高斯消元与行阶梯形

1. 公式
   观察依据

   变量 x 写在第一个方程中，并作为增广矩阵的第一列出现。

x

三元线性方程组中的第一个未知变量。

实值未知数；视频中未明确说明定义域。

1. 公式
   观察依据

   变量 y 写在方程中，对应增广矩阵的第二列。

y

三元线性方程组中的第二个未知变量。

实值未知数；视频中未明确说明定义域。

1. 公式
   观察依据

   变量 z 写在方程中，对应增广矩阵的第三列。

z

三元线性方程组中的第三个未知变量。

实值未知数；视频中未明确说明定义域。

1. 公式
   观察依据

   在方程组右侧画出了一个带竖线的方括号数组。

2. 声音
   观察依据

   旁白说要将方程组转换为增广矩阵，并使用竖线将左侧与右侧分开。

[A | b]

由 x, y, z 的系数放在竖线左侧，常数项放在右侧形成的增广矩阵。

线性方程组的矩阵表示。

1. 公式
   观察依据

   在指向下一个矩阵的箭头上方写有记号 $R_1 + R_3$。

2. 声音
   观察依据

   旁白说他将把第一行和第三行相加，并将该变化应用到第三行。

$R_1 + R_3 \to R_3$

Elementary row operation replacing row 3 by the sum of row 1 且 row 3.

增广矩阵上的行变换。

1. 公式
   观察依据

   开始时显示的增广矩阵是 [[1,1,-1|-2],[2,-1,1|5],[0,3,1|-1]]。

[[1,1,-1|-2],[2,-1,1|5],[0,3,1|-1]]

三变量线性方程组在下一步行变换前的增广系数矩阵。

元素为实数；行对应方程，列对应变量及常数项。

1. 公式
   观察依据

   第一个变换上方的箭头标签是 -2R_1 + $R_2$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者说：“这叫做矩阵行运算。”

-2R_1+$R_2$

Replace row 2 by the sum of -2 times row 1 且 row 2.

Applies to the current augmented matrix; only row 2 changes.

1. 公式
   观察依据

   第二个箭头标签是 $R_2+R_3$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者说：“所以将是第二行加第三行。”

$R_2+R_3$

Replace row 3 by the sum of row 2 且 row 3.

Applies to the intermediate matrix after the first row operation; only row 3 changes.

1. 公式
   观察依据

   $R_1$ 出现在行运算标签中，也出现在对元素的口头解释中。

$R_1$

当前增广矩阵的第一行。

作为初等行运算中的源行使用。

1. 公式
   观察依据

   $R_2$ 出现在两个行运算标签中，也出现在逐元素的口头计算中。

$R_2$

当前增广矩阵的第二行。

首先作为 -2R_1+$R_2$ 的目标行，然后作为 $R_2+R_3$ 的源行。

1. 公式
   观察依据

   $R_3$ 出现在第二个行运算标签中，也出现在对新第三行的口头计算中。

$R_3$

当前增广矩阵的第三行。

第二次初等行运算中的目标行。

1. 图示
   观察依据

   左侧起始处写有一个 $3\times 4$ 增广矩阵，随后在右侧变换为一个 $3\times 4$ 上三角增广矩阵。

[ [1, 1, -1 | -2], [0, -3, 3 | 9], [0, 0, 4 | 8] ]

三元线性方程组在化为行阶梯形之前的增广系数矩阵。

元素为实数；竖线将系数列与常数项列分开。

1. 声音
   观察依据

   旁白介绍了一个包含三个变量的方程组。

2. 公式
   观察依据

   写出了三个方程：$x + y - z = -2$, $2x - y + z = 5$, 以及 -x + $2y + 2z = 1$。

视频以一个包含三个未知数 x, y, z 的具体线性方程组开始。每个方程都是线性的，变量前有系数，右侧为常数。

1. 方程组有三个方程和三个变量。

2. 视频未声明变量的定义域。

1. 声音
   观察依据

   旁白说首先要做的是将方程组转换为增广矩阵。

2. 公式
   观察依据

   矩阵元素根据三个方程的系数和常数逐行填入。

增广矩阵的每一行对应一个方程。竖线前的元素是按顺序排列的 x, y, z 的系数；竖线后的元素是该方程右侧的常数项。

1. 变量在所有方程中必须以一致的顺序排列。

2. 缺失的变量需要零系数，但本例中每个方程都包含所有三个变量。

1. 三元线性方程组

1. 声音
   观察依据

   旁白说他想将矩阵转换为行阶梯形。

2. 图示
   观察依据

   红色圆圈标记了旨在变为 1 的对角线位置，蓝色圆圈标记了旨在变为 0 的第一个主元下方的位置。

1. 视频直观地显示了目标模式，但没有给出行阶梯形的完整正式定义。

在演示的设置中，目标是使主对角线元素等于 1，并使第一个主元下方的元素等于 0。视觉标记在执行行变换之前识别出哪些位置是目标。

1. 这是当前 3x3 增广矩阵显示的具体目标。

2. 视频未明确陈述行阶梯形的所有通用条件。

1. 从线性方程组构造增广矩阵

1. 声音
   观察依据

   旁白说他将把第一行和第三行相加，并将该变化应用到第三行。

2. 公式
   观察依据

   该操作在变换箭头上方写为 $R_1 + R_3$。

The operation replaces row 3 with the entrywise sum of row 1 且 row 3. Rows 1 且 2 are copied unchanged, while each entry in row 3 is computed by adding the corresponding entries from rows 1 且 3.

1. 该操作应用于增广矩阵。

2. 竖线被保留，因此常数列与系数列一起进行变换。

1. 从线性方程组构造增广矩阵
2. 本例中行阶梯形的目标模式

1. 声音
   观察依据

   演讲者将该过程称为矩阵行运算，并解释将某一行乘以 -2 后加到另一行上。

2. 公式
   观察依据

   书写的运算是 -2R_1+$R_2$。

The video demonstrates replacing row 2 with -2 times row 1 plus row 2 so that the first-column entry in row 2 becomes 0. The method is applied column by column while rows 1 且 3 remain unchanged.

1. 应用于增广矩阵。

2. 仅目标行发生变化。

3. 选择乘数以抵消目标行中主元列的元素。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说：“现在，我们需要这个数字变成零”，指的是 (3,2) 位置的元素，然后应用 $R_2+R_3$。

2. 公式
   观察依据

   第二个运算写为 $R_2+R_3$，产生第三行 [0,0,4|8]。

After the first elimination, the matrix has a nonzero entry 3 below the second pivot position. The video adds row 2 to row 3 to make the (3,2) entry zero, advancing the matrix toward upper-triangular form.

1. 应用于第一次行变换后的中间矩阵。

2. Only row 3 changes.

3. 目标是使第二个主元位置下方的元素为零。

1. 用于消除首项的初等行运算

1. 声音
   观察依据

   The speaker says he wants to convert the matrix to row echelon form 且 turn the leading diagonal entries into ones.

2. 图示
   观察依据

   起始矩阵中的对角线元素 1, -3, 4 被圈出。

视频将行阶梯形视为通过使每个主元行的首个非零元素等于 1 而得到的目标形状。第一个主元已经是 1，因此只需要对第 2 行和第 3 行进行缩放。

1. 矩阵已经处于上三角形状，主对角线下方为零。

2. 预期的下一步是将主元归一化为 1。

1. 公式
   观察依据

   箭头标签显示 -1/3 $R_2$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者解释将第二行乘以负三分之一，相当于除以负三。

3. 图示
   观察依据

   结果第二行写为 0, 1, -1 | -3。

为了归一化第二个主元，将第 2 行的每个元素乘以 -1/3。这将 -3 变为 1，3 变为 -1，9 变为 -3，同时保持前导零不变。

1. 应用于增广矩阵的整个第二行。

2. 在矩阵已经是上三角形之后使用。

1. 转换为行阶梯形的目标

1. 公式
   观察依据

   箭头标签显示 $1/4 R_3$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说第三行乘以四分之一。

3. 图示
   观察依据

   结果第三行写为 0, 0, 1 | 2。

为了归一化第三个主元，将第 3 行的每个元素乘以 $1/4$。这将 4 变为 1，8 变为 2，同时保持前两个位置的零不变。

1. 应用于增广矩阵的整个第三行。

2. 在矩阵已经是上三角形之后使用。

1. 转换为行阶梯形的目标

1. 声音
   观察依据

   讲解者说将 z 代入第二个方程得到 y，然后将 y 和 z 代入第一个方程得到 x。

2. 图示
   观察依据

   方程从下至上依次重写，直到 $x = 1$ 被框出。

一旦增广矩阵转换回方程，最底部的方程直接给出 z。将该值向上代入第二个方程求解 y，然后将 y 和 z 都代入第一个方程求解 x。

1. 系统已简化为具有单位主元的上三角增广矩阵。

2. 变量从左到右读取为 x, y, z。

1. 转换为行阶梯形的目标
2. 矩阵列对应变量

1. 图示
   观察依据

   在行被重写为方程之前，红色的 x, y, z 标签放置在矩阵的前三列上方。

2. 声音
   观察依据

   讲解者通过将最后一行与 z 列匹配，纠正了最初读作 $x = 2$ 的错误，改为 $z = 2$。

每个系数列保持相同的变量身份：第一列是 x，第二列是 y，第三列是 z。将行读取为方程需要这种列到变量的映射。

1. 矩阵列保持 x, y, z 的顺序。

1. 声音
   观察依据

   Speaker says, 'this form is row echelon form where you have a diagonal of ones 且 zeros beneath it.'

2. 图示
   观察依据

   The right-hand matrix shown is [[1,1,-1|-2],[0,1,-1|-3],[0,0,1|2]], with leading 1s on the diagonal 且 zeros below.

In this clip, row echelon form is described as a matrix shape with a diagonal of 1s 且 zeros beneath that diagonal. The speaker also states that the entries above the diagonal do not matter for this description.

1. 适用于所示增广矩阵的系数部分。

2. The video emphasizes leading 1s on the diagonal 且 zeros below them.

1. 声音
   观察依据

   演讲者说：“这叫做矩阵行运算。”

应用于增广矩阵的变换被称为矩阵行运算。

1. 演讲者指的是书写的运算 -2R_1+$R_2$。

除了演示的运算外，没有显式的量词。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说：“现在，我们需要这个数字变成零。所以我们要做的只是将第二行和第三行相加。”

2. 公式
   观察依据

   The circled target entry is the 3 in position (3,2), 且 the next written operation is $R_2+R_3$.

To make the (3,2) entry zero, the video adds row 2 to row 3 且 records the result in row 3.

1. 当前矩阵是 [[1,1,-1|-2],[0,-3,3|9],[0,3,1|-1]]。

对于此阶段显示的矩阵。

1. 声音
   观察依据

   The speaker says he wants to convert these three numbers into a one 且 notes the first is already one.

2. 图示
   观察依据

   对角线元素 1, -3, 4 被圈出。

在示例中，上三角增广矩阵主对角线上的元素通过缩放相应的行变得等于 1。

1. 矩阵已经是上三角形。

2. 每个显示的主元非零。

对于示例中显示的每个主元行。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说第一列是 x 的系数，这是 y 的，这是 z 的。

2. 图示
   观察依据

   红色标签 x, y, z 放置在前三个列上方。

在增广矩阵中，第一、第二和第三系数列分别对应未知数 x, y 和 z。

1. 增广矩阵表示一个三元线性方程组。

2. 列从左到右一致排序。

对于本例中的三个系数列。

1. 声音
   观察依据

   'this form is row echelon form where you have a diagonal of ones 且 zeros beneath it. It really doesn't matter what's here.'

2. 图示
   观察依据

   Blue marks highlight the diagonal 1s 且 the zero region below them in [[1,1,-1|-2],[0,1,-1|-3],[0,0,1|2]].

1. 该陈述是非正式给出的，而不是作为包含所有标准行阶梯形条件的完整正式定义。

For the displayed $3\times 3$ coefficient block, row echelon form is characterized by having a diagonal of 1s 且 zeros beneath that diagonal, while the entries above the diagonal are irrelevant to this description.

1. 矩阵处于显示的上三角模式中，对角线上有首项 1。

针对屏幕上显示的示例矩阵陈述。

1. 公式
   观察依据

   黑板列出 -3(2)+$2(3)=0$, -3(1)+$2(2)=+1$, -3(-1)+$2(1)=5$, 以及 -3(1)+$2(10)=17$。

2. 图示
   观察依据

   右侧的变换后矩阵的第二行为 0, 1, 5, 17。

Applying -3R_1+$2R_2$ to $\left[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&1\\3&2&1&10\\0&2&-3&-5\end{array}\right]$ gives $\left[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&1\\0&1&5&17\\0&2&-3&-5\end{array}\right]$.

1. 起始矩阵是黑板上显示的那个。

2. 该运算仅替换第 2 行。

对于每一列 $j=1$,2,3,4，新的 (2,j) 元素等于 -3 倍的旧 (1,j) 元素加上 2 倍的旧 (2,j) 元素。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说对于第 2 行和第 3 行的第 1 列，它是 0 和 0，所以负 2 乘以 0 加 0 是 0。

2. 图示
   观察依据

   第三个矩阵以第一列 2, 0, 0 开始。

在中间矩阵中，应用 -2R_2+$R_3$ 使第 3 行的第一个元素保持为 0，因为 -2\cdot $0+0=0$。

1. 当前矩阵是第一次行变换后的那个。

2. 该运算针对第 3 行。

Specifically for column 1 of row 3.

1. 声音
   观察依据

   演讲者说：“所以负二加二，这将给我们想要的零。”

2. 公式
   观察依据

   屏幕上写有计算式 -2(1)+$2=0$。

对于显示的矩阵，应用 -2R_2+$R_3$ 使 (3,2) 元素等于 0，因为 -2(1)+$2=0$。

1. 当前 (2,2) 元素是 1。

2. 当前 (3,2) 元素是 2。

3. The operation replaces row 3 by -2 times row 2 plus row 3.

对于本例中显示的具体矩阵。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说：“现在，一旦你有了这三个零，你就可以直接得到所有答案，而不需要把它化为行阶梯形，这就是我们要在这个例子中做的。”

1. 演讲者的措辞将此阶段与进一步化为行阶梯形进行对比；片段并未正式定义行阶梯形。

在获得主元下方的三个零之后，可以通过将三角矩阵转化为方程并使用回代法直接求解系统。

1. 增广矩阵已化为右上三角形式。

2. 系数列对应变量 x, y, z。

对于片段中展示的详细示例。

1. 声音
   观察依据

   旁白大声计算新第三行的每个元素：1 加负 1，1 加 2，负 1 加 2，以及负 2 加 1。

2. 公式
   观察依据

   结果矩阵写出第三行为 0, 3, 1, -1。

1. 公式

   $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right]$$
   解释

   从直接由方程组构建的增广矩阵开始。

   步骤依据

   由给定方程定义增广矩阵。

   视频直接表达
2. 公式

   $$R_3 \leftarrow R_1 + R_3$$
   解释

   Apply the elementary row operation that replaces row 3 by the sum of row 1 且 row 3.

   步骤依据

   旁白所述并写在变换箭头上方。

   视频直接表达
3. 公式

   $$1 + (-1) = 0$$
   解释

   计算新第 3 行的第一个元素。

   步骤依据

   第 1 行和第 3 行第一个元素的逐元素相加。

   视频直接表达
4. 公式

   $$1 + 2 = 3$$
   解释

   计算新第 3 行的第二个元素。

   步骤依据

   第 1 行和第 3 行第二个元素的逐元素相加。

   视频直接表达
5. 公式

   $$-1 + 2 = 1$$
   解释

   计算新第 3 行的第三个元素。

   步骤依据

   第 1 行和第 3 行第三个元素的逐元素相加。

   视频直接表达
6. 公式

   $$-2 + 1 = -1$$
   解释

   计算新第 3 行的增广常数元素。

   步骤依据

   第 1 行和第 3 行右侧元素的逐元素相加。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right]$$
   解释

   写出变换后的增广矩阵，第 1 行和第 2 行保持不变，第 3 行替换为计算出的和。

   步骤依据

   初等行变换的结果。

   视频直接表达

应用 $R_1 + R_3 \to R_3$ 后，增广矩阵变为 $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right]$。

1. 声音
   观察依据

   The speaker computes each entry of the new row 2 aloud, column by column.

2. 公式
   观察依据

   书写的计算包括 -2(1)+$2=0$, -2(1)+(-1)=-3, -2(-1)+$1=3$, 以及 -2(-2)+$5=9$。

1. 公式

   $$R_2 \leftarrow -2R_1+R_2$$
   解释

   The operation replaces row 2 by -2 times row 1 plus row 2.

   步骤依据

   口头陈述并写在屏幕上作为矩阵行运算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-2(1)+2=0$$
   解释

   Column 1 of the new row 2 is computed from row 1 entry 1 且 row 2 entry 2.

   步骤依据

   直接代入书写的运算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-2(1)+(-1)=-3$$
   解释

   Column 2 of the new row 2 is computed from row 1 entry 1 且 row 2 entry -1.

   步骤依据

   直接代入书写的运算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$-2(-1)+1=3$$
   解释

   Column 3 of the new row 2 is computed from row 1 entry -1 且 row 2 entry 1.

   步骤依据

   直接代入书写的运算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$-2(-2)+5=9$$
   解释

   Column 4 of the new row 2 is computed from row 1 entry -2 且 row 2 entry 5.

   步骤依据

   直接代入书写的运算。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\begin{bmatrix}1&1&-1&-2\\0&-3&3&9\\0&3&1&-1\end{bmatrix}$$
   解释

   Rows 1 且 3 stay the same, 且 the newly computed row 2 is inserted.

   步骤依据

   演讲者说其他一切都将相同，并重写其他数字。

   视频直接表达

应用 -2R_1+$R_2$ 将 [[1,1,-1|-2],[2,-1,1|5],[0,3,1|-1]] 变换为 [[1,1,-1|-2],[0,-3,3|9],[0,3,1|-1]]。

1. 声音
   观察依据

   The speaker says, 'So if we add R two plus R three from column one, that's zero plus zero... And for column two, R two plus R three is going to be negative three plus three, which is zero... And then for column three, it's three plus one... And then for the fourth column, nine plus negative one is eight.'

2. 公式
   观察依据

   书写的运算是 $R_2+R_3$，产生的第三行是 [0,0,4|8]。

1. 公式

   $$R_3 \leftarrow R_2+R_3$$
   解释

   The operation replaces row 3 by the sum of row 2 且 row 3.

   步骤依据

   写在箭头上并口头陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$0+0=0$$
   解释

   Column 1 of the new row 3 is obtained by adding the first entries of rows 2 且 3.

   步骤依据

   从中间矩阵直接代入。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-3+3=0$$
   解释

   Column 2 of the new row 3 is obtained by adding the second entries of rows 2 且 3.

   步骤依据

   从中间矩阵直接代入。

   视频直接表达
4. 公式

   $$3+1=4$$
   解释

   Column 3 of the new row 3 is obtained by adding the third entries of rows 2 且 3.

   步骤依据

   从中间矩阵直接代入。

   视频直接表达
5. 公式

   $$9+(-1)=8$$
   解释

   Column 4 of the new row 3 is obtained by adding the constant entries of rows 2 且 3.

   步骤依据

   从中间矩阵直接代入。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\begin{bmatrix}1&1&-1&-2\\0&-3&3&9\\0&0&4&8\end{bmatrix}$$
   解释

   Rows 1 且 2 remain unchanged, 且 the computed row is written as the new row 3.

   步骤依据

   演讲者声明第一行和第二行将保持不变，然后写出最终矩阵。

   视频直接表达

应用 $R_2+R_3$ 将 [[1,1,-1|-2],[0,-3,3|9],[0,3,1|-1]] 变换为 [[1,1,-1|-2],[0,-3,3|9],[0,0,4|8]]。

1. 公式
   观察依据

   两个堆叠的操作标签出现在矩阵之间：-1/3 $R_2$ 和 $1/4 R_3$。

2. 图示
   观察依据

   左侧矩阵是 [1 1 -1 | -2; 0 -3 3 | 9; 0 0 4 | 8]，右侧矩阵变为 [1 1 -1 | 2; 0 1 -1 | -3; 0 0 1 | 2]。

3. 声音
   观察依据

   讲解者口头计算每个缩放的元素。

1. 右侧矩阵的第一行常数最初写为 2，但讲解者后来将其更正为 -2。

1. 公式

   $$\begin{bmatrix}1&1&-1&|&-2\\0&-3&3&|&9\\0&0&4&|&8\end{bmatrix}$$
   解释

   从给定的上三角增广矩阵开始。

   步骤依据

   直接在屏幕上观察到。

   视频直接表达
2. 公式

   $$R_2 \leftarrow -\frac{1}{3}R_2$$
   解释

   将整个第二行乘以 -1/3，使其主元等于 1。

   步骤依据

   由讲解者陈述并写在箭头上方。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix}0&1&-1&|&-3\end{bmatrix}$$
   解释

   第二行变为 0, 1, -1 | -3，因为 -3(-1/3)=1, $3(-1/3)=-1$, 且 $9(-1/3)=-3$。

   步骤依据

   明确口述并显示的算术。

   视频直接表达
4. 公式

   $$R_3 \leftarrow \frac{1}{4}R_3$$
   解释

   将整个第三行乘以 $1/4$，使其主元等于 1。

   步骤依据

   由讲解者陈述并写在箭头下方。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\begin{bmatrix}0&0&1&|&2\end{bmatrix}$$
   解释

   第三行变为 0, 0, 1 | 2，因为 $4(1/4)=1$ 且 $8(1/4)=2$。

   步骤依据

   明确口述并显示的算术。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\begin{bmatrix}1&1&-1&|&-2\\0&1&-1&|&-3\\0&0&1&|&2\end{bmatrix}$$
   解释

   在更正第一行的符号传递后，最终的增广矩阵处于所示的行阶梯形。

   步骤依据

   结合可见的结果与后来口述的更正，即第一行常数应为 -2。

   依据视频推导

原始增广矩阵被转换为适合回代的单位主元上三角增广矩阵。

1. 图示
   观察依据

   写出方程 $x + y - z = -2$, $y - z = -3$, $z = 2$，然后逐步求解。

2. 声音
   观察依据

   讲解者叙述将 z 代入第二个方程，然后将 y 和 z 代入第一个方程。

1. 公式

   $$z = 2$$
   解释

   第三个方程直接给出 z 的值。

   步骤依据

   从阶梯形矩阵的最后一行读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y - z = -3$$
   解释

   在代入前使用第二个方程。

   步骤依据

   从阶梯形矩阵的第二行读取。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y - 2 = -3$$
   解释

   将 $z = 2$ 代入第二个方程。

   步骤依据

   由讲解者明确陈述。

   视频直接表达
4. 公式

   $$y = -1$$
   解释

   两边加 2：-3 + $2 = -1$。

   步骤依据

   显示并口述的代数简化。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x + y - z = -2$$
   解释

   在代入前使用第一个方程。

   步骤依据

   在符号更正后从阶梯形矩阵的第一行读取。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x + (-1) - (2) = -2$$
   解释

   将 $y = -1$ 和 $z = 2$ 代入第一个方程。

   步骤依据

   明确写在屏幕上。

   视频直接表达
7. 公式

   $$x - 3 = -2$$
   解释

   合并常数：-1 - $2 = -3$。

   步骤依据

   口述算术和可见的简化。

   视频直接表达
8. 公式

   $$x = 1$$
   解释

   两边加 3：-2 + $3 = 1$。

   步骤依据

   显示并框出的最终代数步骤。

   视频直接表达

系统的解是 $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$。

1. 公式
   观察依据

   可见方程包括 $y - z = -3$, $z = 2$, 和 $x + (-1) - (2) = -2$。

2. 图示
   观察依据

   彩色框显示 $y = -1$, $z = 2$, $x = 1$, 以及最终三元组 (1,-1,2)。

3. 声音
   观察依据

   “现在我们要得到最终答案……以 x, y, z 的形式，它是 1, 负 1, 逗号 2。”

1. 公式

   $$z = 2$$
   解释

   底部方程直接给出 z。

   步骤依据

   从显示的方程 $z = 2$ 读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y - z = -3$$
   解释

   将 $z = 2$ 代入第二个方程以解出 y。

   步骤依据

   显示的方程 $y - z = -3$ 连同 $z = 2$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y = -1$$
   解释

   求解 $y - 2 = -3$ 得出 $y = -1$。

   步骤依据

   上一步的代数简化。

   依据视频推导
4. 公式

   $$x + y - z = -2$$
   解释

   将 $y = -1$ 和 $z = 2$ 代入第一个方程以解出 x。

   步骤依据

   显示的方程 $x + y - z = -2$ 和之前找到的值。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x + (-1) - (2) = -2$$
   解释

   代入过程在屏幕上明确写出。

   步骤依据

   直接在解题过程中可见。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x = 1$$
   解释

   求解 $x - 3 = -2$ 得出 $x = 1$。

   步骤依据

   板书工作中显示的代数简化。

   依据视频推导
7. 公式

   $$(1, -1, 2)$$
   解释

   有序三元组按 x, y, z 的顺序记录解。

   步骤依据

   说话者以此形式陈述最终答案，且板书显示了加框的值。

   视频直接表达

第一个系统的解为 (x,y,z)=(1,-1,2)。

1. 公式
   观察依据

   初始增广矩阵为 [[2,1,-1|1],[3,2,1|10],[2,-1,2|6]]。

2. 公式
   观察依据

   操作标签 $R_3 - R_1$ 写在箭头旁边。

3. 声音
   观察依据

   说话者计算 $2-2=0$, $1-(-1)=2$, -1-2=-3, 和 $1-6=-5$。

4. 图示
   观察依据

   结果第三行写为 [0, 2, -3 | -5]。

1. 公式

   $$\begin{bmatrix}2&1&-1&|&1\\3&2&1&|&10\\2&-1&2&|&6\end{bmatrix}$$
   解释

   从新系统的增广矩阵开始。

   步骤依据

   矩阵直接从方程写出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$$
   解释

   Replace row 3 by row 3 minus row 1 to eliminate the first entry in row 3.

   步骤依据

   明确的操作标签和口头解释。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2-2=0$$
   解释

   新第 3 行的第一个元素。

   步骤依据

   显示并口述的按列减法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$1-(-1)=2$$
   解释

   新第 3 行的第二个元素。

   步骤依据

   显示并口述的按列减法。

   视频直接表达
5. 公式

   $$-1-2=-3$$
   解释

   新第 3 行的第三个元素。

   步骤依据

   显示并口述的按列减法。

   视频直接表达
6. 公式

   $$1-6=-5$$
   解释

   新第 3 行的增广常数元素。

   步骤依据

   显示并口述的按列减法。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\begin{bmatrix}2&1&-1&|&1\\3&2&1&|&10\\0&2&-3&|&-5\end{bmatrix}$$
   解释

   第 1 行和第 2 行保持不变，而第 3 行变为 [0,2,-3|-5]。

   步骤依据

   说话者说其他一切保持不变，且板书显示了更新后的矩阵。

   视频直接表达