度量空间

1. 图示
   观察依据

   一个蓝色的封闭图形被画出，并标注为 A。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“因此，度量空间是一个集合，我们将这个集合称为 A。”

A

作为所定义度量空间之底层点集的集合。

一个集合；本片段中未对该集合施加任何进一步限制。

1. 图示
   观察依据

   该区域内部有一个黑色点，标注为〔x〕。

2. 声音
   观察依据

   讲解者提到“该集合中任意两个元素，〔x〕和〔y〕”。

x

作为距离函数第一个参数的集合 A 中的任意元素。

x 属于 A

1. 图示
   观察依据

   该区域内部有另一个黑色点，标注为〔y〕。

2. 声音
   观察依据

   讲解者提到“该集合中任意两个元素，〔x〕和〔y〕”。

y

作为距离函数第二个参数的集合 A 中的任意元素。

y 属于 A

1. 图示
   观察依据

   一条绿色虚线段连接 x 和 y，标为 $d(x,y)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说，该距离是“用一个我们写作 $d(x,y)$ 的函数来描述的”。

$d(x,y)$

距离函数，也称为度量，为点对 x 和 y 分配一个数值距离。

定义在集合 A 中的点对 x、y 上；视频中指出其取值必须满足 $d(x,y) \ge 0$。

1. 图示
   观察依据

   一条水平数轴上标有刻度标签：-4、-2 和 0。

2. 声音
   观察依据

   例题要求计算负二与负四之间的距离。

-4,\ -2,\ 0

例题演算中在数轴上标出的具体实数。

显示在数轴上的实数。

1. 公式
   观察依据

   符号 d 出现在所显示的公式中：$d(x,y) = 0 \Longrightarrow x = y$，$d(x,y) = d(y,x)$，以及 $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称其为“距离函数”，并朗读诸如“x 与 y 之间的距离”之类的表达式。

d

度量空间上的距离函数。

以度量空间中的两个点作为输入，返回一个非负实数。

1. 公式
   观察依据

   x 在 $d(x,y)$ 和 $d(x,z)$ 中作为第一个参数出现，并在唯一性性质的结论中作为 $x = y$ 出现。

2. 图示
   观察依据

   每个图示示例中都画出了一个标记为 x 的点。

x

度量空间中的一个点。

1. 公式
   观察依据

   y 在 $d(x,y)$ 中作为第二个参数出现，在 $d(y,x)$ 中作为交换后的参数出现，并在 $d(x,y) + d(y,z)$ 中作为中间点出现。

2. 图示
   观察依据

   每个图示示例中都画出了一个标记为 y 的点。

y

度量空间中的一个点；在三角不等式中，它充当任意的中间点。

1. 公式
   观察依据

   z 出现在三角不等式公式 $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ 中。

2. 图示
   观察依据

   画出第三个标记为 z 的点，以构成三角形示意图。

z

用于表述三角不等式的度量空间中的第三个点。

1. 公式
   观察依据

   所显示的公式在 $d(x,y) = 0$ 和 $x = y$ 之间使用 $\Longrightarrow$。

$\Longrightarrow$

逻辑蕴含：若左侧成立，则右侧成立。

1. 公式
   观察依据

   所显示的三角不等式在 $d(x,z)$ 和 $d(x,y) + d(y,z)$ 之间使用 $\leq$。

$\leq$

小于或等于。

1. 公式
   观察依据

   A 被定义为度量空间形式定义中的一个非空集合。

A

一个非空集合

1. 声音
   观察依据

   讲解员将度量空间定义为一个集合 A，使得对该集合中任意两个元素 x 和 y，均可使用函数 $d(x,y)$ 来定义它们之间的距离。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片文字显示：“度量空间是一个集合，使得对该集合中任意 x 和 y，都存在一个函数 $d(x,y)$，用于描述它们之间的距离。”

3. 动画
   观察依据

   先画出集合 A，然后在其内部出现点 x 和 y，再用一条标为 $d(x,y)$ 的虚线段将它们连接起来。

本片段中，度量空间被定义为一个集合，以及一条为该集合中每一对元素指定距离的规则。视觉模型是一个类似团块的集合 A，其中包含两个任意点 x 和 y，二者之间用一个量 $d(x,y)$ 连接，表示它们之间的分离程度。讲解者强调，这一构造的目的在于从数学上严格定义“距离”的含义。

1. 存在一个底层集合 A。

2. 对集合 A 中的任意一对元素 x、y，都赋予一个距离值 $d(x,y)$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“因此，这个距离函数有时也称为度量。”

2. 图示
   观察依据

   幻灯片文字变为：“距离函数（即度量）必须满足以下四个条件。”

函数 $d(x,y)$ 被明确命名为距离函数，讲解者同时补充其别名“度量”。本条记录的是命名行为，而非引入新的数学对象：同一符号 $d(x,y)$ 在本次讲解中被赋予两个等价的名称。

1. 指为度量空间所引入的函数 $d(x,y)$。

1. 本讲中对度量空间的定义

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“首先，它不能为负”，并解释现实中不存在负的距离。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片标题为“距离函数的性质”，其中第1项为“它不能为负”，并附公式 $d(x,y) \ge 0$。

一个有效的距离函数所必须满足的首个条件是：其取值不能为负。讲座中既以口头方式、也以符号方式陈述了这一点，使非负性成为本片段中呈现的第一个形式化公理。

1. x 和 y 是度量空间 A 中的元素。

2. $d(x,y)$ 是该度量空间所对应的距离函数。

1. 本讲中对度量空间的定义
2. 术语：距离函数或度量

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字显示“2。所有元素互异”，以及公式 $d(x,y) = 0 \Longrightarrow x = y$。

2. 声音
   观察依据

   说话人称，这意味着：若我们从点 x 出发，前往度量空间中任意其他位置 y，则所行进的距离必大于零。

本条陈述了度量空间上距离函数的第二条性质：不同点之间的距离不能为零；等价地说，若两点间距离为零，则这两点必为同一点。

1. x 和 y 是度量空间中的点。

2. 该命题如所写是单向的：零距离蕴含点相等。

1. d
2. x
3. y
4. $\Longrightarrow$

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字显示“3。距离与方向无关”，以及公式 $d(x,y) = d(y,x)$。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出，x 到 y 的距离等于 y 到 x 的距离。

本条陈述距离函数的第三个性质：距离与方向无关；交换两个自变量，函数值保持不变。

1. x 和 y 是度量空间中的点。

1. d
2. x
3. y

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字显示：“4。三角不等式必须成立”，并附公式 $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出，x 与 z 之间的距离小于或等于 x 到任意一点 y 的距离加上该 y 到 z 的距离。

本条陈述度量空间上距离函数的第四个性质：从 x 直接到 z 的距离，永远不会长于先从 x 到某个中间点 y、再从 y 到 z 的距离之和。

1. x、y 和 z 是度量空间中的点。

2. y 是任意的。

1. d
2. x
3. y
4. z
5. $\leq$

1. 声音
   观察依据

   因此，我们已准备好写出度量空间的形式定义：度量空间是一对对象 A 和 D，其中 A 是一个非空集合，D 是一个函数，它将 $A \times A$ 映射到实数集，且满足……

2. 公式
   观察依据

   一对对象 (A, d)，其中 A 是一个非空集合，d 是一个函数 d: $A \times A$ → ℝ，且满足

度量空间被形式地定义为有序对 (A, d)，其中 A 是一个非空集合，d 是一个距离函数，它将 A 中任意两个元素映射到一个实数；该函数 d 必须对 A 中所有元素满足四条特定性质。

1. A 是一个非空集合

2. d 是一个函数 d: $A \times A$ → ℝ

3. 距离函数必须满足四条性质

1. 声音
   观察依据

   X 与 Y 的距离大于或等于零，因此它永远不会为负。

2. 公式
   观察依据

   1. $d(x,y) \ge 0$

距离函数的第一条性质指出：集合 A 中任意两个元素 x 与 y 之间的距离必须大于或等于零。这意味着距离永远不会为负。

1. x、y 属于 A

1. 度量空间的形式定义

1. 声音
   观察依据

   X 与 Y 的距离等于零意味着 X 等于 Y，因此集合中的元素互不相同。

2. 公式
   观察依据

   2. $d(x,y) = 0 \implies x = y$

第二条性质指出：若两个元素 x 与 y 之间的距离恰好为零，则这两个元素必定完全相同。这保证了不同元素之间的距离严格为正。

1. x、y 属于 A

1. 度量空间的形式定义

1. 声音
   观察依据

   X 与 Y 的距离等于 Y 与 X 的距离，这意味着距离与方向无关。

2. 公式
   观察依据

   3. 点 x 与点 y 之间的距离等于点 y 与点 x 之间的距离

第三条性质要求距离函数具有对称性：从元素 x 到元素 y 的距离，恒等于从 y 到 x 的距离，即该度量不依赖于行进方向。

1. x、y 属于 A

1. 度量空间的形式定义

1. 声音
   观察依据

   最后，X 与 Z 的距离恒小于或等于 X 与 Y 的距离加上 Y 与 Z 的距离，这正是我们熟知的三角不等式。

2. 公式
   观察依据

   4. x 到 z 的距离小于或等于 x 到 y 的距离加上 y 到 z 的距离

第四条性质是三角不等式：对于集合 A 中任意三个元素 x、y 和 z，从 x 到 z 的直接距离恒小于或等于从 x 到 y 的距离与从 y 到 z 的距离之和。

1. x、y、z 属于 A

1. 度量空间的形式定义

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，距离函数“必须满足四项准则，才能作为度量空间的距离函数”。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片文字显示：“必须满足以下四项准则”。

1. 本片段中实际仅展示了第一项准则；其余三项虽已提及，但在视频结束前尚未列出。

度量空间的距离函数（即度量）必须满足四项准则，才能作为该度量空间的距离函数。

1. 存在一个集合 A，并配备了一个函数 $d(x,y)$，旨在充当距离函数。

对于当前讨论的距离函数，全部四项准则都必须成立。

1. 声音
   观察依据

   讲述者说：“不存在负的距离”，并把该条件写为 $d(x,y)$ …… 大于或等于零。

2. 图示
   观察依据

   屏幕上显示的不等式是 $d(x,y) \ge 0$。

对于度量空间中任意两点 x 和 y，距离 $d(x,y)$ 大于或等于0。

1. x 和 y 属于度量空间 A。

2. d 是该度量空间的距离函数。

对所有 x,$y \in A$。

1. 公式
   观察依据

   显示的公式：$d(x,y) = 0 \Longrightarrow x = y$。

2. 声音
   观察依据

   说话者朗读该公式并作口头解释。

对于度量空间中的点 x 和 y，$d(x,y) = 0$ 意味着 $x = y$。

1. x 和 y 是度量空间中的点。

2. $d(x,y) = 0$。

对度量空间中的所有 x 和 y。

1. 公式
   观察依据

   显示公式：$d(x,y) = d(y,x)$。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出距离与方向无关。

对于度量空间中的点 x 和 y，$d(x,y) = d(y,x)$。

1. x 和 y 是度量空间中的点。

对度量空间中的所有 x 和 y。

1. 公式
   观察依据

   显示公式：$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，三角不等式应在度量空间中成立。

对于度量空间中的点 x、y 和 z，有 $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$。

1. x、y 和 z 是度量空间中的点。

对度量空间中所有 x、y 和 z。

1. 声音
   观察依据

   讲述者将一个数减去另一个数与取绝对值进行对比，得出合理的距离是2。

2. 图示
   观察依据

   一条数轴上标出了 -4、-2 和 0，一条绿色双向箭头跨越了从 -4 到 -2 的区间。

1. 公式

   $$-2 - (-4)$$
   解释

   讲述者首先考虑通过一个数减去另一个数这种朴素方式来获得距离。

   步骤依据

   这延续了关于 -2 与 -4 之间距离示例的口头设定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-4 - (-2) = -2$$
   解释

   调换相减顺序会得到负的结果，讲述者指出这作为距离并不合理。

   步骤依据

   音频明确指出，有人可能设想得到负二的距离，但这并不合理。

   视频直接表达
3. 公式

   $$|-2 - (-4)| = |2| = 2$$
   解释

   取绝对值消除了符号问题，并得出数轴上所示的正值间隔。

   步骤依据

   讲解员指出，我们通常会对所计算的量取绝对值，从而得出最终的距离。

   视频直接表达

－2与－4之间的距离是2，这符合距离函数非负性要求 $d(x,y) \ge 0$。

1. 动画
   观察依据

   画出两个不同的点 x 和 y，并用一条虚线连接，虚线上标注 $d(x,y) > 0$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示，若我们从 x 出发，在度量空间中前往任意其他位置 y，则所走的距离必大于零。

1. 公式

   $$d(x,y) = 0 \Longrightarrow x = y$$
   解释

   从幻灯片上展示的形式化性质出发。

   步骤依据

   屏幕上直接呈现的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x \neq y \Rightarrow d(x,y) > 0$$
   解释

   将该性质用非形式化语言重新表述：若 y 是不同于 x 的另一位置，则所走距离必为正数。

   步骤依据

   音频讲解配合图中标注 $d(x,y) > 0$。

   视频直接表达

度量空间中不同的点之间的距离严格大于零。

1. 动画
   观察依据

   点 x 和 y 用一条虚线段连接，然后在相反方向上添加两条带标签的曲线箭头，分别标为〔$d(x,y)$〕和〔$d(y,x)$〕。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，从 x 到 y 的距离与从 y 到 x 的距离相同。

1. 公式

   $$d(x,y) = d(y,x)$$
   解释

   陈述形式化的对称性性质。

   步骤依据

   屏幕上直接显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   通过在同一对点之间双向绘制箭头，来直观展示方向反转不会改变距离值。

   步骤依据

   动画显示连接相同两个点的两条反向弧线。

   视频直接表达

距离与方向无关。

1. 动画
   观察依据

   画出三个点 x、y 和 z；先显示直接路径〔$d(x,z)$〕，再显示经由 y 的两段路径，并标注为〔$d(x,y)$〕和〔$d(y,z)$〕。

2. 声音
   观察依据

   说话人将该不等式类比为回家途中绕道而行，指出经由另一地点所走的路程一定比直达更长。

1. 公式

   $$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$$
   解释

   写出严格的三角不等式。

   步骤依据

   屏幕上直接显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   比较从 x 到 z 的直达路径与经由 y 的间接路径 $x \to y \to z$。

   步骤依据

   图中先画出直达边，再画出经由 y 的两条边。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   用日常类比：下班回家时可选择顺路去商店，但绕道绝不会比直接回家更近。

   步骤依据

   音频明确给出这一类比。

   视频直接表达

两点之间的直达距离不大于沿任意经过第三点的折线路径的距离之和。

1. 图示
   观察依据

   蓝色文字提问：“例题：－2与－4之间的距离是多少？”

2. 图示
   观察依据

   出现一条数轴，标有－4、－2和0，并在－4与－2之间画有一条绿色双向箭头。

3. 声音
   观察依据

   讲解员逐步演算该例题，并得出一个合理的距离为2。

－2与－4之间的距离是多少？

1. 给出两个实数：－2和－4。

2. 它们在数轴上被标出。

3. 课程刚刚指出，距离不能为负数。

计算这两个数之间一个有效的非负距离。

1. 公式

   $$-2 - (-4)$$
   解释

   尝试用其中一个数减去另一个数，作为距离的候选值。

   步骤依据

   这是旁白中在修正符号问题前所讨论的初始方法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-4 - (-2) = -2$$
   解释

   反向相减会得到负值，这说明单纯的减法不足以作为距离的定义。

   步骤依据

   旁白明确指出，这样会得出负二的距离，这是不合逻辑的。

   视频直接表达
3. 公式

   $$|-2 - (-4)| = 2$$
   解释

   使用绝对值，以确保结果为非负数。

   步骤依据

   旁白提到，我们通常会对所计算的量取绝对值，从而得到最终的距离。

   视频直接表达

对应的式子为：2

数轴图显示两个点之间相隔两个单位区间，与计算所得值2一致，并满足 $d(x,y) \ge 0$。

1. 图示
   观察依据

   标题卡上写着“逼近论”和“第1讲：度量空间”。

2. 动画
   观察依据

   先显示红色数据点，再画出一条穿过它们的蓝色曲线。

1. 标题文字：“逼近论”

2. 副标题：“第1讲：度量空间”

3. 笛卡尔坐标轴

4. 红色十字形数据点

5. 蓝色光滑曲线

1. 红色点首先出现。

2. 随后画出一条蓝色曲线，使其经过这些点。

1. 坐标轴保持固定。

2. 整体主题被介绍为逼近理论。

开场画面通过展示数据点及一条旨在表示或拟合它们的曲线，在视觉上引出逼近的概念。

1. 动画
   观察依据

   先画出一个标有 A 的蓝色色块，然后在其内部出现两点 x 和 y，再添加一条标有 $d(x,y)$ 的绿色虚线连接器。

2. 图示
   观察依据

   图下方的文字说明：度量空间是一个集合，使得对该集合中任意两点 x 和 y，都存在一个函数 $d(x,y)$，用于描述它们之间的距离。

1. 标有 A 的蓝色闭区域

2. 点 x

3. 点 y

4. 标有 $d(x,y)$ 的绿色虚线段

5. 说明性文字

1. 先画出集合的边界。

2. 先出现点 x，再出现点 y。

3. 最后添加虚线段及其标签 $d(x,y)$。

1. x 和 y 均位于集合 A 的内部。

2. 该连线表示一对元素间的距离，并非集合外部的一条路径。

动画将抽象定义转化为图像：度量空间由一个集合及一条为该集合中每一对元素指定距离的规则构成。

1. 图示
   观察依据

   一条水平数轴上标出 -4、-2 和 0。

2. 图示
   观察依据

   一条绿色双向箭头从 -4 跨至 -2。

1. 横轴

2. 刻度标签：-4、-2、0

3. 绿色双向箭头

1. 数轴出现在例题问题之后。

2. 该箭头标示了-4与-2之间的区间。

1. -4与-2在数轴上的位置保持不变。

2. 该箭头始终连接这两个已标记的点。

该图示支持‘距离是分离程度的大小’这一主张，此处距离等于2，而非带符号的差值。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片切换至‘距离函数的性质’下的第2项。

2. 声音
   观察依据

   讲述者开始说道：‘其次，度量空间中的所有元素都是唯一的。’

1. 第二条性质的完整符号表述在本片段中未完成。

1. 标题“距离函数的性质”

2. 第2项

3. 以“所有元素互不相同”开头的片段

1. 第一条性质及其示例消失。

2. 一个新的编号条目开始。

1. 讲座持续聚焦于距离函数的性质。

该片段在刚引入第二条判定准则时结束，因此仅有起始表述可用。

1. 动画
   观察依据

   先出现标有 x 的点，再在其右侧出现标有 y 的点，接着画出连接它们的虚线段，最后在该线段上方放置绿色标签 $d(x,y) > 0$。

1. 点 x

2. 点 y

3. 虚线连接线段

4. 标注 $d(x,y) > 0$

1. 首先引入点 x。

2. 然后引入点 y，作为另一个独立的点。

3. 接着画出它们之间的线段。

4. 再添加表示正距离的标注。

1. 在整个图示过程中，这两个点始终保持不同。

2. 标题及公式 $d(x,y) = 0 \Longrightarrow x = y$ 始终保留在屏幕上。

该图示说明：当 x 和 y 是不同位置时，它们之间的距离严格为正。

1. 动画
   观察依据

   先画出点 x 和点 y，并用虚线段连接；然后从 x 到 y 画一条带标注 $d(x,y)$ 的弧形箭头，再从 y 到 x 画一条带标注 $d(y,x)$ 的弧形箭头。

1. 点 x

2. 点 y

3. 虚线段

4. 带箭头的曲线，标注为 $d(x,y)$

5. 带箭头的曲线，标注为 $d(y,x)$

1. 先画出两个点及其之间的连接线段。

2. 然后添加正向有向弧。

3. 再添加反向有向弧。

1. 底层的这一对点保持不变。

2. 距离值在两个方向上表示为相同。

动画表明，交换参数的顺序不会改变距离。

1. 动画
   观察依据

   点 x 首先出现，接着是 y，然后是 z。x 与 z 之间画出一条标注为 $d(x,z)$ 的虚线段；随后画出标注为 $d(x,y)$ 和 $d(y,z)$ 的线段，构成经由 y 的两步路径。

1. 点 x

2. 点 y

3. 点 z

4. 直接线段 $d(x,z)$

5. 线段 $d(x,y)$

6. 线段 $d(y,z)$

1. 这三个点按顺序依次引入。

2. 首先画出从 x 到 z 的直接边。

3. 随后画出经过 y 的间接路径。

1. 全程使用相同的三个点。

2. 比较始终在直接路径与经过 y 的路径之间进行。

该图形直观地表达了：x 到 z 的直接距离不超过 x 到 y 的距离与 y 到 z 的距离之和。

1. 图示
   观察依据

   一幅示意图，显示三个标有 x、y、z 的点，由虚线两两相连，各段距离分别标注为 $d(x,y)$、$d(y,z)$ 和 $d(x,z)$。

1. 点 x

2. 点 y

3. 点 z

4. 线段 $d(x,y)$

5. 线段 $d(y,z)$

6. 线段 $d(x,z)$

1. 三点按三角形方式排列的几何构型

该图示直观地阐释了三角不等式这一概念：三角形某一边的长度（$d(x,z)$）不会超过其余两边长度之和（$d(x,y) + d(y,z)$）。

1. 动画
   观察依据

   文字依次出现在屏幕上，逐步构建出度量空间及其四条性质的形式化定义。

1. 标题文字

2. 定义文本

3. 带编号的性质列表

1. 文字“度量空间：形式化定义”出现在0:02处。

2. 基础定义文本出现在0:08处。

3. 性质1出现在0:20处。

4. 性质2出现在0:28处。

5. 性质3出现在0:38处。

6. 性质4出现在0:50处。

1. 动画全程背景保持白色。

动画引导观众逐步构建形式化定义，逐个呈现各组成部分与性质，以配合语音讲解。

1. 声音
   观察依据

   讲解者提醒，若直接对两个负数做减法，可能引发混淆。

2. 声音
   观察依据

   他说将-2作为距离“没有意义”，并建议取绝对值。

有人可能认为两个数之间的距离就是按某种固定顺序相减所得的差，这可能导致出现负值，例如-2，对应于-4与-2之间的差。

距离必须是非负的。在本例中，正确的方法是取差值的绝对值，即 |-2 - (-4)| = 2。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，如果我们在途中绕道，比如回家路上顺道去商店，那么我们必然比直接走要多走一段路程。

人们可能会认为，经过一个中间地点可以缩短总行程距离。

视频用通勤类比来强调：经过另一点的间接路径不会比直达路径更短；这对应三角不等式 $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$。

1. 声音
   观察依据

   在定义 $d(x,y)$ 后，讲述者将其重新命名为距离函数或度量。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片文字从一般定义转向了‘距离函数，或称度量’。

度量空间的定义包含指定一个函数 $d(x,y)$；下一项明确将该函数命名为距离函数或度量。

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，距离函数必须满足四项准则，随后立即给出第一条。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片从命名语句切换为标题‘距离函数的性质’及第1项。

一旦函数 $d(x,y)$ 被确认为度量，课程便将第一条必备性质——非负性——应用于它。

1. 声音
   观察依据

   讲述者在陈述 $d(x,y) \ge 0$之后，专门引入该例以澄清人们对负数可能产生的困惑。

2. 图示
   观察依据

   该例直接出现在同一张幻灯片上非负性性质的下方。

该例将非负性规则应用于具体数值，展示绝对值如何得出有效的距离。

1. 声音
   观察依据

   该例被设定为一种情形：简单相减可能误导性地得出负的距离。

这个演算示例对比了错误的带符号差直觉与正确的、以绝对值诠释距离的方式。

1. 动画
   观察依据

   幻灯片在同一标题“距离函数的性质”下，由性质2过渡到性质3。

二者均被列为同一度量空间上同一个距离函数的相继性质。

1. 动画
   观察依据

   幻灯片在同一标题“距离函数的性质”下，由性质3过渡到性质4。

二者均被列为同一度量空间上同一个距离函数的相继性质。

1. 公式
   观察依据

   三角不等式中使用的距离 $d(x,y)$、$d(y,z)$ 和 $d(x,z)$，均为同一距离函数的实例，而该函数的对称性已在前文陈述。

1. 这一关系是通过各性质中共同使用符号 d 推断得出的，而非以依赖关系的形式明确口述。

三角不等式针对的是同一距离函数 d，其对称性性质在前一句中刚刚引入。

1. 声音
   观察依据

   ……我们现已知其为三角不等式。

距离函数的第四条性质 $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ 被明确标识为三角不等式，并由初始图示直观呈现。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将度量空间定义为一个集合，该集合中任意两个元素之间都存在一个距离函数。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片文字用符号 A、x、y 和 $d(x,y)$ 给出了相同的定义。

1. 本讲中对度量空间的定义
2. 术语：距离函数或度量

1. 图示
   观察依据

   幻灯片将性质1列为“它不能为负”，并给出 $d(x,y) \ge 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，不存在负的距离。

1. 距离函数的第一条性质：非负性
2. 距离永远不会为负

1. 声音
   观察依据

   讲解者解释道，若减法顺序错误，可能得到 -2，因此需使用绝对值。

2. 图示
   观察依据

   数轴与示例问题展示了 -4 和 -2，其间用绿色线段标出。

1. 例题：－2与－4之间的距离
2. 混淆带符号的减法与距离
3. 利用绝对值推导 -2 与 -4 之间的距离

1. 声音
   观察依据

   讲解者宣布共有四个判定准则，但本片段结束前仅完整呈现了第一个。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片在片段结尾处从第一个性质过渡到第二个性质的起始部分。

1. 其余三个判定准则未包含在本片段中。

1. 度量必须满足四项准则
2. 距离函数的第一条性质：非负性

1. 公式
   观察依据

   $d(x,y) = 0$ ⟹ $x = y$ 被显著展示。

1. 距离函数的唯一性性质。
2. 如果距离为零，则两点重合

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上显示：$d(x,y) = d(y,x)$。

1. 距离函数的对称性
2. 距离具有对称性

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上显示：$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人用绕道类比来解释三角不等式。

1. 距离函数的三角不等式
2. 度量空间中的三角不等式
3. 三角不等式的直观解释

1. 声音
   观察依据

   主讲人将该不等式类比为：回家途中顺路去商店，结果走的路程比直接回家更远。

1. 三角不等式的直观解释
2. 绕行路线不比直达路线更短

1. 声音
   观察依据

   那么，我们已经准备好写出度量空间的正式定义了。

1. 度量空间的形式定义

1. 公式
   观察依据

   距离函数 d 的四条编号性质显示在屏幕上。

1. 性质1：非负性
2. 性质2：不可区分者的同一性
3. 性质3：对称性
4. 性质4：三角不等式