从渐近线图像判断单侧极限｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   函数在图上标记为 y = g(x)。

g(x)

因变量，表示函数 g 对于给定输入 x 的输出值。

图中给出了实数输入的若干分支，完整代数定义域未知。

1. 公式
   观察依据

   自变量在横轴上由 x 表示。

x

自变量，表示函数 g 的输入。

实数

1. 公式
   观察依据

   极限记号写为 lim_{x -> 6^-} g(x)。

lim

数学运算符，指示当输入趋近于特定值时函数的极限。

1. 公式
   观察依据

   符号 ∞ 用于表示函数值变得无界。

∞

表示函数值的无界增加；不是一个特定的数字。

1. 公式
   观察依据

   图上标注了函数为 y = g(x)。

g(x)

图中所示的函数。

显示的域分支从两侧趋近于 x=6；未提供完整的代数定义域。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上写有表达式 \lim_{x \to 6^-} g(x)。

\lim_{x \to 6^-} g(x)

当 x 趋近于 6 时 g(x) 的左极限。

x < 6

1. 公式
   观察依据

   屏幕上写有表达式 \lim_{x \to 6^+} g(x)。

\lim_{x \to 6^+} g(x)

当 x 趋近于 6 时 g(x) 的右极限。

x > 6

1. 公式
   观察依据

   在左极限表达式旁边用粉色写着文字 'not exist'。

not exist

表示该极限没有有限值。

1. 公式
   观察依据

   在右极限表达式旁边用绿色写着数字 -3。

-3

函数从右侧趋近的有限值。

1. 声音
   观察依据

   解说指定从左侧向目标输入靠近。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上写出了表达式 lim_{x -> 6^-} g(x)。

单侧极限描述了当函数的输入仅从一个方向（小于或大于目标值）趋近于特定值时函数的行为。在本例中，它是 x 从左侧趋近于 6 时的极限。

1. x 必须从小于 6 的值趋近于 6。

1. 声音
   观察依据

   解说观察图中的相邻输入，以及垂直渐近线附近的上升分支。

2. 图示
   观察依据

   图表显示在 x=6 处有一条垂直虚线，蓝色曲线从左侧靠近该线时急剧上升至正无穷。

若函数从至少一侧趋近 x=c 时趋于正无穷或负无穷，x=c 就是垂直渐近线。仅有振荡式无界行为，并不保证存在某个确定符号的无穷极限。

1. 至少一个单侧极限是正无穷或负无穷，具有确定符号。

1. 单侧极限

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

2. 公式
   观察依据

   使用了表达式 \lim_{x \to 6^-} g(x) 和 \lim_{x \to 6^+} g(x)。

单侧极限描述了当自变量仅从一个方向（从小于该点的值或大于该点的值）趋近于特定点时函数的行为。

1. 定义域包含从指定一侧任意靠近目标的点。

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

2. 动画
   观察依据

   图表显示当 x 从左侧趋近于 6 时，函数无限增大。

显示的左分支在 x 从下方趋近于 6 时无界增长，因此没有有限的实数极限。根据扩展的无穷极限约定，这种特定的向上发散写作极限为 +infinity。一般的无界行为不一定具有确定的无穷极限符号。

1. 所述的不存在是指有限的实数极限。

2. 正无穷大的极限描述的是最终增长超过每一个正界限；无穷大不是有限的实数。

1. 单侧极限

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

在标准极限的语境下，无穷大 (∞) 用作描述无界行为的记号，并不代表一个特定的数值。

1. 我们在实数上的标准极限定义范围内工作。

全称

1. 声音
   观察依据

   解说观察图中的相邻输入，以及垂直渐近线附近的上升分支。

2. 动画
   观察依据

   粉色点依次出现在图表上的 x=2, 3, 4, 5, 5.5 和 5.75 处，水平虚线将其 y 值投影到 y 轴上。

1. 公式

   $$g(2) \approx 1.2$$
   解释

   选择 x=2，它小于 6，观察图表显示 y 值略高于 1。

   步骤依据

   图形读数

   视频直接表达
2. 公式

   $$g(3) \approx 1.5$$
   解释

   选择 x=3，y 值进一步增加。

   步骤依据

   图形读数

   视频直接表达
3. 公式

   $$g(4) \approx 1.8$$
   解释

   选择 x=4，y 值继续增加，保持在 2 以下。

   步骤依据

   图形读数

   视频直接表达
4. 公式

   $$g(5) \approx 3$$
   解释

   选择 x=5，y 值跳跃至大约 3。

   步骤依据

   图形读数

   视频直接表达
5. 公式

   $$g(5.5) \approx 5$$
   解释

   选择 x=5.5，y 值增加到 5 左右。

   步骤依据

   图形读数

   视频直接表达
6. 公式

   $$g(5.75) \approx 9$$
   解释

   选择 x=5.75，非常接近 6，y 值飙升至 9 左右。

   步骤依据

   图形读数

   视频直接表达
7. 公式

   $$\lim_{x \to 6^-} g(x) = \infty$$
   解释

   随着 x 从左侧越来越接近 6，y 值无界增长，得出结论极限为无穷大。

   步骤依据

   无穷极限的定义

   视频直接表达

图示分支从6的左侧趋于正无穷。近似样本用于说明这张图的行为，视频未给出代数函数式或一般证明。

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

2. 动画
   观察依据

   光标沿着蓝色曲线向上追踪，当它从左侧接近 x=6 处的垂直虚线时趋向正无穷。

1. 解释

   观察 g(x) 的图像，看小于 6 的 x 值如何越来越接近 6。

   步骤依据

   左极限的定义。

   视频直接表达
2. 解释

   注意函数的 y 值迅速增加，并没有稳定在任何特定的有限数值上。

   步骤依据

   对图形在垂直渐近线附近行为的视觉检查。

   视频直接表达
3. 解释

   得出结论，因为函数是无界的，所以左极限不存在。

   步骤依据

   当寻求有限值时，表现出无穷行为的极限的标准约定。

   视频直接表达

\lim_{x \to 6^-} g(x) = \text{not exist}

1. 声音
   观察依据

   解说沿右分支追踪空心圆，得出该侧的有限极限。

2. 动画
   观察依据

   光标沿着图形的下部从右向左移动，越来越接近位于 (6, -3) 的空心圆。

1. 解释

   考虑大于 6 的 x 值，例如 x=8, x=7, x=6.5, x=6.01 和 x=6.0000001。

   步骤依据

   这些值代表从右侧趋近于 6。

   视频直接表达
2. 解释

   观察这些 x 输入在图形上对应的 y 值。

   步骤依据

   从其图形表示中读取函数的输出。

   视频直接表达
3. 解释

   对足够靠近6的右侧输入，函数值趋近-3；所列较远样本不必单调靠近这个高度。

   步骤依据

   曲线趋近于水平线 y=-3 的视觉趋势。

   补充解释
4. 解释

   得出右极限为 -3 的结论。

   步骤依据

   基于函数趋近于特定值的极限定义。

   视频直接表达

\lim_{x \to 6^+} g(x) = -3

1. 声音
   观察依据

   解说指定从左侧向目标输入靠近。

2. 图示
   观察依据

   显示了 y=g(x) 的图表，展示了 x=6 附近的相关部分。

给定 y = g(x) 的图表，确定 \lim_{x \to 6^-} g(x) 的值。

1. 函数 y = g(x) 的图表。

2. x = 6 处的垂直虚线，指示渐近线。

3. 曲线从左侧趋近渐近线，向上延伸。

评估 g(x) 当 x 趋近于 6 时的左极限。

1. 公式

   $$\text{Observe } x \to 6^-$$
   解释

   识别我们需要观察 x 值严格小于 6 并移动向 6 时图表的行为。

   步骤依据

   左极限的定义

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Trace the curve upwards}$$
   解释

   沿着蓝色曲线从左向右追踪，当它接近 x=6 处的垂直线时。y 值正在迅速增加。

   步骤依据

   对图表的视觉检查

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{x \to 6^-} g(x) = \infty$$
   解释

   由于当 x 从左侧趋近于 6 时 y 值无界增加，极限被描述为无穷大。

   步骤依据

   无穷极限的定义

   视频直接表达

\infty

图形证据清楚地显示，当函数从左侧接近垂直渐近线时，其值无界增大。

1. 图示
   观察依据

   图形在 x=6 处有一个向上的左侧垂直渐近线，以及一个单独的右侧分支趋近于 (6,-3)。

2. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

给定 y=g(x) 的图形，确定 \lim_{x \to 6^-} g(x) 和 \lim_{x \to 6^+} g(x)。

1. 函数 y=g(x) 的图形。

2. x=6 处的垂直虚线，指示渐近线或不连续点。

3. 当 x \to 6^- 时，图形的上分支趋向 +\infty。

4. 下分支趋近于点 (6,-3)，这是从右侧令 x \\to 6^+ 的过程。

评估 g(x) 在 x=6 处的左极限和右极限。

1. 解释

   对于左极限，观察 x 从小于 6 的值趋近于 6 时的图形。曲线无限向上延伸。

   步骤依据

   对 x=6 左侧函数行为的图形分析。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{x \to 6^-} g(x) = \text{not exist}$$
   解释

   由于函数是无界的，极限作为有限数不存在。

   步骤依据

   由于无穷行为导致极限不存在的定义。

   视频直接表达
3. 解释

   对足够靠近6的右侧输入，函数值趋近-3；所列较远样本不必单调靠近这个高度。

   步骤依据

   对 x=6 右侧函数行为的数值和图形分析。

   补充解释
4. 公式

   $$\lim_{x \to 6^+} g(x) = -3$$
   解释

   函数从右侧趋近于有限值 -3。

   步骤依据

   极限的定义。

   视频直接表达

\lim_{x \to 6^-} g(x) = \text{not exist}, \quad \lim_{x \to 6^+} g(x) = -3

结果与图形的视觉特征相符：左侧有一个向上的垂直渐近线，右侧有一条曲线终止于 y=-3 处的空心圆。

1. 图示
   观察依据

   一个带有网格的坐标平面，轴标签从 -9 到 9，以及一条代表 y=g(x) 的蓝色曲线。x=6 处有一条垂直虚线。

1. 坐标轴

2. 网格线

3. 蓝色曲线 y=g(x)

4. x=6 处的垂直虚线

5. (6, -3) 处的空心圆

1. g(x) 图表的形状和位置

2. x=6 处垂直渐近线的位置

提供评估函数极限所需的视觉数据。

1. 动画
   观察依据

   粉色点出现在蓝色曲线上，位于 x=2, 3, 4, 5, 5.5 和 5.75 处。水平粉色虚线将这些点投影到 y 轴上，显示它们的近似 y 值。

1. 曲线上的粉色点

2. 水平粉色虚线投影线

1. 粉色点沿着曲线从左到右逐个出现，随着 x 趋近于 6。

2. 相应的水平线显示 y 轴上不断增加的 y 值。

1. g(x) 的基础图表保持不变。

数值演示了当输入从左侧趋近于 6 时，函数的输出如何增长。

1. 动画
   观察依据

   文本 'lim_{x -> 6^-} g(x) =' 以青色墨水手写在屏幕右侧。

1. 手写文本

1. 极限表达式逐步写出。

形式化了关于图表行为所提出的问题。

1. 动画
   观察依据

   无穷大符号 '∞' 以粉色墨水手写在极限表达式旁边。

1. 手写无穷大符号

1. 符号出现以完成方程。

基于图形证据陈述极限评估的结论。

1. 动画
   观察依据

   鼠标光标沿着 x=6 处垂直渐近线左侧的蓝色曲线向上移动。

1. g(x) 的蓝色曲线

2. x=6 处的垂直虚线

3. 鼠标光标

1. 光标位置沿曲线向上移动。

2. 函数的 Y 值趋向正无穷。

1. X 值保持小于 6 但越来越接近 6。

演示了当 x 从左侧趋近于 6 时函数的无界行为。

1. 动画
   观察依据

   鼠标光标沿着下方的蓝色曲线向左移动，从大约 x=8 开始，停在 x=6 附近。

1. g(x) 的下部蓝色曲线

2. (6, -3) 处的空心圆

3. 鼠标光标

1. 光标位置向左移动趋近于 x=6。

2. 函数值趋近于 -3，对应从右侧向6靠近的输入；较早追踪的整段曲线未必单调。

1. X 值保持大于 6 但越来越接近 6。

图示说明函数趋近有限值 -3，对应从右侧向6靠近的输入。

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

认为写出极限等于无穷大意味着极限评估为一个特定的有限数值。

无穷大是一个描述性术语，用于指示函数无界增长；它不是一个实数。

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

混淆无穷极限约定与有限实数极限的存在性。

源练习为此无界分支写作 not exist，因为它寻求的是有限实数极限。使用 +infinity 来描述这种特定的向上发散在扩展的无穷极限记号中也是有效的；这些约定并不矛盾。

1. 声音
   观察依据

   解说观察图中的相邻输入，以及垂直渐近线附近的上升分支。

2. 图示
   观察依据

   图表直观地将 x=6 垂直线附近的行为与函数的输出联系起来。

评估结果为无穷大的单侧极限证实了在该 x 值处存在垂直渐近线。

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

应用评估单侧极限的方法来确定由于无界行为，左极限不存在。

1. 声音
   观察依据

   解说观察图中的相邻输入，以及垂直渐近线附近的上升分支。

1. 单侧极限
2. 使用样本点评估单侧极限

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

1. 单侧极限
2. 无穷大不是实数
3. 混淆无穷大与实数

1. 声音
   观察依据

   解说区分向上发散与有限实数极限的存在。

2. 公式
   观察依据

   \lim_{x \to 6^-} g(x)

1. 单侧极限
2. 无界行为与不存在的极限
3. 通过图形评估左极限

1. 声音
   观察依据

   解说沿右分支追踪空心圆，得出该侧的有限极限。

2. 公式
   观察依据

   \lim_{x \to 6^+} g(x) = -3

1. 单侧极限
2. 通过图形评估右极限