格拉姆—施密特正交化示例 - 线性代数

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字显示“单位向量”及公式 \|$\mathbf{u}$\| = 1。

2. 声音
   观察依据

   讲述者指出，单位向量或法向量在点积意义下的长度为一。

\|$\mathbf{u}$\|

向量 $\mathbf{u}$ 的范数（长度）。

内积空间中的向量；此处以标准点积为例说明。

1. 公式
   观察依据

   步骤幻灯片列出输入序列 $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$, $\mathbf{v}_3$, $\ldots$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者描述从一组基向量出发。

$\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$, $\mathbf{v}_3$, $\ldots$

待变换的基向量序列。

内积空间中的基向量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片定义 $\mathbf{w}_1 = \mathbf{v}_1$，然后给出 $\mathbf{w}_n = \mathbf{v}_n - \sum_{i=1}^{n-1} \operatorname{proj}_{\mathbf{w}_i}(\mathbf{v}_n)$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者指出，后续向量通过减去对前面各向量的正交投影而得到。

$\mathbf{w}_n$

归一化前的中间正交化向量。

由给定基向量递归定义，适用于 $n \ge 1$。

1. 公式
   观察依据

   一般步骤使用 $\operatorname{proj}_{\mathbf{w}_i}(\mathbf{v}_n)$，后续示例展示了 $\mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者将正交投影解释为：一个向量在另一个向量方向上的分量大小。

1. 该片段未显示 $\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}(\mathbf{b})$ 的显式代数公式。

$\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}(\mathbf{b})$

向量 $\mathbf{b}$ 在向量 $\mathbf{a}$ 上的正交投影。

内积空间中的向量；示例基于标准点积。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片给出 $\mathbf{u}_n = \frac{\mathbf{w}_n}{\|\mathbf{w}_n\|}$，并映射 $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$, $\mathbf{v}_3$, $\ldots \rightarrow \mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\ldots$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，最后一步是将所有向量除以其模长，从而归一化。

$\mathbf{u}_n$

对应于 $\mathbf{w}_n$ 的归一化正交单位向量。

在正交化之后定义，前提是 \|$\mathbf{w}_n$\| $\neq 0$。

1. 图示
   观察依据

   开场几何图中用绿色标出的向量，标记为 $v_1$。

2. 公式
   观察依据

   $v_1 = [1, 1, 0]^T$ 作为第一个输入向量出现在例题演算中。

$\mathbf{v}_1$

第一个给定向量；在开场图中也用作投影的参考方向。

ℝ 的 3 次方

1. 图示
   观察依据

   表达式 $\mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)$ 以青色向量形式呈现，且该向量垂直于 $\mathbf{v}_1$。

2. 公式
   观察依据

   $v_2 = [0, 1, -1]^T$ 作为第二个输入向量出现。

$\mathbf{v}_2$

第二个给定向量；在开场图中，它是被投影到 $v_1$ 上的向量。

ℝ 的 3 次方

1. 公式
   观察依据

   $v_3 = [1, 0, -1]^T$ 作为第三个输入向量出现。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，格拉姆-施密特过程将应用于 $\mathbb{R}^3$ 中的三个向量。

$\mathbf{v}_3$

例题中的第三个给定向量。

ℝ 的 3 次方

1. 图示
   观察依据

   片头标题显示“标准正交投影”，青色向量标记为 $v_2$ - proj_{$v_1$}($v_2$)。

2. 公式
   观察依据

   公式中使用 $\operatorname{proj}_{\mathbf{w}_1}(\mathbf{v}_2)$、$\operatorname{proj}_{\mathbf{w}_1}(\mathbf{v}_3)$ 和 $\operatorname{proj}_{\mathbf{w}_2}(\mathbf{v}_3)$。

$\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})$

向量 v 在向量 u 上的正交投影。

由本片段稍后展示的内积公式定义。

1. 公式
   观察依据

   令 $w_1 = v_1 = [1, 1, 0]^T$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员提示：设 $v_1$ 为初始向量，并在最后一步之前均不改动它。

$\mathbf{w}_1$

格拉姆-施密特过程生成的第一个正交向量；此处等于初始向量 $v_1$。

ℝ 的 3 次方

1. 公式
   观察依据

   $w_2 = v_2$ - proj_{$w_1$}($v_2$)，然后 $w_2 = [-1/2, 1/2, -1]^T$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员提示：通过减去 $v_2$ 在 $v_1$ 上的正交投影，来求得第二个向量。

$\mathbf{w}_2$

第二个正交向量，通过对 $v_2$ 去除其沿 $w_1$ 方向的分量而获得。

ℝ 的 3 次方

1. 公式
   观察依据

   $w_3 = v_3$ - proj_{$w_1$}($v_3$) - proj_{$w_2$}($v_3$)，然后 $w_3 = [2/3, -2/3, -2/3]^T$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者指出，对于最后一个向量，我们需要从 $w_1$ 和 $w_2$ 中同时减去两个正交投影。

$\mathbf{w}_3$

第三个正交向量，通过从 $v_3$ 中移除其沿 $w_1$ 和 $w_2$ 方向的分量而得到。

ℝ 的 3 次方

1. 声音
   观察依据

   讲解者将规范正交基定义为彼此正交且均为单位向量的向量组。

2. 图示
   观察依据

   一幅 2D 网格图显示两条互相垂直的箭头，带有直角标记，并标注“正交向量”和“单位向量 \|$\mathbf{u}$\| = 1”。

标准正交基是一组两两正交且每个向量的模长均为1的向量。在视频片段中，正交性通过点积下90度的夹角来示意，而单位化则通过要求向量长度为一来示意。

1. 这些向量属于一个内积空间。

2. 该片段展示的是标准点积的情形。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，格拉姆-施密特过程可将内积空间中任意一组基向量转化为标准正交基。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片将向量 $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$, $\mathbf{v}_3$, $\ldots$ 映射为 $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\ldots$。

格拉姆-施密特过程将给定的一组基转化为标准正交基。该过程首先构造正交的中间向量 $\mathbf{w}_n$，再将其单位化以得到 $\mathbf{u}_n$。

1. 输入是内积空间中的一组基向量。

2. 该片段将此过程呈现为 QR 分解的预备知识。

1. 规范正交基

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上第1步写有“设定初始向量 $\mathbf{w}_1$：”，随后是 $\mathbf{w}_1 = \mathbf{v}_1$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，该过程从设定一个初始向量开始，该向量在单位化之前保持不变。

第一个正交中间向量就取为第一个输入基向量本身。这个首向量无需进行投影减法。

1. 在递归构造的起始阶段应用。

1. 格拉姆-施密特过程的目的

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上的第2步写道：“通过减去正交投影来求下一个向量：”，并显示公式 $\mathbf{w}_n = \mathbf{v}_n - \sum_{i=1}^{n-1} \operatorname{proj}_{\mathbf{w}_i}(\mathbf{v}_n)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，后续向量是通过从当前向量中减去它在所有已加入正交集合的先前向量上的正交投影而得到的。

1. 该片段未明确说明：为使每个 $\mathbf{w}_n$ 都非零，输入向量必须线性无关。

对每个新输入向量 $\mathbf{v}_n$，移除它在所有已构造出的正交向量 $\mathbf{w}_1$, $\ldots$, $\mathbf{w}_{n-1}$ 方向上的分量。余下的向量 $\mathbf{w}_n$ 与这些先前向量正交。

1. 适用于 $n \ge 2$。

2. 该求和遍历所有已构造出的向量 $\mathbf{w}_i$。

1. 格拉姆-施密特第1步：初始向量
2. 正交投影的几何含义

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上的第3步写道：“将所有向量单位化：”，随后给出公式 $\mathbf{u}_n = \frac{\mathbf{w}_n}{\|\mathbf{w}_n\|}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，通过将各向量除以其自身的模长，即可完成单位化。

在构造出正交向量 $\mathbf{w}_n$ 后，将每个向量除以其自身的模长，从而得到单位向量 $\mathbf{u}_n$。这便完成了从基到标准正交基的转换。

1. 要求 \|$\mathbf{w}_n$\| $\neq 0$。

2. 在投影-减法步骤之后应用。

1. 格拉姆-施密特第2步：减去正交投影
2. 规范正交基

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，正交投影可理解为一个向量在另一个向量方向上的‘程度’。

2. 图示
   观察依据

   动画从 $\mathbf{v}_2$ 的终点向过 $\mathbf{v}_1$ 的直线作垂线，并标出直角。

1. 该片段提供几何直观，但未展示投影的坐标计算公式。

一个向量在另一个向量上的正交投影，刻画了前者在后者方向上的分量；几何上，它是从被投影向量的终点向另一向量所张成的直线作垂线所得的垂足与原点构成的向量。

1. 该片段在标准点积下进行演示。

1. 声音
   观察依据

   旁白指出：垂直向量在某种意义上是线性无关的，因为它们彼此不指向对方的方向。

2. 图示
   观察依据

   标题“标准正交投影”；绿色向量 $v_1$ 与青色向量 $v_2$ — proj_{$v_1$}($v_2$) 在直角处相交，该直角用方块符号标记。

片段以投影的直观图示开场：从一个向量中减去它在另一个向量方向上的分量，所得余下部分与该方向垂直。直角标记明确揭示了正交性。

1. 两个向量属于一个内积空间。

2. 该减法操作移除了 $v_2$ 在 $v_1$ 方向上的分量。

1. 声音
   观察依据

   旁白说明：本例将采用标准点积作为内积。

2. 公式
   观察依据

   全部三个输入向量均以 ℝ^3 中的列向量形式呈现。

在计算投影之前，视频首先确定了环境空间与内积：本例在 ℝ^3 中进行，并采用标准点积。

1. 向量位于 ℝ^3 中。

2. 使用标准的欧几里得点积。

1. 公式
   观察依据

   标题‘1. 设定初始向量’及公式‘设 $w_1 = v_1 = [1, 1, 0]^T$’。

2. 声音
   观察依据

   讲解员提示：首先令 $v_1$ 为初始向量，并在整个过程结束前都不要改动它。

该算法首先将第一个输入向量原封不动地取作第一个正交向量。

1. 至少存在一个输入向量。

2. 此阶段尚未进行任何归一化操作。

1. 本例所选的内积

1. 公式
   观察依据

   标题‘2. 求后续向量’，并给出公式 $w_2 = v_2$ - proj_{$w_1$}($v_2$)，再展开为 $w_2 = v_2$ - ($\langle v_2$,$w_1\rangle$ / \|$w_1$\|^2) $w_1$。

2. 公式
   观察依据

   显示计算结果：$\langle v_2$,$w_1\rangle = 1$，\|$w_1$\|^$2 = 2$，且 $w_2 = [-1/2, 1/2, -1]^T$。

3. 声音
   观察依据

   讲解员提示：通过减去 $v_2$ 在 $v_1$ 上的正交投影来求第二个向量。

为使下一个向量与前一个向量正交，需利用投影公式去掉 $v_2$ 沿 $w_1$ 方向的分量。

1. $w_1$ 已知。

2. 内积及其诱导的范数已固定。

3. $w_1$ 非零，因此除以 \|$w_1$\|^2 是合法的。

1. 格拉姆-施密特法的第一步：保留初始向量
2. 本例所选的内积

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出，可通过计算 $w_2$ 与 $w_1$ 的点积并验证结果为零，来确认二者正交。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的向量为 $w_1 = [1,1,0]^T$ 和 $w_2 = [-1/2,1/2,-1]^T$。

1. 该片段口头陈述了验证步骤，但未展示 $w_1 \cdot w_2 = 0$ 的具体算术过程。

构造出新向量后，视频建议通过逐一计算两两之间的点积来确认正交性。

1. 本例中选用的内积是标准点积。

2. 待检验的向量均为非零向量。

1. 本例所选的内积

1. 公式
   观察依据

   $w_3 = v_3$ - proj_{$w_1$}($v_3$) - proj_{$w_2$}($v_3$)，再展开为 $w_3 = v_3$ - ($\langle v_3$,$w_1\rangle$ / \|$w_1$\|^2)$w_1$ - ($\langle v_3$,$w_2\rangle$ / \|$w_2$\|^2)$w_2$。

2. 公式
   观察依据

   简化后的显示形式为：$w_3 = v_3 - (1/2)w_1 - (1/3)w_2$，随后给出 $w_3 = [2/3, -2/3, -2/3]^T$。

3. 声音
   观察依据

   旁白说，对于最后一个向量，我们需要从 $w_1$ 和 $w_2$ 中各自减去两个正交投影。

对于第三个向量，该算法从 $v_3$ 中同时移除沿 $w_1$ 方向的分量和沿 $w_2$ 方向的分量，从而得到一个与先前向量张成空间正交的向量。

1. $w_1$ 和 $w_2$ 已经构造完成。

2. 在所设计的格拉姆-施密特过程中，$w_1$ 和 $w_2$ 彼此正交。

3. 每个分母 \|$w_j$\|^2 均不为零。

1. 通过去除投影得到的第二个格拉姆-施密特向量
2. 本例所选的内积

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，若从原向量中减去其投影，则所得新向量完全不指向另一向量的方向，因此这两个向量彼此正交。

2. 图示
   观察依据

   结果得到的青色向量标记为 $\mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)$，图中显示它与 $\mathbf{v}_1$ 垂直，并带有直角标记。

1. 该片段通过视觉与口头方式陈述结论，但未借助内积给出代数证明。

若将向量 $\mathbf{v}_2$ 在 $\mathbf{v}_1$ 上的正交投影从 $\mathbf{v}_2$ 中减去，则所得向量 $\mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)$ 与 $\mathbf{v}_1$ 正交。

1. 该示例基于标准点积。

2. $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)$ 表示 $\mathbf{v}_2$ 在 $\mathbf{v}_1$ 上的正交投影。

针对示例中所示的两个向量。

1. 声音
   观察依据

   讲述者说，两个互相垂直的向量在某种意义上是‘独立的’，即它们彼此不指向对方的方向。

1. 这被作为直观理解呈现，而非形式化的定理陈述。

垂直向量彼此不指向对方的方向，讲述者将此描述为一种‘独立性’。

1. 该讨论是几何性的，且非正式。

2. 场景是开篇的投影示意图。

关于一对垂直向量的非正式全称式陈述。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说你可以通过点乘来验证 $w_2$ 确实与 $w_1$ 正交，且结果为零。

2. 公式
   观察依据

   显示 $w_1 = [1,1,0]^T$ 和 $w_2 = [-1/2,1/2,-1]^T$。

1. 正交性的验证以口头方式陈述；屏幕上未展示具体的点积运算过程。

所构造的向量 $w_2$ 与 $w_1$ 正交。

1. w 下标 1 等于 v 下标 1。

2. $w_2$ 的定义为 $w_2 = v_2$ - (⟨$v_2$,$w_1$⟩ / ‖$w_1$‖^2)$w_1$。

3. 内积是 ℝ^3 上的标准点积。

针对本例中给出的具体向量。

1. 声音
   观察依据

   讲解员再次说明，你可以通过两两做点积并验证结果均为零，来确认这三个向量彼此正交。

2. 公式
   观察依据

   $w_1$、$w_2$、$w_3$在归一化之前被同时显示。

1. 该片段断言了验证，但未展示所有两两之间的点积计算。

所构造的三个向量 $w_1$、$w_2$、$w_3$彼此正交。

1. $w_1$、$w_2$、$w_3$由所示的格拉姆-施密特步骤生成。

2. 内积是 ℝ^3 上的标准点积。

针对本例中的这三个特定向量。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说：‘至此，我们已为 ℝ^3 找到了一组标准正交基。’

2. 公式
   观察依据

   显示了三个归一化后的向量 $u_1$、$u_2$、$u_3$。

1. 视频未单独证明生成性；而是在 ℝ^3 中对三个向量完成三步过程后直接给出结果。

归一化后的向量 $u_1$、$u_2$、$u_3$ 构成 ℝ^3 的一组标准正交基。

1. 原始的三个向量属于 ℝ^3。

2. 格拉姆-施密特过程生成了三个非零正交向量。

3. 每个向量均使用诱导范数进行了单位化。

针对视频片段中所计算的具体例子。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出了三个编号步骤：$\mathbf{w}_1 = \mathbf{v}_1$，$\mathbf{w}_n = \mathbf{v}_n - \sum_{i=1}^{n-1} \operatorname{proj}_{\mathbf{w}_i}(\mathbf{v}_n)$，以及 $\mathbf{u}_n = \frac{\mathbf{w}_n}{\|\mathbf{w}_n\|}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者按相同顺序说明这三个步骤：初始化、减去投影、再归一化。

1. 公式

   $$\mathbf{w}_1 = \mathbf{v}_1$$
   解释

   以第一个基向量作为第一个正交中间向量，保持不变。

   步骤依据

   直接在幻灯片上标为第1步，并由讲解者口头描述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\mathbf{w}_n = \mathbf{v}_n - \sum_{i=1}^{n-1} \operatorname{proj}_{\mathbf{w}_i}(\mathbf{v}_n)$$
   解释

   对每个后续向量，减去它在所有已构造出的正交向量上的投影。

   步骤依据

   在幻灯片上标为第2步，并在音频中解释为去除沿先前向量的分量。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\mathbf{u}_n = \frac{\mathbf{w}_n}{\|\mathbf{w}_n\|}$$
   解释

   将每个正交的中间向量单位化，得到单位向量。

   步骤依据

   如幻灯片上的步骤3所示，并由讲解员描述为除以该向量的模。

   视频直接表达

该过程将向量 $\mathbf{v}_1$、$\mathbf{v}_2$、$\mathbf{v}_3$、$\ldots$ 变换为 $\mathbf{u}_1$、$\mathbf{u}_2$、$\mathbf{u}_3$、$\ldots$，构成一组标准正交向量组。

1. 动画
   观察依据

   动画构造了 $\mathbf{v}_2$ 在 $\mathbf{v}_1$ 上的投影，然后形成 $\mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)$，并显示其与 $\mathbf{v}_1$ 垂直。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，减去投影后所得向量不再指向另一向量的方向，因此二者正交。

1. 这是一种几何演示，而非完整的代数证明。

1. 公式

   $$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$$
   解释

   从平面内两个非正交向量开始。

   步骤依据

   展示在“标准正交投影”幻灯片上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)$$
   解释

   从 $\mathbf{v}_2$ 的终点向过 $\mathbf{v}_1$ 的直线作垂线，以确定 $\mathbf{v}_2$ 在 $\mathbf{v}_1$ 方向上的分量。

   步骤依据

   讲解员将其解释为：一个向量在另一个向量方向上的程度。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)$$
   解释

   从 $\mathbf{v}_2$ 中减去该分量。

   步骤依据

   动画用该表达式为所得向量标注。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\mathbf{v}_1 \perp \left(\mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{v}_2)\right)$$
   解释

   剩余向量与向量1垂直，如直角标记所示。

   步骤依据

   由讲解员口述并以视觉方式呈现。

   视频直接表达

移去向量2在向量1上的投影，得到一个与向量1正交的向量，这展示了格拉姆-施密特过程所使用的核心机制。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $w_2 = v_2$ - proj_{$w_1$}($v_2$)，接着是展开后的投影公式，然后是中间值 ⟨$v_2$,$w_1$⟩ = 1 和 ‖$w_1$‖^$2 = 2$，最后是 $w_2 = [-1/2,1/2,-1]^T$。

2. 声音
   观察依据

   解说员说明：第二个向量通过从 $v_2$ 中减去其在 $v_1$ 上的正交投影而得到。

1. 公式

   $$\mathbf{w}_1 = \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$
   解释

   将第一个正交向量设为第一个输入向量。

   步骤依据

   ‘1. 设定初始向量’下方显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\mathbf{w}_2 = \mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{w}_1}(\mathbf{v}_2)$$
   解释

   通过从 $v_2$ 中移除其在 $w_1$ 上的投影来定义第二个向量。

   步骤依据

   ‘2. 求后续向量’下方显示的公式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\mathbf{w}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w}_1 \rangle}{\|\mathbf{w}_1\|^2}\mathbf{w}_1$$
   解释

   利用内积公式重写投影表达式。

   步骤依据

   屏幕上显示代数展开式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w}_1 \rangle = \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} = 1$$
   解释

   计算投影系数的分子。

   步骤依据

   屏幕上显示点积的显式计算过程。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\|\mathbf{w}_1\|^2 = \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} = 2$$
   解释

   计算分母中的模长平方。

   步骤依据

   屏幕上显示模长平方的显式计算过程。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\mathbf{w}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} - \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1/2\\1/2\\-1\end{bmatrix}$$
   解释

   代入已算得的系数并化简，得到最终向量。

   步骤依据

   屏幕上最终显示的 $w_2$ 结果。

   视频直接表达

第二个格拉姆-施密特向量为 $w_2 = [-1/2, 1/2, -1]^T$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上依次显示：$w_3 = v_3$ - proj_{$w_1$}($v_3$) - proj_{$w_2$}($v_3$)，然后是展开后的公式，接着是化简后的系数形式 $w_3 = v_3 - (1/2)w_1 - (1/3)w_2$，最后是 $w_3 = [2/3,-2/3,-2/3]^T$。

2. 声音
   观察依据

   旁白说，对于最后一个向量，我们需要从 $w_1$ 和 $w_2$ 中各自减去两个正交投影。

1. 中间步骤中的点积 $\langle v_3$,$w_1\rangle$、模长平方 \|$w_2$\|^2 以及点积 $\langle v_3$,$w_2\rangle$ 并未在采样帧中以独立书写行的形式全部展示，但化简后的系数 $1/2$ 和 $1/3$ 已显示。

1. 公式

   $$\mathbf{w}_3 = \mathbf{v}_3 - \operatorname{proj}_{\mathbf{w}_1}(\mathbf{v}_3) - \operatorname{proj}_{\mathbf{w}_2}(\mathbf{v}_3)$$
   解释

   通过从向量 $v_3$ 中减去其在前两个正交向量上的投影，来定义第三个向量。

   步骤依据

   屏幕上显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\mathbf{w}_3 = \mathbf{v}_3 - \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{w}_1 \rangle}{\|\mathbf{w}_1\|^2}\mathbf{w}_1 - \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{w}_2 \rangle}{\|\mathbf{w}_2\|^2}\mathbf{w}_2$$
   解释

   利用内积公式展开这两个投影。

   步骤依据

   屏幕上显示的代数展开式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\mathbf{w}_3 = \mathbf{v}_3 - \frac{1}{2}\mathbf{w}_1 - \frac{1}{3}\mathbf{w}_2$$
   解释

   代入已计算出的投影系数。

   步骤依据

   屏幕上显示的化简后公式。

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4. 公式

   $$\mathbf{w}_3 = \begin{bmatrix}2/3\\-2/3\\-2/3\end{bmatrix}$$
   解释

   执行向量减法，得到第三个正交向量。

   步骤依据

   $w_3$ 的最终显示结果。

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