正态分布：低于60分的概率

1. 声音
   观察依据

   分數的平均數

2. 图示
   观察依据

   圖形中央標註數字70

$\mu$

分數的平均數

實數

1. 声音
   观察依据

   分數的標準差

2. 图示
   观察依据

   圖形下方標註了兩個10，分別在70的左右兩側

$\sigma$

分數的標準差

正實數

1. 声音
   观察依据

   常態分配的圖形為對稱的鐘形曲線，其最高點對應於平均數。

2. 图示
   观察依据

   畫面出現鐘形曲線圖

常態分配的圖形為對稱的鐘形曲線，其最高點對應於平均數。

1. 數據服從常態分配

1. 声音
   观察依据

   图形用68-95近似法则标出中央两半各34%，两侧尾端各16%。

2. 图示
   观察依据

   圖形上標註了34和16的百分比區域

在常態分配中，數據落在平均數正負一個標準差內的機率約為68%（左右各34%）；落在正負兩個標準差內的機率約為95%（其餘兩側各佔約2.5%，但此題使用16%作為單側大於一個標準差的近似值，即(100%-68%)/2 = 16%）。

1. 數據服從常態分配

2. 在题目指定的连续正态模型下使用近似概率；95%和2.5%是经验法则的补充背景，本题未另做两标准差计算。

1. 常態分配圖

1. 声音
   观察依据

   解题识别60比70低一个标准差，并选择近似左尾概率选项0.16。

2. 图示
   观察依据

   圖形左側小於60分的區域被圈出並標註16%

1. 公式

   $$\mu = 70, \sigma = 10$$
   解释

   確定常態分配的平均數與標準差

   步骤依据

   題目給定條件

   视频直接表达
2. 公式

   $$60 = \mu - \sigma$$
   解释

   計算60分對應的標準差分數

   步骤依据

   代數運算

   依据视频推导
3. 公式

   $$P(X < 60) = P(X < \mu - \sigma)$$
   解释

   求分数低于平均数减去一个标准差的概率。

   步骤依据

   等量代換

   补充解释
4. 公式

   $$P(X < \mu - \sigma) \approx 16\% = 0.16$$
   解释

   用近似的68-95法则选择最接近的选项，尾端概率并非精确等于16%。

   步骤依据

   常態分配性質

   视频直接表达

成績低於60分的機率最接近0.16。

1. 字幕依据
   观察依据

   题目给定正态成绩模型，平均数70、标准差10，要求低于60的概率，选项1为0.16。

2. 声音
   观察依据

   講者全程講解此題

已知學生成績呈常態分配，平均數為70分，標準差為10分。求隨機抽一位學生，其成績低於60分的機率。

1. 成績呈常態分配

2. 平均數 $\mu = 70$

3. 標準差 $\sigma = 10$

4. 目標分數 x = 60

求 P(X < 60)

1. 公式

   $$\mu = 70, \sigma = 10$$
   解释

   標出平均數與標準差位置

   步骤依据

   題目給定

   视频直接表达
2. 公式

   $$60 = 70 - 10 = \mu - \sigma$$
   解释

   發現60分剛好是平均數減去一個標準差

   步骤依据

   代數計算

   依据视频推导
3. 公式

   $$P(X < \mu - \sigma) \approx 16\%$$
   解释

   根據68-95法則，單側尾端機率約為16%

   步骤依据

   常態分配經驗法則

   视频直接表达
4. 公式

   $$16\% = 0.16$$
   解释

   將百分比轉換為小數

   步骤依据

   單位換算

   视频直接表达

(1) 0.16

對照選項，(1)為0.16，符合計算結果。

1. 动画
   观察依据

   逐步繪製常態分配曲線，標註70, 10, 34%, 16%等數值，並圈出小於60分的區域

1. 鐘形曲線

2. 垂直虛線

3. 水平軸

4. 百分比數值

5. 圈選區域

1. 畫出曲線

2. 標註平均值70

3. 標註標準差10

4. 標註區間機率34%和16%

5. 圈出目標區域

1. 曲線形狀

2. 對稱性

視覺化呈現常態分配的參數與機率分佈，幫助理解60分所處的相對位置及其對應機率。

1. 声音
   观察依据

   图形与经验法则将低于60的左尾概率近似为16%。

68-95法則是解決此機率計算問題的理論依據。

1. 声音
   观察依据

   如何利用常態分配的68-95法則計算特定分數以下的機率？

1. 68-95法則
2. 低於60分的機率推導
3. 指考數乙99單選2