轻松代数2 - 2.6 函数图像变换

1. 公式
   观察依据

   手写记号在母函数示例开头使用 $y=$，并在已解出的变换方程中再次出现。

2. 声音
   观察依据

   说话者说“无论它写作 y 等于还是 f 关于 x”，将$y$与因变量记号联系起来。

y

函数的因变量或输出值。

由作图语境可推出输出为实数值；未明确说明定义域。

1. 公式
   观察依据

   黑板上在母函数示例旁标出$f(x)$，并将其置于变换后的方程$y=f(x+4)-3$内部。

2. 声音
   观察依据

   说话者将“f 关于 x”称为书写该函数的另一种方式。

$f(x)$

函数记号，表示函数$f$在输入$x$处的取值；此处先用作母函数，再用作被变换的基础表达式。

1. 公式
   观察依据

   母函数示例写作$x^2$，而水平平移则插入到$f(x+4)$中。

2. 声音
   观察依据

   说话者讨论相对于输入位置的左右移动，并将平移量写在含$x$的括号内。

x

函数的自变量或输入值。

1. 公式
   观察依据

   黑板上以$y=f(x)=x^2$作为母函数示例。

2. 声音
   观察依据

   说话者说“我们来设想一个类似 x 的平方的东西”，并称其为最简形式。

$x^2$

以二次函数的母函数规则作为母函数的具体示例。

1. 公式
   观察依据

   讲解左移后，演算所得方程变为$y=f(x+4)-3$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“如果我想让它向左移动，就用加号。”

+4

在函数自变量内部插入水平平移项，表示向左平移4个单位。

1. 公式
   观察依据

   最终框出的方程是$y=f(x+4)-3$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“向下平移三个单位，就是减三。”

-3

在函数外部添加竖直平移项，表示向下平移3个单位。

1. 公式
   观察依据

   黑板反复展示基本关系式 $y = f(x)$。

$y = f(x)$

应用所列变换之前原有的函数关系。

一般函数记号；视频片段中未明确说明定义域。

1. 公式
   观察依据

   变量 x 出现在变换后的表达式中，例如 $f(x+4)$、$f(x-5)$ 和 $f(-x-5)$。

2. 声音
   观察依据

   教师指出水平移动体现在括号内部，并在 x 上加减一个数。

x

函数的输入变量，经水平平移及关于 y 轴的反射后被修改。

函数自变量（即函数参数中的输入变量）。

1. 公式
   观察依据

   所有例题均使用函数名 f。

f

正在被变换的给定函数。

未指明的一般函数。

1. 公式
   观察依据

   第 (A) 小题文字描述为‘向左平移 4 个单位’，而演算出的公式中为 $x+4$。

2. 声音
   观察依据

   教师指出：向左移动时，括号内应使用相反的符号。

4

第(A)部分中的水平平移量。

平移中使用的正数常量。

1. 公式
   观察依据

   第(A)部分的文字包含“向下3”，而推导出的公式以减3结尾。

2. 声音
   观察依据

   讲师将上下调整解释为函数外部的变化。

3

第(A)部分中的垂直平移量。

垂直平移中使用的正数常量。

1. 公式
   观察依据

   第(B)和(C)部分均包含“向右平移5个单位”，且推导出的公式中均含有 x 减5。

2. 声音
   观察依据

   讲师先说“向右五个单位”，随后在括号内使用了相反的符号。

5

第(B)和(C)部分中的水平平移量。

平移中使用的正数常量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“大多数函数都有所谓母函数”，并将其定义为“函数的最简形式”。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出$y=f(x)=x^2$作为示例。

3. 图示
   观察依据

   公式旁画出一个开口向上的简单抛物线。

母函数是一类函数中最简的代表形式。本片段中，二次母函数由$y=f(x)=x^2$体现，其基本图像为抛物线。

1. 用作应用变换前的起始函数。

2. 所展示的例子是二次函数，但口述的定义具有一般性。

1. 声音
   观察依据

   说话者列举了可能的变换方式：左右平移、上下平移、关于x轴或y轴的反射、垂直方向的拉伸或压缩。

2. 公式
   观察依据

   黑板上的文字为：“变换 = 左、右、上、下平移 / 反射 / 垂直拉伸与压缩。”

该片段将变换定义为施加于母函数图像上的运算。所命名的类别包括平移（左、右、上、下）、反射以及垂直方向的拉伸或压缩。

1. 这些被呈现为修改母函数图像的一般方法。

2. 本片段中实际求解的仅有水平与垂直方向的平移。

1. 母函数

1. 声音
   观察依据

   说话者明确提醒：向左移动并不由函数外部的负号表示；相反，“若我想让它向左移动，就使用加号。”

2. 公式
   观察依据

   所演示的方程将平移量以$f(x+4)$的形式插入自变量内部。

对于水平平移，平移量以$x$的形式置于函数自变量内部。在本片段中，向左平移4个单位被编码为$x+4$，因此变换后的表达式以$f(x+4)$开头。

1. 适用于函数$y=f(x)$图像的水平平移。

2. 该片段明确演示了向左平移的情形。

1. 母函数
2. 所介绍的函数变换类型

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“向下平移三个单位，就是减三。”

2. 公式
   观察依据

   最终的方程在函数外部添加了$-3$：$y=f(x+4)-3$。

对于垂直平移，平移量需在函数外部相加或相减。在本片段中，向下平移3个单位通过添加$-3$来表示，得到$f(x+4)-3$。

1. 适用于函数$y=f(x)$图像的垂直平移。

2. 该片段明确演示了向下平移的情形。

1. 母函数
2. 所介绍的函数变换类型

1. 声音
   观察依据

   讲师解释道：当左右平移时，变化量需写入括号内，且括号内的加减号与直观预期的方向相反。

2. 公式
   观察依据

   向左平移4个单位写作$f(x+4)$；向右平移5个单位写作$f(x-5)$。

对于水平平移，需修改函数自变量内部的输入变量x：向左平移h个单位对应将x替换为$x+h$，向右平移h个单位对应将x替换为x-h。讲师强调，括号内的符号与直观的方向词相反。

1. 该变换作用于输入变量x。

2. 平移量是一个正的常数h。

1. $y = f(x)$
2. x

1. 声音
   观察依据

   教师将水平方向的变化与上下方向的变化进行对比，并将垂直方向的平移视为在函数外部进行的更简单的调整。

2. 公式
   观察依据

   第（A）部分显示3向下平移，表现为在函数外部附加 -3：$f(x+4)-3$。

对于垂直平移，在函数外部加或减一个常数。向下平移 k 个单位，需从整个函数值中减去 k；向上平移 k 个单位，则加上 k。在本例中，3 向下平移用在 f($x+3$ 后添加 -4 表示。

1. 该变换是在函数求值之后应用的。

2. 平移量是一个正的常数 k。

1. $y = f(x)$

1. 声音
   观察依据

   教师指出，若要关于 x 轴作反射，则原本在上方的部分会翻转到下方，因此需在整个函数前添加一个负号。

2. 公式
   观察依据

   第（B）部分由 $f(x-5)$ 变为 -f(x-5)。

3. 图示
   观察依据

   一幅橙色草图显示一条位于水平线之上的曲线翻转至该水平线之下。

将图像关于 x 轴反射，会使每个输出值的符号发生改变。代数上，这通过在整个函数前添加负号实现，而非在自变量内部添加。教师形象地描述这一过程为图像的顶部翻转到底部。

1. 该反射是关于 x 轴的。

2. 负号作用于整个函数值。

1. $y = f(x)$
2. -f($\cdots$)

1. 声音
   观察依据

   教师指出，关于 y 轴作反射时，只需将 x 变为负数。

2. 公式
   观察依据

   第（C）部分由 $f(x-5)$ 变为 $f(-x-5)$。

图像关于 y 轴反射仅改变输入变量的符号。代数上，这意味着在函数自变量中将 x 替换为 -x，而函数外部保持不变。在例题中，平移后的表达式 $f(x-5)$ 变为 $f(-x-5)$。

1. 该反射是关于 y 轴的。

2. 负号仅作用于输入变量 x。

1. $y = f(x)$
2. x
3. -x

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，向左平移时应使用加号而非减号，并称这是容易出错的关键点。

2. 公式
   观察依据

   已演算的解法用$f(x+4)$表示向左平移4个单位。

要将函数$y=f(x)$的图像向左平移四个单位，需将$x$替换为$x+4$，从而得到$y=f(x+4)$。

1. 起始图像的方程为$y=f(x)$。

2. 目标变换是向左平移4个单位的水平平移。

针对视频片段中展示的具体例子。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“向下移动三个单位就相当于减三。”

2. 公式
   观察依据

   最终框出的方程为$y=f(x+4)-3$。

要将$y=f(x)$的图像向下平移三个单位，需在函数后添加$-3$，得到$y=f(x)-3$；再结合向左平移，结果为$y=f(x+4)-3$。

1. 起始图像的方程为$y=f(x)$。

2. 目标变换包含向下平移3个单位的垂直平移。

针对视频片段中展示的具体例子。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，对于左右平移，括号内的加号或减号与直观预期的方向相反。

2. 公式
   观察依据

   向左平移 4 在例题中变为 $x+4$，向右平移 5 在例题中变为 x-5。

对函数进行水平平移时，括号内与 x 一同写出的符号与文字描述的方向相反：向左用 +，向右用 -。

1. 该变换是 $f(x)$ 的水平平移。

2. 平移量为正数。

本片段演示的是水平方向的平移。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，关于x轴的反射意味着在整个函数前添加一个负号。

2. 公式
   观察依据

   第（B）问的演算结果为 -f(x-5)。

要对图像进行关于x轴的反射，需将整个函数乘以 -1。

1. 该反射是关于x轴的。

本片段展示的是函数变换的情境。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，关于y轴的反射只需将x变为负数。

2. 公式
   观察依据

   第（C）问的演算结果为 $f(-x-5)$。

要对图像进行关于y轴的反射，需在函数的自变量中将x替换为 -x。

1. 反射关于 y 轴进行。

针对视频片段中展示的函数变换情境。

1. 声音
   观察依据

   说话者从基础表达式$y=f(x)$出发，逐步构建答案，先处理向左平移，再处理向下平移。

2. 公式
   观察依据

   黑板上展示了从$y=f(x)$到$y=f(x+4)-3$的推导过程。

1. 公式

   $$y=f(x)$$
   解释

   从给定的未变换图像的母函数方程出发。

   步骤依据

   这是黑板上题目说明中指定的基本函数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y=f(x+4)$$
   解释

   通过在函数自变量内插入 4，实现向左平移 $+4$ 个单位的水平平移。

   步骤依据

   主讲人明确指出：向左平移时，括号内使用加号。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y=f(x+4)-3$$
   解释

   通过在函数外部减去 3，实现向下平移 3 个单位的竖直平移。

   步骤依据

   主讲人说：“向下三个单位就是减三。”

   视频直接表达

将图像向左平移$y=f(x)$个单位、向下平移三个单位后所得的变换方程为$y=f(x+4)-3$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示提示：向右平移5个单位，再关于 x 轴反射；推导出的解答结果为 -f(x-5)。

2. 声音
   观察依据

   教师先口述向右平移，再口述关于 x 轴的反射。

1. 公式

   $$y=f(x)$$
   解释

   从黑板上所示的原始函数关系出发。

   步骤依据

   题目设定中给出的基函数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(x-5)$$
   解释

   将图像向右平移 5 个单位，需在自变量内部对 x 减去 5。

   步骤依据

   水平平移规则：向右平移 h 个单位对应 x-h。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-f(x-5)$$
   解释

   通过在整个函数前添加负号，实现关于 x 轴的反射。

   步骤依据

   关于 x 轴的反射会改变输出值的符号。

   视频直接表达

第（B）问的变换后方程为 $y=-f(x-5)$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示提示：向右平移5个单位，再关于y轴作反射，推导出的结果函数为$f(-x-5)$。

2. 声音
   观察依据

   教师重复了向右平移的步骤，然后指出：关于y轴反射时，只需将x变为负号。

1. 公式

   $$y=f(x)$$
   解释

   从原函数关系式重新开始。

   步骤依据

   题目设定中给出的基函数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(x-5)$$
   解释

   对函数进行水平平移：向右平移5个单位。

   步骤依据

   水平平移规则：向右平移h个单位，对应将x替换为x-h。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f(-x-5)$$
   解释

   通过仅将自变量中的x项改为-x，实现关于y轴的反射。

   步骤依据

   关于y轴的反射，是将x替换为-x。

   视频直接表达

第(C)小题的变换后函数表达式为$y=f(-x-5)$。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑板上的文字为：“（例）写出图像$y=f(x)$的变换方程”以及“（A）向左平移4个单位，向下平移3个单位。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人朗读题目要求，并解答第A小题。

3. 公式
   观察依据

   最终手写的答案被框出，为$y=f(x+4)-3$。

写出图像$y=f(x)$经过向左平移4个单位、向下平移3个单位后的变换方程。

1. 原图像：$y=f(x)$。

2. 变换：向左平移4个单位。

3. 变换：向下平移3个单位。

求变换后图像的方程。

1. 公式

   $$y=f(x)$$
   解释

   从题目中给出的原始函数记号开始。

   步骤依据

   这是黑板上所写的起始方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y=f(x+4)$$
   解释

   通过在函数自变量内部加上4来表示向左的水平平移。

   步骤依据

   主讲人指出这是关键规则：向左意味着在$f(\cdot)$内部加。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y=f(x+4)-3$$
   解释

   通过在函数外部减去3来表示向下的竖直平移。

   步骤依据

   主讲人直接指出向下3对应于$-3$。

   视频直接表达

对应的式子为：$y=f(x+4)-3$

最终方程与黑板上手写并加框的结果一致。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑板上显示：“（B）向右平移5个单位，再关于x轴作反射。”

2. 声音
   观察依据

   说话人说：‘我们来试第二个，选项B，平移……’，但视频片段在此处结束，未完成解答。

1. 所提供的视频片段中，未出现B部分的任何演算步骤或最终方程。

2. 本片段中未展示确切的预期答案。

写出图像$y=f(x)$经过向右平移5个单位、再关于x轴作反射后的变换方程。

1. 原图像：$y=f(x)$。

2. 变换：向右平移5个单位。

3. 变换：关于x轴作反射。

求变换后图像的方程。

1. 公式

   $$\text{(prompt shown only)}$$
   解释

   题目陈述可见于黑板，但本片段中未完成任何解题步骤。

   步骤依据

   视频在介绍B部分时到达本片段结尾。

   视频直接表达

本片段内未完成。

仅出现题目提示，片段结束前未显示最终答案。

1. 字幕依据
   观察依据

   黑板上显示：“（C）向右平移5个单位，再关于y轴作反射。”

2. 声音
   观察依据

   讲话者在本片段中未解答C部分。

1. 所提供的片段中未出现C部分的演算步骤或最终方程。

2. 本片段中未展示确切的预期答案。

写出函数图像$y=f(x)$在向右平移5个单位且关于y轴作反射后的方程。

1. 原函数图像：$y=f(x)$。

2. 变换：向右平移5个单位。

3. 变换：关于y轴作反射。

求变换后图像的方程。

1. 公式

   $$\text{(prompt shown only)}$$
   解释

   题目陈述显示在黑板上，但本片段中未完成任何解题步骤。

   步骤依据

   该片段在处理第 C 部分之前即结束。

   视频直接表达

本片段内未完成。

仅出现题目提示；片段结束前未显示最终答案。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：(A) 向左平移4个单位，向下平移3个单位；最终答案为$y=f(x+4)-3$。

2. 声音
   观察依据

   教师讲解：左右移动作用于括号内（即自变量内部），而上下移动则是对外部函数值的整体调整。

已知 $y = f(x)$，写出向左平移4个单位、向下平移3个单位后的变换方程。

1. 原函数：$y = f(x)$

2. 水平平移：向左平移4个单位

3. 竖直平移：向下平移3个单位

写出变换后的表达式。

1. 公式

   $$f(x+4)$$
   解释

   将图像向左平移 4 个单位，需在函数自变量内部加上 4。

   步骤依据

   水平平移规则：向左平移 h 个单位，对应将 x 替换为 $x + h$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(x+4)-3$$
   解释

   将图像向下平移 3 个单位，需在函数外部减去 3。

   步骤依据

   竖直平移规则：向下平移 k 个单位，对应在函数外减去 k。

   视频直接表达

y 等于 f 作用于 x 加4后的结果，再减去3

黑板上最终框出的表达式与所描述的变换完全一致。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：(B) 向右平移5个单位，再关于x轴作反射，最终结果为 $y = -f(x - 5)$。

2. 声音
   观察依据

   教师明确指出：对于向右平移，需取相反方向；而对于关于x轴的反射，则需在整个函数前添加负号。

已知 $y = f(x)$，写出向右平移5个单位并关于x轴作反射后的变换方程。

1. 原函数：$y = f(x)$

2. 水平平移：向右平移5个单位

3. 反射：关于x轴

写出变换后的表达式。

1. 公式

   $$f(x-5)$$
   解释

   将图像向右平移 5 个单位，需在自变量内部对 x 减去 5。

   步骤依据

   水平平移规则：向右平移h个单位，对应 x - h。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-f(x-5)$$
   解释

   通过将整个函数乘以 -1，实现关于x轴的反射。

   步骤依据

   关于x轴的反射会改变所有输出值的符号。

   视频直接表达

$y=-f(x-5)$

黑板上最终框出的表达式是 -f(x - 5)。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：(C) 向右平移 5 个单位，再关于 y 轴对称，得到的最终答案为 $y = f(-x - 5)$。

2. 声音
   观察依据

   教师指出，关于 y 轴的对称变换中，只有 x 变为相反数。

已知 $y = f(x)$，在向右平移 5 个单位且关于 y 轴对称后，写出变换后的方程。

1. 原函数：$y = f(x)$

2. 水平平移：向右 5 个单位

3. 对称变换：关于 y 轴对称

写出变换后的公式。

1. 公式

   $$f(x-5)$$
   解释

   将图像向右平移 5 个单位，需在自变量内部对 x 减去 5。

   步骤依据

   水平平移规则：向右平移 h 个单位，对应将 x 替换为 x - h。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(-x-5)$$
   解释

   通过将自变量中的 x 替换为 -x，实现关于 y 轴的反射。

   步骤依据

   关于 y 轴的反射仅改变输入变量的符号。

   视频直接表达

$y=f(-x-5)$

黑板上最终框出的表达式是 $f(-x-5)$。

1. 图示
   观察依据

   页面页眉写有“2-6 函数、方程与图像”及“函数族。”其下方为手写笔记：“基本函数”和“变换 = 左移、右移、上移、下移／反射／纵向拉伸与压缩。”

2. 动画
   观察依据

   说话人将$y=f(x)=x^2$写在“基本函数”旁。

1. 标题文字

2. 手写章节标题

3. 基本函数说明

4. 变换列表

1. 基础函数示例$y=f(x)=x^2$在开场讲解中被引入。

1. 整节课的主题始终围绕函数族及其图像变换。

视觉结构表明：本课将先定义基础函数，再对其图像的常见变换进行分类。

1. 图示
   观察依据

   在$y=f(x)=x^2$旁绘制了一个开口向上的小型抛物线。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称该示例“是一条抛物线，简洁明了。”

1. 抛物线草图

2. 公式$y=f(x)=x^2$

1. 添加一条简单的U形曲线，用以直观呈现基础函数。

1. 该草图仅代表未经任何变换的基础函数图像。

该绘图将代数表达式$x^2$与其标准图形形状——抛物线——联系起来。

1. 动画
   观察依据

   在(A)部分下，方程逐步构建，直至最终框出的形式$y=f(x+4)-3$出现。

2. 图示
   观察依据

   最终答案用粉色方框标出。

1. 问题（A）的文字描述

2. 手写方程

3. 最终答案外加粉色方框

1. 该方程从基础形式逐步推导至完全变换后的形式$y=f(x+4)-3$。

1. 原始提示语仍为“向左平移4个单位，向下平移3个单位。”

视觉书写顺序展示了每条语言描述的变换规则如何在最终方程中以符号形式编码体现。

1. 图示
   观察依据

   先画一条橙色水平线，再在其上方画一条曲线，接着在其下方画一条与之对称的镜像曲线。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出：若某物位于上方，则会翻转并最终落在下方，因为这是 x 轴。

1. 代表 x 轴的橙色水平线

2. 上方的橙色曲线

3. 下方的橙色曲线

1. 首先画出位于该直线之上的曲线。

2. 再添加一条与之对应的、位于该直线之下的曲线，以显示翻转后的位置。

1. 水平线保持固定，作为镜像对称轴。

2. 草图用于表示输出值的符号变化。

该图示直观地支持如下规则：关于x轴的反射将图像中正高度的部分映射为负高度的部分，这对应于将整个函数乘以-1。

1. 图示
   观察依据

   黑板不同区域分别使用蓝色、粉红色/洋红色、橙色和绿色墨水来标注提示、中间步骤和最终框出的答案。

2. 声音
   观察依据

   教师在讲解不同变换部分时提到会切换颜色。

1. 具体颜色分配随时间而变化，且屏幕上并未完全标注。

1. 蓝色手写公式

2. 粉红色/洋红色强调关于纵向平移的讨论

3. 橙色强调关于x轴反射的演算

4. 绿色强调关于y轴反射的演算

1. 黑板自上而下逐步累积了三个已演示的例子。

2. 最终答案用彩色边框标出。

1. 原始题目始终保持可见，解题过程在其下方逐步展开。

颜色编码有助于区分水平平移、垂直平移以及两种不同的反射规则。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当想到从原点向左移动时，人们自然会联想到负的4，“但这并非此处所指”，随后强调：向左平移应在函数内部使用加号。

由于在数轴上向左移动对应负数值，学生可能误以为向左平移应写作减号。

对于水平方向平移$y=f(x)$，向左平移通过在自变量内部相加来表示，如$f(x+4)$，而非在其中相减。

1. 声音
   观察依据

   教师明确提醒：思考‘向右’时，人们容易联想到‘加号’，但实际所需符号与直觉方向相反。

学习者可能预期向右的水平平移会写作 +x。

视频指出：水平移动发生在括号内部，且符号与直观方向相反——向右用 x-h，向左用 $x+h$。

1. 声音
   观察依据

   教师通过负号的位置来区分关于 x 轴的反射与关于 y 轴的反射。

2. 公式
   观察依据

   第（B）部分使用 −$f(x-5)$，而第（C）部分使用 $f(-x-5)$。

学习者可能混淆：哪种反射需将负号置于函数整体之前，哪种反射需将负号仅置于自变量 x 的内部。

关于 x 轴的反射将负号置于整个函数之前，而关于 y 轴的反射仅将负号置于自变量内部的 x 上。

1. 声音
   观察依据

   主讲人首先定义了母函数，然后立即列出了可应用于该函数的各类变换。

2. 图示
   观察依据

   黑板上将“母函数”一词写在各类变换类型的列表上方。

在讨论变换之前，必须先明确母函数的概念，因为变换正是针对这一最基础、最简化的函数图像所作的改变。

1. 声音
   观察依据

   在总体列出各类变换之后，主讲人在例题A中聚焦于水平平移的具体规则。

2. 公式
   观察依据

   “向左、向右平移”这一通用类别，在例题中具体化为表达式$f(x+4)$。

变换这一宽泛范畴包含水平平移，而本片段进一步明确了如何在函数自变量内部编码向左平移的规则。

1. 声音
   观察依据

   通用列表中包含了向上、向下平移，而例题则明确应用了向下平移的规则。

2. 公式
   观察依据

   通用类别在例题中具体化为附加项$-3$，并出现在$f(x+4)-3$之中。

竖直平移是此前引入的变换家族中的一种，本片段通过在函数外部附加$-3$来演示向下平移的情形。

1. 公式
   观察依据

   例题A直接运用该规则，通过写出$f(x+4)$来表示向左平移。

例题A应用水平平移规则，将文字指令“向左4个单位”转化为函数内部的符号项$x+4$。

1. 公式
   观察依据

   例题A直接运用该规则，通过附加$-3$来表示向下平移。

示例A应用了垂直平移规则，将口头指令“3向下”转化为函数外部的符号项$-3$。

1. 声音
   观察依据

   教师对比了括号内对左右平移的改变与括号外对上下平移的改变。

2. 公式
   观察依据

   第（A）部分将 $f(x+4)$ 与括号外的 -3 相结合。

水平平移修改函数 f( ) 内部的输入，而竖直平移修改函数 f( ) 外部的输出。

1. 公式
   观察依据

   所展示的例题比较了 -f(x-5) 和 $f(-x-5)$。

2. 声音
   观察依据

   教师明确指出，这两者几乎完全相同，区别仅在于负号的位置。

两者均为反射变换，但关于 x 轴的反射使整个函数值取相反数，而关于 y 轴的反射仅使输入变量取相反数。

1. 公式
   观察依据

   第（B）部分由一次向右平移后接一次关于 x 轴的反射构成。

例题（B）应用水平平移规则得到 $f(x-5)$。

1. 公式
   观察依据

   第（B）部分最终表示为 -f(x-5)。

例题（B）通过在整个函数前添加负号，应用关于 x 轴的反射规则。

1. 公式
   观察依据

   第（C）部分由一次向右平移后接一次关于 y 轴的反射构成。

例题（C）应用水平平移规则得到 $f(x-5)$。

1. 公式
   观察依据

   第（C）部分结束于 $f(-x-5)$。

例题（C）通过将自变量中的 x 替换为 -x，应用了关于 y 轴对称的规则。

1. 声音
   观察依据

   主讲人定义了基本函数，并以$x^2$为例。

1. 母函数

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出了平移、反射以及垂直方向的伸缩变换。

1. 所介绍的函数变换类型

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确对比了直观上认为“负4”就表示向左平移的想法，与实际规则——即在函数自变量内使用加号表示向左平移——之间的差异。

1. 自变量内部的水平平移规则
2. 将向左平移与减号混淆

1. 公式
   观察依据

   第A小题的演算结果展示为$y=f(x+4)-3$。

1. 例A：向左平移4个单位，向下平移3个单位
2. 自变量内部的水平平移规则
3. 函数外部的垂直平移规则

1. 字幕依据
   观察依据

   第B、C小题作为提示可见于画面，但视频在此处结束，尚未写出它们的解答。

1. 示例B题干：向右平移5个单位，再关于x轴作反射。
2. C部分题目示例：向右平移5个单位，再关于y轴作反射。

1. 声音
   观察依据

   教师反复强调：括号内符号与方向词所指的方向相反。

1. $f(x)$的水平平移规则。
2. 水平平移在自变量内部使用相反的符号
3. 例(B)：向右平移5个单位，再关于x轴作反射。
4. 例题 (C)：向右平移 5 个单位，再关于 y 轴对称

1. 声音
   观察依据

   教师解释了上下翻转，并将负号放在整个函数前面。

1. 关于 x 轴的反射
2. 关于x轴的反射将负号置于函数外部。
3. 例(B)：向右平移5个单位，再关于x轴作反射。

1. 声音
   观察依据

   教师指出：关于 y 轴对称时，只有 x 变为负数。

1. 关于 y 轴的反射
2. 关于y轴的反射将负号加在x上。
3. 例题 (C)：向右平移 5 个单位，再关于 y 轴对称

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了复合变换，例如 $f(x+4)-3$、-f(x-5) 和 $f(-x-5)$。

1. 示例（A）：向左平移4个单位，向下平移3个单位
2. 例(B)：向右平移5个单位，再关于x轴作反射。
3. 例题 (C)：向右平移 5 个单位，再关于 y 轴对称
4. $f(x)$的水平平移规则。
5. $f(x)$ 的垂直平移规则

1. 声音
   观察依据

   教师指出，最后两道题几乎完全相同，仅对称类型不同。

2. 公式
   观察依据

   最终答案分别为 -f(x-5) 和 $f(-x-5)$。

1. 关于 x 轴的反射
2. 关于 y 轴的反射
3. 例(B)：向右平移5个单位，再关于x轴作反射。
4. 例题 (C)：向右平移 5 个单位，再关于 y 轴对称