实分析24 | 逐点收敛

1. 公式
   观察依据

   ($f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_5$, …)

($f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_5$, ...)

函数序列

由自然数索引的函数集合

1. 公式
   观察依据

   函数 $f_n$：区间 I 映射到实数集 ℝ

$f_n$

序列中的第 n 个函数

从区间 I 到实数集的函数

1. 公式
   观察依据

   函数 $f_n$：区间 I 映射到实数集 ℝ

I

该函数序列中各函数的定义域

实数集的一个子集（区间）

1. 公式
   观察依据

   x 的上波浪线

$\tilde{x}$

定义域 I 中的一个定点

I 中的一个元素

1. 公式
   观察依据

   函数 f 从区间 I 映射到实数集

f

逐点收敛序列的极限函数

从区间 I 到实数集的函数

1. 公式
   观察依据

   对任意 $ε > 0$

$\epsilon$

用于收敛容差的任意正实数

正实数

1. 公式
   观察依据

   存在 N ∈ ℕ

N

收敛性成立的阈值下标

自然数

1. 公式
   观察依据

   对任意 $n \ge N$

n

大于或等于 N 的下标变量

自然数

1. 公式
   观察依据

   fₙ(x) 等于1除以 n 再乘以 x，加上1

$f_n(x)$

第 n 项的具体示例函数

定义在区间0,1上的线性函数

1. 公式
   观察依据

   fₙ：闭区间 [0,1] 映射到实数集

[0,1]

该示例序列的定义域区间

闭单位区间

1. 公式
   观察依据

   黑板反复写出 $f_n(x)$ 以及函数列 ($f_1$,$f_2$,$f_3$,$f_4$,$f_5$,...)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提及函数列，并在某一固定点处对 $f_n$ 进行求值。

$f_n$

函数列中的第 n 个函数

第一个例子中，$f_n$:[0,1]→ℝ；第二个例子中，同样有 $f_n$:[0,1]→ℝ

1. 公式
   观察依据

   定义行写为 f:I→ℝ；后续结论行写为 f:[0,1]→ℝ，且 $f(x)=1$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人称其为极限函数，随后称为逐点极限函数 f。

f

函数列 ($f_n$) 的逐点极限函数

定义中为 f:I→ℝ；在已演算的第一个例子中为 f:[0,1]→ℝ

1. 声音
   观察依据

   而这样的函数列可能具有我们称之为逐点收敛的收敛性质。

2. 公式
   观察依据

   逐点收敛：($f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_5$, ...) 逐点收敛于函数 f : $I \rightarrow \mathbb{R}$，当且仅当对所有 $\tilde{x} \in I$，有 ($f_1(\tilde{x})$, $f_2(\tilde{x})$, $f_3(\tilde{x})$, $f_4(\tilde{x})$, $f_5(\tilde{x})$, ...) 收敛于 $f(\tilde{x})$。

若函数列 ($f_n$)（定义域为 I）满足：对 I 中任意固定点 x̃，数值序列 ($f_n$(x̃)) 均收敛于 f(x̃)，则称该函数列逐点收敛于函数 f。这将函数的收敛性归结为每一点处的普通数列收敛性。

1. 函数列 $f_n$ : I → ℝ

2. 极限函数 f : I → ℝ

3. 对于所有 x̃ ∈ I

4. 对于所有 $ε > 0$

5. 存在 N ∈ ℕ

6. 对于所有 $n \ge N$

1. 函数列

1. 声音
   观察依据

   此处请回顾上期视频中我们已学过的函数列的概念。

2. 公式
   观察依据

   函数列：($f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_5$, …)，其中每个 $f_n$ : I → ℝ

函数列是按自然数 n 编号的一组有序函数 $f_n$，每个函数都从公共定义域 I 映射到实数集 ℝ。

1. 公共定义域 I

2. 陪域 ℝ

3. 由 n ∈ ℕ 编号

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：逐点收敛：若对所有x̃∈I，数列($f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_5$, …)逐点收敛于函数f: I → ℝ，即对每个x̃∈I，数列($f_1$(x̃), $f_2$(x̃), $f_3$(x̃), $f_4$(x̃), $f_5$(x̃), …)收敛于f(x̃)。

2. 公式
   观察依据

   黑板上还显示了ε形式：[∀x̃∈I ∀$ε>0$ ∃N∈ℕ ∀$n\ge N$: |$f_n$(x̃)−f(x̃)|<ε]。

3. 声音
   观察依据

   讲师通过固定一个点〔$\tilde{x}$〕并考察由此产生的数值序列来解释这一概念。

函数列（$f_n$）在区间 I 上逐点收敛于 f，当且仅当：对任意固定的点〔$\tilde{x}$〕∈I，数值序列（$f_n$(〔$\tilde{x}$〕)）收敛于 f(〔$\tilde{x}$〕)。该片段同时呈现了文字定义与 ε-语言表述。

1. 函数列（$f_n$）与极限函数 f 定义在同一定义域 I 上。

2. 量词顺序至关重要：先固定〔$\tilde{x}$〕，再给定〔$\varepsilon$〕，随后 N 可依赖于二者。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 ⇒（逐点）极限函数 f:[0,1]→ℝ，$f(x)=1$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：因此我们的极限函数是常值函数。更准确地说，我们应称其为逐点极限函数 f。

当一列函数逐点收敛时，由所有逐点极限构成的函数 f 称为逐点极限函数。在第一个例子中，该极限函数是恒等于1 的常值函数，在[0，1]上。

1. 在整段定义域上已确立逐点收敛之后应用。

1. 函数列逐点收敛的定义

1. 声音
   观察依据

   讲师说：只需固定一个点〔x tilde〕并观察其变化，即可立即算出该结果。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出：对〔$\tilde{x}$〕∈[0,1]：$f_n$(〔$\tilde{x}$〕)=$1/n$·〔$\tilde{x}$〕+1 ⟶_{$n\to \infty$} 1。

为求函数列（$f_n$）的逐点极限，任取定义域中一点$\tilde{x}$，将其代入$f_n$得到一个数值序列，计算该数值序列的通常极限，再对所有$\tilde{x}$重复此过程。

1. 该方法逐点施行；ε定义中的N可能依赖于所选的$\tilde{x}$。

1. 函数列逐点收敛的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人先提问是否存在逐点极限函数，随后明确写出所得的极限函数。

2. 公式
   观察依据

   在两个例题中，板书均写有“（逐点）极限函数 f : [0,1] → R”。

若对定义域中每个固定的输入 x，数值列 $f_n(x)$ 都收敛于 $f(x)$，则称函数列 ($f_n$) 具有逐点极限函数 f。视频在区间 [0,1] 上的两个例子中直接使用了这一定义。

1. 先固定每个 x。

2. 对定义域中的每一个 x，分别检验其收敛性。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出：对固定的 x，数值列 $f_n(x)$ 最终为常数列，因此它收敛，且极限为 0。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $f_n(x) =0$ 对所有 $n > 1/x$ 在第二种情况下。

若对某个固定的 x，当 n 充分大时，$f_n(x)$ 的值恒等于同一数，则数值列 $f_n(x)$ 收敛于该数。在第二个例子中，该最终常数值为 0。

1. 存在一个指标阈值，使得此后所有项均相等。

1. 函数列的逐点极限函数

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f_n$: [0,1]->R, $f_n(x)= n^2 x$(1−nx)，其中 $x \in [0,1/n]$，且 0 其中 x ∈ ($1/n$,1。

第二个演算例题是一个定义在 [0,1] 上的分段函数列，其非零部分仅出现在 [0,$1/n$] 上，且由关于 x 的二次表达式给出。

1. 定义在区间0到1上。

2. 下标 n 为自然数。

1. 公式
   观察依据

   黑板明确将结论标注为“（逐点）极限函数”，并写出 f:[0,1]→ℝ，$f(x)=0$。

在例题中，逐点极限是通过固定每个 x 并检查 fₙ(x) 的最终取值来获得的。当 $x =0$ 时，黑板上显示 fₙ(0) =0 对所有 n 成立；而当 $x >0$ 时，黑板上显示 fₙ(x) =0 当 $n > 1/x$ 时。因此极限函数在 [0，1] 上恒为零。

1. x 固定，而 n 变化。

2. 论证分为 $x=0$ 和 $x>0$ 两种情形。

1. 声音
   观察依据

   讲述者说：“这正是我们所称的一致收敛。”

1. 该片段未给出一致收敛的严格定义；此处仅提及其名称。

在本节开头，主讲人将刚刚讨论的主题称为一致收敛。其严格定义留待下一视频讲解。

1. 本片段仅引入了该术语。

2. 此处未陈述任何严格的判别准则。

1. 声音
   观察依据

   讲述者说：“现在，一致收敛的定义和例子，我们将在下一视频中讲解。”

主讲人明确将一致收敛的定义与示例推迟至下一视频讲解，因此本片段起到承上启下的作用——从前一个逐点极限的例题过渡到即将展开的新主题。

1. 适用于整个讲座系列的结构安排，而非某一定理的陈述。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示$f_n(x)=\frac{1}{n}x+1$，然后$f_n(\tilde{x})=\frac{1}{n}\tilde{x}+1 \xrightarrow{n\to\infty} 1$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出这是一除以n，是一个收敛于零的序列，因此根据我们的极限定理，整个序列恒收敛于一，无论$\tilde{x}$取何值。

对于定义在[0，1]上的函数 fₙ: → ℝ，其中 fₙ(x) = 1}{n}$x+1$，该序列逐点收敛于常函数 $f(x) =1$ 在 [0，1] 上。

1. 每个$f_n$均定义在区间[0,1]上。

2. fₙ(x) = 1 除以 n 乘以 x 加上 1。

对任意固定的$\tilde{x}\in[0,1]$，均有$\lim_{n\to\infty} f_n(\tilde{x})=1$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$f_n(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n})=n^2\frac{1}{2n}(1-n\frac{1}{2n})=\frac{n}{4}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出最大值出现在二分之一乘以n分之一处，因此此处的最大值随n增大而增大。

对于第二个例子，抛物线分支的最大值出现在 $x=1/2\cdot 1/n$ 处，且最大值为 $n/4$。

1. 第一段分支为 $n^2x$(1 − nx)，定义在 [0, $1/n$] 上。

对每个固定的 n，非零分支上的最大值在 $x=1/(2n)$ 处取得，其值为 $n/4$。

1. 声音
   观察依据

   讲师得出结论：“因此我们得到了一个逐点极限函数，即零函数。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出：‘（逐点）极限函数 f：0到1→ℝ，$f(x)$＝0’，并分情况讨论 x＝0 和 x＞0。

对于序列 $f_n(x)=n^2 x$(1-nx)，定义在 [0,$1/n$] 上，以及0 在 ($1/n$,1] 上，其在 [0,1] 上的逐点极限为 $f(x)=0$，对每个 x 成立。

1. 每个 fₙ 都定义在区间0到1上。

2. n 取遍所有自然数。

对所有 $x \in 0$到1。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，逐点收敛或许不足以满足我们的需求，这促使我们引入一种更严格的收敛性。

2. 图示
   观察依据

   最终图示显示：一列连续的分段线性函数逐点收敛于一个具有跳跃间断点的阶梯函数。

仅有点态收敛可能导致极限函数在性质上与逼近序列截然不同，例如极限函数出现跳跃，而每个 $f_n$ 都是连续的。

1. 该序列仅有点态收敛。

2. 未假设任何更强的收敛模式。

通过具体例子加以演示。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，起始函数均无跳跃，但点态极限却存在跳跃。

2. 图示
   观察依据

   右侧图像是一阶梯函数，它是由连续的分段线性图像经点态极限得到的。

一列连续函数可以点态收敛到一个不连续的函数。

1. 序列中的每个函数都是连续的。

2. 所考虑的收敛是点态收敛。

存在性：存在这样的序列。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写：当 $x = 0$ 时：$f_n(x) = 0$ 对所有 n ∈ ℕ 成立；当 $x > 0$ 时：$f_n(x) = 0$ 对所有 $n > 1/x$ 成立；因此（逐点）极限函数 f: [0，1]$\to\mathbb{R}$, $f(x)=0$。

对于区间 [0,1] 上所展示的函数列，其逐点极限函数为 $f(x)=0$，其中 x 取遍 [0,1] 中的每一个值。

1. 这些函数定义在区间 [0,1] 上。

2. 采用了分情况讨论：$x=0$ 与 $x>0$。

3. 当 $x>0$ 时，取 $n>1/x$。

对每个固定的 $x\in[0,1]$，当 n 充分大时恒有 $f_n(x)=0$；因此在每个 x 处，逐点极限均为 0。

1. 声音
   观察依据

   因此，我们能够借助量词高效地描述整个概念，或许就不足为奇了。

2. 公式
   观察依据

   [ 对任意 x̃ ∈ I，对任意 $ε > 0$，存在 N ∈ ℕ，对任意 $n \ge N$，有 |$f_n$(x̃) − f(x̃)| < ε ]

1. 公式

   $$\forall \tilde{x} \in I$$
   解释

   任取定义域 I 中的一个点 x̃

   步骤依据

   逐点收敛要求该性质在定义域中每一点都成立

   视频直接表达
2. 公式

   $$\forall \epsilon > 0$$
   解释

   考虑任意一个正的容差 ε

   步骤依据

   数列收敛的标准 ε–N 定义

   视频直接表达
3. 公式

   $$\exists N \in \mathbb{N}$$
   解释

   存在一个阈值指标 N

   步骤依据

   收敛性保证了对这个数值数列，这样的 N 存在

   视频直接表达
4. 公式

   $$\forall n \geq N : |f_n(\tilde{x}) - f(\tilde{x})| < \epsilon$$
   解释

   对所有满足 $n \ge N$ 的指标 n，函数值与极限值之差的绝对值小于 ε

   步骤依据

   这就是数值数列 ($f_n$(x̃)) 收敛的定义

   视频直接表达

逐点收敛的定义将定义域中各点的全称量化，与每个由此产生的数值数列所满足的标准 ε–N 收敛条件结合起来。

1. 公式
   观察依据

   黑板依次写出：当 $\tilde{x}\in [0,1]$ 时，$f_n(\tilde{x})=1/n\cdot \tilde{x}+1$，然后 $\xrightarrow{n→∞}1$，最后是极限函数的图像。

2. 声音
   观察依据

   主讲人叙述代入过程，指出项 $1/n$ 收敛于 0，并由此得出整个序列收敛于 1。

1. 公式

   $$f_n(x)=\frac{1}{n}x+1$$
   解释

   从函数列在 [0,1] 上给定的公式出发。

   步骤依据

   黑板上给出的例题定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Fix }\tilde{x}\in[0,1]$$
   解释

   在定义域中任取一个固定点，用于检验逐点收敛性。

   步骤依据

   这正是逐点收敛定义中所陈述的步骤。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f_n(\tilde{x})=\frac{1}{n}\tilde{x}+1$$
   解释

   将该固定点代入公式，得到一个关于 n 的数值序列。

   步骤依据

   直接代入 $f_n(x)$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{1}{n}\tilde{x}\to 0$$
   解释

   对于固定的 $\tilde{x}$，因子 $1/n$ 趋于 0，因此乘积趋于 0。

   步骤依据

   数列与固定常数相乘的标准极限定理。

   视频直接表达
5. 公式

   $$f_n(\tilde{x})\to 1$$
   解释

   加上常数 1 后，得到极限 1。

   步骤依据

   收敛数列之和的极限运算法则。

   视频直接表达
6. 公式

   $$f(x)=1\quad\text{for all }x\in[0,1]$$
   解释

   由于对每个固定点都可作相同论证，逐点极限函数为常数 1。

   步骤依据

   该结论与所选 $\tilde{x}$ 的具体取值无关。

   视频直接表达

序列 $f_n(x)=x/n+1$ 在区间 [0,1] 上逐点收敛于常函数 $f(x)=1$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $f_n(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n})=n^2\frac{1}{2n}(1-n\frac{1}{2n})=\frac{n}{4}$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，我们可以立即计算该值：将该点代入函数，约去大量 n，最终得到 n 除以四。

1. 公式

   $$x_{\max}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}$$
   解释

   讲师确定了抛物线分支的取最大值点。

   步骤依据

   口头陈述并写在黑板上；该片段未展示单独的导数计算过程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f_n\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\right)=n^2\left(\frac{1}{2n}\right)\left(1-n\left(\frac{1}{2n}\right)\right)$$
   解释

   将使函数取最大值的 x 值代入第一段表达式 $n^2x$(1−nx)。

   步骤依据

   直接代入分段函数表达式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=n^2\left(\frac{1}{2n}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)$$
   解释

   化简内层乘积 $n(1/(2n))$，得到 $1/2$。

   步骤依据

   代数约分。

   视频直接表达
4. 公式

   $$=\frac{n}{4}$$
   解释

   约去 n 的幂次，并将剩余常数相乘。

   步骤依据

   基础代数运算。

   视频直接表达

非零分支的最大值为 $n/4$，因此当 n 增大时，该值无界增长。

1. 声音
   观察依据

   主讲人区分了 $x=0$ 和 $x>0$ 两种情形，然后得出点态极限为0。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“当 $x =0$ 时，$f_n(x) =0$ 对所有 n ∈ ℕ 成立”，以及“当 $x >0$ 时，$f_n(x) =0$ 对所有 $n >1/x$ 成立”，接着写出极限函数 $f(x) =0$。

1. 公式

   $$f_n(x)=\begin{cases} n^2 x(1-nx), & x\in[0,1/n]\\ 0, & x\in(1/n,1]\end{cases}$$
   解释

   从该序列在区间 [0, 1] 上的分段定义出发。

   步骤依据

   黑板上给出的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=0 \Rightarrow f_n(0)=0 \quad \text{for all } n\in\mathbb{N}$$
   解释

   在左端点处，无论 n 取何值，公式均给出 0。

   步骤依据

   将数值直接代入定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x>0 \Rightarrow \exists N_x \text{ such that } n>N_x \implies x\in(1/n,1]$$
   解释

   一旦 n 大于 $1/x$，这个固定的正数 x 就落在 $f_n$ 的零分支上。

   步骤依据

   对不等式 $n > 1/x$ 进行代数变形。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x>0 \Rightarrow f_n(x)=0 \quad \text{for all } n>1/x$$
   解释

   对所有足够大的 n，该固定 x 处序列的取值恰好恒为 0。

   步骤依据

   使用分段定义的第二分支。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\forall x\in[0,1],\; f_n(x) \text{ is eventually } 0$$
   解释

   两种情形共同表明：对每个固定的 x，该数值序列在某个指标之后恒为 0。

   步骤依据

   合并 $x = 0$ 与 $x > 0$ 两种情形。

   依据视频推导
6. 公式

   $$f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$$
   解释

   一个最终为常数的数列收敛于其常数尾部的值，因此逐点极限是零函数。

   步骤依据

   数值数列收敛的定义，加上逐点极限的定义。

   视频直接表达

第二个例子在区间[0,1]上逐点收敛于$f(x)=0$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人描述了将图像向右平移、使线性部分变得更陡峭，然后取逐点极限，从而得到一个具有跳跃间断点的函数。

2. 图示
   观察依据

   黑板上展示了若干条连续的分段线性图像，以及一个单独标注为‘逐点极限’的阶梯函数图像。

1. 本片段中屏幕上未写出第三个例子的精确代数表达式。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从一个连续的分段线性函数出发，其形状为：先为常数，再线性上升，最后再次为常数。

   步骤依据

   在黑板上明确画出，并在音频中加以描述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将整个图像略微向右平移，以得到该数列中的下一个函数。

   步骤依据

   由主讲人口头陈述。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   继续这一过程，使得线性过渡区域变得越来越陡峭且越来越窄。

   步骤依据

   用语言陈述，并在逐次出现的曲线上直观可见。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   在每个固定的 x 处，函数值最终稳定于两个常数值之一，从而形成阶梯状的逐点极限。

   步骤依据

   由所绘制的标有‘逐点极限’的极限图像推断得出。

   依据视频推导

一列连续函数可以逐点收敛到一个不连续的阶梯函数。

1. 公式
   观察依据

   黑板呈现了分两种情况的论证，并最终得出逐点极限函数。

1. 公式

   $$x=0:\quad f_n(x)=0\ \text{for all}\ n\in\mathbb{N}$$
   解释

   在左端点处，对每个指标 n，函数值已经为零。

   步骤依据

   直接写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x>0:\quad f_n(x)=0\ \text{for all}\ n>\frac{1}{x}$$
   解释

   对任意正数 x，一旦 n 超过 $1/x$，对应的函数值即为零。

   步骤依据

   直接写在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f:[0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)=0$$
   解释

   综合两种情形可知，对每个固定的 x，该序列最终恒等于 0，因此逐点极限是零函数。

   步骤依据

   黑板上明确标出结论：‘（逐点）极限函数’。

   视频直接表达

在区间0,1上的逐点极限函数恒为零。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $f_n(1/n) = n\cdot 1/(2n)\cdot (1 - 1/(2n)) = n/4$。

1. 最后的等号在某些帧中视觉上存在歧义：可能被读作 $n/4$ 或 $n/4$！；但上下文代数推导支持 $n/4$，只是手写体不够清晰。

1. 公式

   $$f_n\left(\frac{1}{n}\right)=n\cdot\frac{1}{2n}\left(1-\frac{1}{2n}\right)$$
   解释

   黑板将 $x = 1/n$ 代入所展示的 $f_n$ 表达式中。

   步骤依据

   黑板上可见的代入运算行。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=\frac{n}{4}$$
   解释

   所显示的化简结果给出一个值，其增长速度类似于 $n/4$ 在 $x=1/n$.

   步骤依据

   黑板上显示了最终的等式，但手写体略显模糊。

   视频直接表达

在 $x = 1/n$ 处，所展示的计算结果约为 $n/4$，表明该处存在一个随 n 增长的峰值。

1. 声音
   观察依据

   那么我来举一个例子：我们只需考察一个函数序列。此处定义域 I 取为区间零到一，而函数 $f_n$ 定义为一除以 n 乘以 x 加一。

2. 公式
   观察依据

   示例：$f_n$ : [0,1] → ℝ，其中 $f_n(x) = \frac{1}{n}x + 1$

考虑函数列 $f_n$ : [0,1] → ℝ，其定义为 $f_n(x) = (1/n)x + 1$

1. 定义域 $I = [0,1]$

2. 函数表达式为 $f_n(x) = (1/n)x + 1$

3. 每个 $f_n$ 都是线性函数

考察该序列的逐点性态

1. 公式

   $$f_1(x) = x + 1$$
   解释

   当 $n = 1$ 时，函数为 $f_1(x) = x + 1$

   步骤依据

   将 $n = 1$ 代入公式

   视频直接表达
2. 公式

   $$f_2(x) = \frac{1}{2}x + 1$$
   解释

   当 $n = 2$ 时，函数为 $f_2(x) = (1/2)x + 1$

   步骤依据

   将 $n = 2$ 代入公式

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 1$$
   解释

   当 n 趋于无穷大时，($1/n$)x 对固定的 x 趋于 0

   步骤依据

   $1/n$ 乘以有界 x 的标准极限

   依据视频推导

该函数列逐点收敛于常值函数 $f(x) = 1$ 在 [0,1] 上

对任意固定的 $x \in [0,1]$，有 |$f_n(x) - 1$| = |($1/n$)x| ≤ $1/n \to 0$（当 $n \to \infty$ 时）

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出例题：$f_n$:[0,1]→ℝ，$f_n(x)=1/n\cdot x+1$，随后进行完整的逐点极限计算。

2. 图示
   观察依据

   右下角的图像显示若干条标有 $f_1$、$f_2$、$f_3$、$f_4$ 的直线，趋近于水平直线 $y=1$。

3. 声音
   观察依据

   主讲人指出斜率越来越小，因此极限函数的图像应为这条水平直线，接着通过固定 $\tilde{x}$ 来计算极限。