1.6 用有理分数解一次方程示例

1. 公式
   观察依据

   方程 a) 写作“$1/2 x - 2/3 y = 7/3$”，因此 x 作为被$1/2$乘的变量出现。

2. 公式
   观察依据

   方程 b) 写作“$3/4 x + 1/5 y = 11/10$”，因此 x 再次作为被$3/4$乘的变量出现。

x

在两个线性方程中均出现的未知变量。

视频未说明 x 的定义域。

1. 公式
   观察依据

   方程 a) 中包含“- $2/3 y$”。

2. 公式
   观察依据

   方程 b) 中包含“+ $1/5 y$”。

y

在两个线性方程中均出现的第二个未知变量。

视频未说明 y 的定义域。

1. 公式
   观察依据

   第一个方程在页面上标记为“a)”。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“这将是方程 A。”

a)

用于标识第一个显示方程的标签。

仅为标签；并非数学变量。

1. 公式
   观察依据

   第二个方程在页面上标记为“b）”。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“然后B将是……”

b)

用于标识第二个展示出的方程的标签。

仅为标签；不是数学变量。

1. 公式
   观察依据

   x 在方程 a) 中作为变量出现，先后乘以 $1/2$ 和 $6/2$。

x

方程组第一个方程中的未知变量

实数（根据上下文默认）

1. 公式
   观察依据

   y 在方程 a) 中作为变量出现，先后乘以 -2/3 和 -12/3。

y

方程组第一个方程中的未知变量

实数（根据上下文默认）

1. 公式
   观察依据

   x 在方程 b) 中作为变量出现，先后乘以 $3/4$ 和 $60/4$。

x

方程组第二个方程中的未知变量

实数（根据上下文默认）

1. 公式
   观察依据

   y 在方程 b) 中作为变量出现，先后乘以 $1/5$ 和 $20/5$。

y

方程组第二个方程中的未知变量

实数（根据上下文默认）

1. 公式
   观察依据

   x 出现在方程组 $3x - 4y = 14$ 和 $15x + 4y = 22$ 中，代入消元步骤中得到 $1/2(2) - 2/3 y = 7/3$。

x

二元线性方程组中的未知数；解得 $x = 2$。

实数

1. 公式
   观察依据

   y 出现在 $3x - 4y = 14$、$15x + 4y = 22$ 中，之后又出现在 $1/2(2) - 2/3 y = 7/3$ 和 -2y = 4 中。

y

二元线性方程组中的未知数；解得 $y = -2$。

实数

1. 公式
   观察依据

   该页面在‘化简方程’标题下列出了化简后的整系数方程组：$3x - 4y = 14$ 和 $15x + 4y = 22$。

$3x - 4y = 14$

由原分式方程 a）化简所得的第一个方程。

含两个变量的线性方程

1. 公式
   观察依据

   该页面在‘化简方程’标题下列出了化简后的整系数方程组：$3x - 4y = 14$ 和 $15x + 4y = 22$。

$15x + 4y = 22$

由原分式方程 b）化简所得的第二个方程。

含两个变量的线性方程

1. 声音
   观察依据

   说话人说，本教程讲解“解方程，即含有有理系数或其中有理数的线性方程”。

2. 公式
   观察依据

   手写标题为：“第1.6节 含有理数的线性方程求解”

本片段引入了一堂关于求解系数为有理数的线性方程的课程。说话人明确将本节内容界定为处理有理系数，且板书标题也表述了相同主题。

1. 所讨论的方程均为线性方程。

2. 其系数为有理数。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“因此，你可能会遇到分数、小数以及其他类型，甚至可能包括根式之类的内容。”

2. 声音
   观察依据

   随后说话人指出，示例将涵盖分数、括号、分子为二项式的分数以及小数。

1. 提到‘根’仅作为一种可能的类型，但本片段中未展示任何根的例子。

主讲人指出有理系数在例题中可能出现的几种形式：分数、小数、含括号的表达式，以及分子为二项式的分数。这是对本节将要讨论的系数形式所作的口头概述。

1. 这些是主讲人提到的形式，并非全部在本片段中演示。

1. 主题：求解系数为有理数的线性方程

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，首要目标是确定如何消去每个方程中的分母。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们需要找到一个公分母，以便消去二和三之间的那个分母。”

3. 公式
   观察依据

   手写笔记开头写着“找公分母”，随后是“x 两边同乘”。

1. 本片段在执行乘法步骤前即结束。

对于含分数系数的方程，主讲人明确指出的第一步是先找公分母，再用该公分母乘整个方程。在方程 a) 中，提到的分母是2和3，因此该方法是在任何代数化简之前就已引入。

1. 适用于含有分数系数的方程。

2. 此处所述的设定中，每个方程均被独立处理。

1. 主题：求解系数为有理数的线性方程

1. 声音
   观察依据

   主讲人讲解如何为每个方程找出公分母，并对每个表达式中的每一项都乘以该公分母。

2. 公式
   观察依据

   板书文字写着“找公分母，再乘过去”。

求解系数为有理数的线性方程组时，首先为每个方程中的分数找出一个公分母；然后将该方程中的每一项都乘以这个公分母，从而消去分母；最后化简得到系数均为整数的等价方程。

1. 该方程组由系数为有理数的线性方程组成。

2. 每个方程各自独立处理，分别使用其对应的公分母。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说道：“然后我们化简这个方程。”

2. 公式
   观察依据

   板书文字写着“化简方程”。

在用公分母乘过每一项之后，通过将分子除以分母来化简每个分数，从而得到一个系数全为整数的等价方程。

1. 通过将每一项都乘以一个公分母，已将分母全部消去。

1. 线性方程组中消去分母的方法

1. 声音
   观察依据

   教师指出，此处消元法最简便，因为存在一个 -4y 和一个 +4y，因此只需将两个方程相加即可。

2. 公式
   观察依据

   所展示的方程组为$3x - 4y = 14$ 与 $15x + 4y = 22$，其 y 的系数互为相反数。

当两个含相同未知数的线性方程中，某一变量的系数互为相反数时，将两方程相加即可直接消去该变量。本片段中，y项分别为-4y和+4y，因此相加后y被消去，仅剩下关于x的方程。

1. 两个方程含有相同的未知数。

2. 有一对对应系数恰好互为相反数。

3. 相加前，需将方程按项逐一对齐。

1. 声音
   观察依据

   求得$x=2$后，讲师说明将利用$x=2$代入原方程之一来求解y。

2. 公式
   观察依据

   他写出$1/2(2) - 2/3 y = 7/3$，再化简为$1 - 2/3 y = 7/3$。

一旦求出一个变量的值，便将其代入原方程之一，并解所得的单变量方程以求出另一未知数。此处将$x=2$代入第一个原始分式方程，而非化简后的整数方程组。

1. 至少有一个变量已被解出。

2. 所选方程仍包含待求的未知数。

3. 代入时可使用原方程，也可使用该方程组中任一等价方程。

1. 适用于已整理线性方程组的消元法

1. 声音
   观察依据

   教师指出，应通过通分来消去分母，此处的公分母是3，然后将整个等式两边都乘以3。

2. 公式
   观察依据

   从$1 - 2/3 y = 7/3$出发，他写出$3 - 2y = 7$。

若一个方程中含有分数，则可将每一项都乘以这些分数的公分母，从而得到一个不含分数的等价方程。本片段中分母分别为1和3，因此乘以3可将$1 - 2/3 y = 7/3$转化为$3 - 2y = 7$。

1. 所有项都乘以同一个非零数。

2. 该乘数是所有含分数项的公分母。

1. 回代至原方程

1. 声音
   观察依据

   教师指出，最后一步是代入另一个方程进行检验，以确认解的正确性。

2. 公式
   观察依据

   他开始写下$3/4(2) + 1/5(-2)$ …… 用于验证。

1. 该片段在屏幕上的验证运算完成前就结束了。

求得一个有序数对后，应将其代入一个未用于回代的方程中进行验证。这可以确认该数对满足整个方程组，而不仅满足其中一个方程。本例中，解（2,-2）被代入第二个原始方程进行检验。

1. 已找到一个候选有序数对。

2. 至少有一个原始方程仍可用于代入检验。

1. 回代至原方程

1. 声音
   观察依据

   说话者称$y$为负二，且这将得出十分之十一。

2. 公式
   观察依据

   该页面展示了验证设置$\frac{3}{4}(2)+\frac{1}{5}(-2)=\frac{11}{10}$。

该片段演示了通过将第二条方程中的变量替换为页面上已求得的值（即$x=2$和$y=-2$）来检验先前得到的解。其目的并非重新求解，而是验证该有序数对是否满足该方程。

1. 待检验的解的数值必须已知。

2. 被检验的方程中必须包含这些变量。

1. 声音
   观察依据

   他说，运用我们的分数运算技能，这是四分之六乘以一，即四，而这个结果是五分之负二。

2. 公式
   观察依据

   所写出的中间项是$\frac{6}{4}$和$-\frac{2}{5}$。

教师通过将分子乘以整数、分母保持不变来计算每个乘积：$\frac{3}{4}\cdot 2=\frac{6}{4}$和$\frac{1}{5}\cdot(-2)=-\frac{2}{5}$。这是代入后的第一个算术步骤。

1. 该整数被视为分母为1的分数。

2. 直接乘以整数时，仅分子发生变化。

1. 声音
   观察依据

   他指出，此处需通分才能对这两个分数作减法，而这里的公分母是二十。

2. 公式
   观察依据

   他将$\frac{6}{4}$和$\frac{2}{5}$改写成分母为20的分数。

在对$\frac{6}{4}$和$\frac{2}{5}$作减法之前，教师将两个分数都化为分母相同的等价分数，并选定20作为公分母。这样可使分子直接可比，从而一步完成减法运算。

1. 这些分数必须被改写为等价分数。

2. 所选分母必须是原分母的公倍数。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“每个方程都将被独立处理。”

1. 该片段未显示这两个方程后续是否被合并为一个方程组，还是被分别求解。

在此例中清除分母时，每个方程是单独处理的，而非整体一起处理。

1. 屏幕上展示了多个方程。

2. 当前步骤是消去分母。

对于屏幕上展示的每个方程，清除分母这一步都是分别进行的。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，由于存在一个负的4y和一个正的4y，因此可以直接将两个方程相加。

2. 公式
   观察依据

   将$3x - 4y = 14$与$15x + 4y = 22$相加，得到$18x = 36$。

若两个线性方程中同一变量的系数互为相反数，则将这两个方程相加即可消去该变量。

1. 这些方程以对齐形式书写。

2. 某一变量对应的系数互为相反数。

针对同一组变量的两个线性方程。

1. 公式
   观察依据

   该页记录“解（2，－2）”，在推导出 x＝2 且 y＝－2 之后。

2. 声音
   观察依据

   教师说：“因此我们的解等于2负2。”

所展示方程组的联立解为$x=2$且$y=-2$。

1. 该方程组为$3x - 4y = 14$与$15x + 4y = 22$，由原分式方程等价推导而来。

针对视频片段中展示的这个二元一次方程组。

1. 公式
   观察依据

   该页显示了$\frac{3}{4}(2)+\frac{1}{5}(-2)=\frac{11}{10}$，而中间演算过程也导向同一数值。

2. 声音
   观察依据

   说话者称这将得到十一分之十，随后又指出我们在该处是正确的。

对于所显示的等式$\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}y=\frac{11}{10}$，数值$x=2$和$y=-2$使该等式成立。

1. 正在检验的等式是$\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}y=\frac{11}{10}$。

2. 待检验的数值是$x=2$和$y=-2$。

针对$x$和$y$的这些特定取值。

1. 声音
   观察依据

   他说，若用五分之五去乘，结果为一，其值不变；同样，用四分之四去乘，其值也不变。

将一个分数乘以$\frac{5}{5}$或$\frac{4}{4}$，其值保持不变，因为每个因子都等于1。

1. 所用因子是一个分子与分母相等且均不为零的分数。

针对本例中所展示的分数。

1. 公式
   观察依据

   方程 a) 写作“$1/2 x - 2/3 y = 7/3$”。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出方程 a) 中的分母为2和3，并说明需要找一个公分母。

3. 公式
   观察依据

   手写计划中写着“找公分母”和“x 两边同乘”。

1. 在片段结束前，实际的公分母数值并未写出。

2. 未展示任何经乘法变换后的方程。

1. 公式

   $$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$$
   解释

   第一个展示的方程写在页面上。

   步骤依据

   直接从手写的公式中观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{denominators: }2,\ 3,\ 3$$
   解释

   讲话者指出方程a)中涉及的分母。

   步骤依据

   音频说明需要消去“二和三之间”的分母，且所写的方程右侧也显示了$7/3$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Find Common Denominator}$$
   解释

   所选的第一步是为各项分式找出一个公分母。

   步骤依据

   明确写在页面上，并在音频中陈述。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\times \text{ Multiply through}$$
   解释

   找出公分母后，下一步计划是将整个方程两边同乘该公分母。

   步骤依据

   明确写在页面上，并在音频中陈述。

   视频直接表达

本片段确立了处理方程a)的方法：先识别分母，再找出公分母，最后两边同乘；但本片段未执行具体运算。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出方程a）的公分母为6，并用它乘过整个方程。

2. 公式
   观察依据

   书面步骤显示：$1/2 x * 6 - 2/3 y * 6 = 7/3 * 6$，接着是 $6/2 x - 12/3 y = 42/3$，最后是 $3x - 4y = 14$。

1. 公式

   $$\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = \frac{7}{3}$$
   解释

   从原始的第一个方程开始。

   步骤依据

   视频中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{1}{2}x \cdot 6 - \frac{2}{3}y \cdot 6 = \frac{7}{3} \cdot 6$$
   解释

   将方程中的每一项都乘以公分母6。

   步骤依据

   等式的乘法性质。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{6}{2}x - \frac{12}{3}y = \frac{42}{3}$$
   解释

   对分子执行乘法运算。

   步骤依据

   算术乘法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$3x - 4y = 14$$
   解释

   通过用分子除以分母来约简每个分数。

   步骤依据

   分数化简。

   视频直接表达

第一个方程化简为 $3x - 4y = 14$。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出方程b)的公分母为20，并将其整体乘入。

2. 公式
   观察依据

   书面步骤显示$3/4x * 20 + 1/5y * 20 = 11/10 * 20$，接着$60/4x + 20/5y = 220/10$，最后$15x + 4y = 22$。

1. 公式

   $$\frac{3}{4}x + \frac{1}{5}y = \frac{11}{10}$$
   解释

   从原始的第二个方程出发。

   步骤依据

   视频中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{3}{4}x \cdot 20 + \frac{1}{5}y \cdot 20 = \frac{11}{10} \cdot 20$$
   解释

   将方程中每一项都乘以公分母20。

   步骤依据

   等式的乘法性质。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{60}{4}x + \frac{20}{5}y = \frac{220}{10}$$
   解释

   对分子执行乘法运算。

   步骤依据

   算术乘法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$15x + 4y = 22$$
   解释

   通过用分子除以分母，将每个分数约简。

   步骤依据

   分数化简。

   视频直接表达

第二个方程化简为$15x + 4y = 22$。

1. 公式
   观察依据

   教师将所列两个方程相加，写出$18x = 36$，然后得$x = 2$。

2. 声音
   观察依据

   他说：‘我们只需将两个方程相加。于是我得到18x……等于36，因此x等于2。’

1. 公式

   $$3x - 4y = 14$$
   解释

   从第一个化简后的方程开始。

   步骤依据

   页面上给出的方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$15x + 4y = 22$$
   解释

   从第二个化简后的方程开始。

   步骤依据

   页面上给出的方程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(3x+15x)+(-4y+4y)=14+22$$
   解释

   将两个方程逐项相加。

   步骤依据

   当y的系数互为相反数时，可通过相加消元。

   依据视频推导
4. 公式

   $$18x = 36$$
   解释

   y项相互抵消，x项合并。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x = 2$$
   解释

   两边同时除以18。

   步骤依据

   解一个单变量的一次方程。

   视频直接表达

消元步骤得出 $x = 2$。

1. 公式
   观察依据

   教师将 $x = 2$ 代入 $1/2 x - 2/3 y = 7/3$，得到 $1 - 2/3 y = 7/3$，再乘以 3 得到 $3 - 2y = 7$，接着写出 -2y = 4，并解得 $y = -2$。

2. 声音
   观察依据

   他逐条口述每个代数步骤，包括将所有项乘以3，再除以 -2。

1. 公式

   $$\frac{1}{2}(2)-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$$
   解释

   将 $x = 2$ 代入第一个原始方程。

   步骤依据

   代入已知数值进行回代。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$$
   解释

   计算 ($1/2$)(2) = 1。

   步骤依据

   分数乘法与化简。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3-2y=7$$
   解释

   将每一项都乘以3以消去分母。

   步骤依据

   利用公分母进行等价变形。

   视频直接表达
4. 公式

   $$-2y=4$$
   解释

   两边同时减去3。

   步骤依据

   将含 y 的项单独分离出来。

   视频直接表达
5. 公式

   $$y=-2$$
   解释

   两边同时除以 -2。

   步骤依据

   求解一元一次方程。

   视频直接表达

剩余的未知数为 $y = -2$，因此有序数对为 (2, -2)。

1. 公式
   观察依据

   完整可见的演算链依次为$\frac{3}{4}(2)+\frac{1}{5}(-2)=\frac{11}{10}$、$\frac{6}{4}-\frac{2}{5}=\frac{11}{10}$、$\frac{30}{20}-\frac{8}{20}=\frac{11}{10}$、$\frac{22}{20}=\frac{11}{10}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解顺序与演算步骤一致：代入、相乘、通分、相减、约分、得出结论（解是否正确）。

1. 公式

   $$\frac{3}{4}(2)+\frac{1}{5}(-2)$$
   解释

   从第二个方程出发，将$x$替换为2，并将$y$替换为$-2$。

   步骤依据

   将候选解代入待验证的方程中进行检验。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{6}{4}-\frac{2}{5}$$
   解释

   分别计算每个乘积。

   步骤依据

   分数乘以整数时，仅分子被乘；$-2$的符号带入第二项。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{30}{20}-\frac{8}{20}$$
   解释

   将两个分数都改写为分母为20的形式。

   步骤依据

   利用分别乘以$\frac{5}{5}$和$\frac{4}{4}$所得的等价分数，其数值不变。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{22}{20}$$
   解释

   在保持公分母不变的前提下，对分子作减法运算。

   步骤依据

   同分母分数相减的法则。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{11}{10}$$
   解释

   将结果约分为最简分数。

   步骤依据

   分子与分母同时除以它们的公因数2。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\frac{11}{10}=\frac{11}{10}$$
   解释

   将化简后的等式左边与原方程的右边进行比较。

   步骤依据

   若得到一个成立的数值等式，则说明该候选数对满足该方程。

   视频直接表达

有序数对$(2,-2)$满足所显示的方程，因此验证成功。

1. 声音
   观察依据

   讲话者说：“因此，在第一个教程中，我将讲解一个分式例题。”

2. 公式
   观察依据

   页面显示“分式例题”，其后跟着两个标有字母的方程。

3. 公式
   观察依据

   方程 a) 是“$1/2 x - 2/3 y = 7/3$”，方程 b) 是“$3/4 x + 1/5 y = 11/10$”。

1. 该片段并未求解任一方程。

2. 视频未明确说明这两个方程是作为方程组还是作为独立的练习题出现；尽管主讲人指出，为消去分母，它们是被分别处理的。

求解含有理系数的线性方程，首先消去分母。

1. 方程 a)：$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$

2. 方程 b)：$\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}y=\frac{11}{10}$

为每个方程设置消去分数分母的第一步。

1. 公式

   $$\text{Write the two equations as a) \text{且} b).}$$
   解释

   主讲人在讲解方法前先对两个方程进行了标注。

   步骤依据

   该信息直接来自手写内容与音频中的命名。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{For equation a), identify the denominators.}$$
   解释

   主讲人首先聚焦于方程 a)，并指出其分母为2和3。

   步骤依据

   音频中明确讨论了方程 a) 以及介于2和3之间的分母。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Find Common Denominator}$$
   解释

   书面计划指出，下一步是找出公分母。

   步骤依据

   写在方程下方的页面上。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\times \text{ Multiply through}$$
   解释

   书面计划指出，在找出公分母之后，应两边同乘。

   步骤依据

   写在页面上，并在音频中同步复述。

   视频直接表达

本片段未给出最终解；仅完成了列式步骤。

该片段在任何去分母方程或解出现之前就结束了，因此本段内无法进行验证。

1. 公式
   观察依据

   整个方程组及所有变形步骤均写在纸上。

2. 声音
   观察依据

   讲解者叙述了寻找公分母、两边同乘以及化简方程的过程。

解下列线性方程组：a) $1/2 x - 2/3 y = 7/3$，b) $3/4 x + 1/5 y = 11/10$。

1. 方程 a)：$\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = \frac{7}{3}$

2. 方程 b)：$\frac{3}{4}x + \frac{1}{5}y = \frac{11}{10}$

将方程组转化为整数系数的形式，为求解做准备。

1. 公式

   $$\text{Common denominator for a) is } 6$$
   解释

   找出分母 2、3 和 3 的最小公倍数。

   步骤依据

   寻找公分母以消去分数。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{1}{2}x \cdot 6 - \frac{2}{3}y \cdot 6 = \frac{7}{3} \cdot 6 \Rightarrow 3x - 4y = 14$$
   解释

   将方程 a) 两边同乘 6 并化简。

   步骤依据

   等式的乘法性质与分数约分。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Common denominator for b) is } 20$$
   解释

   找出分母 4、5 和 10 的最小公倍数。

   步骤依据

   寻找公分母以消去分数。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{3}{4}x \cdot 20 + \frac{1}{5}y \cdot 20 = \frac{11}{10} \cdot 20 \Rightarrow 15x + 4y = 22$$
   解释

   将方程 b) 两边同乘以20，然后化简。

   步骤依据

   等式的乘法性质与分数约分。

   视频直接表达

变换后的方程组为$3x - 4y = 14$ 和 $15x + 4y = 22$。

讲解者指出，这个新方程组现在可用代入法或消元法求解。

1. 公式
   观察依据

   该页面展示了原始的分数方程组：$1/2 x - 2/3 y = 7/3$ 和 $3/4 x + 1/5 y = 11/10$，然后给出化简后的整数方程组：$3x - 4y = 14$ 和 $15x + 4y = 22$。

2. 声音
   观察依据

   教师通过消元法求解该方程组，将 $x = 2$ 代入第一个原始方程，求得 $y = -2$，并开始在第二个方程中进行检验。

1. 最终的验证步骤在本片段中未完成。

利用页面上所示的化简后整数方程组，求解由原始方程 $1/2 x - 2/3 y = 7/3$ 和 $3/4 x + 1/5 y = 11/10$ 所构成的方程组。

1. 原始方程 a)：$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$。

2. 原方程 b)：$\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}y=\frac{11}{10}$。

3. 化简后的方程组为：$3x-4y=14$ 和 $15x+4y=22$。

求满足该方程组的有序数对 (x, y)，并开始验证。

1. 公式

   $$3x - 4y = 14,\quad 15x + 4y = 22$$
   解释

   使用化简后的整数方程组，因为 y 的系数互为相反数。

   步骤依据

   为消元做准备。

   视频直接表达
2. 公式

   $$18x = 36$$
   解释

   将两个方程相加，消去 y。

   步骤依据

   相反的系数在相加时相互抵消。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x = 2$$
   解释

   解出 x。

   步骤依据

   两边同除以 18。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{1}{2}(2)-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$$
   解释

   将 $x=2$ 代入第一个原方程。

   步骤依据

   回代求 y。

   视频直接表达
5. 公式

   $$1-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$$
   解释

   化简代入后的项。

   步骤依据

   对应的式子为：（$1/2$）（2）＝1。

   视频直接表达
6. 公式

   $$3-2y=7$$
   解释

   两边同乘3以消去分母。

   步骤依据

   通分去分母。

   视频直接表达
7. 公式

   $$-2y=4$$
   解释

   两边同时减去3。

   步骤依据

   将含 y 的项单独放在等式一侧。

   视频直接表达
8. 公式

   $$y=-2$$
   解释

   两边同除以－2。

   步骤依据

   解出 y。

   视频直接表达
9. 公式

   $$\frac{3}{4}(2)+\frac{1}{5}(-2)$$
   解释

   开始将解代入第二个原方程进行检验。

   步骤依据

   教师陈述的验证步骤。

   视频直接表达

解为（2，－2）

教师从将（2，－2）代入第二个原方程开始检验，但视频片段在算术运算完成前结束。

1. 公式
   观察依据

   页面标题包含‘分数示例’，演算步骤为$\frac{3}{4}(2)+\frac{1}{5}(-2)=\frac{11}{10}$。

2. 声音
   观察依据

   教师完整口述了整个验证过程，并以‘我们在此处是正确的’作为结尾。

验证先前求得的解$x=2$、$y=-2$是否满足所显示方程组的第二个方程。

1. 待验证的方程：$\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}y=\frac{11}{10}$。

2. 候选值：$x=2$、$y=-2$。

检验将候选值代入后，该方程是否成立。

1. 公式

   $$\frac{3}{4}(2)+\frac{1}{5}(-2)$$
   解释

   将已知数值代入等式左边。

   步骤依据

   直接代入以作验证。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{6}{4}-\frac{2}{5}$$
   解释

   计算两个乘积。

   步骤依据

   分数与整数相乘。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{30}{20}-\frac{8}{20}$$
   解释

   通分为分母20。

   步骤依据

   通过分别乘以$\frac{5}{5}$和$\frac{4}{4}$得到的等价分数。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{22}{20}$$
   解释

   对分子作减法。

   步骤依据

   同分母分数的减法。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{11}{10}$$
   解释

   约分该分数。

   步骤依据

   约去公因数2。

   视频直接表达

是的；左边化简后为$\frac{11}{10}$，与右边一致，因此$(2,-2)$得证。

最终比较结果为真命题$\frac{11}{10}=\frac{11}{10}$。

1. 动画
   观察依据

   一只手在方格纸顶部书写标题。

2. 公式
   观察依据

   可见文字为“第1.6节 解含有理数的线性方程”。

1. 手写体中的具体间距和大小写略有不同，但文字内容清晰可辨。

1. 方格纸

2. 手

3. 钢笔

4. 标题文字

1. 空白页面随即以本节名称作为标题。

1. 镜头保持固定俯拍视角。

2. 此时尚未出现任何公式。

该画面在引入任何例题之前，即已明确本课主题。

1. 动画
   观察依据

   手写“分数例题”，随后在其下方添加两个带标签的公式。

2. 公式
   观察依据

   两个公式依次显现：a) $\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}$ 和 b) $\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}y=\frac{11}{10}$。

1. 标题“分数例题”

2. 公式 a）

3. 公式 b）

4. 钢笔

5. 纸张

1. 新增一个子标题。

2. 两个方程依次写出。

3. 页面从仅含标题变为呈现一道例题的解题框架。

1. 在此区间内，方程始终保持分式形式。

画面引入一个具体实例，后续片段将围绕该实例展开分析。

1. 动画
   观察依据

   手在方程下方书写一条简短的方法说明。

2. 公式
   观察依据

   可见的说明文字为“找公分母”，随后是“x 两边同乘”。

1. “两边同乘”前的符号是一个以“x”书写的乘号。

1. 方法说明

2. 乘号

3. 纸张

1. 示例下方添加了一个步骤提示。

1. 尚未展示方程的代数变形。

图示记录了预期的下一步：通过两边同乘一个公分母来消去分母。

1. 动画
   观察依据

   视频全程中，一只手在坐标纸上书写数学方程与解题步骤。

1. 手

2. 笔

3. 坐标纸

4. 数学方程

1. 手写出初始的方程组。

2. 手写出对方程 a) 进行乘法运算的步骤。

3. 手写出简化后的方程 a)。

4. 手写出方程 b) 的乘法运算步骤。

5. 手写出简化后的方程 b)。

1. 镜头角度固定在方格纸上。

2. 光照保持一致。

画面逐步呈现消去线性方程组中分母所需的代数变形过程。

1. 图示
   观察依据

   一张手写稿标题为“第1.6节 含有有理数的线性方程求解”，顶部列出两个原始分式方程、它们去分母后的形式，下方则给出化简后的方程组：3x－4y＝14 和 15x＋4y＝22。

1. 标题行

2. 原始方程 a) 和 b)

3. 去分母后的中间方程

4. 化简后的方程组：$3x - 4y = 14$ 和 $15x + 4y = 22$

1. 最开始并未引入任何新数学内容；该页面已预先呈现了例题的初始设定。

1. 原始的分式方程始终可见。

2. 化简后的整系数方程组始终可见。

视觉排版将题目陈述与解题过程明确分隔，使消元法的准备步骤在任何新步骤书写前即清晰呈现。

1. 动画
   观察依据

   笔迹依次写出“用消元法求解”，接着是“将两个方程相加”，在方程组下方画一条横线，然后写出 $18x = 36$，再写出 $x = 2$。

1. 由两个方程组成的方程组

2. 书面指令：“用消元法求解”

3. 求和行

4. 结果：$18x = 36$

5. 结果：$x = 2$

1. 相加后，y 项在视觉上消失。

2. 一个新的一元方程出现在方程组下方。

3. 下一行中，x 被单独分离出来。

1. 原始的两个方程保留在新演算过程的上方。

2. 正在演示的运算是方程相加。

书写顺序展现了消元法的因果结构：先对齐方程，再相加，接着消去互为相反数的项，最后求解剩余的方程。

1. 动画
   观察依据

   笔迹写出‘已知 $x = 2$，求 y’，然后代入 $1/2(2) - 2/3 y = 7/3$，化简为 $1 - 2/3 y = 7/3$，两边同乘 3 得到 $3 - 2y = 7$，再写出 -2y = 4 和 $y = -2$。

1. 指令：已知 $x = 2$，求 y 的值

2. 代入后的方程

3. 化简后的方程

4. 去分母后的方程

5. 最终的 y 值

1. 将 x 替换为 2。

2. 通过两边同乘 3 去掉分数。

3. 方程逐步变形，直至 y 被单独分离出来。

1. 所选方程为第一个原始方程。

2. 每一行新方程都是前一行方程的等价变形。

图示过程直观展示了：如何将已知变量值代入原始分式方程，并逐步化简为仅含一个未知数的简单线性方程。

1. 动画
   观察依据

   笔迹写出“解（2, -2）”，随后在左下方开始验算，写下 $3/4(2) + 1/5(-2)$ …

1. 检查表达式在视频片段结束时仍未完成。

1. 有序数对（2,-2）

2. 使用第二个原方程进行检查表达式

1. 求得的数值被整理为一个有序数对。

2. 在未使用的方程中另起一行进行新的验证。

1. 解数对仍为（2,-2）。

2. 验证过程使用第二个原方程。

页面从求解阶段过渡到验证阶段，表明：仅找出一个候选数对并非最终的数学步骤，必须通过代入确认才算完成。

1. 图示
   观察依据

   一张方格纸填满画面：顶部标题为‘第1.6节 解含有理数的线性方程及分数示例’，中部为已解出的方程组，左下角补充了验证过程。

1. 方格纸工作表

2. 手写标题：第1.6节 解含有理数的线性方程

3. 手写字幕：分数示例

4. 先前写好的方程组求解过程

5. 左下角的验算运算

1. 随着教师书写验算，新行依次添加在已有演算内容的下方。

2. 接近结尾时，纸张向上滑动，使下方更多书写内容保持在画面中。

1. 摄像机始终保持固定俯拍视角。

2. 上方先前完成的求解过程持续可见，而新的验算过程则在其下方书写。

视觉布局将先前的求解过程与当前的验算步骤分隔开，使该片段起到验证已得答案的作用，而非重新求解。

1. 动画
   观察依据

   手先写出$\frac{6}{4}$，再写出$-\frac{2}{5}$，接着写出转换后的分数$\frac{30}{20}$和$\frac{8}{20}$，然后写出$\frac{22}{20}$，最后写出$\frac{11}{10}$。

1. 笔尖

2. 依次手写的分数

3. 连接各步骤的等号

1. 每一行新式子都依赖于前一行：先算乘积，再通分重写，然后相减，最后约分。

1. 目标右侧表达式$\frac{11}{10}$从验算一开始便已出现。

2. 代入的数值$2$和$-2$在整个计算过程中保持不变。

书写顺序在视觉上编码了代数操作流程：代入、化简乘积、等价地改写分数、相减、约分、比较。

1. 声音
   观察依据

   说话者在列举可能的系数形式时提到“甚至可能包括根式之类的东西”。

2. 公式
   观察依据

   本片段中实际写出的仅是含分数系数的方程。

人们或许会从口头列举中推断，本段正在求解含根式、小数及括号形式的方程。

本片段中仅书写并讨论了一个分数例子；根式与小数仅在口头提及为其他可能情形，并未演示。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：‘哎呀，这里应该是个加号，对吧？加号，加号，务必避免这类错误。’

2. 公式
   观察依据

   说话人将方程 b) 的中间步骤中一个已写出的减号更正为加号。

当各项乘以公分母时，容易不小心把加号错写成减号，或反之。

乘以公分母前后，需仔细核对每一项的符号，确保方程仍保持等价。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，这种情况并不总是如此，有时需要先进行一些变形处理。

学习者可能误以为任何线性方程组都只需将所给方程直接相加即可求解。

直接相加在此处可行，仅因为 y 的系数已互为相反数；否则必须先对两个方程进行变形处理。

1. 声音
   观察依据

   教师将检验称为最后一步，以此确认答案正确无误。

学生可能在得到（2,-2）后便停止解题，并认为无需再做进一步验证。

视频明确示范了最终检验步骤：将该数对代入另一个原始方程中。

1. 声音
   观察依据

   教师明确提醒，乘以 $\frac{5}{5}$ 或 $\frac{4}{4}$ is multiplying by one, so you are not changing the value.

学生可能认为将$\frac{6}{4}$改为$\frac{30}{20}$或将$\frac{2}{5}$改为$\frac{8}{20}$会改变数值。

视频强调，这些是通过乘以1的不同形式所得到的等价分数，因此数值保持不变，而分母则变得适合相减。

1. 声音
   观察依据

   他说，这里必须通分，才能对这两个分数作相减。

学习者可能尝试在未先重写的情况下，直接相减$\frac{6}{4}$和$\frac{2}{5}$。