如何使用最小二乘法计算线性回归

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我将从自变量开始，也就是x轴。”

2. 图示
   观察依据

   一张标有“自变量”的表格，其列标题为x，对应数值为1、2、3、4、5；横轴标记为x。

x

自变量；回归示例中所用的横轴观测值。

本示例中的观测数值为1、2、3、4、5。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“还有因变量，也就是y轴。”

2. 图示
   观察依据

   一张标有“因变量”的表格，其列标题为y，对应数值为2、4、5、4、5；纵轴标记为y。

y

因变量；与每个x值配对的纵轴观测值。

本示例中的观测数值为2、4、5、4、5。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我将计算x值的平均数……结果是三。”

2. 图示
   观察依据

   数据表下方出现标签“平均数”，x列下方标有3；随后新增一列标题为x - x̄。

$\bar{x}$

样本中x值的平均数。

本例中，$\bar{x}=3$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“然后我将计算 y 值的均值，也就是平均数……结果是四。”

2. 图示
   观察依据

   数据表下方，y 列正下方标有“均值”，其下显示4。

$\bar{y}$

样本中 y 值的均值。

本例中，ȳ = 4。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“因此，我将对每个点取 x 值减去均值。”

2. 图示
   观察依据

   表格新增第三列，表头为“$x - x$̄”，各行依次填入 −2、−1、0、1、2。

$x-\bar{x}$

各观测点 x 值相对于 x 均值的带符号偏差。

对于所列出的五个观测点，显示的值依次为 −2、−1、0、1、2。

1. 公式
   观察依据

   表格标题显示变量 x。

2. 图示
   观察依据

   散点图使用 x 作为横坐标。

x

数据集中的自变量观测值。

表格中显示的观测值为1、2、3、4和5。

1. 公式
   观察依据

   表格标题显示变量 y。

2. 图示
   观察依据

   散点图使用 y 作为纵坐标。

y

数据集中的因变量观测值。

表格中显示的观测值为2、4、5、4和5。

1. 公式
   观察依据

   表格包含列标题 $x - \bar{x}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解偏差时，说话人将 x 的均值称为3。

$\bar{x}$

x 值的均值。

本例中，$\bar{x} = 3$。

1. 公式
   观察依据

   表格包含列标题“y 减去 y 拔”

2. 声音
   观察依据

   主讲人称 y 的均值为4，并在该数值处画出一条水平的均值线。

$\bar{y}$

y 值的均值。

本例中，y 拔等于4。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上写出的方程为 y 帽等于 b 下标0加 b 下标1乘以 x。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出目标是得到方程 y 帽等于 b 零加 b 一乘以 x。

$\hat{y}$

由回归直线预测或拟合得到的 y 值。

由线性模型 y 帽等于 b 下标0加 b 下标1乘以 x 定义。

1. 公式
   观察依据

   符号 b 下标0出现在显示的方程 y 帽等于 b 下标0加 b 下标1乘以 x 中。

1. 本片段未显式计算 b 下标0。

$b_0$

线性回归方程中的截距项。

拟合模型 y 帽等于 b 下标0加 b 下标1乘以 x 的一部分。

1. 公式
   观察依据

   符号 $b_1$ 出现在公式 $\hat{y} = b_0 + b_1 x$ 中，之后又出现在斜率的计算中。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示他正在确定 b₁ 的值，并随后称其为斜率。

$b_1$

回归直线的斜率系数。

本片段中计算得 $b_1 = 0.6$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者引入“自变量，即 x 轴”。

2. 图示
   观察依据

   一张标题为“自变量”的表格列出了 x 值1至5，并画出一条标有 x 的横轴。

视频将横轴变量定义为自变量，并将其对应到 x 轴；在本例演算中，自变量的取值依次为1、2、3、4、5。

1. 用于横轴上绘制的解释变量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者介绍了“因变量，即 y 轴”。

2. 图示
   观察依据

   第二个表格标题为“因变量”，列出 y 值2、4、5、4、5，并绘制一条标有 y 的纵轴。

视频将纵轴变量定义为因变量，并将其分配给 y 轴。在例题中，因变量的取值为2、4、5、4、5。

1. 用于纵轴上绘制的响应变量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我将取 x 值的平均数……即三。”

2. 图示
   观察依据

   ‘平均数’一词出现在表格下方，x 列下标有3，并在 $x=3$处画出一条竖直线。

例题计算了五个 x 值的平均数，并指出其等于3。该值随后通过一条经过 $x=3$的竖直线在几何上表示出来。

1. 由所列 x 值1、2、3、4、5计算得出。

1. 回归分析设定中的自变量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“然后我将取 y 值的平均数或算术平均值……即四。”

2. 图示
   观察依据

   表格下方标有‘均值’一词，y列下方写有4，并在 $y = 4$ 处画出一条水平线。

该例题计算了五个 y 值的均值，并指出其等于4；随后在几何上用一条经过 $y = 4$ 的水平线来表示该值。

1. 由所列 y 值2、4、5、4、5计算得出。

1. 回归设定中的因变量

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“因此，我将在每个点处取 x 值减去均值。”

2. 图示
   观察依据

   新增一列列标题为 $x - x$̄，各行依次填入 −2、−1、0、1、2。

视频通过将每个观测到的 x 值减去 x 的均值得到一个新表格列；所有五个观测值对应的带符号偏差均被明确列出。

1. 对每个所列观测值应用，其中 x̄ = 3。

1. x 值的平均数

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘现在我对 y 值做同样的操作。我再次画出均值线，即四的均值。’

2. 图示
   观察依据

   在散点图上画出一条绿色水平线，位于 $y = 4$ 处。

视频将因变量的均值构造成一条水平参考线。在此数据集中，y 值的均值为 4，因此在散点图中画出直线 $y = \bar{y} = 4$。

1. 表格中显示的 y 值依次为2、4、5、4和5。

1. 声音
   观察依据

   讲解者依次计算2减4、4减4、5减4、4减4以及5减4。

2. 公式
   观察依据

   表格中 y − ȳ 这一列填入的值依次为−2、0、1、0和1。

3. 图示
   观察依据

   在讨论偏差时，虚线垂直线段将各点连接至水平均值线。

每个 y 观测值都通过减法与均值 ȳ = 4进行比较。所得的带符号偏差衡量了每个点位于水平均值线上方或下方的距离。

1. 使用表格中所示的相同 y 值。

2. 本例中 ȳ = 4。

1. y 的水平均值线

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出目标是得到方程 ŷ = b₀ + b₁x，并说明他将确定 b₁ 的值。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上写出方程 ŷ = $b0 + b1x$。

3. 图示
   观察依据

   一条虚线直线穿过散点图，作为预期的回归直线。

该片段将拟合模型识别为一条直线，形式为 $\hat{y}=b_0+b_1x$，其中 $b_1$ 是需由数据估计的斜率，$b_0$ 是截距。

1. 所建模的关系在 x 上是线性的。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：‘于是我们取这一列 x 减去 x 拔，再对它进行平方’，随后列出了这些平方值。

2. 公式
   观察依据

   新增一列 ($x - \bar{x}$)^2，并填入 4、1、0、1 和 4。

为准备斜率公式的分母，视频将每个 x 偏差 $x_i-\bar{x}$ 进行平方。这消除了符号，并使每个观测值的贡献均为非负。

1. 表中已算出的 x 偏差为 -2、-1、0、1 和 2。

1. 线性回归的目标方程

1. 声音
   观察依据

   说话人要求根据 x 减均值列和 y 减均值列再新建一列，并逐行相乘。

2. 公式
   观察依据

   新增一列 ($x - \bar{x}$)($y - \bar{y}$)，并填入 4、0、0、0 和 2。

斜率估计量的分子通过将每个 x 偏差与其对应的 y 偏差相乘而构建。当两个偏差同号时，乘积为正；任一偏差为零时，乘积为零。

1. 使用同一观测行中的成对偏差。

1. y 相对于其均值的偏差
2. x 偏差的平方列

1. 声音
   观察依据

   主讲人称，他将偏差平方列求和得到分母10，将乘积列求和得到分子6，并得出$b_1$＝0.6。

2. 公式
   观察依据

   和值10与6分别写在对应列的下方，随后写出$b_1$＝6／10＝．6。

拟合直线的斜率等于偏差交叉乘积之和除以x偏差的平方和。在此例题中，这两个所需和值直接从表格中读取。

1. 分母必须非零。

2. 该公式应用于同一组成对观测数据。

1. x 偏差的平方列
2. x 偏差与 y 偏差的乘积

1. 公式
   观察依据

   顶部公式$\hat{y}=b_0+b_1x$在演算示例过程中始终可见。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出$b_0$为 y 轴截距，$b_1$为斜率。

视频采用简单线性回归模型$\hat{y}=b_0+b_1x$，其中$b_1$为斜率，$b_0$为 y 轴截距。代入数值后的最终方程写作$\hat{y}=2.2+.6x$。

1. 含一个解释变量 x 的简单线性回归。

2. 参数由有限的数据集估计得出。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“事实证明，所有回归直线都必须经过那个点——即自变量均值与因变量均值相交的位置。”

2. 图示
   观察依据

   画出一条虚线，穿过竖直线 $x = 3$ 与水平线 $y = 4$ 的交点，并将该点标记为（3, 4）。

所有回归直线都必须经过自变量均值与因变量均值相交的点。

1. 本视频演示的是线性回归的情境。

2. 所指的点为 ($\bar{x}$,$\bar{y}$)。

对本视频中讨论的所有回归直线均成立

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘因此这个值等于零点六。所以b₁等于零点六，也就是斜率。’

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的计算过程为$b_1$＝6／10＝．6。

对于屏幕上展示的这组含五个数据点的数据集，最小二乘斜率为$b_1$＝0.6。

1. x值为1、2、3、4、5。

2. y值为2、4、5、4、5。

3. x̄ = 3 且 ȳ = 4。

针对本视频片段中展示的这一特定数据集。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，他将平方偏差列加总得到10，并称其为分母。

2. 公式
   观察依据

   数字10写在($x - \bar{x}$)^2列下方。

对于示例表格，$\sum (x_i-\bar{x})^2=10$。

1. x 偏差分别为 −2、−1、0、1 和 2。

对应所显示的五行数据。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，他将乘积列加总得到6，并称其为分子。

2. 公式
   观察依据

   数字6写在 ($x - x$̄)(y − ȳ) 列下方。

对于该示例表格，$\sum$(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) = 6。

1. 成对偏差乘积为4、0、0、0和2。

对应所展示的五行数据。

1. 声音
   观察依据

   ‘回归直线必须经过点（三，四）。’

2. 图示
   观察依据

   图像在$(3,4)$处标出交点，该点与所显示的均值$\bar{x}=3$和$\bar{y}=4$一致。

1. 视频陈述了这一事实，但并未给出证明。

在此最小二乘回归设定下，拟合直线经过$(\bar{x},\bar{y})=(3,4)$。

1. 已对数据拟合了一条最小二乘回归直线。

2. $\bar{x}=3$和$\bar{y}=4$是表格中所示的样本均值。

针对所展示的数据集及其拟合的回归直线。

1. 声音
   观察依据

   “这便是你在教科书中通常会见到的标准公式。”

2. 公式
   观察依据

   展示了符号表达式$b_1=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2}$。

所示的关于$b_1$的符号表达式被作为最小二乘斜率的典型教科书公式呈现。

1. 数据以成对的$(x,y)$观测值形式组织，其样本均值分别为$\bar{x}$和$\bar{y}$。

针对本例中所使用的普通简单线性回归。

1. 声音
   观察依据

   讲解者口头依次计算每项减法：1减3、2减3、3减3、4减3、5减3。

2. 图示
   观察依据

   $x - x$̄ 列依次填入 −2、−1、0、1、2。

1. 公式

   $$1-3=-2$$
   解释

   对第一个观测值，用 $x = 1$ 减去 x 的均值。

   步骤依据

   表格中直接呈现该计算过程，并由讲解者口头说明。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2-3=-1$$
   解释

   对第二个观测值，用 $x = 2$ 减去 x 的均值。

   步骤依据

   表格中直接呈现该计算过程，并由讲解者口头说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3-3=0$$
   解释

   对第三个观测值，用 $x = 3$ 减去 x 的均值。

   步骤依据

   表格中直接计算并口头陈述。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4-3=1$$
   解释

   对于第四个观测值，用 $x = 4$ 减去 x 的均值。

   步骤依据

   表格中直接计算并口头陈述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$5-3=2$$
   解释

   对于第五个观测值，用 $x = 5$ 减去 x 的均值。

   步骤依据

   表格中直接计算并口头陈述。

   视频直接表达

完成后的 x - x̄ 列为：-2, -1, 0, 1, 2。

1. 声音
   观察依据

   主讲人按顺序口头计算每个 y 减去均值的值。

2. 公式
   观察依据

   $y - \bar{y}$ 列逐行填写。

1. 公式

   $$\bar{y}=4$$
   解释

   先确定 y 值的均值，再从每个观测值中减去该均值。

   步骤依据

   在音频中已说明，并由位于 $y = 4$ 处的水平均值线表示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2-4=-2$$
   解释

   第一个 y 观测值比均值低2个单位。

   步骤依据

   表格中直接展示了减法运算，且主讲人同步口述。

   视频直接表达
3. 公式

   $$4-4=0$$
   解释

   第二个 y 观测值恰好落在均值线上。

   步骤依据

   表格中直接展示了减法运算，且主讲人同步口述。

   视频直接表达
4. 公式

   $$5-4=1$$
   解释

   第三个 y 观测值比均值高1个单位。

   步骤依据

   表格中直接展示减法运算，并同步口头读出。

   视频直接表达
5. 公式

   $$4-4=0$$
   解释

   第四个 y 观测值再次落在均值线上。

   步骤依据

   表格中直接展示减法运算，并同步口头读出。

   视频直接表达
6. 公式

   $$5-4=1$$
   解释

   第五个 y 观测值比均值高1个单位。

   步骤依据

   表格中直接展示减法运算，并同步口头读出。

   视频直接表达

完成的 y 偏差列是 -2、0、1、0、1。

1. 声音
   观察依据

   讲解者要求对 x 减均值列中的所有数值进行平方，并逐个念出结果。

2. 公式
   观察依据

   ($x - \bar{x}$)^2 列填入了4、1、0、1、4。

1. 公式

   $$(-2)^2=4$$
   解释

   第一个 x 偏差被平方。

   步骤依据

   新表格列中展示算术运算，并在音频中同步说明。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(-1)^2=1$$
   解释

   第二个 x 偏差被平方。

   步骤依据

   新表格列中展示的算术运算，并在音频中予以说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$0^2=0$$
   解释

   第三个x偏差值被平方。

   步骤依据

   新表格列中展示的算术运算，并在音频中予以说明。

   视频直接表达
4. 公式

   $$1^2=1$$
   解释

   第四个x偏差值被平方。

   步骤依据

   新表格列中展示的算术运算，并在音频中予以说明。

   视频直接表达
5. 公式

   $$2^2=4$$
   解释

   第五个x偏差值被平方。

   步骤依据

   新表格列中展示的算术运算，并在音频中予以说明。

   视频直接表达

平方偏差列是4、1、0、1、4，其和为10。

1. 声音
   观察依据

   说话者逐行将x偏差与y偏差相乘，并逐一读出每个乘积。

2. 公式
   观察依据

   ($x - \bar{x}$)($y - \bar{y}$)列填入4、0、0、0、2。

1. 公式

   $$(-2)(-2)=4$$
   解释

   第1行将一个负的x偏差与一个负的y偏差相乘。

   步骤依据

   表格中直接展示的乘法运算，并同步口头读出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(-1)(0)=0$$
   解释

   第2行的 y 偏差为零，因此乘积为零。

   步骤依据

   表格中直接展示的乘法运算，并同步口头读出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(0)(1)=0$$
   解释

   第3行的 x 偏差为零，因此乘积为零。

   步骤依据

   表格中直接展示的乘法运算，并同步口头读出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(1)(0)=0$$
   解释

   第4行的 y 偏差为零，因此乘积为零。

   步骤依据

   表格中直接展示的乘法运算，并同步口头读出。

   视频直接表达
5. 公式

   $$(2)(1)=2$$
   解释

   第5行对正偏差进行相乘。

   步骤依据

   表格中直接展示的乘法运算，并同步口头读出。

   视频直接表达

交叉乘积列是4、0、0、0、2，其和为6。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出分母为10，分子为6，因此 $b_1$＝0.6。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的分式为 $b_1$＝6／10＝.6。

1. 公式

   $$\sum (x_i-\bar{x})^2=4+1+0+1+4=10$$
   解释

   x 偏差的平方求和，构成分母。

   步骤依据

   列和显示在屏幕上，并由配音同步读出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=4+0+0+0+2=6$$
   解释

   交叉乘积求和，构成分子。

   步骤依据

   列和显示在屏幕上，并由配音同步读出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$b_1=\frac{6}{10}$$
   解释

   斜率等于分子除以分母。

   步骤依据

   公式应用过程显示在屏幕上。

   视频直接表达
4. 公式

   $$b_1=0.6$$
   解释

   该分数被化简为小数。

   步骤依据

   算术化简过程显示在屏幕上，并由配音同步读出。

   视频直接表达

本例的最小二乘斜率为 $b_1=0.6$。

1. 公式
   观察依据

   表格列显示$(x-\bar{x})^2$之和为10，$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$之和为6。

2. 公式
   观察依据

   书面计算过程为$b_1=\frac{6}{10}=.6$。

3. 声音
   观察依据

   讲解者指出，商式用到了这些列的和。

1. 公式

   $$\sum (x-\bar{x})^2 = 10$$
   解释

   x 的平方离差列总和为10。

   步骤依据

   直接从表格底部的合计处读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 6$$
   解释

   叉积列总和为6。

   步骤依据

   直接从表格底部的合计处读取。

   视频直接表达
3. 公式

   $$b_1=\frac{6}{10}$$
   解释

   将这两个总和代入斜率公式。

   步骤依据

   使用$b_1=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum (x-\bar{x})^2}$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$b_1=.6$$
   解释

   化简该分数以得到斜率。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达

所显示数据的最小二乘法斜率为$b_1=0.6$。

1. 公式
   观察依据

   方程$4=b_0+.6(3)$显示在屏幕上。

2. 公式
   观察依据

   后续各行依次显示$4=b_0+1.8$、然后$-1.8=b_0-1.8$、再然后$2.2=b_0$。

3. 声音
   观察依据

   说话者指出该直线必须经过$(3,4)$，代入这些数值，并在等式两边同时减去1.8。

1. 公式

   $$(\bar{x},\bar{y})=(3,4)$$
   解释

   从表格和图像中确定均值点。

   步骤依据

   屏幕上显示均值及口头陈述：回归直线经过$(3,4)$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4=b_0+.6(3)$$
   解释

   将$x=3$、$\hat{y}=4$和$b_1=0.6$代入回归方程。

   步骤依据

   在均值点处使用$\hat{y}=b_0+b_1x$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$4=b_0+1.8$$
   解释

   计算乘积$0.6\times 3$。

   步骤依据

   算术乘法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4-1.8=b_0+1.8-1.8$$
   解释

   两边同时减去1.8以分离出$b_0$。

   步骤依据

   方程的代数等价变换。

   视频直接表达
5. 公式

   $$2.2=b_0$$
   解释

   化简等式两边，求得截距。

   步骤依据

   算术减法与消去运算。

   视频直接表达

截距为$b_0=2.2$。

1. 公式
   观察依据

   总结框中列出了$b_0=2.2$、$b_1=.6$和$\hat{y}=2.2+.6x$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人用口语复述了两个系数及最终方程。

1. 公式

   $$b_0=2.2$$
   解释

   代入已计算出的截距。

   步骤依据

   上一步推导所得结果。

   视频直接表达
2. 公式

   $$b_1=.6$$
   解释

   代入已计算出的斜率。

   步骤依据

   斜率推导所得结果。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\hat{y}=2.2+.6x$$
   解释

   将两个系数代入回归方程的一般形式。

   步骤依据

   使用$\hat{y}=b_0+b_1x$。

   视频直接表达

本例的拟合直线为$\hat{y}=2.2+0.6x$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明这些数据是虚构的，绘制散点图，计算均值，指出回归直线必经过点（3,4），然后逐点计算 x 与 x 均值的偏差。

2. 图示
   观察依据

   屏幕上显示 x 和 y 的表格、五个点的散点图、位于 $x = 3$ 和 $y = 4$ 处的均值线、标注点（3,4），以及新列 x - x̄，其值为 -2, -1, 0, 1, 2。

使用一组虚构数据，设定变量，绘制观测点，标出均值点，并开始计算回归所需的偏差。

1. 自变量取值为 $x = 1$, 2, 3, 4, 5。

2. 因变量取值为 $y = 2$, 4, 5, 4, 5。

3. 讲解员说明这些数字是虚构的。

绘制散点图，计算 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$，标出均值点，并对每个观测值计算 $x-\bar{x}$。

1. 公式

   $$(1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,5)$$
   解释

   在坐标平面上描出这五组成对的观测数据。

   步骤依据

   表格中的数值被转化为图上的点。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\bar{x}=3$$
   解释

   计算x值的平均数。

   步骤依据

   由讲解员直接陈述，并显示在表格下方。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\bar{y}=4$$
   解释

   计算y值的平均数。

   步骤依据

   由讲解员直接陈述，并显示在表格下方。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(\bar{x},\bar{y})=(3,4)$$
   解释

   将两条均值线的交点标记为回归直线必经的点。

   步骤依据

   讲解员在屏幕上为该点标注时，同时陈述这一性质。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x-\bar{x}:-2,-1,0,1,2$$
   解释

   用每个x值减去x的平均数，得到偏差列。

   步骤依据

   每一项减法运算均被口头算出，并填入表格中。

   视频直接表达

该例题构建了散点图、均值点（3，4）以及x方向偏差列：-2，-1，0，1，2。

屏幕上显示的算术运算与所列x值及给定均值$\bar{x}=3$一致。

1. 图示
   观察依据

   全程展示一幅含五个点的散点图，以及一张包含 x、y、偏差、偏差平方和交叉乘积的表格。

2. 声音
   观察依据

   讲解者依次计算 y 偏差、x 偏差的平方、交叉乘积，最后得出斜率。

根据所显示的成对数据，计算最小二乘回归直线所需各项量，并求出斜率 $b_1$。

1. 该表列出了五组 (x,y) 数据：(1,2)、(2,4)、(3,5)、(4,4)、(5,5)。

2. x 的均值 $\bar{x} = 3$。

3. y 的均值 $\bar{y} = 4$。

填写偏差列，计算所需总和，并求出 $b_1$ 在 $\hat{y}=b_0+b_1x$.

1. 公式

   $$y_i-\bar{y}: -2, 0, 1, 0, 1$$
   解释

   将每个 y 观测值减去 y 的均值。

   步骤依据

   均值偏差计算已在表格中展示并同步口述说明。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(x_i-\bar{x})^2: 4, 1, 0, 1, 4$$
   解释

   对每个 x 偏差取平方。

   步骤依据

   为斜率公式准备分母部分。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}): 4, 0, 0, 0, 2$$
   解释

   将每个 x 偏差与对应 y 偏差相乘。

   步骤依据

   为斜率公式准备分子部分。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\sum (x_i-\bar{x})^2=10$$
   解释

   将x偏差的平方相加。

   步骤依据

   列总和写在表格下方。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=6$$
   解释

   将交叉乘积相加。

   步骤依据

   列总和写在表格下方。

   视频直接表达
6. 公式

   $$b_1=\frac{6}{10}=0.6$$
   解释

   用交叉乘积之和除以偏差平方之和。

   步骤依据

   最小二乘斜率公式应用于所计算出的总和。

   视频直接表达

b 下标 1 等于 0.6

算术运算可直接从显示的列中验证：$4+1+0+1+4=10$，且$4+0+0+0+2=6$，从而得到$6/10=0.6$。

1. 图示
   观察依据

   展示了一个五点散点图，以及一个行标题为$(1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,5)$的表格。

2. 公式
   观察依据

   均值列为$\bar{x}=3$和$\bar{y}=4$；总和为10和6；最终方程为$\hat{y}=2.2+.6x$。

3. 声音
   观察依据

   讲解者依次计算$b_1$、$b_0$，然后得出最终方程。

给定五组成对观测值，计算最小二乘回归直线$\hat{y}=b_0+b_1x$。

1. 数据点：$(1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,5)$。

2. 样本均值：$\bar{x}=3$、$\bar{y}=4$。

3. 偏差总和：$\sum(x-\bar{x})^2=10$、$\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})=6$。

求出$b_1$、$b_0$，并写出拟合的回归方程。

1. 公式

   $$b_1=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum (x-\bar{x})^2}$$
   解释

   从符号形式给出的标准斜率公式出发。

   步骤依据

   视频中给出的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$b_1=\frac{6}{10}=.6$$
   解释

   代入表格中的列总计。

   步骤依据

   数值从显示的求和结果中读取。

   视频直接表达
3. 公式

   $$4=b_0+.6(3)$$
   解释

   利用回归直线经过$(3,4)$这一事实。

   步骤依据

   口述结论，再代入$\hat{y}=b_0+b_1x$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4=b_0+1.8$$
   解释

   将$0.6$乘以$3$。

   步骤依据

   算术运算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$2.2=b_0$$
   解释

   两边同时减去$1.8$，解出截距。

   步骤依据

   对$b_0$进行代数隔离。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\hat{y}=2.2+.6x$$
   解释

   用计算得到的系数写出最终拟合直线。

   步骤依据

   代入回归模型。

   视频直接表达

$b_1=0.6$、$b_0=2.2$，回归直线为$\hat{y}=2.2+0.6x$。

视频通过显示包含$b_0=2.2$、$b_1=.6$和$\hat{y}=2.2+.6x$的汇总框，以及展示直线穿过标记的均值点$(3,4)$，来验证结果。

1. 图示
   观察依据

   标题页显示“回归”字样，并附有“David Longstreet”及“www.MyBookSucks.Com”。随后切换至一张信息密集的预览页，其中包含一幅散点图、一个黄色结果框（内含b0 = 2.2，b1 = .6，ŷ = 2.2 + .6x）、一张数据表（列标题为x、y、x - x̄、y - ȳ、(x - x̄)²、(x - x̄)(y - ȳ)），以及若干公式，其中包括$b1 = 6/10$ = .6 = Σ(x - x̄)(y - ȳ)/Σ(x - x̄)²。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说道：“在本教程中，我将介绍回归分析”，并提醒观众：最终呈现的方程与公式看起来颇为复杂。

1. 预览页仅短暂出现，随即进入逐步推导环节。

1. 标题文字：“回归”

2. 作者及网站文字

3. 散点图预览

4. 黄色结果框

5. 数据表预览

6. 公式预览

1. 视频从标题页切换到回归工作表完成效果的完整预览。

1. 开场部分始终围绕回归这一主题展开。

开场部分先预览本课最终目标，再由讲解者从基础数据出发逐步重建计算过程。

1. 图示
   观察依据

   一张空白白屏上依次出现一张标有“自变量”的表格，其中x值为1至5；接着出现一条标有x的水平轴；随后出现一张标有“因变量”的表格，其中y值为2、4、5、4、5；最后出现一条标有y的垂直轴。

2. 声音
   观察依据

   讲解者将自变量定义为x轴，将因变量定义为y轴，并说明这些数值是他自行设定的。

1. 自变量表格

2. 因变量表格

3. 水平x轴

4. 垂直y轴

1. 表格与坐标轴逐一添加，直至绘图框架完全建立。

1. x始终被视作自变量，y始终被视作因变量。

直观构建过程确立了在讨论任何回归线之前所需的双变量结构。

1. 图示
   观察依据

   绿色圆点依次出现在(1,2)、(2,4)、(3,5)、(4,4)和(5,5)处；前两个点暂时标注了坐标标签。

2. 声音
   观察依据

   讲述者表示将为这些观测值添加点，并指出第一个点为$x=1$、$y=2$，第二个点为(2,4)。

1. 五个绿色数据点

2. 坐标平面

1. 散点图从左至右依次填充。

1. 每个已绘制的点对应x表与y表中成对的一行数据。

该动画将表格形式的成对数据转化为几何意义上的散点图。

1. 图示
   观察依据

   ‘均值’一词出现在表格下方，x下方标有3，y下方标有4；一条垂直的紫色直线画在$x=3$处，一条水平的绿色直线画在$y=4$处，两线交点标记为(3,4)；一条虚线经过该交点。

2. 声音
   观察依据

   讲述者计算出均值，并指出所有回归线都必须经过该交点。

1. 竖直线 $x=3$

2. 水平线 $y=4$

3. 点 (3,4)

4. 虚线样本回归线

1. 在表格下方添加均值，然后画出对应的均值线，最后标出交点。

1. 交点仍为 ($\bar{x}$,$\bar{y}$)=(3,4)。

该图示说明了均值点为何居中：所讨论的每条回归线都必须经过该点。

1. 图示
   观察依据

   从每个点出发，分别向竖直均值线 $x=3$ 作水平虚线段，向水平均值线 $y=4$ 作竖直虚线段。

2. 声音
   观察依据

   讲解者表示，他将对所有观测值计算其 x 值到均值的距离，并对 y 值做同样处理。

1. 讲解中使用了“距离”一词，但后续表格记录的是带符号的离差，而非绝对距离。

1. 五个数据点

2. 均值线 $x=3$ 和 $y=4$

3. 虚线水平与垂直参考线段

1. 参考线段逐点添加，用以显示每个观测值相对于均值线的偏移量。

1. 均值线保持固定，而参考线段则直观呈现各观测值与它们之间的分离程度。

该动画通过展示各点相对于 x̄ 的水平偏移量和相对于 ȳ 的垂直偏移量，引出偏差列的概念。

1. 图示
   观察依据

   图表简化，表格新增第三列标题“x - x̄”，并按行依次填入数值：-2、-1、0、1、2。

2. 声音
   观察依据

   讲述者表示将对每个点取其 x 值减去均值，并逐一读出每次减法运算。

1. 扩展后的数据表

2. 列标题 x - x̄

3. 数值项：-2、-1、0、1、2

1. 表格从两列扩展为三列，每个新单元格依序填充。

1. 原始的 x 和 y 值保持不变，同时新增一列偏差值。

这一步将偏离均值线的几何概念转化为明确的代数量，为后续回归公式做准备。

1. 图示
   观察依据

   在散点图上画一条绿色水平线，位于$y=4$处。

2. 声音
   观察依据

   说话者称他正在绘制y值的均值线，该均值为四个数的平均值。

1. 散点图坐标轴

2. 五个数据点

3. 位于 $y = 4$ 的绿色水平线

4. 包含 x、y 和 $x - \bar{x}$ 三列的表格

1. 一条水平参考线出现在 y 的均值 4 处。

1. 已绘制的数据点不发生移动。

2. x 轴和 y 轴的刻度保持固定。

该图示确立 $\bar{y} = 4$ 为基准线，所有纵向偏差 $y - \bar{y}$ 均从此线起测量。

1. 图示
   观察依据

   虚线垂直线段将各数据点连接至水平均值线，同时填写 y 偏差项。

2. 公式
   观察依据

   $y - \bar{y}$ 列逐行完成。

1. 每条虚线线段出现的确切时刻仅为近似，因为动画是连续播放的。

1. 数据点

2. 水平均值线

3. 虚线垂直连接线

4. $y - \bar{y}$ 列

1. 从各数据点向均值线引出垂直虚线指引线。

2. y 偏差列填入 -2、0、1、0、1。

1. 均值线保持在 $y = 4$ 处。

2. 原始数据点的坐标保持不变。

虚线段表示各观测值到均值的有符号垂直距离，与表格中的数值偏差一一对应。

1. 图示
   观察依据

   在散点图中画出一条虚线直线。

2. 公式
   观察依据

   方程 $\hat{y} = b_0 + b_1 x$ 写在图旁。

1. 最初画出的虚线指引线的精确斜率未在屏幕上标出具体数值。

1. 散点图

2. 虚线直线

3. 方程 $\hat{y}=b_0+b_1x$

1. 一条候选回归直线穿过各数据点。

2. 符号化模型方程显示在屏幕上。

1. 数据点仍为原先的五个观测值。

2. 坐标轴与表格布局保持可见。

视觉重点从描述偏差转向模型拟合：该直线代表预测关系 $\hat{y}=b_0+b_1x$，下一步任务是确定 $b_1$。

1. 公式
   观察依据

   新增两列：($x - \bar{x}$)^2 和 ($x - \bar{x}$)($y - \bar{y}$)。

2. 图示
   观察依据

   表格逐行填入数值，向右扩展。

1. 原始表格的列

2. 新的平方偏差列

3. 新的交叉乘积列

1. 添加并填入x的平方偏差列。

2. 添加并填入交叉乘积列。

1. 原始的x、y、$x - x$̄ 和 y − ȳ 值保持不变。

表格被重新组织，精确呈现最小二乘斜率计算所需的量：分母用平方偏差，分子用交叉乘积。

1. 公式
   观察依据

   列总和10和6分别写在对应列的下方。

2. 公式
   观察依据

   表达式 $b_1 = 6/10$ = .6 被显示出来。

1. 平方偏差列

2. 交叉乘积列

3. 各列总和

4. 斜率表达式

1. 和10写在($x - \bar{x}$)^2的下方。

2. 和6写在($x - \bar{x}$)($y - \bar{y}$)的下方。

3. 斜率表达式化简为0.6。

1. 底层数据点及先前的偏差值均不发生变化。

该图示完成了从逐行偏差到单一汇总参数$b_1$（即回归直线斜率）的代数过渡。

1. 图示
   观察依据

   表格突出显示了列$(x-\bar{x})^2$和$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$，其合计值分别为10和6。

2. 动画
   观察依据

   表格下方的公式从一个数值商逐步演变为一个符号化的求和商。