期望效用

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上的题目陈述包含效用函数，写作 $u(w)=\ln (w)$。

2. 声音
   观察依据

   说话人称萨姆的效用函数由 w 的自然对数给出。

$u(w)$

萨姆从财富或所得金钱中获得的效用；本例中，该效用通过财富的自然对数来计算。

定义域为本例中使用的正财富值，即70、000、40、000以及90、000。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上显示的公式在 $\ln (w)$ 中使用了 w。

2. 声音
   观察依据

   说话人将 w 描述为他所赚取的金钱数额或财富。

w

与工作选择或结果相关的财富或货币收益。

本例中出现的正金额：70、000、40、000以及90、000。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上显示的公式为 $\ln (w)$。

2. 声音
   观察依据

   说话人多次提到70、000、40、000以及90、000的自然对数。

$\ln$

在效用设定中，自然对数函数作用于财富。

在本例中，该函数作用于正财富值。

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片写出 $u(w) = \ln(w) = \ln$(70，000) = 11.156 在情景 1 下。

2. 声音
   观察依据

   说话人称，他在情形一中的效用为 $\ln (70,000)$，等于11.156。

11.156

保留当前工作所获得的确定性收入为70,000美元时的数值效用值。

屏幕上显示并口头念出的近似小数数值。

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片上写着：$u(w)$ = .5ln(40,000) + .5ln(90,000)，然后 $u(w) = 5.298 + 5.7037 = 11.001$。

2. 声音
   观察依据

   说话人称，新工作的效用为11.001。

11.001

接受伯克希尔这份收入不确定的工作所对应的期望效用数值。 计算勘误：原片写作 11.001，但 $0.5 \ln (40,000)+0.5 \ln (90,000)=\ln (60,000)$≈11.002；工作选择不变。

屏幕上显示并口头念出的近似小数数值。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，他们必须比较每种选择所带来的效用，而不仅仅是比较每种选择所带来的期望财富。

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字显示：“因此，我们在决定山姆将做出何种决策时，需比较两种情形。我们必须比较他从每种选择中所获得的效用。”

在此例中，决策规则是：比较各选项所对应的效用，而非仅比较期望货币收益。对于有风险的选项，相关量是各结果效用按概率加权后的平均值。

1. 存在多个决策选项。

2. 至少有一个选项的结果具有不确定性。

3. 偏好由效用函数表示。

1. 对数效用函数

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上的问题陈述给出萨姆的效用函数为 $u(w)=\ln (w)$。

2. 声音
   观察依据

   讲话者称萨姆的效用函数由 w 的自然对数给出。

视频通过效用函数$u(w)=\ln(w)$来刻画萨姆对财富的偏好，其中$w$表示财富或所得金钱。该函数先将货币结果转化为效用值，再进行比较。

1. w 表示正的财富或收入。

2. 效用比较是在将该函数分别作用于各货币结果之后进行的。

1. $u(w)$
2. w
3. $\ln$

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片标注“情形1：保留当前工作”，对应“$70,000”，并计算 $u(w)=\ln(w)=\ln(70,000)=11.156$。

2. 声音
   观察依据

   讲话者称，他以100% 的确定性获得 $70,000，因此其效用即为 70,000 的自然对数。

当一个选项产生单一确定性收益时，其效用可通过将该收益直接代入效用函数求得。此处当前工作的确定性收入为$70,000 gives utility$$\ln(70,000)$$。

1. 该选项有一个结果，其发生概率为1。

2. 效用函数已知。

1. 对数效用函数

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片写出 $u(w)$ = 。$5\ln$(40，000) + 。$5\ln$(90，000) 表示情景 2。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：萨姆有50%的概率获得$40,000 且 50% of the time he gets $90,000，然后计算50%乘以$\ln (40,000)$加上50%乘以$\ln (90,000)$。

对于具有多个可能货币收益的选项，视频通过将每个收益对应的效用按其概率加权并求和来计算期望效用。伯克希尔这份工作有两个结果：$40,000 且 $90,000，各自发生的概率均为0.5。

1. 该风险性选项具有离散结果，且各结果的概率已知。

2. 各概率之和为1。

3. 每个结果首先经效用函数映射。

1. 对数效用函数
2. 以期望效用作为比较标准

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，由于11.156代表更高的效用值，萨姆将保留当前工作。

2. 字幕依据
   观察依据

   最终屏幕上显示的数值比较介于11.156与11.001之间。

在计算出确定性选项的效用和风险性选项的期望效用后，通过选择较大值来做出决策。在本例中，$11.156>11.002$，因此更偏好当前工作。

1. 两个选项已在同一效用尺度上完成评估。

2. 决策者偏好更高的效用而非更低的效用。

1. 确定性结果的效用
2. 风险性选项的期望效用

1. 声音
   观察依据

   说话人得出结论：由于11.156大于11.001，萨姆将保留当前工作。

2. 字幕依据
   观察依据

   显示的最终数值为 11.156 情景 1 和 11.001 情景 2。

已知效用函数为 $u(w)=\ln(w)$，确定性的当前工作带来收入 $70,000，其效用为11.156；而有风险的伯克希尔工作带来的期望效用为11.002，因此萨姆保留当前工作。

1. 萨姆的效用函数为 $u(w)=\ln(w)$。

2. 当前工作的收入确定为 $70,000。

3. 伯克希尔公司职位薪酬为 $40,000 with probability 0.5 且 $90，000 概率为 0.5。

4. 无其他因素影响该决策。

针对视频中所述的具体决策问题。

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片展示了情景1：保留当前工作，收入为$70,000，此时效用函数$u(w)=\ln(w)=\ln(70,000)=11.156$。

2. 声音
   观察依据

   讲话者称，以100%的确定性可获得$70,000，因此将70代入效用函数$\ln (w)$，得到11.156。

1. 音频中的简略表达“代入70”对应屏幕上显示的数值70,000；屏幕上的公式提供了更清晰的依据。

1. 公式

   $$w=70,000$$
   解释

   情景1代表当前工作，其带来确定性的收入$70,000。

   步骤依据

   直接陈述于题目文本中，并由讲话者复述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$u(w)=\ln(w)$$
   解释

   将Sam给定的效用函数应用于该确定性财富水平。

   步骤依据

   题目明确指定了效用函数$u(w)=\ln(w)$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$u(70,000)=\ln(70,000)=11.156$$
   解释

   将确定性收益代入并数值计算自然对数。

   步骤依据

   将确定性收益直接代入给定效用函数，随后进行屏幕上所展示的数值计算。

   视频直接表达

保留当前工作的效用为11.156。

1. 声音
   观察依据

   说话人称，他有50%的时间拿不到奖金，收入为$40,000; the other 50% he gets the bonus 且 makes $40,000+$50,000=$90,000。

2. 字幕依据
   观察依据

   题目陈述中给出的基本工资为$40,000 且 a 0.5 chance of receiving a bonus of $50,000。

1. 公式

   $$p_1=0.5,\quad w_1=40,000$$
   解释

   以0.5的概率，山姆拿不到奖金，因此他的总收入仅为基本工资。

   步骤依据

   题目陈述中已给出，并通过口头方式加以说明。

   视频直接表达
2. 公式

   $$p_2=0.5,\quad w_2=40,000+50,000=90,000$$
   解释

   以0.5的概率，山姆获得奖金，因此他的总收入为基本工资加上奖金。

   步骤依据

   题目陈述中已给出，且由说话人明确计算得出。

   视频直接表达

伯克希尔这份工作有两种等可能的结果：$40,000 且 $90,000。

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片显示 $u(w)$=.5\ln(40,000)+.5\ln(90,000)，随后 $u(w)=5.298+5.7037=11.001$。

2. 声音
   观察依据

   说话人称，效用函数形如50%乘以40,000的自然对数，再加上50%乘以90,000的自然对数，结果为11.001。

1. 公式

   $$EU=0.5\ln(40,000)+0.5\ln(90,000)$$
   解释

   将每种结果的效用按其对应概率加权，再将各项相加。

   步骤依据

   这是视频中用于离散风险选项的期望效用计算方法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$EU=5.298+5.7037$$
   解释

   按屏幕上显示的方式，对两个对数项进行数值计算。

   步骤依据

   中间数值结果在幻灯片上给出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$EU=11.002$$
   解释

   将两个加权效用项相加，得到伯克希尔工作的期望效用。

   步骤依据

   对屏幕上显示的中间数值进行算术求和。

   视频直接表达

接受伯克希尔工作的期望效用为11.002。 计算勘误：原片写作 11.001，但 $0.5 \ln (40,000)+0.5 \ln (90,000)=\ln (60,000)$≈11.002；工作选择不变。

1. 字幕依据
   观察依据

   完整的问题陈述从约6秒起在屏幕上显示，包括两个工作选项以及效用函数 $u(w)=\ln (w)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人先朗读题目，然后逐步求解。

山姆可以确定地保留当前工作，获得固定收入$70,000, or accept a Berkshire job with base salary $40,000，并有0.5的概率获得50,000美元奖金。已知效用函数为 $u(w)=\ln(w)$，判断他应保留当前工作、接受新工作，还是无差异。

1. 当前工作的收益为确定的70,000美元。

2. 伯克希尔工作的基本薪资为40,000美元。

3. 奖金金额为50,000。

4. 获得奖金的概率为0.5。

5. 效用函数为 $u(w) = \ln (w)$。

6. 不考虑其他因素。

比较两个工作选项的效用，并确定山姆的选择。

1. 公式

   $$w_{\text{current}}=70,000$$
   解释

   写出当前工作的确定性收益。

   步骤依据

   直接由题目陈述给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$u(70,000)=\ln(70,000)=11.156$$
   解释

   将确定性选项的收益直接代入效用函数，计算其效用。

   步骤依据

   使用给定的效用函数及确定性结果的效用定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$w_{\text{new},1}=40,000,\quad w_{\text{new},2}=90,000$$
   解释

   列出风险性工作的两种可能收益：未获得奖金和获得奖金。

   步骤依据

   根据题目陈述中的基本工资和奖金信息得出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$EU_{\text{new}}=0.5\ln(40,000)+0.5\ln(90,000)$$
   解释

   依据每种结果的效用及其对应概率，加权求和得到风险性工作的期望效用。

   步骤依据

   视频中演示的标准期望效用计算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$EU_{\text{new}}=5.298+5.7037=11.002$$
   解释

   计算并求和屏幕上显示的数值项。

   步骤依据

   屏幕上展示了中间算术步骤。

   视频直接表达
6. 公式

   $$11.156>11.002$$
   解释

   将当前工作的效用与新工作的期望效用进行比较。

   步骤依据

   视频中陈述并应用了决策规则。

   视频直接表达

山姆保留当前工作。

该结论源于屏幕上显示的数值比较：确定性工作的效用为11.156，而风险性工作的期望效用为11.002。

1. 动画
   观察依据

   一张白色标题卡片居中显示文字“期望效用”。

1. 白色背景

2. 居中标题文字“期望效用”

1. 标题文字出现后逐渐淡出。

1. 尚未显示任何数学符号。

本片段仅引入主题标签。

1. 图示
   观察依据

   左侧出现讲师，右侧文本面板显示完整的文字题，包括 $u(w)=\ln (w)$。

2. 字幕依据
   观察依据

   右侧文本列出了两个工作选项，并提问：山姆是继续留任当前工作、接受新工作，还是对两者无差异？

1. 左侧为讲师

2. 右侧文本面板

3. 问题陈述包含具体金额及效用函数 $u(w)=\ln (w)$

1. 完整的问题陈述显现于屏幕并持续显示，直至主讲人朗读完毕。

1. 在此时间段内，两个备选方案及效用函数保持固定不变。

该画面确立了决策问题以及用于计算的偏好表达形式。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上新增文字：‘因此，我们在判断山姆将作出何种决策时，需比较两种情形。我们必须比较他从每个选项中所获得的效用。’

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他们并非仅在比较预期财富，而是在比较不确定性下的效用与确定性下的效用。

1. 原有题目文字

2. 其下方新增的解释性句子

1. 一道新句子出现在题目陈述下方，用于说明比较方法。

1. 原始题目数据保持不变。

该幻灯片的视觉重心从陈述问题转向阐明解题原理：应比较效用，而非原始收益。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片下半部分新增‘情形1：保留当前工作’，并附有‘$70,000’及公式 $u(w)=\ln(w)=\ln(70,000)=11.156$。

1. 情形1标题

2. 金额 $70,000

3. 以11.156结尾的等式链

1. 情景1的标签和收益首先出现，然后补全效用方程，得到11.156。

1. 问题陈述与方法说明保持在上方。

动画呈现确定性选项及其直接效用评估。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片添加‘他在情景2下的效用为：’，随后显示 $u(w)$=.5\ln(40,000)+.5\ln(90,000)，接着是 $u(w)=5.298+5.7037=11.001$。

1. 情景2标题。

2. 期望效用表达式。

3. 中间数值项。

4. 最终值11.001。

1. 先出现期望效用表达式，再出现中间和式$5.298+5.7037$，最后是最终值11.001。

1. 情景1的结果11.156持续可见，以便比较。

视觉序列展示了如何将一个风险前景转化为单一的期望效用数值。

1. 图示
   观察依据

   两个最终数值结果同时保留在屏幕上：11.156 情景 1 和 11.001 对应情景 2。

2. 声音
   观察依据

   讲话者指出，由于11.156更大，山姆选择继续留任当前工作。

1. 场景1的效用为11.156

2. 场景2的期望效用为11.001

1. 未添加新公式；结论性比较直接使用已有的两个结果。

1. 两个计算得出的效用值同时保持可见。

最终的视觉呈现方式通过将两个效用值并排显示，来支持该决策规则。

1. 声音
   观察依据

   讲话者明确指出：‘我们不仅会比较各选项带来的期望财富，还会比较他从中获得的效用。’

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上新增的方法提示说明：必须比较他从每个选项中所获得的效用。

有人可能认为，应直接比较各选项的期望美元收益来做出选择。

视频强调，正确的比较对象是效用值，因为决策准则是给定效用函数 $u(w)=\ln(w)$ 下的期望效用，而非单纯的期望财富。

1. 字幕依据
   观察依据

   题目首先给出效用函数 $u(w)=\ln(w)$，随后幻灯片在期望效用公式中对每个货币结果分别应用了 ln 函数。

2. 声音
   观察依据

   主讲人先陈述效用函数，再用它分别计算两种情景下的效用值。

风险性工作的期望效用计算，依赖于事先已知的效用函数 $u(w)=\ln(w)$。

1. 字幕依据
   观察依据

   情景1被作为一个整体代入计算得到单一效用值，而情景2则被计算为两项效用值的加权和。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将情景1的确定性与情景2的不确定性进行对比。

视频对比了确定性收益的直接效用评估与风险性收益的概率加权效用评估。

1. 声音
   观察依据

   主讲人利用11.156与11.001之间的不等关系，得出萨姆选择保留当前工作的结论。

2. 字幕依据
   观察依据

   两个最终的数值结果保留在屏幕上供比较。

最终结论依赖于如下决策规则：选择效用值更大的选项。

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释道，该决策需比较各选项（包括风险性选项）所产生的效用。

2. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片展示了情景2的期望效用表达式。

1. 以期望效用作为比较标准
2. 风险性选项的期望效用

1. 声音
   观察依据

   讲话者表示，他们并非仅在比较各选项的期望财富。

2. 字幕依据
   观察依据

   方法说明指出，他们必须比较各选项将带给他的效用。

1. 以期望效用作为比较标准
2. 当效用是非线性的时，不可仅凭期望财富做决策

1. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片计算 $u(w)=\ln(w)=\ln$(70，000)=11.156 对应情景 1。

2. 声音
   观察依据

   讲话者说，需将70、000代入效用函数。

1. 确定性结果的效用
2. 当前工作的效用推导

1. 声音
   观察依据

   讲话者将这份有风险的工作拆分为一个50%无奖金情形和一个50%有奖金情形。

2. 字幕依据
   观察依据

   幻灯片显示了 .5\ln(40,000)+.5\ln(90,000)。

1. 识别该高风险工作的两种货币性结果。
2. 风险性选项的期望效用

1. 声音
   观察依据

   讲话者得出结论：山姆选择保留当前工作，因为11.156大于11.001。

2. 字幕依据
   观察依据

   最终展示的比较是在11.156与11.001之间进行的。

1. 选择效用更高的选项
2. 例题的结论