向量域简介

1. 公式
   观察依据

   教师写下标题“向量场是一种映射”，然后写出两个涉及 V 的映射形式。

2. 声音
   观察依据

   教师说：“向量场是一种映射，其定义域与值域要么是 ℝ2 到 ℝ2，要么是 ℝ2 到 ℝ3”，随后口头更正第二种情况为：输入三维向量、输出三维向量。

V

向量场可视为一种映射，它为每个输入点（或向量）指派一个向量。

本片段中，该映射的定义域与值域分别标为 ℝ^2 或 ℝ^3。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\mathbb{R}^2$ 在第一个映射行中，以及在示例标题中为 2-d 向量场。

2. 声音
   观察依据

   教师提及二维的输入与输出。

$\mathbb{R}^2$

二维实坐标空间，此处同时用作平面向量场的输入空间与输出空间。

有序对 (x, y) 的集合。

1. 公式
   观察依据

   黑板在第二个映射行中显示 ℝ^3。

2. 声音
   观察依据

   教师指出第二种情况采用三维输入与三维输出。

$\mathbb{R}^3$

三维实坐标空间，此处同时用作空间向量场的输入空间与输出空间。

有序三元组的集合。

1. 公式
   观察依据

   这些示例写作 $V(x, y)$。

2. 声音
   观察依据

   教师说：“我将输入一个向量 x y”，然后将其表示为 x i-hat 加 y j-hat。

(x,y)

一个二维输入向量，等价地以分量形式写作 $x\hat{i}+y\hat{j}$。

2维实数空间

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $x\hat{i}+y\hat{j}$，随后显示 -y\hat{i}+$x\hat{j}$ 以及 ($x^2-y^2$)$\hat{i}+2$xy\hat{j}。

2. 声音
   观察依据

   教师使用 i-hat 和 j-hat 来命名各分量。

$\hat{i}$

平面上第一个坐标方向的单位向量。

x 分量的标准基向量。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $x\hat{i}+y\hat{j}$，随后显示 -y\hat{i}+$x\hat{j}$ 以及 ($x^2-y^2$)$\hat{i}+2$xy\hat{j}。

2. 声音
   观察依据

   教师使用 i-hat 和 j-hat 来命名各分量。

$\hat{j}$

平面上第二个坐标方向的单位向量。

y 分量的标准基向量。

1. 公式
   观察依据

   符号$\vec{v}$用于表示向量场。

$\vec{v}$

向量场

从$\mathbb{R}^2$到$\mathbb{R}^2$或从$\mathbb{R}^3$到$\mathbb{R}^3$的函数

1. 公式
   观察依据

   符号$\hat{i}$用作x方向上的单位向量。

$\hat{i}$

x方向上的单位向量

实数

1. 公式
   观察依据

   符号$\hat{j}$用作y方向上的单位向量。

$\hat{j}$

y方向上的单位向量

实数

1. 公式
   观察依据

   符号$\hat{k}$用作z方向上的单位向量。

$\hat{k}$

z方向上的单位向量

实数

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，位置向量场通常写作 $r(x, y, z)$，或简称为向量 r。

2. 公式
   观察依据

   他在黑板上写下$\vec r = \vec r(x,y,z) = x\hat i + y\hat j + z\hat k$。

$\vec r$

位置向量场；也用于指代位置向量本身。

定义在三维空间中的点$(x,y,z)$处。

1. 声音
   观察依据

   读作“r of x y z”。

2. 公式
   观察依据

   在书面公式中表示为$\vec r(x,y,z)$。

$\vec r(x,y,z)$

位置向量场在坐标为$x,y,z$的点处的取值。

输入是一个点 $(x,y,z)$ 在 $\mathbb R^3$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“向量场是一种映射”，并展示了 V:ℝ^2→ℝ^2 和 V:ℝ^3→ℝ^3。

2. 声音
   观察依据

   讲师解释说，其中一种情况以 2 维向量为输入，输出为 2 维向量；另一种情况以 3 维向量为输入，输出为 3 维向量。

本片段中，向量场被引入为一种将向量指派给输入的映射。所呈现的两种主要情形是平面型向量场 V:ℝ^2→ℝ^2 和空间型向量场 V:ℝ^3→ℝ^3。讲师还指出，存在不同维数间的推广形式，但本课程此处聚焦于输入与输出维数相同的情形。

1. 输入和输出均为向量。

2. 本片段强调同维数的映射情形 ℝ^2→ℝ^2 和 ℝ^3→ℝ^3。

3. 不同维数的映射被提及为可能的推广形式，但此处未作进一步展开。

1. 公式
   观察依据

   黑板在标题“EX（2维向量场）”下写出 $V(x,y) = -y$ î + x ĵ。

2. 声音
   观察依据

   讲师称这是一种特别有用的标准类型向量场，并描述了将 x 移至第二个分量、将 y 带负号移至第一个分量的操作。

一个具体的平面型向量场定义为：对输入向量 (x,y)，返回向量 (-y,x)；用单位向量记法表示为 -y î + x ĵ。讲师明确称其为一种标准且有用的示例。

1. 输入是一个 2 维向量 (x,y)。

2. 输出也是一个2D向量，用$\hat{i}$、$\hat{j}$分量表示。

1. 向量场作为映射的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$V(x,y)=(x^2-y^2)\hat{i}+2$xy\hat{j}。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“我本可以这样做”，并将其作为另一个向量场的例子呈现。

另一个平面向量场定义为：将(x,y)映射到(($x^2-y^2$),\,2xy)。该例子保持与前一个例子相同的输入形式，但改变了生成输出向量的规则。

1. 输入是一个2D向量(x,y)。

2. 输出是一个具有多项式分量的2D向量。

1. 向量场作为映射的定义

1. 声音
   观察依据

   向量场是一种映射，其输入为2维向量、输出为2维向量，或输入为3维向量、输出为3维向量。

2. 公式
   观察依据

   $\vec{v}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$和$\vec{v}: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$

向量场是一种映射，它以一个向量为输入，并输出另一个同维数的向量。它可以是2维向量场，将$\mathbb{R}^2$映射到$\mathbb{R}^2$；也可以是3维向量场，将$\mathbb{R}^3$映射到$\mathbb{R}^3$。

1. 输入向量与输出向量的维数必须相同。

1. 声音
   观察依据

   我们的绘图约定是：若我输入一个点或向量 x y……我们就用这个点 1 1 作为输出向量的起点，即初始点。

2. 图示
   观察依据

   讲师绘制了一个坐标系，并画出一个从原点指向(1,1)的输入向量，然后在(1,1)处起笔画出输出向量。

要绘制向量场，需在某个特定输入点处求出该向量场的值；所得输出向量以其初始点（即箭尾）位于该输入点的方式绘制。

1. 输入点作为输出向量的箭尾。

1. 向量场的定义

1. 声音
   观察依据

   讲师将该场称为“位置向量场”，并指出它在向量微积分中起着重要作用。

2. 公式
   观察依据

   他写下$\vec r = \vec r(x,y,z) = x\hat i + y\hat j + z\hat k$。

位置向量场将每个点$(x,y,z)$映射为从原点指向该点的向量。在所示记号中，该场在点$(x,y,z)$处的取值恰好为$x\hat i + y\hat j + z\hat k$。讲师还指出，该场通常记作$\vec r(x,y,z)$，或简记为$\vec r$。

1. 定义在三维输入点$(x,y,z)$上。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“另一个三维向量场的例子”，并在书写的同时逐项读出其分量。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$\vec v(x,y,z) = (y+z)\hat i + (x+z)\hat j + (x+y)\hat k$。

由$\vec v(x,y,z) = (y+z)\hat i + (x+z)\hat j + (x+y)\hat k$给出的、从空间中一点到一个向量的第二个显式映射例子。此处输入仍为坐标三元组$(x,y,z)$，但每个输出分量是输入坐标的其中两个之和，而非坐标本身。

1. 输入是一个三维点$(x,y,z)$。

1. 位置向量场

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“我输入一个三维的x y z，这就是我的输入，而现在的输出就是这边这个向量。”随后他推广道：“我们可以构造出大量向量场的例子，它们都具有三维输入和三维输出。”

2. 公式
   观察依据

   本评注直接引用了刚刚写出的关于$\vec v(x,y,z)$的公式。

1. 讲师提到某些此类场具有特殊结构，但本片段中并未定义该结构。

在本片段中，一个三维向量场被操作性地视为一条规则：以点$(x,y,z)$为输入，并返回一个三维向量作为输出。讲师强调，许多不同的公式都可以定义此类场，而其中一些因具备额外结构，将在后续学习中加以研究。

1. 适用于定义域与值域均为三维的场。

1. 三维向量场的一个例子

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，存在更一般的推广情形，例如输入二维向量而输出三维向量；但本课程主要关注2D到2D以及3D到3D的情形。

向量场可推广为不同维度之间的映射，例如将2D输入映射为3D输出；尽管本片段主要聚焦于同维数的情形。

1. 讨论内容是将向量指派给输入的映射。

除已展示的两种情形外，还存在更广泛的映射。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“而这在向量微积分中起着重要作用，我们稍后会看到。”

1. 本片段未指明后续的具体应用。

位置向量场在向量微积分中起着重要作用。

关于命名场$\vec r$的一般性断言。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“因此，一般而言，我们可以构造出大量向量场的例子，其输入为三维，输出也为三维。”

存在许多可能的向量场，其输入和输出均为三维。

1. 该向量场被理解为从空间中的点到向量的映射。

这是关于此类映射全体的一个存在性/一般性断言。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“其中一些向量场恰好具有某种特殊的结构。我们将在后续章节中更具体地研究这种结构。”

1. 本片段中未明确指出这种特殊结构的具体内容。

某些三维向量场具有额外的结构，这些结构将在后续内容中加以研究。

这是关于所有3D向量场的一个子集的存在性断言。

1. 声音
   观察依据

   讲师称，绘制三维向量场“更加复杂”，因为必须在空间中的每一点处绘制一个向量，且需从初始点出发。

绘制三维向量场比二维情形更加复杂，因为每个被绘制的向量都需要指定其在空间中的初始点。

1. 该向量场是三维的。

关于3D向量场可视化的总体陈述。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，虽然绘制出每一个向量会显得杂乱无章，但绘制足够数量的初始向量，就能把握该向量场的整体行为，并获得流线的几何直观。

1. 本片段中提到了“流线”这一术语，但未给出定义。

尽管在3D向量场中绘制出每一个向量都不切实际，但绘制足够多的初始向量仍能帮助我们获得该向量场及其流线的几何理解。

1. 所选样本足以良好地表征该向量场。

关于通过采样实现可视化的实用/一般性论断。

1. 声音
   观察依据

   教师口头讲解该规则：取第一个分量 x，将其移至第二个分量位置；取第二个分量 y，将其移至第一个分量位置并取相反数。

2. 公式
   观察依据

   所写的公式 $V(x,y)=-y\hat{i}+x\hat{j}$ 与该口头规则一致。

1. 公式

   $$(x,y) \leftrightarrow x\hat{i}+y\hat{j}$$
   解释

   从以分量形式写出的输入向量出发。

   步骤依据

   教师明确将输入 (x,y) 等同于 $x\hat{i}+y\hat{j}$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-y\hat{i}+x\hat{j}$$
   解释

   输出通过将第二个分量取相反数后填入第一个位置、将第一个分量填入第二个位置而得到。

   步骤依据

   这是在写出公式后立即陈述的口头变换规则。

   视频直接表达

示例 $V(x,y)=-y\hat{i}+x\hat{j}$ 是通过对 (x,y) 交换两个分量，并对移入第一个位置的那个分量取相反数而得到的。

1. 声音
   观察依据

   例如，若我输入 $v(1 1)$，则我的输出是负 i 帽加 j 帽……于是我先到达我的初始点，该初始点为 1 1……然后我输出一个向量，该向量源自向量场在输入向量终点处的输出。

2. 图示
   观察依据

   讲师标出点(1,1)，并画出一条从(1,1)指向(0,2)的向量，代表$-\hat{i} + \hat{j}$。

1. 公式

   $$\vec{v}(x,y) = -y\hat{i} + x\hat{j}$$
   解释

   从给定的2维向量场出发。

   步骤依据

   视频中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\vec{v}(1,1) = -(1)\hat{i} + (1)\hat{j} = -\hat{i} + \hat{j}$$
   解释

   在输入点（1，1）处计算该向量场的值。

   步骤依据

   代入计算。

   依据视频推导
3. 公式Plot vector starting at (1,1) with components (-1, 1).
   解释

   将输出向量以其尾部置于输入点（1，1）处进行绘制。

   步骤依据

   绘图惯例。

   视频直接表达

输出向量$-\hat{i} + \hat{j}$从点（1，1）开始绘制。

1. 声音
   观察依据

   我们来做一个经典例子：$v(x, y, z)$，它形式相对简单——你输入x、y、z，输出为x i帽加y j帽加z k帽。换句话说，你的输入向量被直接作为相同的向量输出。

2. 公式
   观察依据

   画面上写着：$\vec{v}(x,y,z) = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$

1. 公式

   $$\vec{v}(x,y,z) = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$$
   解释

   写出该3维向量场。

   步骤依据

   视频中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Input } (x,y,z) \rightarrow \text{Output } (x,y,z)$$
   解释

   观察发现，输出向量与输入向量完全相同。

   步骤依据

   直接比较各分量。

   依据视频推导

该向量场将每个点映射为一个从原点指向该点的向量，其模长等于该点到原点的距离。

1. 声音
   观察依据

   讲师将点$(1,1,1)$代入函数，并指出输出结果为$(2,2,2)$。

2. 图示
   观察依据

   他在坐标轴上标出点$(1,1,1)$，并沿对应方向画出一个箭头。

1. 公式

   $$\vec v(x,y,z) = (y+z)\hat i + (x+z)\hat j + (x+y)\hat k$$
   解释

   从黑板上写出的示例向量场出发。

   步骤依据

   给定$\vec v$的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(x,y,z)=(1,1,1)$$
   解释

   选择讲师所讨论的样本输入点。

   步骤依据

   讲师口头介绍并标注在图上的具体示例。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\vec v(1,1,1) = (1+1)\hat i + (1+1)\hat j + (1+1)\hat k$$
   解释

   将$x=1$、$y=1$和$z=1$分别代入每个分量。

   步骤依据

   直接代入公式。

   依据视频推导
4. 公式

   $$\vec v(1,1,1) = 2\hat i + 2\hat j + 2\hat k$$
   解释

   化简每个分量的和。

   步骤依据

   算术化简。

   依据视频推导
5. 公式

   $$\text{output vector } = (2,2,2)$$
   解释

   将结果读作以$2,2,2$为分量的三维向量。

   步骤依据

   分量形式对应于$\hat i,\hat j,\hat k$的系数。

   视频直接表达

在输入点$(1,1,1)$处，该示例场输出向量$(2,2,2)$，讲师将其起点画在$(1,1,1)$处。

1. 公式
   观察依据

   黑板上先写 EX（2-d 向量场），再写 $V(x,y)=-y\hat{i}+x\hat{j}$。

2. 声音
   观察依据

   教师将其作为一类 2D 向量场的示例引入，并称之为标准类型。

给出一个 2D 向量场的显式规则。

1. 输入是一个向量（x，y）。

2. 期望的输出是另一个2维向量。

为平面向量场写出一个具体的映射 $V(x,y)$。

1. 公式

   $$V(x,y)=-y\hat{i}+x\hat{j}$$
   解释

   将输入（x，y）映射为一个向量，其第一个分量为 -y，第二个分量为 x。

   步骤依据

   这是写在黑板上并用语言解释的公式。

   视频直接表达

$V(x,y)$ 等于负 y 乘以 i 帽 加上 x 乘以 j 帽

教师通过口头描述验证该规则：x 移至第二个分量，y 移至第一个分量并带负号。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $V(x,y)=(x^2-y^2)\hat{i}+2$xy\hat{j}。

2. 声音
   观察依据

   教师将其作为另一个具有相同输入格式的向量场示例来呈现。

再给出一个显式的2维向量场。

1. 输入是一个向量（x，y）。

2. 输出结果仍应是一个2D向量。

写出第二个具体的映射$V(x,y)$。

1. 公式

   $$V(x,y)=(x^2-y^2)\hat{i}+2xy\hat{j}$$
   解释

   两个输出分量均使用关于x和y的多项式表达式。

   步骤依据

   这是示例部分下方所写的第二个公式。

   视频直接表达

$V(x,y)$ = (x 的 2 次方减去 y 的 2 次方) 乘以 i 帽，加上 2 乘以 x 乘以 y 乘以 j 帽

教师指出输入与上一个例子完全相同，从而确认它仍然是一个2D向量场。

1. 公式
   观察依据

   画面上写着：$\vec{v}(x,y) = -y\hat{i} + x\hat{j}$

2. 图示
   观察依据

   教师在点（1，1）、（1，0）和（0，-1）处绘制向量。

在若干点处绘制向量场 $\vec{v}(x,y) = -y\hat{i} + x\hat{j}$。

1. 对应的式子为：$\vec{v}(x,y) = -y\hat{i} + x\hat{j}$

说明向量场的绘图惯例。

1. 公式

   $$\vec{v}(1,1) = -\hat{i} + \hat{j}$$
   解释

   在点（1，1）处求值。

   步骤依据

   代入计算。

   依据视频推导
2. 公式

   $$\vec{v}(1,0) = \hat{j}$$
   解释

   在点（1,0）处求值。

   步骤依据

   代入法。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\vec{v}(0,-1) = \hat{i}$$
   解释

   在点（0,-1）处求值。

   步骤依据

   代入法。

   依据视频推导

向量以其起点（尾部）位于各自对应的输入点上进行绘制。

对所绘制向量的直观观察，与计算所得的分量一致。

1. 公式
   观察依据

   画面上写着：$\vec{v}(x,y,z) = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$

识别向量场$\vec{v}(x,y,z) = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$的性质。

1. 对应的式子为：$\vec{v}(x,y,z) = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$

理解输入向量与输出向量之间的关系。

1. 公式

   $$\vec{v}(x,y,z) = \langle x, y, z \rangle$$
   解释

   改写为分量形式。

   步骤依据

   标准记号。

   依据视频推导

输出向量与输入位置向量完全相同。

直接观察公式即可发现各分量完全相同。

1. 声音
   观察依据

   讲师将该场命名为“位置向量场”，并解释其记号。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$\vec r = \vec r(x,y,z) = x\hat i + y\hat j + z\hat k$。

介绍标准的向量场，该向量场将每个点映射为其自身的位置向量。

1. 输入坐标$(x,y,z)$。

2. 基向量$\hat i,\hat j,\hat k$。

用标准记号写出位置向量场。

1. 公式

   $$\vec r = \vec r(x,y,z)$$
   解释

   为该向量场命名，并指出其依赖于空间中的某一点。

   步骤依据

   讲师所陈述的记号。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\vec r(x,y,z)=x\hat i+y\hat j+z\hat k$$
   解释

   将向量场在某点的取值表示为该点坐标三元组本身，以基向量形式表达。

   步骤依据

   位置向量场的定义。

   视频直接表达

对应的式子为：$\vec r(x,y,z)=x\hat i+y\hat j+z\hat k$

该公式与口述描述一致：位置向量场常记作$r(x,y,z)$，或简记为向量$r$。

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“另一个三维向量场的例子”，并逐个读出其分量。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写完的公式是$\vec v(x,y,z) = (y+z)\hat i + (x+z)\hat j + (x+y)\hat k$。

举一个三维向量场的非位置向量场例子。

1. 输入是空间中的一个点$(x,y,z)$。

2. 输出应是一个三维向量。

定义一个具体的向量场$\vec v(x,y,z)$。

1. 公式

   $$\vec v(x,y,z)=$$
   解释

   开始一个新的3D向量场例子。

   步骤依据

   讲师明确引入另一个例子。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(y+z)\hat i+(x+z)\hat j+(x+y)\hat k$$
   解释

   用输入坐标的两两之和填写三个分量。

   步骤依据

   由讲师书写并朗读出来。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{input }(x,y,z)\rightarrow \text{output vector}$$
   解释

   将该公式理解为从空间中一点到一个向量的映射。

   步骤依据

   讲师指出输入是三维的$x,y,z$，输出是所展示的向量。

   视频直接表达

对应的式子为：$\vec v(x,y,z) = (y+z)\hat i + (x+z)\hat j + (x+y)\hat k$

黑板上的最终公式与口述的逐项构造过程一致。

1. 声音
   观察依据

   讲师解释说，在3D中，必须先从初始点出发，然后代入$(1,1,1)$，并指出输出为$(2,2,2)$。

2. 图示
   观察依据

   他画出坐标轴，标出$(1,1,1)$，并从该点沿输出方向画出一个箭头。

1. 所画箭头仅为示意图；3D坐标轴的确切视角仅为近似。

展示如何开始在三维空间中可视化向量场$\vec v(x,y,z) = (y+z)\hat i + (x+z)\hat j + (x+y)\hat k$。

1. 向量场的公式。

2. 选定的输入点$(1,1,1)$。

确定该点处的输出向量，并解释其绘制方法。

1. 公式

   $$\text{draw }x,y,z\text{ axes}$$
   解释

   建立一个三维坐标示意图。

   步骤依据

   因为该向量场存在于3D空间中。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(1,1,1)$$
   解释

   将选定的输入点标记为该向量的起点。

   步骤依据

   讲师指出，输出的起点即为输入点。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\vec v(1,1,1)=2\hat i+2\hat j+2\hat k$$
   解释

   在所选点处计算该向量场的值。

   步骤依据

   代入公式。

   依据视频推导
4. 公式

   $$\text{draw arrow from }(1,1,1)\text{ in direction }(2,2,2)$$
   解释

   将输出向量表示为始于输入点的向量。

   步骤依据

   这是对3D 向量场所作的口头描述绘图惯例。

   视频直接表达

在$(1,1,1)$处，该向量场给出$(2,2,2)$，因此绘制一个始于$(1,1,1)$、指向该方向的箭头。

口头解释与手绘示意图一致：起始点为$(1,1,1)$，输出方向对应于$(2,2,2)$。

1. 图示
   观察依据

   教师先在光板上方写出定义，再补充两种映射形式，接着标注输入/输出说明，最后在板面下方写出示例。

2. 动画
   观察依据

   书写内容随其讲解逐步呈现，并用箭头将映射符号与“输入”和“输出”两词连接起来。

1. 标题文字：“向量场是一种映射”

2. 映射式：V:\mathbb{R}^$2\to\mathbb{R}^2$ 和 V:\mathbb{R}^$3\to\mathbb{R}^3$

3. 输入/输出标注

4. 示例标题：EX（2维向量场）

5. 公式：$V(x,y) = -y\hat{i} + x\hat{j}$，以及 $V(x,y) = (x^2 - y^2)\hat{i} + 2$xy\hat{j}

1. 首先写出一般性陈述。

2. 接着补充两种映射类型。

3. 然后用箭头和标签标出哪些是输入、哪些是输出。

4. 最后，在下方写出两个具体的2维例子。

1. 板书保持为一整段连贯的手写讲解。

2. 核心主题始终聚焦于定义向量场并给出实例。

视觉布局呼应教学顺序：先给出抽象定义，再明确定义域与陪域，最后列出具体公式。

1. 图示
   观察依据

   教师绘制一个2维笛卡尔坐标系，标出点(1,1)、(1,0)和(0,-1)，并从这些点出发分别画出对应的输出向量。

1. 坐标轴

2. 点(1,1)、(1,0)、(0,-1)

3. 输出向量

1. 绘制坐标轴

2. 标出各点

3. 在特定点处绘制向量

1. 绘图惯例在整个演示过程中保持一致。

直观演示清晰地展示了如何在特定点处求向量场的值，并将所得向量以其起点（尾部）置于这些点上进行绘制。

1. 动画
   观察依据

   讲师在黑板右侧写下短语“位置向量场”，然后写出公式$\vec r = \vec r(x,y,z) = x\hat i + y\hat j + z\hat k$。

2. 声音
   观察依据

   他在书写的同时，口述该向量场的名称及其常用记号。

1. 手写文字：“位置向量场”

2. 公式$\vec r = \vec r(x,y,z) = x\hat i + y\hat j + z\hat k$

1. 黑板上出现新标签。

2. 公式添加在标签下方或旁边。

1. 先前的黑板内容仍保持可见。

2. 讲师在书写时始终站在黑板前方。

书写的视觉过程强化了位置向量场及其标准记法的定义。

1. 动画
   观察依据

   讲师逐分量写出$\vec v(x,y,z)$的新公式行。

2. 声音
   观察依据

   他边写边读出每个分量。

1. 公式$\vec v(x,y,z) = (y+z)\hat i + (x+z)\hat j + (x+y)\hat k$。

1. 一个新的示例公式在黑板上逐项构建。

1. 位置场公式保持可见。

2. 主题持续聚焦于三维向量场。

分步书写展示了如何通过将每个输出分量表示为输入坐标的函数，来指定一个向量场。

1. 动画
   观察依据

   讲师画出三条相交的坐标轴，将其标记为$x$、$y$和$z$，标出点$(1,1,1)$，并从该点画出一个箭头。

2. 声音
   观察依据

   他解释说，绘制3D向量场需要初始点，并以$(1,1,1)$为输入、输出为$(2,2,2)$进行演示。

1. 手绘坐标轴的透视效果是近似的，而非度量精确的。

1. 三条标有$x$、$y$、$z$的坐标轴

2. 点$(1,1,1)$

3. 代表输出向量的箭头

1. 画出坐标轴。

2. 标出点$(1,1,1)$。

3. 从该点沿输出方向添加一个箭头。

1. 示例向量场公式仍保留在黑板上。

2. 讨论始终聚焦于3D向量场的可视化。

示意图展示了3D向量场的绘图惯例：将输出向量的尾部置于输入点处。

1. 声音
   观察依据

   教师先说“要么是从 R2 到 R2，要么是从 R2 到 R3”，随即更正说明：第二种情况实际是 V 从 R3 映射到 R3；板书上显示为 V:\mathbb{R}^$3\to\mathbb{R}^3$。

听众可能短暂地将第二种情况听成是从 $\mathbb{R}^2$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的映射。

修正后的口述解释与书面公式均表明，本片段中意图表达的第二种情况是 $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$，而混合维数的映射仅在后文作为推广内容被提及。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出情况更为复杂，因为“你不仅要在空间中每一点绘制一个向量，现在还必须从初始点出发。”

人们可能认为在3D中绘制向量场，就只是画出箭头而已，无需追踪每个箭头的起点。

在三维空间中，每个向量都必须附着在其对应的输入点上，因此初始点是图像的一部分。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，若试图在每一点都绘制该向量场，“所有向量会开始汇聚重叠，看起来一团混乱”，但绘制足够数量的向量即可获得理解。

人们可能假定，要获得完整的几何理解，就必须在向量场的每一点都画出对应的向量。

讲师解释道，绘制每一个向量会在视觉上坍缩成一团混乱；相反，选取足够多的初始向量样本便足以传达其几何特征。

1. 公式
   观察依据

   先写出一般映射定义，随后给出两个具体公式作为示例：$V(x,y)=-y\hat{i}+x\hat{j}$ 和 $V(x,y)=(x^2-y^2)\hat{i}+2$xy\hat{j}。

2. 声音
   观察依据

   教师在定义概念后说：“我们来看一些例子。”

这些明确的2D公式是向量场作为映射这一普遍定义的具体实例。

1. 公式
   观察依据

   两个示例公式均出现在标题“EX（2-d 向量场）”之下，紧随先前给出的定义 V:\mathbb{R}^$2\to\mathbb{R}^2$之后。

该多项式公式同样是2D向量场这一普遍概念的另一具体实例。

1. 公式
   观察依据

   针对相同的输入形式 $V(x,y)$，先后写出了两个不同的公式。

2. 声音
   观察依据

   教师通过说“我本可以用类似的方式处理另一个例子”来对比二者。

两者均为2D向量场，具有相同的输入类型，但在生成输出向量时采用了不同的规则。

1. 声音
   观察依据

   如果我们现在来看一些三维向量场的例子……

向量场的概念是从2维映射（$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$）推广到3维映射（$\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$）的。

1. 声音
   观察依据

   在讨论完$\vec r$后，讲师说：“另一个三维向量场的例子”，并写下$\vec v(x,y,z)$。

该片段首先呈现特殊的位置场$\vec r(x,y,z)=x\hat i+y\hat j+z\hat k$，然后将其与另一个不同的3D向量场进行对比，后者的各个分量是坐标的两两之和。

1. 声音
   观察依据

   讲师使用新写出的$\vec v(x,y,z)$来说明输入是$(x,y,z)$，输出是所显示的向量。

通过具体给出$\vec v$的公式，来阐释三维向量场的一般输入-输出结构。

1. 声音
   观察依据

   在定义了输入-输出思想之后，讲师转向如何在3维空间中绘制此类向量场，并在$(1,1,1)$处对场进行求值。

‘3维向量场将点映射为向量’这一抽象思想，在绘图示例中体现为：将输出向量附着于输入点之上。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，位置向量场“在向量微积分中起着重要作用，我们稍后会看到。”

1. 本片段未说明其后续具体用途。

位置向量场的定义被前瞻性地关联到它在后续向量微积分主题中的重要性。

1. 公式
   观察依据

   黑板上直接写道：“向量场是一种映射”，并列出了两种主要情形。

2. 声音
   观察依据

   教师用语言定义了该术语。

1. 向量场作为映射的定义

1. 公式
   观察依据

   两条映射线 V：ℝ^2→ℝ^2 和 V：ℝ^3→ℝ^3 是可见的。

2. 声音
   观察依据

   讲师讲解了每种情形下的输入维度与输出维度。

1. 向量场作为映射的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出了公式 $V(x,y) = -y\hat{i} + x\hat{j}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师称其为一种标准类型的向量场。

1. 标准的 2 维向量场示例

1. 声音
   观察依据

   讲师口头解释了如何重新排列 x 和 y 以生成输出。

2. 公式
   观察依据

   所写的公式符合该规则。

1. 标准的 2 维向量场示例
2. 推导向量场 $V(x,y)=-y\hat{i}+x\hat{j}$ 的分量规则。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $V(x,y) = (x^2 - y^2)\hat{i} + 2$xy\hat{j}。

2. 声音
   观察依据

   讲师将其作为另一个向量场示例引入。

1. 第二个2D向量场例子

1. 声音
   观察依据

   讲师提到了一些推广情形，其中2维输入可产生3维输出。

1. 混合维度推广的存在性

1. 声音
   观察依据

   我们的绘图约定是：当我输入一个点时……

1. 向量场的绘图约定

1. 公式
   观察依据

   画面上写着：$\vec{v}(x,y,z) = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$

1. 向量场的定义

1. 声音
   观察依据

   讲师明确命名并定义了位置向量场。

2. 公式
   观察依据

   公式$\vec r = \vec r(x,y,z) = x\hat i + y\hat j + z\hat k$被写出。

1. 位置向量场
2. 位置向量场示例

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示$\vec v(x,y,z) = (y+z)\hat i + (x+z)\hat j + (x+y)\hat k$。

1. 三维向量场的一个例子
2. 构造另一个3D向量场

1. 声音
   观察依据

   讲师指出输入是三维的$x,y,z$，输出是所示的向量。

1. 3D 向量场的输入-输出结构

1. 声音
   观察依据

   讲师解释说，绘制3D向量场更为复杂，因为必须从初始点开始。

1. 绘制3D向量场更加复杂。
2. 在3D绘图中忽略初始点