声音
观察依据
讲解者口述：输入 $m=7$ ，计算 k，构造 p_{ij} $\ln p$ _{ij}，求和，再乘以 -k，并将结果标记为 Eij。

待核验内容

部分中间单元格引用及少量小数输入，在视频帧中因字号过小而无法精确辨认。

题目

给定一个包含 $m=7$ 个备选方案和若干准则的决策矩阵，使用香农熵权法计算熵值行。

已知条件

m 等于7。
归一化矩阵元素 p_{ij} 已在 Excel 中准备就绪。
k 等于1除以 $\ln (m)$ 。
熵公式为 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}。

目标

计算 k，构造乘积 p_{ij} $\ln p$ _{ij}，按列求和，得到熵值行 $E_j$ 。

步骤

公式
$m=7$
解释
备选方案数量由表格尺寸读取。
步骤依据
可见七行数据，且说话人指出 m 等于七。
视频直接表达
公式
$k=\frac{1}{\ln(7)}\approx 1.183294662$
解释
缩放常数在整个工作表中仅需计算一次。
步骤依据
Excel 在输入公式后显示所计算出的 k 值。
视频直接表达
公式
$=K4*LOG(K4)$
解释
对每个归一化元素，将其与其对数值相乘。
步骤依据
这实现了幻灯片公式中的内层项 p_{ij} $\ln p$ _{ij}。
视频直接表达
公式
$=SUM(K12:K18)$
解释
对某一准则列中的七个乘积值求和。
步骤依据
由此得到该列的 $\sum _{i=1}^{m} p$ _{ij} ln p_{ij}。
视频直接表达
公式=-( $I$ $13*K20$ )
解释
将该列的和乘以-k，其中k保持固定（使用绝对引用）。
步骤依据
这与公式 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}一致，并支持向右拖拽填充至其他列。
视频直接表达
公式
$Eij: 0.855, 0.879, 0.954, 0.953, 0.979, 0.819, 0.964$
解释
所得熵值保留三位小数，标记为Eij。
步骤依据
在最终的Excel行中可见，并由讲解者口述说明。
视频直接表达

结果

工作表生成一行标记为Eij的熵值，显示数值为0.855、0.879、0.954、0.953、0.979、0.819、0.964。

检验

这些数值直接源自所示步骤：先计算k，再填入p_{ij} $\ln p$ _{ij}，接着按列求和，然后乘以-k，最后四舍五入保留三位小数。

香农熵权重的Excel演算示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
Excel表格展示了材料性能，包括强度、弹性模量、密度、热膨胀系数、热导率和比热容。
图示
观察依据
表格包含标有“ $m=7$ ”、“ $k=1.183294662$ ”、“Sum”、“Eij”、“1-Eij”和“wij”的行。
图示
观察依据
Eij行显示0.855、0.879、0.954、0.953、0.979、0.819、0.964。
图示
观察依据
1-Eij行显示0.145、0.121、0.046、0.047、0.021、0.181、0.036，以及总和0.597。
图示
观察依据
wij行显示0.243、0.203、0.076、0.079、0.035、0.303、0.061。

待核验内容

每一列材料性能表头与各准则索引j之间的精确映射关系，在所采样帧中仅部分可见；而数值行本身则清晰明确。

题目

给定一个已包含多个准则熵值Eij的电子表格，使用步骤3香农熵公式计算对应的客观权重wij。

已知条件

熵值行Eij：0.855、0.879、0.954、0.953、0.979、0.819、0.964。
该工作表还在熵值计算区域上方显示 $m=7$ 和 $k=1.183294662$ 。
目标公式为 $w_j=(1-E_j)/\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ 。

目标

计算补值行 1-Eij，求出其总和，并由此推导出最终的权重行 wij。

步骤

公式
$=1-K22$
解释
从第一个熵值条目出发，创建第一个补值。
步骤依据
在 Excel 中直接观察到，该公式用于启动 1-Eij 行。
视频直接表达
公式
$1-Eij = 0.145, 0.121, 0.046, 0.047, 0.021, 0.181, 0.036$
解释
将补值公式向右拖拽至其余各准则列，以生成完整的 1-Eij 行。
步骤依据
复制公式后，完成的行将在电子表格中显示出来。
视频直接表达
公式
$=SUM(K24:Q24)$
解释
对整个 1-Eij 行求和，以获得归一化所需的分母。
步骤依据
讲解者指出，在估算 wij 之前必须先计算该和，且公式已呈现在屏幕上。
视频直接表达
公式
$0.597$
解释
本例中计算所得的分母为 0.597。
步骤依据
在 SUM 公式计算完成后，结果显示于单元格 SR24 中。
视频直接表达
公式=K24/ $SR$ 24
解释
用第一个补值除以该固定总和，得到第一个权重；然后将该公式向右复制至整行。
步骤依据
公式栏显示绝对引用，以在拖拽过程中保持分母不变。
视频直接表达
公式
$wij = 0.243, 0.203, 0.076, 0.079, 0.035, 0.303, 0.061$
解释
最终行显示了所得的目标权重。
步骤依据
在所有列填充分除公式后，可在完成的电子表格中看到该结果。
视频直接表达

结果

本例生成权重向量（0.243，0.203，0.076，0.079，0.035，0.303，0.061），讲解者指出这些权重之和为1。

检验

视频通过指出所有wij值之和等于1来验证结果；所显示的数字与该归一化声明一致。

图示与动画 · 14

频道片头动画

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
黑色背景，配以动态橙色线条，以及文字“Vitarka Kadapa”和“Sharing the knowledge”。

图中对象

橙色线条图形
文字“Vitarka Kadapa”
分享知识

变化过程

线条逐次出现并淡出
标题文字逐次出现并消失

不变量

此时间段内未引入任何数学内容

数学含义

这是讲座幻灯片出现前的非数学开场标识

概念性导引幻灯片

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一张标题为‘香农熵权重法’的幻灯片，其项目符号逐条出现，同时鼠标光标指向它们
动画
观察依据
在相同标题下，额外的项目符号行随时间逐步出现

图中对象

幻灯片标题‘香农熵权重法’
关于熵的应用与定义的项目符号列表
鼠标光标

变化过程

第一点关于应用的内容在幻灯片开头即可见
第二点关于C.E.香农（1948）的内容大约在62秒处出现
第三点关于期望信息量的内容大约在71秒处出现
第四点关于不确定性与离散概率分布的内容大约在83秒处出现
第五点关于其在决策中的实用性的内容大约在95秒处出现

不变量

幻灯片标题保持不变
版式维持为带项目符号的解释性幻灯片

数学含义

视觉演进过程呼应了主讲人从一般熵背景过渡到在多准则决策（MCDM）中使用熵的具体理由

三步流程所对应的公式幻灯片

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
标题为‘通过香农熵确定客观权重的步骤’的三张连续幻灯片，分别展示步骤1、步骤2和步骤3，并附有公式
动画
观察依据
讲解过程中，光标会指向各公式中的相应部分

图中对象

标题：‘通过香农熵确定客观权重的步骤’
步骤1归一化公式
步骤2熵公式及k的定义
步骤3权重公式
鼠标光标

变化过程

在109秒时，出现步骤1，并显示 $p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}}$
在123秒时，出现步骤2，并显示 $E_j=-k\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$ 和 $k=1/\ln(m)$
在139秒时，出现步骤3，并显示 $w_j=\frac{1-E_j}{\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)}$

不变量

三张幻灯片采用相同的标题样式和授课幻灯片格式
每个步骤均以独立的公式块呈现

数学含义

视觉顺序编码了算法依赖关系：归一化后的数值输入熵公式，熵值再输入权重公式。

切换至一篇研究论文中的示例表格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一页PDF替代幻灯片，其上方显示柱状图，下方标注‘表8 示例2的决策矩阵（Manshadi 等人2007）’。
动画
观察依据
光标在表格标题区域移动，同时讲师介绍该示例。

待核验内容

仅可见示例设置的开头部分；未显示任何计算过程。

图中对象

PDF 查看器界面
标注了斯皮尔曼秩相关系数的条形图
表格8的标题
材料列
七列属性列，标有 MAX/MIN 标签
七种材料对应的数值矩阵项

变化过程

演示文稿幻灯片消失
出现一页含图表和表格的文档页面
光标悬停在表格标题及属性标签上

不变量

该时间段内表格保持静止
可见内容是原始数据，而非计算结果

数学含义

这一视觉变化标志着从抽象方法描述转向具体的多准则决策分析（MCDM）数据集，该数据集后续将用于熵权法计算。

Word 中的源决策矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
Word 文档中显示图1和表8，内容为材料及其属性。
动画
观察依据
鼠标光标在行标题和列标题上移动，同时讲解者逐一念出其名称。

图中对象

表8标题
材料列
韧性指数（MPa）
屈服强度（MPa）
弹性模量（GPa）
密度（克/立方厘米^3）
热膨胀系数（10^－6/°C）
热导率（卡/(秒·厘米^2·°C)）
比热容（卡/(克·°C)）
七种材料的行

变化过程

光标随讲话者指出不同选项与评价准则，高亮显示相应行与列标题。

不变量

该表格保持为 $7\times 7$ 决策矩阵。
MAX 和 MIN 标签固定显示在属性列上方。

数学含义

此图示确立了后续将被标准化的原始多准则输入。

在 Excel 中输入标准化公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
Excel 窗口替代 Word；公式输入至 K5单元格，并编辑为使用绝对引用。
图示
观察依据
原始数据可见于 C:I 列、5:11行。

图中对象

Excel 表格网格
原始数据块 C5:I11
单元格 K5
公式栏
结果 0.041518

变化过程

公式从 =C5/SUM(C5:C11) 变为 =C5/SUM( $C$ 5: $C$ 11)。
一个归一化后的数值显示在 K5 中。

不变量

原始数据块保持不变。
分母对应一个完整准则列。

数学含义

动画演示了数学归一化规则如何通过计算方式实现。

填充归一化矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
该公式被横向拖拽至各列、纵向拖拽至各行，以填充一个矩形区域。
图示
观察依据
一个完整的 $7\times 7$ 小数矩阵显现出来。

图中对象

归一化块 K5:Q11
列标题：从韧性到比热容
七个备选方案行

变化过程

一个计算出的单元格扩展为一个完整的十进制数矩阵。
该块后续被标记为 Pij。

不变量

每一列仍代表一个准则。
每一行仍代表一个备选方案。

数学含义

可视化过程表明，归一化在整个决策矩阵中被统一应用。

香农熵赋权法的操作步骤幻灯片

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
PowerPoint 幻灯片展示步骤1、步骤2和步骤3的公式。
动画
观察依据
视图在 Excel 和 PowerPoint 之间切换，同时主讲人介绍下一步。

图中对象

标题：“熵权法”
步骤1：标准化公式
步骤2：熵值公式
步骤3：权重公式
常数 $k = 1 / \ln(m)$

变化过程

注意力从已完成的 Excel 标准化操作，转向幻灯片上展示的符号化过程。

不变量

三步结构始终清晰可见。

数学含义

该幻灯片为电子表格演示提供了严谨的数学基础。

在理论幻灯片与电子表格实现之间切换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
视频在展示香农熵公式的PowerPoint幻灯片与包含数值示例的Excel工作表之间交替切换。
动画
观察依据
光标在幻灯片公式与电子表格单元格之间移动，同时输入并拖拽公式。

图中对象

含公式的PowerPoint幻灯片
包含决策矩阵和归一化 p_{ij} 块的 Excel 工作表
光标
公式栏
已填充的公式区域

变化过程

视图在约8秒时从幻灯片切换至 Excel。
主讲人在 Excel 中输入 m 和 k。
输入乘积公式并向下填充。
计算各列之和。
生成最终熵行，并标注为 Eij。

不变量

两种视图所依据的核心方法完全相同：先归一化，再计算 p_{ij} $\ln p$ _{ij}，然后求和，最后乘以 -k。
备选方案数量在整个示例中保持为 $m=7$ 。

数学含义

视觉结构将幻灯片上的每个符号化步骤与电子表格中的具体操作一一对应，直观展示香农熵公式如何通过数值方式实现。

填充公式并为熵值行添加标签

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
Excel 单元格先向下填充，再向右跨列填充；最后一行被高亮显示并标注为〔Eij〕。
图示
观察依据
最后一行显示保留三位小数的熵值。

图中对象

乘积单元格
求和行
熵值行
标注〔Eij〕
高亮显示的单元格

变化过程

乘积值沿垂直方向拖拽填充七行。
为每一列计算求和值。
熵值通过对结果乘以 -k 得到。
该行被标注为〔Eij〕并作视觉强调。

不变量

k 在各列之间保持不变。
每一列均被独立处理。

数学含义

动画演示了熵的计算是按列进行的，且常数 k 在所有准则间共享。

步骤3的幻灯片展示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
PowerPoint幻灯片标题为“香农熵权重法”，展示了步骤3及公式 $w_j=(1-E_j)/\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ 。
动画
观察依据
光标在公式上移动，同时讲解者朗读该公式。

图中对象

幻灯片标题：“香农熵权重法”
副标题：“通过香农熵确定客观权重的步骤”
公式 $w_j=(1-E_j)/\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$
鼠标光标

变化过程

视图从 Excel 切换到 PowerPoint。
光标指向分子和分母附近，同时讲解该公式。

不变量

步骤3公式在此时间段内始终显示在屏幕上。
该幻灯片指出这是目标权重定义步骤。

数学含义

此图示确立了后续片段在 Excel 中以数值方式实现的数学规则。

在 Excel 中创建1-Eij 行

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
Excel 显示已有的 Eij 行及新行标签1-Eij。
动画
观察依据
用户输入 =1-K22，并沿该行拖动填充柄。

图中对象

行标签 Eij
行标签1-Eij
单元格 K22
单元格 K24
填充柄

变化过程

在 Eij 下方新增一行，标签为1-Eij。
第一个单元格填入公式 =1-K22。
该公式被复制到其余各准则列中。

不变量

底层的 Eij 数值保持不变。
每个新输入值均为对应熵值的补数。

数学含义

动画演示了步骤3权重公式所需的分子构造过程。

易错点 · 9

熵权法不同于AHP式的主观赋权

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，该方法不同于我们此前讨论过的层次分析法（AHP）。

待核验内容

此处仅简要说明了二者在技术上的确切区别，并未在本片段中充分展开。

误区

学习者可能误以为所有多准则决策分析（MCDM）赋权方法都像层次分析法（AHP）那样，依赖成对比较或决策变量间的对比。

说明

视频明确将香农熵权法与先前介绍的层次分析法（AHP）进行对比，将熵权法呈现为一种以数据为驱动、客观的程序，而非此前讨论的AHP方法。

熵值是在归一化后的结果上计算的，而非直接对原始矩阵元素计算

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
步骤 2 使用 $p_{ij}$ ，这些值仅在第 1 步归一化后生成。
声音
观察依据
讲师先介绍归一化，再介绍熵值计算。

误区

学习者可能试图将原始性能指标 $x_{ij}$ 直接代入熵公式。

说明

从显示的步骤中，熵公式应用于第 $p_{ij}$ 步获得的归一化值 1，而非原始的 $x_{ij}$ 条目。

更高的熵值并不直接带来更高的权重。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
步骤3在分子和分母中均使用了 $1-E_j$ 。

误区

有人可能认为熵值 $E_j$ 本身即为准则权重。

说明

所展示的权重公式使用了补集 $1-E_j$ ，因此熵值越大的准则，在归一化前对分子的贡献越小。

混淆了印出的熵指标与本意中按准则求和的含义

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
幻灯片印出公式： $E_j = -k \sum_{j=1}^{n} p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}。

误区

有人可能逐字阅读幻灯片，误以为准则 j 的熵是通过对 j 自身求和来计算的。

说明

本意中针对固定准则 j 的香农熵，应对方案 $i = 1$ , $\dots$ , m 求和；而印出的公式存在下标不一致的问题。

假设本片段中 MAX 和 MIN 准则的处理方式不同

时间近似

补充解释

来源依据

图示
观察依据
源表格将四个准则标记为 MIN。
动画
观察依据
Excel 对所有列应用相同的按列求和归一化方法。

待核验内容

该片段未口头讨论 MIN 型准则在计算熵之前是否需要单独的变换。

误区

由于表格将某些准则标注为 MIN，人们可能预期这些列会采用不同的归一化规则。

说明

在此摘录中，所演示的步骤1对每个准则均采用相同的按列比例归一化方法，而不论其标注为 MAX 还是 MIN。

口头表述的记号与书面记号不一致。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人反复将归一化项读作类似“p a j”或“n a j”的发音，而幻灯片上清晰显示为 p_{ij}。
公式
观察依据
幻灯片上的记号为 p_{ij} 和 $E_j$ 。

待核验内容

具体的误读在该视频片段中各处不尽相同。

误区

由于发音不清，听众可能误以为公式中使用了名为“pa j”或“na j”的变量。

说明

幻灯片上的数学书写采用 p_{ij} 表示归一化矩阵元素、 $E_j$ 表示熵度量；音频表述不够精确，但公式本身是明确的。

自然对数与电子表格中的 LOG 函数

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片上写作 $k=1/\ln(m)$ 。
图示
观察依据
Excel 在公式栏中使用 LOG 函数。
声音
观察依据
主讲人说‘一除以 m 的对数’。

待核验内容

Excel 中 LOG 函数内部的确切底数在每一帧中都无法完全看清。

误区

人们可能误以为幻灯片中的 $\ln$ 与电子表格中的 LOG 是彼此无关的记号。

说明

在此工作流程中，电子表格的 LOG 函数被用于实现熵公式所要求的对数运算；视频将二者视为同一计算步骤，尽管 Excel 中 LOG 的确切底数无法完全看清。

口语中说的 EIJ 与书写形式 $E_j$ 存在记号不一致

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片在步骤3公式中写为 $E_j$ 。
声音
观察依据
主讲人反复将 $E_j$ 读作 EIJ。
图示
观察依据
Excel 行标签为 Eij。

误区

观众可能误以为公式需要一个带两个下标的量 E_{ij}，尽管屏幕上显示的步骤3公式使用的是单一下标准则量 $E_j$ 。

说明

该片段本身未调和这一记号差异。直接呈现的事实是：幻灯片公式使用 $E_j$ ，而讲解语音及电子表格标签使用 Eij；但计算过程仍为每个准则列应用一个熵值。

分母是全局性的，而非针对某一准则。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
说话者指出，在估算 wij 之前，需要先求出整列／整行的和。
图示
观察依据
Excel 使用一个总计单元格 SR24，并对所有除法运算采用绝对引用 $SR$ 24。

误区

人们可能错误地将每个 $1-E_j$ 除以其自身的局部值，或除以某一列特有的总计，而非除以所有准则上的单一总和。

说明

示例演算清楚表明，所有权重共享同一个分母 $\sum_{j=1}^{n}(1-E_j)$ ，正因如此，电子表格在复制公式前会将对 $SR$ 24 的引用设为固定。

概念关系 · 17

香农熵权法的目的 → 第1步：归一化决策矩阵

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人首先指出该方法用于估计多准则决策（MCDM）中的权重，随后从归一化步骤开始展开具体流程。
公式
观察依据
步骤1紧接在引言性说明之后出现。

应用

解释

在多准则决策（MCDM）中估计客观权重的一般目的，是通过首先对决策矩阵进行归一化来实现计算的。

第1步：归一化决策矩阵 → 第2步：为每个评价准则计算熵值测度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤2的公式中包含 $p_{ij}$ ，即步骤1的输出结果。

证明依赖

解释

熵计算直接依赖于第 $p_{ij}$ 步生成的归一化值 1。

第2步：为每个评价准则计算熵值测度 → 第3步：根据熵值推导客观权重

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤3的公式中包含 $E_j$ ，即步骤2的输出结果。

证明依赖

解释

最终的客观权重由第 $E_j$ 步获得的熵值计算得出。2。

熵的概念及其在决策中的作用 → 香农熵权法的目的

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
引言幻灯片先以信息论术语定义熵，随后的流程幻灯片再将其应用于权重确定。
声音
观察依据
主讲人从将熵理解为不确定性/信息，过渡到明确的权重计算步骤。

先修

解释

在将熵用作多准则决策（MCDM）中的权重机制之前，先介绍其作为信息/不确定性度量的含义。

香农熵权法的目的 → 引入一篇研究论文中的实例解析

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解完三个步骤后，主讲人表示将通过一篇已求解的论文，在Excel中估算权重。
图示
观察依据
屏幕切换至某篇研究论文中的表8。

待核验内容

本片段内并未完成该实际例题的求解。

应用

解释

抽象方法之后，给出一个具体数据集，旨在应用相同的权重计算步骤。

材料选择用决策矩阵 → 步骤1：按列归一化，得到p_{ij}

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
文字表格之后，是 Excel 中 p_{ij}=x_{ij}/\sum_i x_{ij} 的实现。

先修

解释

原始决策矩阵提供了归一化所需的 x_{ij} 值。

步骤1：按列归一化，得到p_{ij} → 步骤2：项目结果的熵度量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤2在熵表达式中使用 p_{ij}。
声音
观察依据
讲话者表示，下一步将在获得 Pij 后进行。

先修

解释

熵由归一化后的比例 p_{ij} 计算得出。

步骤2：项目结果的熵度量 → 步骤3：基于熵的目标权重

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤3使用 $1-E_j$ 定义 $w_j$ 。

先修

解释

准则权重直接由熵值导出。

香农熵权重法概述 → 步骤1：按列归一化，得到p_{ij}

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
单张幻灯片在香农熵法标题下列出了步骤1、步骤2和步骤3。

包含

解释

整个方法以标准化作为第一步。

步骤1：按列归一化，得到p_{ij} → 在Excel中对列总和使用绝对引用

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
Excel公式构建与幻灯片中步骤1的公式一致。

应用

解释

Excel中采用绝对引用技术，高效实现标准化公式。

决策矩阵元素的归一化 → 某准则的熵值度量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤1定义了 p_{ij}；步骤2在 $E_j$ 中使用了 p_{ij}。
声音
观察依据
讲话者从讨论 k 转向计算 p_{ij} $\ln p$ _{ij}，再转向求和。

先修

解释

在决策矩阵的元素被归一化为 p_{ij} 之前，熵公式无法应用。

缩放常数 k → 某准则的熵值度量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片上给出 $E_j = -k\sum p$ _{ij} $\ln p$ _{ij}，其中 $k = 1/\ln(m)$ 。
图示
观察依据
Excel 将列总和乘以存储的 k 值，从而得到最终行。

证明依赖

解释

常数 k 是熵表达式的一部分，并决定 $E_j$ 的最终量纲。

问题定位 · 25

香农熵权重法用于解决什么问题？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
开场说明指出，该方法用于估算多准则决策问题中的权重。

涉及知识点

香农熵权法的目的

根据本次讲座，这种熵权重法与AHP有何不同？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将该方法与先前介绍的层次分析法（AHP）进行对比。

涉及知识点

香农熵权法的目的
熵权法不同于AHP式的主观赋权

此处所用的信息论意义上的熵是什么含义？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
要点条目将熵定义为期望信息量，以及离散概率分布中不确定性的衡量标准。

涉及知识点

熵的概念及其在决策中的作用
熵作为离散分布的不确定性

为什么熵可用于决策？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
幻灯片要点说明：熵用于衡量不同数据集之间的差异，并阐明传递给决策者的平均内在信息量。

涉及知识点

熵的概念及其在决策中的作用
为何熵对决策有用

从决策矩阵中获取 $p_{ij}$ 的归一化公式是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤1的公式被明确展示。

涉及知识点

第1步：归一化决策矩阵
p_{ij}
x_{ij}

每个准则所用的熵公式是什么？ $k$ 又是如何定义的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤2的公式与 $k$ 的定义被明确展示。

涉及知识点

第2步：为每个评价准则计算熵值测度
$E_j$
k
m

最终客观权重 $w_j$ 如何由熵值计算得出？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤3的公式被明确展示。

涉及知识点

第3步：根据熵值推导客观权重
$w_j$

香农熵赋权法的正确步骤顺序是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
三张幻灯片依次呈现步骤1、步骤2和步骤3。
声音
观察依据
主讲人按相同顺序进行讲解。

涉及知识点

第1步：归一化决策矩阵
第2步：为每个评价准则计算熵值测度
第3步：根据熵值推导客观权重
从决策矩阵出发推导客观权重的三步法

公式幻灯片之后介绍了哪个示例数据集？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

字幕依据
观察依据
表格标题注明“示例2（Manshadi 等人2007）”。
声音
观察依据
讲师指出该例题选自一份已解答的试卷，涉及低温储罐的材料选择。

待核验内容

口述的期刊名称未在画面上得到确认。

涉及知识点

引入一篇研究论文中的实例解析

熵公式能否直接应用于原始决策矩阵的元素？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
步骤2使用了 $p_{ij}$ 而非 $x_{ij}$ 。

涉及知识点

第1步：归一化决策矩阵
第2步：为每个评价准则计算熵值测度
熵值是在归一化后的结果上计算的，而非直接对原始矩阵元素计算

在香农熵权重法中，p_{ij}表示什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
幻灯片定义了p_{ij}。
图示
观察依据
Excel数据块标注为Pij。

涉及知识点

步骤1：按列归一化，得到p_{ij}
p_{ij}

如何在Excel中对决策矩阵进行标准化处理，以用于熵权法？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
在Excel中输入公式并向下填充。

涉及知识点

步骤1：按列归一化，得到p_{ij}
在Excel中对列总和使用绝对引用
Excel 中首个归一化值的推导过程
填充整个归一化矩阵。

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 非数学类频道开场动画。

已覆盖 · 讲师将香农熵权法介绍为一种多准则决策（MCDM）中的客观赋权工具，并将其与层次分析法（AHP）进行对比。

已覆盖 · 幻灯片要点说明了熵的应用、香农1948、信息量、离散分布中的不确定性，以及其与决策的相关性。

已覆盖 · 展示了步骤1的归一化公式并加以解释。

已覆盖 · 展示了步骤2的熵公式及常数k的定义，并加以解释。

已覆盖 · 展示了步骤3的客观权重公式并加以解释。

已覆盖 · 讲师转入一篇研究论文中的决策矩阵例题；本片段仅显示问题设定，未进行任何计算。

已覆盖 · Word文档展示了 $7\times 7$ 材料决策矩阵，主讲人指出了备选方案与准则。

已覆盖 · PowerPoint介绍了整个流程，而Excel则在整个矩阵上执行了第1步的归一化。

已覆盖 · 幻灯片以符号形式呈现了步骤2和3；主讲人转向熵值计算，但本片段中未进行任何数值化的熵值或权重计算。

已覆盖 · PowerPoint 幻灯片介绍了香农熵权法，并展示了标准化、熵值和常数 k 的公式。

已覆盖 · 切换到 Excel；输入 $m=7$ ，并按 $k=1/\ln (7)$ 计算 k，显示结果为 1.183294662。

已覆盖 · 主讲人使用 Excel 公式 =K4*LOG(K4) 构造 p_{ij} $\ln p$ _{ij}，并将该乘积公式向下填充至七行。

已覆盖 · 对乘积项按列求和，使用公式 =SUM(K12:K18)，所得列和为 -0.72253。

已覆盖 · 将各列和乘以 -k（使用绝对引用），结果保留三位小数，最后一行标记为 Eij，对应数值为 0.855、0.879、0.954、0.953、0.979、0.819、0.964。

已覆盖 · Excel 表格在幻灯片出现前短暂可见；口头介绍自然过渡到第3步的公式。

已覆盖 · PowerPoint 幻灯片展示了第3步的目标权重公式。

已覆盖 · Excel 演示从 Eij 行生成了 1-Eij 行。

已覆盖 · 将 1-Eij 行各项求和，作为公分母。

已覆盖 · 每个补数均除以该固定总和，从而得到 wij 行。

已覆盖 · 完成后的权重已显示，主讲人指出它们的总和为1。

已覆盖 · 片尾动画，包含订阅/点赞/分享提示，无数学内容。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

熵权法

香农熵法 - 简易方法 - 如何估计多准则决策问题的权重 #熵

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

多准则决策中的香农熵权法

熵作为信息与不确定性的度量

为何熵适用于决策赋权

步骤1：决策矩阵的列归一化

步骤2：基于标准化结果的准则熵

步骤3：基于熵补的客观权重

曼沙迪等人（2007）提供的算例设定

常见误区：切勿直接对原始数据应用熵

香农熵权法概述

材料选择决策矩阵

步骤1：标准化以获得p_{ij}

Excel中用于标准化的绝对引用技巧

已完成的标准化矩阵Pij

步骤2：熵公式与索引注意事项

步骤3：权重公式

香农熵权法

m 与 k 的含义

为何乘积项为负

按列求和步骤

从列和到熵值行 Eij

第3步：目标权重公式

计算补值行1−Ej1-E_j1−Ej​

对补值求和，得到分母

对每个补集进行归一化以得到权重

详细学习笔记

p_{ij}

x_{ij}

m

EjE_jEj​

k

wjw_jwj​

n

x_{ij}

p_{ij}

m

n

EjE_jEj​

香农熵权法的目的

熵的概念及其在决策中的作用

第1步：归一化决策矩阵

第2步：为每个评价准则计算熵值测度

第3步：根据熵值推导客观权重

香农熵权重法概述

材料选择用决策矩阵

步骤1：按列归一化，得到p_{ij}

在Excel中对列总和使用绝对引用

步骤2：项目结果的熵度量

步骤3：基于熵的目标权重

香农熵权法步骤

熵理论的历史归属

熵作为离散分布的不确定性

为何熵对决策有用

每个归一化后的列之和为1。

所展示的熵公式下标不一致。

从决策矩阵出发推导客观权重的三步法

Excel 中首个归一化值的推导过程

填充整个归一化矩阵。

由 m=7m=7m=7 计算 k。

计算乘积 p_{ij} ln p_{ij}。

对所有备选方案求这些乘积之和。

乘以 -k 得到 EjE_jEj​。

由熵值推导客观权重

引入一篇研究论文中的实例解析

材料选择决策矩阵示例

对第一个韧性数值进行归一化

构建完整的归一化矩阵 P。

数值型香农熵工作表示例

香农熵权重的Excel演算示例

频道片头动画

概念性导引幻灯片

三步流程所对应的公式幻灯片

切换至一篇研究论文中的示例表格

Word 中的源决策矩阵

在 Excel 中输入标准化公式

填充归一化矩阵

计算补值行 $1-E_j$

$E_j$

$w_j$

$E_j$

由 $m=7$ 计算 k。

乘以 -k 得到 $E_j$ 。

口语中说的 EIJ 与书写形式 $E_j$ 存在记号不一致

从决策矩阵中获取 $p_{ij}$ 的归一化公式是什么？

每个准则所用的熵公式是什么？ $k$ 又是如何定义的？

最终客观权重 $w_j$ 如何由熵值计算得出？