拓扑空间中的开集与闭集

1. 公式
   观察依据

   符号 τ 出现在开集的定义中，也出现在示例拓扑中。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“如果 τ 是一个拓扑……”

$\tau$

集合 X 上的一个拓扑。

X 的子集构成的一个集合族。

1. 公式
   观察依据

   符号 X 用于表示拓扑空间 (X, 〔τ〕) 中的底集，也出现在示例中。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“考虑一个拓扑空间 X 和 τ……”

X

拓扑空间的底集。

一个集合。

1. 公式
   观察依据

   符号 y 在一般定义和具体示例中均用来表示 X 的一个子集。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“并设 Y 是 X 的一个子集……”

1. 主讲人口头使用大写字母 'Y'，但在黑板上书写的是小写字母 'y'。

y

底集 X 的一个子集。

X 的一个子集。

1. 公式
   观察依据

   符号 $\subseteq$ 用于表示 y 是 X 的子集。

$\subseteq$

子集或等于。

集合包含关系。

1. 公式
   观察依据

   短语“属于”用于表示集合的隶属关系，等价于符号 $\in$。

$\in$

是……的元素／属于。

集合隶属关系。

1. 公式
   观察依据

   记号 $y^c$ 用于表示集合 y 的补集。

$y^c$

集合 y 关于全集 X 的补集。

X 的一个子集。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $X = {a, b, c, d, e}$。

2. 声音
   观察依据

   说话人在计算补集以及判断 X 是否为开集或闭集时，所指的都是整个集合 X。

X

该拓扑空间的底层集合，明确给出为 {a, b, c, d, e}。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 τ = {∅, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X}。

2. 声音
   观察依据

   说话人反复指出某个集合是否属于 tau。

τ

定义在 X 上的拓扑，即用于判定开集与闭集的开集族。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $y = {a, b, c}$ 且 y ⊆ X。

2. 声音
   观察依据

   说话人先检验 y 是否为开集，再检验 y 是否为闭集。

y

正在被检验的 X 的一个子集，明确给出为 $y = {a, b, c}$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $y^c = X - y = {a,b,c,d,e} - {a,b,c} = {d,e}$。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：‘我们只需找出 y 的补集’，并将其计算为 X 的元素减去 y 的元素。

$y^c$

y 关于 X 的补集，计算为 X - y。

1. 公式
   观察依据

   黑板上将 ∅ 列为 τ 的一个元素，并随后写出 $X^c = X - X$ = ∅。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称 ∅ 为空集，并将其作为另一个既开又闭集合（clopen set）的例子。

∅

空集；此处它既是拓扑 τ 的一个元素，又是 X 关于自身的补集。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $U = {c,d}$，然后注明 U ⊆ X 且 $U \in τ$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人引入‘X 的另一个子集，记作 U 等于 c d’，并得出结论：U 是开集。

U

正在检验的 X 的另一个子集，明确写出为 $U = {c,d}$。

1. 公式
   观察依据

   文字表述：“若 $\tau$ 是一个拓扑，则 $\tau$ 的成员称为拓扑 $\tau$ 的开集。”

2. 声音
   观察依据

   说话人朗读开集的定义。

在拓扑空间$(X, \tau)$中，拓扑$\tau$的元素（成员）被定义为开集。

1. $(X, \tau)$是一个拓扑空间。

2. $y$是$X$的一个子集。

3. $y$是拓扑$\tau$的一个成员。

1. 公式
   观察依据

   文字显示：“若给定集合 y 是开集，则称 y 的补集 $y^c$ 为闭集。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人朗读闭集的定义。

若一个集合的补集是开集，则该集合被定义为闭集。

1. $y$是$X$的一个子集。

2. $y$是拓扑空间$(X, \tau)$中的一个开集。

1. 开集的定义

1. 公式
   观察依据

   文字显示：“开集与闭集——既开又闭集（CLOPEN SET）”以及“在任意集合 X 中，X 自身和空集被称为既开又闭集。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：一个既开又闭的集合称为“既开又闭集”，并以全集和空集为例。

一个同时是开集又是闭集的集合称为既开又闭集。在任意拓扑空间中，全集$X$和空集$\emptyset$总是既开又闭的。

1. $y$是$X$的子集。

2. $y$是一个开集。

3. $y$是一个闭集。

1. 开集的定义
2. 闭集的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上使用了诸如 y ⊆ X、y ∉ τ ⇒ y 不是开集，以及 X ⊆ X、$X \in τ$ ⇒ X 是开集等表述。

2. 声音
   观察依据

   主讲人通过检查该子集是否属于 τ 来判定其是否为开集。

在本视频中，X 的子集被称为开集，当且仅当它属于所展示的拓扑 τ。示例直接演示了这一判定：$y = {a,b,c}$ 不是开集，因为 y ∉ τ；而 X 和 $U = {c,d}$ 是开集，因为它们属于 τ。

1. 全集为 $X = {a,b,c,d,e}$。

2. 该拓扑为 τ = {∅, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X}。

1. 公式
   观察依据

   对于 y，黑板计算得 $y^c = {d,e}$，指出 {d,e} ∉ τ，从而得出 y 不是闭集。

2. 公式
   观察依据

   对于 X，黑板计算得 $X^c$ = ∅，指出 ∅ ∈ τ，从而得出 X 是闭集。

3. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘现在我们再来看看它是否为闭集。我们只需考察 y 的补集’，随后对 X 应用了相同的方法。

视频通过考察相对于 X 的补集来定义闭性：一个集合是闭集，当且仅当它的补集是开集，即该补集属于 τ。这一准则被应用了两次：y 不是闭集，因为 $y^c = {d,e}$ ∉ τ；X 是闭集，因为 $X^c$ = ∅ ∈ τ。

1. 补集均相对于固定的全集 X 取得。

2. 补集的开性由其是否属于 τ 来判定。

1. 本例题中判断开集的判据

1. 公式
   观察依据

   黑板写出 $y^c = X - y = {a,b,c,d,e} - {a,b,c} = {d,e}$。

2. 公式
   观察依据

   黑板写出 $X^c = X - X$ = ∅。

3. 声音
   观察依据

   主讲人将补集解释为“全集 X 减去子集 y”，随后又解释为“X 减去 X”。

视频中使用补集符号 $A^c$ 表示在固定全集 X 中的集合差 X - A。它通过从 X 的列举元素中移除 A 的列举元素来演示该运算。

1. A 必须是所选全集 X 的子集。

2. 此处 $X = {a,b,c,d,e}$。

1. 公式
   观察依据

   在证明 X 是开集且 X 是闭集之后，黑板上写下 CLOPEN SET（既开又闭集）。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘这意味着集合 X 是一个既开又闭集’，并补充说明 ∅ 也是既开又闭集。

既开又闭集是指在给定拓扑中既是开集又是闭集的集合。视频首先在展示 $X \in τ$ 且 $X^c$ = ∅ ∈ τ 后，将 X 标记为既开又闭集；接着指出 ∅ 也是既开又闭集，因为 ∅ ∈ τ 且其补集 $X \in τ$。

1. 开性与闭性的判断均在同一拓扑空间 (X, τ) 中进行。

1. 本例题中判断开集的判据
2. 通过补集判定闭集的准则

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“U ⊆ X 且 $U \in T$ ⇒ U 是开集”。

在所展示的设定中，当子集U属于拓扑T时，U被称为开集。视频在该例子中将此作为判断开性的实用检验方法。

1. U必须是X的子集。

2. 属于T是本例中判断开性的决定性条件。

1. 公式
   观察依据

   手写内容为“$U^c = X - U$”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将补集解释为集合X的元素减去集合U的元素。

U的补集是通过从X中移除所有属于U的元素而得到的。在本片段中，该补集被用作一个中间对象，其是否属于T决定了U是否为闭集。

1. 补集是相对于全集X取的。

1. 公式
   观察依据

   在计算得出{a,b,e} ∉ T后，黑板上写下“=> U is not closed”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“现在我们来看看它是否也是闭集。我们只需考察U的补集……而这说明U不是闭集。”

1. 一般性定理“U是闭集当且仅当$U^c$是开集”在本片段中并未完整写出；直接展示的是通过补集进行的具体检验。

为判断U是否为闭集，视频计算了$U^c$，并检查该补集是否属于拓扑T。若该补集不属于T，则此例得出结论：U不是闭集。

1. 该方法假设开集性由是否属于T来判定。

2. 补集是相对于X计算的。

1. 集合为开集的判据
2. 子集U关于X的补集

1. 公式
   观察依据

   标题“CLOPEN SET”显示在〔∅〕上方。

1. 本片段未用文字定义“clopen”一词；仅将〔∅〕标记为该术语。

黑板上用标签“CLOPEN SET”指代〔∅〕，表明在本课上下文中，空集被视为既开又闭。

1. 这是屏幕上显示的标签，而非视频中完整重述的定义。

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $y = {a,b,c}$，y ⊆ X，y ∉ τ，并得出结论“=> y 不是开集。”

2. 声音
   观察依据

   口述的设定引导观众在已确认 y 非开集之后，进一步检验 y 是否为闭集。

在所示拓扑空间中，对于 $y = {a,b,c}$，y 不是开集。

1. X 等于集合 a、b、c、d、e。

2. τ 等于集合：空集、只含元素 a 的集合、含元素 c 和 d 的集合、含元素 a、c 和 d 的集合、含元素 b、c、d 和 e 的集合，以及全集 X。

3. $y = {a,b,c}$ 是 X 的子集。

4. y 不属于 τ。

这是关于给定拓扑空间中被命名为 y 的集合的一个具体断言。

1. 公式
   观察依据

   黑板上计算出 $y^c = {d,e}$，写出 {d,e} ∉ τ，并得出结论“⇒ y 不是闭集”。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：“我们可以看出集合 D E 不属于 tau。这意味着 Y 不是闭集。”

对于 $y = {a,b,c}$，其补集 $y^c = {d,e}$ 不在 τ 中，因此 y 不是闭集。

1. 闭集性的判定依据是其补集是否属于 τ。

2. y 的补集 $y^c = X$ 减去 $y = {d,e}$。

3. {d,e} 不属于 τ。

关于已命名集合 y 的一个具体实例断言。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：‘因此，Y 既不是开集，也不是闭集。’

2. 公式
   观察依据

   这一结论源于黑板上先前写出的两个结论：y 不是开集，且 y 不是闭集。

集合 $y = {a,b,c}$ 在拓扑空间 (X, τ) 中既不是开集，也不是闭集。

1. y 不是开集，因为 y 不属于 τ。

2. y 不是闭集，因为 y 的补集 $y^c = {d,e}$ 不属于 τ。

关于 y 的两个具体实例断言的合取。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出：‘每个集合都是其自身的子集，即 X ⊆ X’，接着写‘且 $X \in τ$’，再写‘=> X 是开集’。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：‘回顾一下，每个集合都是其自身的子集……我们可以看出 X 也是 τ 的一个元素。这意味着 X 是一个开集……’

整个空间 X 在拓扑 τ 中是开集。

1. X 是 X 的子集。

2. X 属于 τ。

将一个普遍事实应用到图中所示的具体空间：背景集合 X 本身。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $X^c = X - X$ = ∅ 且 ∅ ∈ τ，然后得出结论“⇒ X 是闭集”。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：“空集是 τ 的一个元素。因此这也说明 X 是闭集。”

整个空间 X 是闭集，因为它的补集是 ∅，且 ∅ ∈ τ。

1. X 的补集 = X 减去 X = ∅。

2. 对应的式子为：∅ ∈ τ。

3. 闭集的定义是其补集属于 τ。

关于全集 X 的一个具体实例断言。

1. 公式
   观察依据

   在得出两个结论“⇒ X 是开集”和“⇒ X 是闭集”之后，黑板上写下 CLOPEN SET。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：“这意味着集合 X 是一个既开又闭的集合。”

集合 X 在 (X, τ) 中是既开又闭的。

1. X 是开集。

2. X 是闭集。

关于全集 X 的一个具体实例断言。

1. 公式
   观察依据

   黑板在 CLOPEN SET 标题下列出 ∅。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：“另一个例子是空集。空集也是一个既开又闭的集合，因为它属于 τ，且它的补集是集合 X，而 X 也属于 τ。”

空集 ∅ 在 (X, τ) 中是既开又闭的。

1. 空集 ∅ 属于 τ。

2. 空集 ∅ 的补集等于 X。

3. 全集 X 属于 τ。

关于给定空间中空集的一个具体实例断言。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $U = {c,d}$，U ⊆ X，$U \in τ$，并标注“⇒ U 是开集”。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“我们可以看出 U 是 X 的子集，同时也能看出 U 属于 τ。因此这意味着 U 是开集。”

对于 $U = {c,d}$，U 在拓扑空间 (X, τ) 中是开集。

1. $U = {c,d}$ 是 X 的子集。

2. U 属于 τ。

关于所命名集合 U 的一个具体实例断言。

1. 公式
   观察依据

   黑板上已写有“U ⊆ X 且 $U \in T$ ⇒ U 是开集”，同时显示 U = 〔{c,d}〕。

1. 显式的成员关系检验“〔{c,d}〕 ∈ T”在本片段中未被重写；关于开集的陈述沿用先前内容。

对于子集 U = 〔{c,d}〕，视频视 U 为开集，因其满足所展示的判据：U ⊆ X 且 $U \in T$。

1. U 等于集合 c、d。

2. U 是 X 的子集。

3. U 属于 T。

关于所展示集合 U 的具体例子。

1. 公式
   观察依据

   完整语句为“$U^c = X - U$ = \{a,b,c,d,e\} - \{c,d\} = \{a,b,e\} $\notin T$”，后接“=> U 不是闭集”。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出，该补集不属于 τ，因此 U 不是闭集。

子集 U = \{c,d\} 在给定拓扑中不是闭集，因为其补集 \{a,b,e\} 不属于 T。

1. U 等于集合 c、d。

2. X 等于由 a、b、c、d、e 组成的集合。

3. U 的补集等于 〔a,b,e〕。

4. 集合 {a, b, e} 不属于 T。

关于所展示集合 U 的具体例子。

1. 公式
   观察依据

   书写步骤：“$y = {a, b, c}$”，“y ⊆ X”，“y ∉ τ”，“⇒ y 不是开集。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人逐步分析该例，指出{a, b, c}是X的子集，但不在拓扑τ中，因此它不是开集。

1. 公式

   $$X = \{a, b, c, d, e\}, \tau = \{\emptyset, \{a\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d,e\}, X\}$$
   解释

   陈述给定的拓扑空间及其拓扑。

   步骤依据

   例中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y = \{a, b, c\}$$
   解释

   定义X的一个特定子集y。

   步骤依据

   本例中选定的集合。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y \subseteq X$$
   解释

   验证 y 是否为 X 的子集。

   步骤依据

   y 的所有元素都在 X 中。

   视频直接表达
4. 公式

   $$y \notin \tau$$
   解释

   检查 y 是否属于拓扑 τ。

   步骤依据

   集合 {a, b, c} 未列在 τ 的元素中。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\Rightarrow y \text{ is not open}$$
   解释

   得出结论：y 不是开集。

   步骤依据

   根据开集的定义，一个子集要成为开集，当且仅当它属于该拓扑。

   视频直接表达

集合 $y = {a, b, c}$ 在给定的拓扑空间中不是开集。

1. 公式
   观察依据

   黑板上依次写出 y 的补集 $y^c = X - y$，代入 {a,b,c,d,e} - {a,b,c} 得到 {d,e}，然后写出 {d,e} ∉ τ 并标注“⇒ y 不是闭集”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人逐步讲解：求 y 的补集，从 X 中减去 y 的元素，得到 de，观察发现 de 不在 τ 中，从而得出 y 不是闭集。

1. 公式

   $$y^c = X - y$$
   解释

   从相对于全集 X 的补集定义出发。

   步骤依据

   视频中使用的相对补集定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X - y = \{a,b,c,d,e\} - \{a,b,c\}$$
   解释

   代入黑板上给出的具体集合。

   步骤依据

   直接代入 $X = {a,b,c,d,e}$ 和 $y = {a,b,c}$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= \{d,e\}$$
   解释

   从 X 中移除元素 a、b、c，剩下 d 和 e。

   步骤依据

   集合差运算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\{d,e\} \notin \tau$$
   解释

   将结果与拓扑 τ 中所列的成员进行比对。

   步骤依据

   检查 τ = {∅, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X}。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\Rightarrow y \text{ is not closed}$$
   解释

   由于该补集不是开集，y 不满足闭集判定条件。

   步骤依据

   闭集判定准则：A 是闭集当且仅当 $A^c \in τ$。

   视频直接表达

$y = {a,b,c}$ 在给定的拓扑空间中不是闭集。

1. 公式
   观察依据

   板书首先写出 X ⊆ X 且 $X \in τ$，从而得出 X 是开集；接着写出 $X^c = X - X$ = ∅ 且 ∅ ∈ τ，从而得出 X 是闭集。

2. 声音
   观察依据

   说话人明确按顺序执行了这两项检验，然后指出 X 是一个既开又闭的集合（clopen 集）。

1. 公式

   $$X \subseteq X$$
   解释

   注意：全集是其自身的子集。

   步骤依据

   板书陈述的基本子集事实：任一集合都是其自身的子集。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X \in \tau$$
   解释

   检查所展示的拓扑，可见 X 被列为其中的一个成员。

   步骤依据

   考察 τ = {∅, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X}。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\Rightarrow X \text{ is open}$$
   解释

   因为 X ⊆ X 且 $X \in τ$，所以它满足视频中所用的开集判定条件。

   步骤依据

   开集判据：A 是开集当且仅当 $A \in τ$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X^c = X - X = \emptyset$$
   解释

   计算 X 关于其自身的补集。

   步骤依据

   相对补集与集合差的定义。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\emptyset \in \tau$$
   解释

   再次检查拓扑结构，确认空集被列为其中的一个成员。

   步骤依据

   对 τ 的检验。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\Rightarrow X \text{ is closed}$$
   解释

   由于 X 的补集是开集，因此 X 是闭集。

   步骤依据

   闭集判定准则：A 是闭集当且仅当 $A^c \in τ$。

   视频直接表达

X 既是开集又是闭集，因此是既开又闭集（clopen）。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出 ∅ 是既开又闭集，因为 ∅ ∈ τ 且其补集 $X \in τ$。

2. 公式
   观察依据

   板书将 ∅ 写在‘既开又闭集’标题下方，而此前的推导已确立 ∅ ∈ τ 且 $X \in τ$。

1. 等式 ∅^$c = X$ 是口述给出的，并未在黑板上单独写出。

1. 公式

   $$\emptyset \in \tau$$
   解释

   空集是该拓扑结构所列成员之一。

   步骤依据

   检验 τ = {∅, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X}。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\emptyset^c = X$$
   解释

   空集关于 X 的补集是整个空间。

   步骤依据

   标准的相对补集恒等式；说话人明确指出其补集是集合 X。

   依据视频推导
3. 公式

   $$X \in \tau$$
   解释

   全集也被列为该拓扑的一个成员。

   步骤依据

   此前视频中已证明过。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\Rightarrow \emptyset \text{ is clopen}$$
   解释

   空集 ∅ 及其补集都是开集，因此 ∅ 既是开集又是闭集。

   步骤依据

   闭开集的定义。

   依据视频推导

∅ 是拓扑空间 (X, τ) 中的一个闭开集。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：“现在我们来看看它是否也是闭集。我们只需考察 U 的补集。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上依次写出“$U^c = X - U$”，然后代入集合，最后得出结论“=> U 不是闭集”。

1. 公式

   $$U^c = X - U$$
   解释

   将 U 关于 X 的补集作为检验闭性的对象引入。

   步骤依据

   视频中使用的补集定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X - U = \{a,b,c,d,e\} - \{c,d\}$$
   解释

   将明确给出的全集和明确给出的子集代入补集公式。

   步骤依据

   根据屏幕上显示的集合直接代入。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\{a,b,c,d,e\} - \{c,d\} = \{a,b,e\}$$
   解释

   从 X 中移除 c 和 d，剩下 a、b 和 e。

   步骤依据

   集合差运算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\{a,b,e\} \notin T$$
   解释

   将所得补集与拓扑 T 对照，发现它不属于 T。

   步骤依据

   黑板上明确写出的“不属于”陈述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$U \text{ is not closed}$$
   解释

   由于 U 的补集在该例所用意义下不是开集，故得出 U 不是闭集。

   步骤依据

   通过检验补集是否属于 T 来应用闭性判定。

   视频直接表达

该例通过证明 $U^c$ = \{a,b,e\} $\notin T$，说明 U = \{c,d\} 不是闭集。

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：“EXAMPLE”，“$X = {a, b, c, d, e}$”，“τ = {∅, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X}”

2. 声音
   观察依据

   主讲人引入本例，并陈述集合 X 与拓扑 τ。

判断某个特定子集在给定拓扑空间中是否为开集。

1. X 等于由 a、b、c、d、e 组成的集合

2. τ 等于空集、{a}、{c, d}、{a, c, d}、{b, c, d, e} 和全集 X 组成的集合。

3. y 等于集合 a、b、c

判断子集 $y = {a, b, c}$ 是否为开集。

1. 公式

   $$y \subseteq X$$
   解释

   检查 y 是否为 X 的子集。

   步骤依据

   y 的所有元素均存在于 X 中。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y \notin \tau$$
   解释

   检查 y 是否属于拓扑 τ。

   步骤依据

   集合 {a, b, c} 不在 τ 所列的元素之中。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\Rightarrow y \text{ is not open}$$
   解释

   应用开集的定义。

   步骤依据

   由于 y 不属于 τ，因此它不可能是开集。

   视频直接表达

集合 $y = {a, b, c}$ 不是开集。

该结论直接由拓扑空间中开集的定义得出。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：X、τ、$y = {a,b,c}$、y ⊆ X、y ∉ τ，接着 $y^c = {d,e}$、{d,e} ∉ τ，以及由此得出的结论：y 既不是开集也不是闭集。

2. 声音
   观察依据

   说话人分别对 y 进行了开集性检验和基于补集的闭集性检验。

已知 $X = {a,b,c,d,e}$ 且 τ = {∅, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X}，判断 $y = {a,b,c}$ 是否为开集，以及是否为闭集。

1. X 等于集合 a、b、c、d、e。

2. τ 等于集合：空集、仅含元素 a 的集合、含元素 c 和 d 的集合、含元素 a、c 和 d 的集合、含元素 b、c、d 和 e 的集合，以及全集 X。

3. $y = {a,b,c}$ 是 X 的子集。

判断 y 在拓扑空间 (X, τ) 中是否为开集，以及是否为闭集。

1. 公式

   $$y \notin \tau$$
   解释

   将 y 与所列的拓扑 τ 的成员进行比较。

   步骤依据

   直接观察 τ。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\Rightarrow y \text{ is not open}$$
   解释

   由于开集的定义是属于 τ，因此 y 不是开集。

   步骤依据

   视频中使用的开集判定准则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y^c = X - y = \{a,b,c,d,e\} - \{a,b,c\} = \{d,e\}$$
   解释

   计算 y 关于 X 的补集。

   步骤依据

   相对补集的定义及显式集合减法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\{d,e\} \notin \tau$$
   解释

   检查该补集是否属于该拓扑。

   步骤依据

   观察 τ。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\Rightarrow y \text{ is not closed}$$
   解释

   由于该补集不是开集，因此 y 不是闭集。

   步骤依据

   闭集判定准则：A 是闭集当且仅当 $A^c \in τ$。

   视频直接表达

y 既不是开集，也不是闭集。

结论与黑板上写出的两个蕴含式一致：‘⇒ y 不是开集。’和‘⇒ y 不是闭集。’

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 X ⊆ X，$X \in τ$，⇒ X 是开集；然后 $X^c = X - X$ = ∅，∅ ∈ τ，⇒ X 是闭集；接着是 CLOPEN SET 和 ∅。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提问‘集合 X 呢？’，证明 X 既是开集又是闭集，随后指出 X 是既开又闭集（clopen），并给出 ∅ 作为另一个既开又闭集的例子。

使用相同的 X 和 τ，判断 X 是否为开集、是否为闭集，并指出视频中提到的既开又闭集例子。

1. X 等于集合 {a,b,c,d,e}。

2. τ 等于集合：空集、仅含 a 的集合、含 c 和 d 的集合、含 a、c 和 d 的集合、含 b、c、d 和 e 的集合，以及全集 X。

3. 每个集合都是其自身的子集。

对 X 就开性和闭性进行分类，并记录主讲人指出的既开又闭集例子。

1. 公式

   $$X \subseteq X$$
   解释

   全集显然为其自身的子集。

   步骤依据

   黑板上陈述的一条关于子集的普遍事实。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X \in \tau$$
   解释

   X 显式地出现在该拓扑的成员之中。

   步骤依据

   检查 τ。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\Rightarrow X \text{ is open}$$
   解释

   属于 τ 意味着开集性。

   步骤依据

   开集判据。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X^c = X - X = \emptyset$$
   解释

   计算 X 关于其自身的补集。

   步骤依据

   相对补集定义。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\emptyset \in \tau$$
   解释

   空集被列在该拓扑之中。

   步骤依据

   检查 τ。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\Rightarrow X \text{ is closed}$$
   解释

   由于 X 的补集是开集，故 X 是闭集。

   步骤依据

   闭集判据。

   视频直接表达
7. 公式

   $$X \text{ is clopen}$$
   解释

   X 既是开集又是闭集。

   步骤依据

   既开又闭集的定义。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\emptyset \text{ is also clopen}$$
   解释

   主讲人添加∅作为另一个例子，因为∅ ∈ τ且∅^$c = X \in τ$。

   步骤依据

   对∅同样应用开集性与补集性检验。

   视频直接表达

X是开集，X也是闭集，因此X是既开又闭集；∅也被明确指出为既开又闭集。

黑板上明确写出“=> X是开集”、“=> X是闭集”以及“既开又闭集”，随后写出∅。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$U = {c,d}$，U ⊆ X，$U \in τ$，以及“=> U是开集”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们来尝试X的另一个子集，比如U等于C D……这说明U是开集。”

1. 该片段在展示U的闭集性检验之前就结束了。

对于同一拓扑空间中的$U = {c,d}$，判断U是否为开集。

1. X 等于由元素 a、b、c、d、e 组成的集合。

2. τ 等于集合：空集、仅含元素 a 的集合、含元素 c 和 d 的集合、含元素 a、c 和 d 的集合、含元素 b、c、d 和 e 的集合，以及全集 X。

3. U 等于集合 {c, d}。

判断 U 在拓扑空间 (X, τ) 中是否为开集。

1. 公式

   $$U \subseteq X$$
   解释

   验证 U 确实是全集的子集。

   步骤依据

   直接比较元素。

   视频直接表达
2. 公式

   $$U \in \tau$$
   解释

   在所列的拓扑 τ 的成员中寻找 {c,d}。

   步骤依据

   对 τ 进行检查。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\Rightarrow U \text{ is open}$$
   解释

   属于 τ 意味着是开集。

   步骤依据

   本视频全程使用的开集判定准则。

   视频直接表达

$U = {c,d}$ 是开集。

黑板上最后一行手写结论为 '=> U 是开集'。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：U = 〔c,d〕，开集判定准则，补集计算，以及最终结论“⇒ U 不是闭集”。

2. 声音
   观察依据

   旁白逐步演示如何检验 U 是否也是闭集，并在最后邀请观众尝试 X 的其他子集。

1. 本片段中未明确列出完整拓扑 T，因此只能记录实际展示出的属于关系事实。

给定集合 X 的子集 U = 〔c,d〕，判断 U 是否为开集，以及 U 是否为闭集。

1. U 等于集合 c、d。

2. X = 〔a,b,c,d,e〕（在补集计算中可见）。

3. 所展示的开集判定规则是：U ⊆ X 且 $U \in T$ ⇒ U 是开集。

4. 计算所得补集为 〔a,b,e〕。

5. 集合 {a, b, e} 不属于 T。

在给定的拓扑结构下，检验 U 是否为开集、是否为闭集。

1. 公式

   $$U \subseteq X \text{ 且 } U \in T \Rightarrow U \text{ is open}$$
   解释

   使用所展示的判定准则，将 U 视为开集。

   步骤依据

   视频片段开始时，黑板上已写好的陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$U^c = X - U$$
   解释

   通过考察补集，将开性切换为闭性。

   步骤依据

   方法以口头陈述方式给出，并写在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$U^c = \{a,b,c,d,e\} - \{c,d\} = \{a,b,e\}$$
   解释

   显式计算补集。

   步骤依据

   利用所展示的集合 X 和 U 的元素进行集合差运算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\{a,b,e\} \notin T$$
   解释

   将补集与拓扑 T 进行比较。

   步骤依据

   黑板上写出明确的非属于关系。

   视频直接表达
5. 公式

   $$U \text{ is not closed}$$
   解释

   依据补集检验法，得出不满足闭性的结论。

   步骤依据

   黑板上写出最终的蕴含关系。

   视频直接表达

U = \{c,d\} 被视为开集，但它不是闭集。

所展示的验证过程是补集计算：由于 $U^c$ = \{a,b,e\} 且 \{a,b,e\} $\notin T$，该例得出结论 U 不是闭集。

1. 动画
   观察依据

   一只手在白色背景上依次书写“STUDYAFRIC”、“Topology 1.3”和“OPEN AND CLOSED SETS”。

1. 手

2. 记号笔

3. 文字

1. 文字逐个字母出现，仿佛由手书写而成。

1. 白色背景始终保持不变。

介绍频道名称、课程编号及本视频的主题。

1. 动画
   观察依据

   一只手在屏幕上书写开集、闭集与既开又闭集的定义。

1. 手

2. 记号笔

3. 文字

1. 定义依次呈现在屏幕上。

1. 白色背景保持不变。

以视觉方式呈现说话人正在讲解的形式化数学定义。

1. 动画
   观察依据

   一只手书写示例集合 X、tau 和 y，随后写出逻辑推理步骤。

1. 手

2. 记号笔

3. 文字

1. 示例的组成部分与推理步骤依次出现。

1. 白色背景保持不变。

以视觉方式组织示例问题及其逐步求解过程。

1. 图示
   观察依据

   一开始，白板上显示 $y = {a, b, c}$，y ⊆ X，y ∉ τ，以及蓝色结论 '=> y 不是开集。'

1. y 等于集合 {a,b,c}

2. y 是 X 的子集

3. y 不属于 τ

4. 蓝色蕴含文字

1. 黑板上已呈现非隶属关系式 y ∉ τ。

2. 结论‘⇒ y 不是开集’以蓝色显示。

1. 背景全集与拓扑结构在开场画面中尚未完全显现。

2. y 作为 X 的子集这一逻辑地位保持不变。

开场画面以定义为基础编码了开集的判定：由于 y 未列于 τ 中，视频将 y 标记为非开集。

1. 动画
   观察依据

   一只手写出 $y^c = X - y$，接着代入 {a,b,c,d,e} - {a,b,c}，最终得出 {d,e}。

2. 声音
   观察依据

   旁白同步追踪书写过程，并将补集解释为 X 减去 y。

1. 手与记号笔

2. 表达式 $y^c = X - y$

3. 显式集合 {a,b,c,d,e} 和 {a,b,c}

4. 结果 {d,e}

1. 该表达式按照从定义到代入再到化简结果的顺序，从左向右构建。

2. 中间的减法形式出现在最终集合 {d,e} 之前。

1. 补集始终相对于同一全集 X 取得。

2. 集合 y 在整个计算过程中始终保持为 {a,b,c}。

动画通过实际从 X 中移除 y 的元素，并恰好留下元素 d 和 e，使抽象定义 $A^c = X - A$ 变得具体直观。

1. 图示
   观察依据

   镜头展示完整版面，包括 $X = {a,b,c,d,e}$、τ = {∅, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X}、先前的 y 所在行，以及新出现的行 {d,e} ∉ τ，并以红色标注“=> y 不是闭集”。

1. X

2. 对应的式子为：τ

3. y

4. y 的补集 = {d, e}

5. {d, e} 不属于 τ

6. 红色结论文字

1. 此前隐藏的集合 X 与拓扑 τ 的定义显现出来。

2. 黑板当前将已计算出的补集 {d,e} 与拓扑列表关联起来。

3. 一条红色蕴含式指出：y 不是闭集。

1. 先前用蓝色书写的“y 不是开集”这一结论仍保留在黑板上。

2. 一旦写出，所计算出的补集 {d,e} 就不再改变。

此次揭示提供了判断某集合是否属于 τ 所必需的参考列表，从而将补集计算转化为对闭性的判定。

1. 动画
   观察依据

   手写内容依次为：‘每个集合都是其自身的子集，X ⊆ X’，接着是‘且 $X \in τ$’，然后是蓝色字‘=> X 是开集’；随后写出 $X^c = X - X$ = ∅，‘且 ∅ ∈ τ’，最后是红色字‘=> X 是闭集’。

1. 命题：每个集合都是其自身的子集

2. X 是 X 的子集

3. X 属于 τ

4. 蓝色文字‘=> X 是开集’

5. X 的补集 = X 减去 X = 空集

6. 对应的式子为：∅ ∈ τ

7. 红色文字‘=> X 是闭集’

1. 该论证首先通过 X 直接属于 τ 来确立 X 的开性。

2. 随后转而使用补集判据，确立 X 的闭性。

3. 颜色编码将开性结论（蓝色）与闭性结论（红色）区分开来。

1. 两个结论均基于同一拓扑 τ。

2. 全集 X 保持不变，同时计算其关于自身的补集。

直观序列表明，全集空间通过了两个检验：它被直接列为开集，且其补集是空集，而空集也被列为开集，因此X也是闭集。

1. 图示
   观察依据

   绿色文字“既开又闭集”写在关于X的两个结论下方，随后在其下方写出符号∅。

2. 声音
   观察依据

   说话者指出X是一个既开又闭集，并补充说空集是另一个例子。

1. 绿色标题‘既开又闭集’

2. 符号∅

1. 一个新的绿色标签总结了此前关于X的两个结果。

2. 符号∅作为第二个例子添加在同一标题下方。

1. 此前证明X是开集与X是闭集的推导过程仍保留在上方可见。

2. 拓扑τ保持不变。

黑板将既开又闭的集合归为一组，首先以X实例化该概念，再以∅实例化。

1. 动画
   观察依据

   手写$U = {c,d}$，接着U ⊆ X且$U \in τ$，然后写出蓝色文字“⇒ U是开集”。

1. U 等于集合 {c, d}

2. U 是 X 的子集

3. U 属于 τ

4. 蓝色结论：‘=> U 是开集’

1. 引入一个新子集 U。

2. 黑板验证 U 的子集关系及其是否属于拓扑 τ。

3. 写出一条蓝色的关于开性的结论。

1. 此前定义的同一集合 X 和同一拓扑 τ 仍作为本环节的参考结构。

2. 本片段中未展示对 U 取补集的计算过程。

最后一个画面事件沿用此前相同的开性判据：一旦确认 U 是 τ 的元素，视频便立即得出结论——U 是开集。

1. 图示
   观察依据

   开场画面显示绿色标题“CLOPEN 集”、符号 $\emptyset$、红色注释“=> X 是闭集”、黑色文字“U = \{c,d\}”以及蓝色结论“=> U 是开集”。

1. 「既开又闭集」

2. 空集

3. ⇒ X 是闭集

4. U 等于集合 {c, d}

5. U ⊆ X 且 $U \in T$ ⇒ U 是开集

1. 尚无新书写；白板上呈现的是此前已得出的结论。

1. 屏幕上显示的子集仍为 U = \{c,d\}。

2. 关于 U 的开集结论已显示在屏幕上。

视觉布局将先前的结果（既开又闭集示例及 U 的开性）与即将进行的闭性检验分隔开来。

1. 动画
   观察依据

   一只手逐步写出补集推导过程：先写 $U^c$，再写 X - U，接着写出显式的集合差运算，然后写出 \{a,b,e\}，再写 $\notin T$，最后用红色标出结论「⇒ U 不是闭集」。

1. 手写公式行

2. 集合符号

3. 红色蕴含文字

1. 该表达式从“$U^c$”逐步展开为完整链式等式：“$U^c = X - U$ = \{a,b,c,d,e\} - \{c,d\} = \{a,b,e\} $\notin T$”。

2. 在公式下方新增一条红色结论。

1. 全集 X 和子集 U 在整个计算过程中保持不变。

2. 拓扑结构符号 T 始终作为成员关系检验的参考族。

动画使逻辑顺序清晰呈现：先定义补集，再计算补集，接着检验其是否属于 T，最后推出该集合非闭。

1. 动画
   观察依据

   数学板面消失，取而代之的是推广图形：红色横幅“立即订阅”，一个铃铛图标，一个类似 YouTube 的点赞/分享图形，以及文字“感谢观看”和“访问 JW.ORG，获取关于人生重大问题的答案”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人邀请观众订阅频道、点击铃铛图标、留言评论、点赞、分享，并感谢大家观看。

1. 订阅横幅

2. 铃铛图标

3. 点赞/分享图示

4. 结束语

1. 内容从拓扑学记号转向频道推广与结束致谢。

1. 在得出闭性结论之后，未再引入任何新的数学命题。

该区间除已完成的示例外，未再展开任何额外的数学推演。

1. 公式
   观察依据

   黑板并未直接检验 y 是否属于 τ 来判断其闭性；而是先计算 $y^c$，再验证 {d,e} ∉ τ。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说：“现在我们再来看看它是否为闭集。我们只需考察 y 的补集。”

有人可能认为，一个集合恰好当它自身属于该拓扑时才是闭集。

视频采用补集判据：当 $A^c$ 是开集，即当 $A^c \in τ$ 时，A 是闭集。对于 y，需送入 τ 中检验的对象是 {d,e}，而非 y 本身。

1. 声音
   观察依据

   主讲人得出结论：“因此，Y 既不是开集，也不是闭集。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上分别写出“=> y 不是开集”和“=> y 不是闭集”。

有人可能假设，拓扑空间的每个子集都必须是开集或闭集之一。

这个例子展示了一个子集 $y = {a,b,c}$，它两项检验均未通过：y ∉ τ 且 $y^c$ ∉ τ，因此它既不是开集，也不是闭集。

1. 公式
   观察依据

   黑板仅在同时证明了“=> X 是开集”和“=> X 是闭集”之后，才写出“CLOPEN SET”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称 X 是一个既开又闭的集合，并接着以 ∅ 作为另一个例子，因为 ∅ 及其补集都属于 τ。

有人可能将‘既开又闭集’理解为‘开集或闭集’，或理解为第三种互不相关的类别。

在视频中，‘既开又闭集’被定义为此前已证两个性质的合取：一个集合在同一个拓扑中既是开集又是闭集时，才称为既开又闭集。

1. 声音
   观察依据

   在已将 U 标注为开集之后，主讲人另行提问它“是否也闭”，随后通过补集进行另一项检验。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将开性陈述与闭性结论分列为两行。

人们可能误以为，一旦一个集合被证为开集，它就自动也是闭集。

该例题明确将开性与闭性视为两个独立性质：U 被证为开集，但通过补集检验却得出 U 并非闭集的结论。

1. 公式
   观察依据

   闭集的定义明确依赖于开集的概念（“若给定集合 y 是开集……”）。

闭集的定义依赖于开集的先前定义。

1. 公式
   观察依据

   术语‘既开又闭集’（CLOPEN）由‘闭集’（CLOSED）和‘开集’（OPEN）组合而成，其定义指出一个集合必须同时满足两者。

既开又闭集的定义要求该集合是开集。

1. 公式
   观察依据

   术语‘既开又闭集’（CLOPEN）由‘闭集’（CLOSED）和‘开集’（OPEN）组合而成，其定义指出一个集合必须同时满足两者。

既开又闭集的定义要求该集合是闭集。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“下面我们通过一些例子来理解开集与闭集的概念。”

2. 公式
   观察依据

   该例题应用条件 $y \in τ$ 来判断一个集合是否为开集。

该例题展示了如何将开集的定义应用于某个具体的拓扑空间。

1. 公式
   观察依据

   闭性由检查 $y^c$ 或 $X^c$ 是否属于 τ 来判定，此处 τ 是用于定义开性的同一拓扑。

2. 声音
   观察依据

   主讲人先讨论开性，然后指出闭性需通过考察补集来判定。

闭集判据依赖于开集判据，因为此处‘闭集’被定义为‘其补集是开集’，而开性即指属于 τ。

1. 公式
   观察依据

   y 和 X 的推导均始于计算 $A^c = X - A$，再检验 $A^c$ 是否属于 τ。

要应用基于补集的闭性判据，必须首先掌握如何构造相对补集 $A^c = X - A$。

1. 公式
   观察依据

   标题‘既开又闭的集合’仅在分别得出 X 是开集和 X 是闭集这两个结论之后才出现。

2. 声音
   观察依据

   说话者称 X 是既开又闭的集合，正是因为这两个性质刚刚已被证明。

既开又闭集的概念建立在开性判据之上：一个集合只有在已被证明是开集之后，才可能被认定为既开又闭集。

1. 公式
   观察依据

   同一标题‘既开又闭的集合’也出现在 X 是闭集的证明之后。

一个集合只有在同时也被证明满足闭集判据之后，才被称为既开又闭集。

1. 公式
   观察依据

   黑板将 X 视为一个待检验的特定子集，并证明 $X \in τ$ 且 $X^c$ = ∅ ∈ τ。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提问：‘集合 X 呢？’，随后对其加以分类。

X 是既开又闭集合（clopen）这一断言，是将一般的开集与闭集判定准则应用于全空间本身所得出的一个特例。

1. 公式
   观察依据

   在先前已证得 ∅ ∈ τ 和 $X \in τ$ 这两个隶属关系事实之后，∅ 被写在‘既开又闭集合’标题下方。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，空集是另一个既开又闭集合的例子。

空集是既开又闭集合这一陈述，是既开又闭集合一般定义下的一个具体实例。

1. 公式
   观察依据

   黑板验证 U ⊆ X 且 $U \in τ$，然后写出‘=> U 是开集’。

2. 声音
   观察依据

   主讲人采用与先前例子中相同的‘属于 τ’推理方式。

例子 $U = {c,d}$ 直接应用了一般的开集判定准则：因 $U \in τ$，故 U 是开集。

1. 公式
   观察依据

   开性判定依据是 U 是否属于 T，而后续闭性检验则检查 $U^c$ 是否属于 T。

检验集合是否闭合的方法，依赖于与检验开集相同的基于拓扑的判据，只不过现在将其应用于该集合的补集。

1. 公式
   观察依据

   开集的书面定义。

1. 开集的定义

1. 公式
   观察依据

   闭集的书面定义。

1. 闭集的定义

1. 公式
   观察依据

   既开又闭集合的定义及示例。

1. 既开又闭集的定义

1. 公式
   观察依据

   逐步推导，说明某个集合不是开集。

1. 拓扑空间示例
2. 推导：一个非开集的例子

1. 公式
   观察依据

   黑板明确写出 y ∉ τ，并得出结论‘=> y 不是开集’。

1. 本例题中判断开集的判据
2. 断言：y 不是开集

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，闭性通过考察 y 的补集来判定。

2. 公式
   观察依据

   黑板计算〔$y^c$〕，然后将〔{d,e}〕与〔τ〕进行比较。

1. 通过补集判定闭集的准则
2. 在固定全集中的相对补集
3. 推导 y 不是闭集的过程

1. 公式
   观察依据

   黑板分别指出：〔y〕不是开集，且〔y〕不是闭集。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：‘因此，Y 既不是开集也不是闭集。’

1. 断言：y 既不是开集，也不是闭集。
2. 一个子集未必是开集或闭集

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 X ⊆ X、$X \in τ$，以及‘=> X 是开集’。

1. 本例题中判断开集的判据
2. 断言：X 是开集
3. 推导出 X 既是开集又是闭集

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $X^c = X - X$ = ∅，且 ∅ ∈ τ，于是得出 '=> X 是闭集'。