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线性化与微分 - 视频 2 - 微分

Rutgers Math 151 · YouTube · 4:44

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视频中的要点

01自变量微分（dx）
02因变量微分（dy）
03微分与分数的常见误解

来自学习笔记

dx

自变量微分（dx）

选中时刻

在函数线性化中的应用

建议预备知识

导数
函数
导数记号 $f'(x)$
某一点处的切线／线性近似
公式的基本代数变形
有限增量 $\Delta x$ 的含义
某一点处的导数
切线／线性化
函数在基点处的取值
输入变量的有向变化量

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本视频片段介绍了微积分中微分的概念。它定义了自变量微分 dx 和因变量微分 dy，即 $dy = f$ '(x)dx。主讲人强调：尽管 $dy/dx$ 形似分数，但它表示的是导数，不应按简单的代数约分方式处理。随后引入了另一种记号 df。最后，该片段开始讲解如何通过令 dx 等于 x 的改变量（Delta x）来利用微分实现线性逼近。本 120秒微积分白板片段将微分与线性化联系起来。它从 $df=f'(x)dx$ 出发，代入 $dx=\Delta x$ ，然后回顾线性化公式 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 。通过将 $x-a$ 识别为 $\Delta x$ ，主讲人推导出 $L(x)-f(a)=f'(a)\Delta x$ ，用 $L(x)$ 的近似值代替 $f(x)$ ，从而得到 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ ，定义 $\Delta f=f(x)-f(a)$ ，并以核心法则 $\Delta f\approx df=f'(a)dx=f'(a)\Delta x$ 作结。该片段最后指出，一个更早的 $\sqrt{35.8}$ 近似示例也符合同一框架，尽管关联性较弱。这段时长为44秒的微积分片段演示了利用微分的线性化方法。板书先给出一般关系式Δf ≈ df = f'(a) $dx = f$ '(a)Δx，再将其应用于一个具体例子：基点为36，目标点为35.8，导数值f'(36)= $1/12$ ，函数值 $f(36)=6$ 。主讲人计算得Δf ≈ ( $1/12$ )(-0.2) = -1/60，将Δf重写为 $f(35.8)-6$ ，并解释：将这一近似变化量加回去，所得结果与先前的线性化方法一致。该片段最后将微分定位为理解线性化的另一种视角。

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章节

0:00微分导论 0:10自变量微分 dx 的定义 0:25因变量微分 dy 的定义 0:45与导数的关系及常见误解 1:30另一种记号 df 1:45在函数线性化中的应用 2:00微分公式及代换

dx=\Delta x

2:23回顾线性化式

L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)

2:43将线性化式改写为变化量公式 2:57近似计算真实变化量

f(x)-f(a)

3:05定义

\Delta f

3:22用微分表示的线性化：

\Delta f\approx df

3:53与此前的

\sqrt{35.8}

例题相联系 4:00一般微分公式 4:04代入 f'(36)=

1/12

且

Δx=-0.2

4:19计算 Δf ≈ -1/60 4:22将 Δf 与

f(35.8)-6

关联起来 4:33作为一种新的线性化技巧的解释

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

欢迎来到微分课程。我们将探讨微分如何作为一种线性近似工具。

我们从定义出发。考虑一个可导函数 $y = f(x)$ 。我们引入一个称为微分 $dx$ 的新自变量。

接下来，我们定义因变量微分 $dy$ 。它等于导数与自变量微分的乘积： $dy = f'(x) dx$ 。这使我们能够根据 $y$ 的变化来近似计算 $x$ 的变化。

注意 $dy$ 、 $dx$ 与导数之间的关系。由于 $f'(x) = \frac{dy}{dx}$ ，我们可以写出 $dy = \frac{dy}{dx} dx$ 。尽管这看起来像分数约分，但请谨记：导数是一个极限，并非真正的分数，因此代数运算需谨慎。

我们还可以用函数记号来表达这一关系。不再使用 $dy$ ，而是采用 $df$ ，其定义为 $df = f'(x) dx$ 。这只是同一概念的另一种记法。

最后，我们如何将此用于线性化？关键步骤是将微分 $dx$ 等同于 $x$ 的实际变化量，记作 $\Delta x$ 。这为函数值的近似奠定了基础。

本片段首先回顾单变量函数的微分恒等式。黑板上用蓝色写出公式 $df=f'(x)\,dx$ ，其上方教师注明计划代入的量 $dx=\Delta x$ 。这一数学要点看似简单却至关重要：一旦将自变量的微分替换为有限的输入增量，同一表达式就变为 $df=f'(x)\,\Delta x$ ，从而为与线性近似进行比较做好铺垫。

接着，课程切换为橙色，回顾函数 $f$ 在基点 $a$ 处的线性化： $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 。这是由已知值 $f(a)$ 和斜率 $f'(a)$ 构建出的切线模型。讲者随后聚焦于因子 $(x-a)$ ，并明确将其重命名为 $\Delta x$ ，因为它度量了输入从 $a$ 到 $x$ 的变化量。

完成上述识别后，线性化表达式被重新整理为变化公式。两边同时减去 $f(a)$ ，得到精确表述 $L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x$ 。此步骤凸显了线性模型对输入变动 $\Delta x$ 时输出变化的预测结果。

随后，论证从线性模型过渡到原函数。由于线性近似意味着 $L(x)\approx f(x)$ 在 $a$ 附近成立，因此 $L$ 的精确变化量被转化为 $f$ 的近似变化量： $f(x)-f(a)\approx f'(a)\,\Delta x$ 。此时黑板已阐明，切线公式并非一种孤立的构造；它实为真实函数增量的一个局部估计器。

为简化记号，教师定义 $\Delta f=f(x)-f(a)$ 。此举将前一近似式的左侧命名为函数值的实际有限变化。其目的具有实用性：若已知便捷值 $f(a)$ ，且能估算 $\Delta f$ ，则可由此恢复出对 $f(x)$ 的近似。

最终综合出现在标题“用微分进行线性化”之下。黑板上写出 $\Delta f\approx df=f'(a)\,dx=f'(a)\,\Delta x$ 。该式统一了本片段的两条主线：起始处的微分公式，以及中段由线性化导出的近似式。从概念上看，微分 $df$ 正被用作实际变化量 $\Delta f$ 的线性化版本。

本片段最后将该框架联系到一个涉及 $\sqrt{35.8}$ 的早期数值例子。此处未展示具体计算，但讲者指出相同推理依然适用。唯一提醒是：微分路径“不如直接法简洁”，因为必须先经由“ $f$ 的变化量”这一解释，才能将 $df$ 用作近似工具。

视频片段以一块白板开场，白板上已呈现线性化框架：顶部写有公式如 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 和 $\Delta f = f(x)-f(a) \approx f'(a)\Delta x$ ，而主要内容是标题“用微分进行线性化”以及展示的关系式 $\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x$ 。主讲人称“同样的思路可以这样实现”，表明这是对前一方法的另一种表述形式。

例题首先确定基点为 $a=36$ 。白板上写出 $f'(36)=\frac{1}{12}$ ，音频确认该导数值此前已知。下一步是确定输入变化量：从 $36$ 变到 $35.8$ 得到 $\Delta x = dx = -0.2$ 。负号至关重要，因为输入在减小。

将这些值代入微分近似公式，得到 $\Delta f \approx df = \frac{1}{12}(-0.2)$ 。随后白板上对该算术表达式进行化简，结果为 $-\frac{1}{60}$ 。这是函数值变化量的近似值，而非精确变化量本身。

为了将此结果与函数值联系起来，主讲人利用定义重写实际变化量： $\Delta f = f(x)-f(a)$ ，其中 $x=35.8$ 且 $a=36$ ，因此该式变为 $\Delta f = f(35.8)-f(36)$ 。由于视频片段中指出 $f(36)=6$ ，故所展示的表达式为 $f(35.8)-6$ 。一个彩色箭头在视觉上将该表达式与先前计算出的值 $-\frac{1}{60}$ 关联起来，表明 $f(35.8)-6 \approx -\frac{1}{60}$ ，因此 $f(35.8)$ 可通过将近似变化量加到 $6$ 上来估算。

结尾评述阐明了教学目的：微分为线性化提供了另一种视角。主讲人指出，这种观点在某些情境下可能更易理解，在另一些情境下则更难，并说明下一视频将展示它特别便利的具体情形。

知识卡片

自变量微分（dx）

对于可导函数 $y = f(x)$ ，dx 被定义为一个表示 x 的任意变化量的新自变量。

dx

因变量微分（dy）

微分 dy 表示沿切线方向 y 的相应变化量。它被定义为导数与 dx 的乘积。

dy = f'(x) dx

微分与分数的常见误解

虽然 $dy = (dy/dx)dx$ 看似发生了分数约分，但 $dy/dx$ 实际上是导数（一个极限），并非真正的分数。需谨慎对待这一记号。

dy = \frac{dy}{dx} dx

函数微分（df）

函数 f 的微分的另一种记号，当 $y = f(x)$ 时，它等价于 dy。

df = f'(x) dx

线性化设定

为利用微分进行线性近似，需将微分 dx 设为自变量的实际变化量 Delta x。

dx = \Delta x

含 $dx=\Delta x$ 的微分公式

本片段从标准单变量微分恒等式出发，再以有限输入增量替代自变量的微分。这使公式得以与线性化进行比较，因为相同的导数因子将在后续基点 $a$ 处的切线近似中再次出现。

df = f'(x)\,dx = f'(x)\,\Delta x

在基点处的线性化

函数 $f$ 在 $a$ 处的线性化，是基于已知值 $f(a)$ 和斜率 $f'(a)$ 构造的切线近似，它刻画了 $f$ 由相对于 $a$ 的位移的线性函数给出。

L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)

$(x-a)$ 即输入增量 $\Delta x$

在线性化公式中，因子 $(x-a)$ 衡量输入从基点 $a$ 移动到目标点 $x$ 的距离。视频明确将这一位移重新标记为 $\Delta x$ ，从而可将线性化改写为与微分所用相同的增量记号形式。

\Delta x = x-a

线性化所预测的精确变化

一旦线性化以增量形式写出，减去基值即可分离出模型所预测的输出变化。这是关于 $L$ 的一个精确陈述，尚不涉及原非线性函数。

L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x

对 $f$ 的真实变化进行近似

由于线性化意味着 $L(x)\approx f(x)$ 在 $a$ 附近成立，因此 $L$ 的精确变化公式便转化为对实际函数变化的近似。这正是从切线几何通向 $f(x)-f(a)$ 数值估计的关键桥梁。

f(x)-f(a)\approx f'(a)\,\Delta x

$\Delta f$ 的定义

符号 $\Delta f$ 被引入，表示函数值在基点与邻近目标点之间的实际有限变化。为该量命名，使得后续与微分的比较更为简洁且概念清晰。

\Delta f = f(x)-f(a)

用微分表示的线性化

本片段的主要结论是：实际变化 $\Delta f$ 可用微分 $df$ 来近似。在基点 $a$ 处计算微分，并代入 $dx=\Delta x$ ，即得到本节始终强调的实用局部近似法则。

\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x

与先前 $\sqrt{35.8}$ 例题的联系

主讲人指出，此前讨论过的一个涉及 $\sqrt{35.8}$ 的近似问题，同样适用于这一微分框架。此处强调的唯一区别在于步骤：除非先识别出所要近似的量即为变化量 $\Delta f$ ，否则微分法不够直接。

用微分进行线性化

该片段所展示的核心方法，是用微分来近似函数的实际变化量。白板上写明 $\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x$ 。其中， $\Delta f$ 是从 $f(a)$ 到 $f(x)$ 的真实变化量，而 $df$ 则是通过将基点处的导数值乘以输入变化量所得的线性近似值。

\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x

Δf 的含义

该片段将函数的实际变化量定义为 $\Delta f = f(x)-f(a)$ 。在示例中，这变为 $f(35.8)-f(36)$ ；又因为 $f(36)=6$ ，故写作 $f(35.8)-6$ 。这一量正是微分法所估计的对象。

\Delta f = f(x)-f(a)

例题设定

该例题使用基点 $a=36$ 、目标点 $x=35.8$ 、导数值 $f'(36)=\frac{1}{12}$ 和已知函数值 $f(36)=6$ 。因此输入的变化量为 $\Delta x = dx = 35.8-36 = -0.2$ 。这些量被代入微分近似公式中。

a=36,\quad x=35.8,\quad f'(36)=\frac{1}{12},\quad f(36)=6,\quad \Delta x=-0.2

计算近似的改变量

代入得 $\Delta f \approx \frac{1}{12}(-0.2)$ 。由于 $-0.2=-\frac{1}{5}$ ，该乘积化简为 $-\frac{1}{60}$ 。这是对当 $f$ 发生变化时， $x$ 从 $36$ 移动到 $35.8$ 所引起的变化量的微分估计。

\Delta f \approx \frac{1}{12}(-0.2) = -\frac{1}{60}

由近似值反求 $f(35.8)$

因为 $\Delta f = f(35.8)-6$ 且近似给出 $\Delta f \approx -\frac{1}{60}$ ，该片段建立等式 $f(35.8)-6 \approx -\frac{1}{60}$ 。解出邻近点的函数值得到 $f(35.8) \approx 6 - \frac{1}{60}$ 。讲解者指出，这与之前采用线性化方法所得结果一致。

f(35.8)-6 \approx -\frac{1}{60},\quad f(35.8) \approx 6 - \frac{1}{60}

此处微分为何有用

最后的评注将微分视为线性化的另一种视角：无需先写出切线方程再相减，而是可直接用 $\Delta f$ 近似变化量 $df=f'(a)\Delta x$ ，再将该变化量加回到已知的基准值上。主讲人指出，这种方法在某些情况下更简便，而在另一些情况下则更复杂。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 24

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
写作 $y = f(x)$

符号

含义

函数定义中的因变量

适用范围

实数

$f(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
写作 $f(x)$

符号

$f(x)$

含义

关于 x 可微的函数

适用范围

实数

dx

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
写作 dx

符号

含义

自变量的微分

适用范围

实数

dy

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
写作 dy

符号

含义

因变量的微分

适用范围

实数

f'(x)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
记作 f'(x) 或 $dy/dx$

符号

f'(x)

含义

函数 f 关于 x 的导数

适用范围

实数

df

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
记作 df

符号

含义

函数 f 的微分

适用范围

实数

$\Delta x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
记作〔Δx〕

符号

$\Delta x$

含义

x 的改变量

适用范围

实数

df

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $df = f'(x)\,dx$ 并在后续使用 $df$ 在总结行中 $\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
说话者称 $df$ 等于 $f'$ 在 $x$ 倍 $dx$ ，并随后提及 $f$ 的微分。

符号

含义

$f$ 的微分；本片段中，它被用作函数值实际变化量的线性近似。

适用范围

对可微函数 $f$ 定义；此处于基点 $a$ 处计算，增量为 $dx=\Delta x$ 。

f'(x)

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
写作 $f'(x)$ ，位于 $df = f'(x)\,dx$ 中，随后代入 $f'(x)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
说话人将其读作 $f'$ 在 $x$ 处。

符号

f'(x)

含义

$f$ 的导数，在动点 $x$ 处求值。在后续的线性化比较中，对应的导数则在基点 $a$ 处求值。

适用范围

要求 $f$ 在其求值点处可微。

dx

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
出现在 $df = f'(x)\,dx$ 中，以及页眉注释“将设 $dx = \Delta x$ ”里。
声音
观察依据
说话人说：“若我令 $dx$ 等于 $x$ 的某个变化量，或一个 $\Delta x$ 。”

符号

含义

自变量 $x$ 的微分。本课中，为近似目的，特意将其等同于有限增量 $\Delta x$ 。

适用范围

作为输入增量，与导数因子配对使用。

$\Delta x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
写在标题栏中的 $dx = \Delta x$ ，在 $= f'(x)\,\Delta x$ 中，在标为 $(x-a)$ 的 $\Delta x$ 中，以及在 $f'(a)\,\Delta x$ 中。
声音
观察依据
主讲人称其为“ $x$ 的某种变化”，随后指出 $(x-a)$ “实际上是一个 $\Delta x$ ”。

符号

$\Delta x$

含义

输入变量的有限变化。在线性化公式中，当从基点出发时，它由 $x-a$ 表示 $a$ 到邻近点 $x$ 。

适用范围

此处被视为代入微分公式中 $dx$ 位置的同一量。

$L(x)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上先写出 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ ，然后写出 $L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“我们的线性化得出： $L$ 在 $x$ 处的值等于 $f$ 在 $a$ 处的值，加上 $f'$ 在 $a$ 处的值乘以 $x$ 减去 $a$ 。”

符号

$L(x)$

含义

函数 $f$ 在基点 $a$ 处的线性化（线性近似），视作关于 $x$ 的函数。

适用范围

在展开点附近有定义 $a$ ；在此片段中，它与 $f(x)$ 通过近似式 $L(x)\approx f(x)$ 。

知识点 · 14

自变量微分的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人定义了一个新的自变量 dx。
公式
观察依据
屏幕文字：「若 $y = f(x)$ ，且 f 可导，则我们定义一个新的自变量 dx」

定义

解释

对于可导函数 $y = f(x)$ ，dx 被定义为一个表示微分的新自变量。

适用条件

f 必须是可导函数

因变量微分的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人用 f'(x) 和 dx 定义 dy。
公式
观察依据
书写方程： $dy = f$ '(x) dx

定义

解释

因变量微分 dy 被定义为导数 f'(x) 与自变量微分 dx 的乘积。

适用条件

dx 已被定义
f'(x) 存在

先修条目

自变量微分的定义

函数微分的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人引入 df 作为另一种记号。
公式
观察依据
书写方程：df = f'(x) dx

定义

解释

函数 f 的微分可记作 df，当 $y = f(x)$ 时，df 在数学上等价于 dy。

适用条件

y 等于 f 作用于 x

先修条目

因变量微分的定义

利用微分建立线性近似

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明在线性近似中，将 dx 设为等于 Δx。
公式
观察依据
文字显示：“将设 dx = 〔Δx〕”

方法

解释

要利用微分进行线性近似，需将自变量的微分 dx 设为等于 x 的实际变化量，记作〔Δx〕。

先修条目

自变量微分的定义

用 $dx=\Delta x$ 表示的微分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $df = f'(x)\,dx$ ，然后代入得到 $= f'(x)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
说话者称 $df$ 等于 $f'$ 在 $x$ 倍 $dx$ ，且若 $dx$ 设为等于 $x$ 或一个 $\Delta x$ ，则变为 $f'$ 在 $x$ 倍 $\Delta x$ 。

公式

解释

该片段从单变量函数的微分公式出发，并明确将自变量的微分替换为有限增量 $\Delta x$ 。由此得到相同的代数表达式，但此时被诠释为对有限变化量的线性估计。

公式

df = f'(x)\,dx = f'(x)\,\Delta x

适用条件

$f$ 在计算 $f'$ 的点处可微。
本课中，为近似目的，特意将 $dx$ 等同于 $\Delta x$ 。

$f$ 在 $a$ 处的线性化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上用橙色写出 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 。
声音
观察依据
说话者说：“我们的线性化给出： $L$ 在 $x$ 处的值为 $f$ 在 $a$ 处的值加上 $f'$ 在 $a$ 处的值乘以 $x$ 减去 $a$ 。”

定义

解释

线性化是 $f$ 在点 $a$ 处的切线近似。它利用已知值 $f(a)$ 和斜率 $f'(a)$ 构造关于 $x$ 。

公式

L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)

适用条件

$f$ 在 $a$ 处可微。
取 $x$ 靠近 $a$ ，以使切线近似具有意义。

先修条目

用 $dx=\Delta x$ 表示的微分

线性化的变化量等于斜率乘以输入的变化量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x$ 经过重写后 $(x-a)$ 为 $\Delta x$ 。
声音
观察依据
说话人说：“因此线性近似告诉我们， $L$ 在 $x$ 处的值减去 $f$ 在 $a$ 处的值等于 $f'$ 在 $a$ 处的值乘以一个 $\Delta x$ 。”

公式

解释

从线性化表达式中减去基准值 $f(a)$ ，可分离出由从 $a$ 移动到 $x$ 所预测的变化量。由于 $x-a$ 被等同于 $\Delta x$ ，故 $L$ 的变化量恰好为 $f'(a)\Delta x$ 。

公式

L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x

适用条件

使用线性化表达式 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 。
将 $x-a$ 视为有限的输入增量 $\Delta x$ 。

先修条目

$f$ 在 $a$ 处的线性化

对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
说话人说：“但线性近似指出，这个 $L$ 约等于 $f$ 在 $x$ 处的值。因此， $f$ 在 $x$ 处的值减去 $f$ 在 $a$ 处的值约等于 $f'$ 在 $a$ 处的值乘以 $\Delta x$ 。”

公式

解释

由于 $L(x)$ 在 $f(x)$ 附近近似于 $a$ ，线性模型中精确的变化量被转化为关于真实函数变化的近似陈述。结果是，实际差值 $f(x)-f(a)$ 被同一‘斜率乘以增量’表达式所近似。

公式

f(x)-f(a)\approx f'(a)\,\Delta x

适用条件

为使线性近似合理， $x$ 必须足够接近 $a$ 。
$f$ 在 $a$ 处可导。

先修条目

$f$ 在 $a$ 处的线性化
线性化的变化量等于斜率乘以输入的变化量

$\Delta f$ 的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板在上一个近似式旁边写下 $\Delta f = f(x)-f(a)$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“这里这个是 $f$ 的变化量。”

定义

解释

符号 $\Delta f$ 表示当输入从 $a$ 变到 $x$ 时，函数值的实际有限变化量。本片段中引入它，正是为了将线性化讨论与后续的微分近似联系起来。

公式

\Delta f = f(x)-f(a)

适用条件

基点 $a$ 和目标点 $x$ 是固定的。
片段中未额外说明除在这些点处计算 $f$ 之外的任何条件。

先修条目

对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似

用微分来近似 $\Delta f$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板写下标题“用微分进行线性化”，然后写下 $\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人指出，思路是用 $f$ 的微分来近似 $f$ 的变化量，且该微分定义为 $f'$ 在初始点 $a$ 处的值乘以 $dx$ ，即实际代入 $f'(a)\Delta x$ 。

方法

解释

这是本片段的核心综合结论：实际变化量 $\Delta f$ 由微分 $df$ 来估计。随后，该微分利用基点处的导数及代换 $dx=\Delta x$ 展开，从而得到一个用于局部线性估计的简洁公式。

公式

\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x

适用条件

$f$ 在基点 $a$ 处可微。
$x$ 靠近 $a$ ，使得线性近似适用。
本课明确将 $dx=\Delta x$ 设定为此处所用。

先修条目

用 $dx=\Delta x$ 表示的微分
对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似
$\Delta f$ 的定义

利用微分进行线性化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板标题为‘利用微分进行线性化’，其下方写着：Δf ≈ df = f'(a) $dx = f$ '(a) Δx。
声音
观察依据
‘这仅仅提供了一种新视角、一种借助微分来理解线性化的新方法……’

方法

解释

本视频介绍了一种通过用微分 df 替代实际变化量 Δf 来近似函数变化的方法。所展示的关键关系式为 Δf ≈ df = f'(a) $dx = f$ '(a) Δx，其含义是：在基点 a 附近，函数的变化量可用 a 处的导数乘以自变量的变化量来估算。

公式

\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x

适用条件

函数 f 在基准点 a 处可导。
输入变化量 Δx 足够小，使得线性近似具有实用价值。

函数值的变化量 Δf

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示： $Δf = f(x) - f(a)$ ≈ f'(a) Δx。
声音
观察依据
f 的变化量即为 f 在35.8处的值减去 f 在36处的值，结果为6。

定义

解释

从基准点 a 到邻近点 x，函数的实际变化量定义为 $Δf = f(x) - f(a)$ 。在本例演算中，这变为 $f(35.8) - f(36)$ ；又因 $f(36) = 6$ ，故写作 $f(35.8) - 6$ 。

公式

\Delta f = f(x) - f(a)

适用条件

x 是一个邻近的输入值。
a 是选定的基准点。

定理与条件 · 7

导数比值的本质

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出 $dy/dx$ 看似一个分数，但实际上并非分数，因为导数本质上不是一个分数。
公式
观察依据
写出的等式： $dy = (dy/dx) dx$

命题

表达式 $dy/dx$ 表示导数 f'(x)，但不应将其视为可代数约分的真正分数。

前提

dy 和 dx 是微分
f'(x) 是导数

量词

原文中未陈述任何量词。

起始处使用的微分恒等式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $df = f'(x)\,dx$ ，然后在标题注释 $= f'(x)\,\Delta x$ 之后显示 $dx=\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人指出 $df$ 等于 $f'$ 在 $x$ 倍的 $dx$ ，并在设定 $dx=\Delta x$ 后变为 $f'$ 在 $x$ 倍的 $\Delta x$ 。

命题

对于正在讨论的函数， $df = f'(x)\,dx$ 成立；若令 $dx$ 等于 $\Delta x$ ，则有 $df = f'(x)\,\Delta x$ 。

前提

$f$ 在 $f'$ 被求值的点处可导。
本课采用代换 $dx=\Delta x$ 。

量词

在选定的求值点 $x$ 处的逐点陈述。

线性化过程中的精确变化量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人说，线性近似告诉我们， $L(x)-f(a)$ 等于 $f'(a)$ 乘以 $\Delta x$ 。

命题

若 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 且 $\Delta x=x-a$ ，则 $L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x$ 。

前提

$L$ 是 $f$ 在 $a$ 处的线性化。
$\Delta x$ 被等同于 $x-a$ 。

量词

对于选定的基点 $a$ 和其附近的点 $x$ 。

对真实函数变化的线性逼近

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
讲话者指出，因为 $L$ 约等于 $f$ 在 $x$ ， $f(x)-f(a)$ 约等于 $f'(a)\Delta x$ 。

命题

在基点 $a$ 附近， $f(x)-f(a)\approx f'(a)\,\Delta x$ 。

前提

$f$ 在 $a$ 处可微。
$x$ 足够接近 $a$ ，使得线性逼近成立。
对应的式子为： $\Delta x=x-a$ 。

量词

$x$ 在 $a$ 附近的局部逼近表述。

核心微分近似原理

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板在标题“用微分进行线性化”下列出 $\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
讲解者指出，其思路是用 $f$ 的微分来近似 $f$ 的变化量，其中该微分由 $f'(a)dx$ 给出，然后 $f'(a)\Delta x$ 。

命题

实际变化量 $\Delta f$ 可用微分 $df$ 来近似，具体为 $\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x$ 。

前提

$f$ 在初始点 $a$ 处可微。
增量满足 $dx=\Delta x$ ，这是在目标应用场景中的要求。
$x$ 接近 $a$ ，因此线性近似是恰当的。

量词

以基准点 $a$ 为中心的局部表述。

微分近似主张

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上居中显示的关系式为 Δf ≈ df = f'(a) $dx = f$ '(a) Δx。
声音
观察依据
因此，我对 f 的改变量可用 $1/12$ 乘以 x 的改变量来近似……

命题

在基点 a 附近，函数的实际改变量满足 Δf ≈ df = f'(a) Δx。

前提

f 在 a 处可导。
Δx 是从 a 到附近一点的输入变化量。

量词

对于可导函数 f 和一个附近的输入变化量 Δx。

与先前线性化方法的等价性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我把那个加进去，得到和之前一样的答案。

待核验内容

此前的方法在此片段中未展示，因此仅凭本片段无法验证之前的精确计算。

命题

使用微分所得的最终近似结果，与先前所用的线性化方法一致。

前提

所用函数、基点及目标点均相同。
此前的方法即主讲人所指的标准线性化方法。

量词

针对本课所讲解的例题。

推导与证明 · 6

将微分与导数记号关联起来

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
步骤1： $dy = f$ '(x) dx
公式
观察依据
步骤2：将 f'(x) 替换为 $dy/dx \to dy = (dy/dx) dx$

直观解释

步骤

公式
$dy = f'(x) dx$
解释
从因变量微分的定义出发。
步骤依据
dy 的定义
视频直接表达
公式
$dy = \frac{dy}{dx} dx$
解释
将 f'(x) 替换为莱布尼茨导数记号。
步骤依据
导数的定义
视频直接表达

结论

这说明了为何微分之比对应于导数，同时也警示不可将其简单当作分数约分来处理。

利用 $dx=\Delta x$ 重写微分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $df = f'(x)\,dx$ ，随后直接将其重写为 $= f'(x)\,\Delta x$ ，并在下方标注“设 $dx = \Delta x$ ”。
声音
观察依据
主讲人解释道：若将 $dx$ 设为 $x$ 的变化量或一个 $\Delta x$ ，则该表达式变为 $f'(x)\Delta x$ 。

严格证明

步骤

公式
$df = f'(x)\,dx$
解释
从黑板上展示的微分公式出发。
步骤依据
视频中将其作为 $df$ 的起始恒等式给出。
视频直接表达
公式
$dx = \Delta x$
解释
引入标题注释中宣布的代换。
步骤依据
由主讲人明确陈述，并写在黑板上。
视频直接表达
公式
$df = f'(x)\,\Delta x$
解释
替换 $dx$ 通过 $\Delta x$ 在微分公式中。
步骤依据
直接代入前一个等式。
视频直接表达

结论

微分可以写作 $df = f'(x)\,\Delta x$ 一旦 $dx$ 被识别为有限的输入变化 $\Delta x$ 。

从线性化到 $L(x)$ 的变化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ ，将 $(x-a)$ 标记为 $\Delta x$ ，然后写出 $L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人首先陈述线性化公式，接着指出 $(x-a)$ 实际上是一个 $\Delta x$ ，并得出结论 $L(x)-f(a)=f'(a)\Delta x$ 。

严格证明

步骤

公式
$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
解释
写出 $f$ 在基点 $a$ 处的线性化表达式。
步骤依据
视频中明确给出的公式。
视频直接表达
公式
$\Delta x = x-a$
解释
将从 $a$ 到 $x$ 的水平位移识别为有限增量 $\Delta x$ 。
步骤依据
由主讲人陈述，并通过黑板上的箭头标签标示。
视频直接表达
公式
$L(x)-f(a)=f'(a)(x-a)$
解释
从线性化公式的两边同时减去 $f(a)$ 。
步骤依据
对所展示的方程进行代数变形。
依据视频推导
公式
$L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x$
解释
将 $(x-a)$ 替换为 $\Delta x$ 。
步骤依据
利用前述的等价关系进行代入。
视频直接表达

结论

线性化所预测的精确变化量为 $L(x)-f(a)=f'(a)\,\Delta x$ 。

将线性逼近与微分公式联系起来

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板依次显示 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\,\Delta x$ ，然后是 $\Delta f = f(x)-f(a)$ ，最后是 $\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人说 $L$ 近似等于 $f$ 在 $x$ 处，将 $f(x)-f(a)$ 识别为 $f$ 的变化量，并进而总结道， $f$ 可通过的微分来近似 $f$ 。

严格证明

步骤

公式
$L(x)\approx f(x)$
解释
利用线性化在基点附近的定义目的。
步骤依据
视频中以口头语言表述为线性逼近所提供的近似。
视频直接表达
公式
$f(x)-f(a)\approx f'(a)\,\Delta x$
解释
将 $L$ 的精确变化公式转化为关于真实函数值的近似陈述。
步骤依据
由将 $L(x)$ 替换为其近似值 $f(x)$ 得到 $L(x)-f(a)=f'(a)\Delta x$ 。
视频直接表达
公式
$\Delta f = f(x)-f(a)$
解释
引入函数值实际有限变化的记号。
步骤依据
在黑板上明确写出并命名。
视频直接表达
公式
$\Delta f \approx f'(a)\,\Delta x$
解释
用新符号 $\Delta f$ 重写前述近似式。
步骤依据
将 $\Delta f$ 的定义代入该近似等式。
依据视频推导
公式
$\Delta f \approx df = f'(a)\,dx = f'(a)\,\Delta x$
解释
识别出等式右端即为在基点处、以 $dx=\Delta x$ 为自变量增量所计算的微分。
步骤依据
在标题“用微分进行线性化”下给出综合结论，并由前述微分公式提供支持。
视频直接表达

结论

本片段推导出实用规则 $\Delta f \approx df$ ，其中 $df$ 先计算为 $f'(a)\,dx$ ，再计算为 $f'(a)\,\Delta x$ 。

计算示例中的微分近似值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板依次写出 f'(36)= $1/12$ ，然后 Δf ≈ $1/12(-0.2)$ ，再写 = -1/60。
声音
观察依据
所以，我的 f 的变化量可用 $1/12$ 乘以 x 的变化量（即负的 0.2）来近似……结果就是负的 1 除以 60。

数值验证

步骤

公式
$\Delta f \approx df = f'(36)\,\Delta x$
解释
将示例的基点 $a = 36$ 代入通用微分近似公式。
步骤依据
使用所展示的方法：Δf ≈ df = f'(a)Δx。
视频直接表达
公式
$= \frac{1}{12}(-0.2)$
解释
代入给定的导数值 f'(36) = $1/12$ 和输入变化量 $Δx = -0.2$ 。
步骤依据
这些数值在黑板上和音频中均已明确给出。
视频直接表达
公式
$= -\frac{1}{60}$
解释
将 $1/12$ 乘以 -0.2，得到 -1/5，从而得出 -1/60。
步骤依据
算术化简。
视频直接表达

结论

本例中函数 f 变化量的微分近似为 Δf ≈ -1/60。

利用 Δf 恢复邻近点处的函数值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $Δf = f(35.8) - 6$ ，并有一箭头指向已计算出的值 -1/60。
声音
观察依据
“f 的变化量即为 f 在 35.8 处的值减去 f 在 36 处的值，该差值为 6。我将此项加上去，便得到了与之前一致的答案。”

待核验内容

本片段中未写出 $f(35.8)$ 的最终数值结果，但其推导过程已展示。

数值验证

步骤

公式
$\Delta f = f(35.8) - f(36)$
解释
写出函数 f 在 36 与 35.8 之间的实际变化量的定义。
步骤依据
定义 $Δf = f(x) - f(a)$ ，其中 $x = 35.8$ ， $a = 36$ 。
视频直接表达
公式
$= f(35.8) - 6$
解释
代入已知值 $f(36) = 6$ 。
步骤依据
讲话者明确指出 f 在 36 处的函数值为 6。
视频直接表达
公式
$f(35.8) \approx 6 + \left(-\frac{1}{60}\right)$
解释
用微分近似式 − $1/60$ 替换 Δf，并解出 $f(35.8)$ 。
步骤依据
由 Δf ≈ − $1/60$ 及等式 $Δf = f(35.8) - 6$ 。
依据视频推导

结论

该片段建立关系式 $f(35.8) - 6$ ≈ − $1/60$ ，因此 $f(35.8)$ 可通过将近似变化量加到 6 上得到。

例题详解 · 2

提及早前的 $\sqrt{35.8}$ 例题

时间近似

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“我们之前对35.8的平方根所做的那些工作，也可以用同样的方式处理。只是不那么直接，因为你必须先完成整个关于 $f$ 的变量替换步骤。”

待核验内容

本片段未展示任何数值计算的例题。
仅有对先前例题的语言提及，因此无法从本片段中提取完整的设定与计算过程。

题目

主讲人指出，此前讨论过的涉及 $\sqrt{35.8}$ 的近似问题，也可用相同的微分方法处理。

已知条件

口头提到了一个涉及 $\sqrt{35.8}$ 的先前例子。
当前框架是 $\Delta f \approx df = f'(a)\,\Delta x$ 。

目标

解释先前的数值近似如何契合本片段中发展的微分视角。

步骤

公式
解释
该片段并未复现先前的计算，仅指出相同方法适用。
步骤依据
仅作口头提及，本段未展示任何设定或算术过程。
视频直接表达
公式
解释
主讲人指出，使用微分法不够直接，因为必须先经过“ $f$ 的变化量”这一表述形式。
步骤依据
在结尾音频中明确说明。
视频直接表达

结果

视频断言：在微分框架下， $\sqrt{35.8}$ 这个例子同样以相同方式成立，但此处并未展示实际计算过程。

检验

本片段无法验证该说法，因为未显示任何数值数据、中间步骤或最终结果。

利用微分近似计算 $f(35.8)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
下方黑板显示 f'(36) = $1/12$ ，Δf ≈ $1/12(-0.2) = -1/60$ ，且 $Δf = f(35.8) - 6$ 。
声音
观察依据
讲话者逐步口述整个代入过程与解释。

待核验内容

本片段中未给出原函数 f 的具体名称。
在片段结束前， $f(35.8)$ 的最终小数或分数形式的值并未明确写出。

题目

已知 f'(36) = $1/12$ ， $f(36) = 6$ ，且 x 从 36 变化到 35.8，试估算 f 的变化量，并用它估计 $f(35.8)$ 。

已知条件

基点 $a = 36$ 。
目标点 $x = 35.8$ 。
f'(36) = $1/12$ 。
$f(36)$ 等于 6。
Δx 等于 35.8 减去 36，结果是负 0.2。

目标

计算 Δf ≈ df，并将其与 $f(35.8) - f(36)$ 关联起来。

步骤

公式
$\Delta x = 35.8 - 36 = -0.2$
解释
求从基点到目标点的输入变化量。
步骤依据
直接对两个 x 值作减法。
视频直接表达
公式
$\Delta f \approx df = f'(36)\,\Delta x$
解释
在基点 36 处应用微分近似公式。
步骤依据
使用黑板上所示的方法：Δf ≈ df = f'(a)Δx。
视频直接表达
公式
$= \frac{1}{12}(-0.2) = -\frac{1}{60}$
解释
代入已知的导数值和输入变化量，然后化简。
步骤依据
算术代入与乘法。
视频直接表达
公式
$\Delta f = f(35.8) - f(36) = f(35.8) - 6$
解释
利用 Δf 的定义及已知值 $f(36)=6$ ，重写 f 的实际变化量。
步骤依据
定义： $Δf = f(x) - f(a)$ 。
视频直接表达
公式
$f(35.8) \approx 6 - \frac{1}{60}$
解释
将近似变化量加到已知的基准值上，以估计 $f(35.8)$ 。
步骤依据
解方程 $f(35.8) - 6$ ≈ -1/60，求得 $f(35.8)$ 。
依据视频推导

结果

Δf ≈ -1/60，因此 $f(35.8)$ 的估计值为 $6 + (-1/60) = 6 - 1/60$ 。

检验

讲解者指出，将近似变化量加回后，所得结果与先前的线性化方法一致。

图示与动画 · 6

书写定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
屏幕上出现手写文字，定义微分。

图中对象

文字：定义若 $y = f(x)$ …
方程： $dy = f$ '(x) dx

变化过程

文字按顺序书写。

不变量

背景幻灯片保持静止。

数学含义

对口头定义进行视觉强化。

突出显示分数结构

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
紫色方括号出现在分数〔 $dy/dx$ 〕中的〔dy〕和〔dx〕下方。

图中对象

方程：〔dy〕 = (〔 $dy/dx$ 〕) 〔dx〕
紫色方括号

变化过程

绘制方括号以强调分子和分母。

不变量

方程内容不发生变化。

数学含义

作为视觉辅助，用于讨论导数记号所呈现的“类分数”外观。

白板上以颜色区分、逐步展开的推导过程。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
蓝色书写呈现微分直线 $df=f'(x)dx=f'(x)\Delta x$ ；橙色书写展开线性化链式过程 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 到 $\Delta f=f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ ；红色箭头将 $(x-a)$ 标注为 $\Delta x$ ；最终总结回归蓝色，并标有标题“用微分进行线性化”。
动画
观察依据
随着主讲人口述推导过程，方程自上而下依次添加。

图中对象

蓝色微分公式
橙色线性化公式
红色箭头标签用于标识 $\Delta x$
标题文字：“用微分进行线性化”

变化过程

黑板首先建立 $df=f'(x)dx$ ，然后用 $\Delta x$ 重写它。
接着引入 $L(x)$ ，并将线性化转化为变化公式。
再将 $L$ 的精确变化转化为对 $f$ 真实变化的近似。
最后将结果浓缩为 $\Delta f\approx df=f'(a)dx=f'(a)\Delta x$ 。

不变量

线性化的基点结构仍以 $a$ 为中心。
导数因子始终是控制预测变化的斜率。
标识 $dx=\Delta x$ 贯穿最终总结始终。

数学含义

视觉组织方式对比了微分视角（蓝色）与线性化视角（橙色），并在最终公式中将二者融合，表明微分即函数的线性化变化量。

标注将 $(x-a)$ 标识为 $\Delta x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一根红色箭头从线性化公式中的因子 $(x-a)$ 指向一个手写的标签 $\Delta x$ 。
声音
观察依据
说话人说：“这里实际上是一个 $\Delta x$ 。它是 $x$ 的值从 $a$ 到 $x$ 的变化量。”

图中对象

项 $(x-a)$ 在 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
红色箭头
手写标签 $\Delta x$

变化过程

符号位移 $x-a$ 在视觉上被重新标记为有限增量 $\Delta x$ 。

不变量

该因子的代数含义仍是基点 $a$ 到目标点 $x$ 之间的距离。

数学含义

这一标注是桥梁，使得线性化公式能够改写成与微分公式所用的相同增量记号形式。

滚动揭示基于微分的例题区域。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
约在 2 秒时，页面向上滚动，使顶部公式部分移出视野，并将标题为‘微分法线性化’的章节居中显示。
图示
观察依据
右侧边栏保持固定，显示‘微积分 1’、‘线性化与微分’以及‘视频 #2：微分’。

图中对象

白板上的公式。
标题：‘微分法线性化’
右侧边栏文字

变化过程

上方公式整体上移，并部分移出画面。
下方演算区域在例题中居中显示。

不变量

边栏课程信息保持固定不动。
主微分公式始终可见。

数学含义

视觉过渡将注意力从一般设定转向使用微分的具体例题。

例题的分步书写过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
蓝色手写内容依次出现：先是 f'(36)= $1/12$ ，接着是 Δf ≈ $1/12(-0.2)$ ，然后是 = -1/60，最后是 $f(35.8)-6$ 。
图示
观察依据
橙色下划线强调公式的某些部分，粉红色/洋红色箭头从 $f(35.8)-6$ 指向 -1/60。

图中对象

f'(36)= $1/12$
Δf 约等于 1 除以 12，再乘以负的 0.2
对应的式子为：-1/60
$f(35.8)$ 减去 6
粉色箭头

变化过程

每行新内容均按讲解代入过程的顺序依次写出。
该箭头在视觉上将Δf的表达式与其数值近似值关联起来。

不变量

通用公式 Δf ≈ df = f'(a) $dx = f$ '(a)Δx 始终显示在示例上方。

数学含义

动画展示了从通用微分公式，到具体数值近似，再到恢复出 $f(35.8)$ 的逻辑推演过程。

易错点 · 5

将导数当作分数来处理

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人明确提醒：‘这有点像你在约去分数，但实际上并非如此，因为这里的这个东西本质上并不是一个分数’。

误区

学生可能会认为，在表达式 ( $dy/dx$ ) * dx 中，可以像处理普通分数一样代数地约去 dx。

说明

尽管该记号形似分数且比值关系成立，但导数本身是一个极限，并非无穷小量的商，因此形式上的约分规则并不能以完全相同的方式严格适用。

误以为微分路径绕过了‘ $f$ 的变化’这一概念

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人称先前的 $\sqrt{35.8}$ 方法“会以同样方式奏效。但它不够直接，因为你必须先经历整个 $f$ 的变化步骤。”

误区

人们可能认为，使用微分可立即替代线性化过程，而无需任何中间的概念步骤。

说明

视频强调，微分方法仍需首先理解实际变化量 $\Delta f=f(x)-f(a)$ ；微分公式只是对这一变化量进行近似的简洁表达，并非一种彼此无关的独立技巧。

混淆微分量 $dx$ 与有限增量 $\Delta x$

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
黑板上明确写出“设 $dx = \Delta x$ ”，然后才代入 $df=f'(x)dx$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“如果我令 $dx$ 等于 $x$ 的某个变化量，或等于一个 $\Delta x$ 。”

待核验内容

这一澄清是从视频中明确的代入步骤推断而来，而非以这种措辞直接作为警示语说出。

误区

学生可能在所有情境下都将 $dx$ 和 $\Delta x$ 视作完全等同。

说明

本片段中，等式 $dx=\Delta x$ 是为应用微分来近似有限变化而刻意引入的代换；视频并未宣称该等式在这一近似设定之外具有普遍的形而上学等同性。

混淆实际变化量与微分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上明确区分 $Δf = f(x)$ － $f(a)$ 与 df = f'(a)dx，并写出 Δf ≈ df。
声音
观察依据
主讲人说的是‘我的 f 的变化量，可以用……来近似’，而非将其严格等同。

误区

有人可能误以为 Δf 与 df 是完全相同的量。

说明

本视频将 Δf 视为函数的实际变化量，df 视为其线性近似量，二者通过关系式 Δf ≈ df = f'(a)Δx 相联系。

忽略输入变化的方向

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
‘x 的变化量是负的0.2，因为我们是从36变到35.8。’
公式
观察依据
黑板在乘积中明确使用了(-0.2)。

误区

人们可能使用 0.2 而非 -0.2 当从 36 向下移动到 35.8。

说明

由于输入减小， $Δx = dx = -0.2$ ，该符号必须包含在近似计算中。

概念关系 · 11

因变量微分的定义 → 函数微分的定义

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：‘记号不同，但思想一致。’

等价

解释

当 $y = f(x)$ 时，dy 和 df 表示同一个数学对象。

自变量微分的定义 → 利用微分建立线性近似

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人转入：‘这在线性化中有什么用？’

应用

解释

微分的概念被用于构建线性近似问题。

$f$ 在 $a$ 处的线性化 → 用微分来近似 $\Delta f$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
橙色的线性化推导链得出 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ ，最后的蓝色线条则将其重写为 $\Delta f\approx df=f'(a)dx=f'(a)\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人明确比较二者，指出微分表达式“看起来非常像我们的线性化”，随后总结为“用微分进行线性化”。

应用

解释

微分近似法应用于线性化所分析的同一局部情形，将切线估计转化为简洁规则 $\Delta f\approx df$ 。

$\Delta f$ 的定义 → 对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上先写出 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ ，再将等式左侧命名为 $\Delta f=f(x)-f(a)$ 。
声音
观察依据
说话者说：“此处这个是 $f$ 的变化量”，同时指向 $f(x)-f(a)$ 。

包含

解释

定义 $\Delta f=f(x)-f(a)$ 将近似公式的左侧打包为一个单独的符号，从而使后续陈述 $\Delta f\approx df$ 成为可能。

用 $dx=\Delta x$ 表示的微分 → 用微分来近似 $\Delta f$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
开场语 $df=f'(x)dx=f'(x)\Delta x$ 在结尾总结中再次出现，并特化为基点 $a$ 处的 $df=f'(a)dx=f'(a)\Delta x$ 。
声音
观察依据
说话者从一般微分公式出发，最后指出微分是利用 $f'$ 在初始点处 $a$ 。

特例

解释

最终的近似规则将微分公式特化到基点 $a$ ，并将其用作实际变化量 $\Delta f$ 的线性估计。

线性化的变化量等于斜率乘以输入的变化量 → 对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书内容从 $L(x)-f(a)=f'(a)\Delta x$ 过渡到 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ 。
声音
观察依据
讲解者指出，由于 $L$ 约等于 $f$ 在 $x$ 处，相同的右端近似于 $f$ 的真实变化量。

推广

解释

线性模型的精确变化公式，通过引入 $L(x)\approx f(x)$ ，被转化为关于原始非线性函数的近似陈述。

函数值的变化量 Δf → 利用微分进行线性化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板首先定义 $Δf = f(x) - f(a)$ ，然后应用Δf ≈ df = f'(a)Δx。

先修

解释

微分法依赖于事先明确Δf的含义，再用df对其进行近似。

利用微分进行线性化 → 利用微分近似计算 $f(35.8)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该例题将 $a = 36$ 、f'(36) = $1/12$ 、 $Δx = -0.2$ 代入Δf ≈ f'(a)Δx。

应用

解释

这个已解例题是微分近似方法的直接应用。

例题中基准点处的导数值 → 利用微分近似计算 $f(35.8)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
f'(36) = $1/12$ 被单独写出，随后用于Δf ≈ $1/12(-0.2)$ 。

先修

解释

该例题要求先知道基点处的导数值，才能进行近似计算。

例题中的输入变化量 → 利用微分近似计算 $f(35.8)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
例题中的因子(-0.2)源于从36移动到35.8。

先修

解释

该数值近似使用输入变化 $Δx = -0.2$ 。

利用微分进行线性化 → 与先前线性化方法的等价性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
结语指出，这是一种利用微分来理解线性化的全新方法。

证明依赖

解释

该方法所得结果与先前一致这一主张，依赖于将微分形式应用于同一个线性化问题。

问题定位 · 16

自变量微分 dx 的定义是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
dx 的定义。

涉及知识点

自变量微分的定义

如何计算因变量微分 dy？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
dy 的公式。

涉及知识点

因变量微分的定义

为什么不能把 $dy/dx$ 当作一个简单的分数来处理？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
关于分数的警示。

涉及知识点

导数比值的本质
将导数当作分数来处理

微分 $df$ 用 $f'(x)$ 和 $dx$ 如何表示？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书开场行 $df=f'(x)dx$ 。
声音
观察依据
主讲人将 $df$ 定义为 $f'$ 在 $x$ 处的值乘以 $dx$ 。

涉及知识点

用 $dx=\Delta x$ 表示的微分

为什么视频在微分公式中将 $dx$ 替换为 $\Delta x$ in the differential formula?

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
标题注释“将设 $dx = \Delta x$ ”，并代入 $f'(x)\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人称他将 $dx$ 设为 $x$ 的变化量，或设为一个 $\Delta x$ 。

涉及知识点

用 $dx=\Delta x$ 表示的微分
混淆微分量 $dx$ 与有限增量 $\Delta x$

线性化函数 $L(x)$ 的公式是什么？ $f$ 在 $a$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 。
声音
观察依据
主讲人背诵以 $a$ 为基点的线性化公式。

涉及知识点

$f$ 在 $a$ 处的线性化

线性化中的因子 $(x-a)$ 与 $\Delta x$ 有何关系？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
红色箭头将 $(x-a)$ 标注为 $\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人说 $(x-a)$ 实际上是一个 $\Delta x$ ，即 $x$ 的值从 $a$ 变到 $x$ 所产生的变化量。

涉及知识点

$f$ 在 $a$ 处的线性化
线性化的变化量等于斜率乘以输入的变化量

我们为何能断言 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人解释，这是因为 $L(x)$ 约等于 $f(x)$ 。

涉及知识点

对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似
s120-rel-change-in-L-to-approx-change-in-f

本课中 $\Delta f$ 表示什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $\Delta f=f(x)-f(a)$ 。
声音
观察依据
主讲人称该表达式为 $f$ 的变化量。

涉及知识点

$\Delta f$ 的定义

微分如何近似函数值的实际变化量？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
最终总结句 $\Delta f\approx df=f'(a)dx=f'(a)\Delta x$ 。
声音
观察依据
主讲人指出，其思想是用 $f$ 的微分来近似 $f$ 的变化量。

涉及知识点

用微分来近似 $\Delta f$
核心微分近似原理

本片段中线性化与微分之间存在怎样的关系？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上的内容从 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ 过渡到 $\Delta f\approx df$ 。
声音
观察依据
主讲人明确将微分表达式与线性化进行对比，并将该结论命名为“用微分进行线性化”。

涉及知识点

$f$ 在 $a$ 处的线性化
用微分来近似 $\Delta f$
s120-rel-diff-from-linearization

先前的 $\sqrt{35.8}$ 近似法如何契合微分方法？

时间近似

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人回顾了先前的 $\sqrt{35.8}$ 例题，并指出该例题也可采用相同方式处理，但不够直接。

待核验内容

本片段未展示具体的数值示例。

涉及知识点

提及早前的 $\sqrt{35.8}$ 例题
用微分来近似 $\Delta f$

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 微分与线性逼近主题导论。

已覆盖 · 自变量微分 dx 的定义。

已覆盖 · 因变量微分 dy 的定义。

已覆盖 · 关于微分与导数之间关系的讨论，以及对分数约分这一常见误解的澄清。

已覆盖 · df 记号的引入。

已覆盖 · 通过令 dx = Delta x，将微分应用于线性化。

已覆盖 · 开篇的微分公式及代入式 $dx=\Delta x$ 均被完整呈现。

已覆盖 · 主讲人口头过渡，将微分表达式与即将出现的线性化公式进行对比。

已覆盖 · 线性化公式被写出，其中 $(x-a)$ 被识别为 $\Delta x$ 。

已覆盖 · 先推导出 $L(x)$ 的精确变化量，再将其转化为对 $f(x)-f(a)$ 的近似。

已覆盖 · 写出近似式 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ ，并将其命名为 $\Delta f$ 。

已覆盖 · 呈现最终的综合式 $\Delta f\approx df=f'(a)dx=f'(a)\Delta x$ ，随后口头提及此前的 $\sqrt{35.8}$ 例题。

已覆盖 · 整个时长为44秒的片段，完整呈现了一次利用微分进行线性化的演算讲解，涵盖一般公式、数值代入，以及用于反推 $f(35.8)$ 的解释。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

线性化与微分 - 视频 2 - 微分

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

自变量微分（dx）

因变量微分（dy）

微分与分数的常见误解

函数微分（df）

线性化设定

含dx=Δxdx=\Delta xdx=Δx的微分公式

在基点处的线性化

(x−a)(x-a)(x−a)即输入增量Δx\Delta xΔx

线性化所预测的精确变化

对fff的真实变化进行近似

Δf\Delta fΔf的定义

用微分表示的线性化

与先前35.8\sqrt{35.8}35.8​例题的联系

用微分进行线性化

Δf 的含义

例题设定

计算近似的改变量

由近似值反求 f(35.8)f(35.8)f(35.8)

此处微分为何有用

详细学习笔记

y

f(x)f(x)f(x)

dx

dy

f'(x)

df

Δx\Delta xΔx

df

f'(x)

dx

Δx\Delta xΔx

L(x)L(x)L(x)

自变量微分的定义

因变量微分的定义

函数微分的定义

利用微分建立线性近似

用dx=Δxdx=\Delta xdx=Δx表示的微分

fff在aaa处的线性化

线性化的变化量等于斜率乘以输入的变化量

对fff的实际变化量所做的线性近似

Δf\Delta fΔf的定义

用微分来近似Δf\Delta fΔf

利用微分进行线性化

函数值的变化量 Δf

导数比值的本质

起始处使用的微分恒等式

线性化过程中的精确变化量

对真实函数变化的线性逼近

核心微分近似原理

微分近似主张

与先前线性化方法的等价性

将微分与导数记号关联起来

利用dx=Δxdx=\Delta xdx=Δx重写微分

从线性化到L(x)L(x)L(x)的变化

将线性逼近与微分公式联系起来

计算示例中的微分近似值

利用 Δf 恢复邻近点处的函数值

提及早前的35.8\sqrt{35.8}35.8​例题

利用微分近似计算 f(35.8)f(35.8)f(35.8)

书写定义

突出显示分数结构

白板上以颜色区分、逐步展开的推导过程。

标注将(x−a)(x-a)(x−a)标识为Δx\Delta xΔx

滚动揭示基于微分的例题区域。

例题的分步书写过程

将导数当作分数来处理

误以为微分路径绕过了‘fff的变化’这一概念

混淆微分量dxdxdx与有限增量Δx\Delta xΔx

混淆实际变化量与微分

忽略输入变化的方向

因变量微分的定义 → 函数微分的定义

自变量微分的定义 → 利用微分建立线性近似

fff在aaa处的线性化 → 用微分来近似Δf\Delta fΔf

Δf\Delta fΔf的定义 → 对fff的实际变化量所做的线性近似

用dx=Δxdx=\Delta xdx=Δx表示的微分 → 用微分来近似Δf\Delta fΔf

含 $dx=\Delta x$ 的微分公式

$(x-a)$ 即输入增量 $\Delta x$

对 $f$ 的真实变化进行近似

$\Delta f$ 的定义

与先前 $\sqrt{35.8}$ 例题的联系

由近似值反求 $f(35.8)$

$f(x)$

$\Delta x$

$\Delta x$

$L(x)$

用 $dx=\Delta x$ 表示的微分

$f$ 在 $a$ 处的线性化

对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似

$\Delta f$ 的定义

用微分来近似 $\Delta f$

利用 $dx=\Delta x$ 重写微分

从线性化到 $L(x)$ 的变化

提及早前的 $\sqrt{35.8}$ 例题

利用微分近似计算 $f(35.8)$

标注将 $(x-a)$ 标识为 $\Delta x$

误以为微分路径绕过了‘ $f$ 的变化’这一概念

混淆微分量 $dx$ 与有限增量 $\Delta x$

$f$ 在 $a$ 处的线性化 → 用微分来近似 $\Delta f$

$\Delta f$ 的定义 → 对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似

用 $dx=\Delta x$ 表示的微分 → 用微分来近似 $\Delta f$

线性化的变化量等于斜率乘以输入的变化量 → 对 $f$ 的实际变化量所做的线性近似

利用微分进行线性化 → 利用微分近似计算 $f(35.8)$

例题中基准点处的导数值 → 利用微分近似计算 $f(35.8)$

例题中的输入变化量 → 利用微分近似计算 $f(35.8)$

为什么不能把 $dy/dx$ 当作一个简单的分数来处理？

微分 $df$ 用 $f'(x)$ 和 $dx$ 如何表示？

为什么视频在微分公式中将 $dx$ 替换为 $\Delta x$ in the differential formula?

线性化函数 $L(x)$ 的公式是什么？ $f$ 在 $a$ ？

线性化中的因子 $(x-a)$ 与 $\Delta x$ 有何关系？

我们为何能断言 $f(x)-f(a)\approx f'(a)\Delta x$ ？

本课中 $\Delta f$ 表示什么？

先前的 $\sqrt{35.8}$ 近似法如何契合微分方法？