正交投影｜SawFin Mathematics

首先，通过从 $y=(7,6)$ 中减去投影 $(8,4)$ 来找到残差，结果为 $(-1,2)$。然后，计算投影 $(8,4)$ 与残差 $(-1,2)$ 的点积。

适用条件：$y = (7,6)$；投影是 $(8,4)$；残差是 $(-1,2)$

残差向量定义为 $y$ 减去其在由 $v$ 张成的直线上的投影。根据正交投影的几何定义，向量与其在子空间上的投影之差与该子空间正交。

适用条件：$v$ 是非零向量。；投影是正交投影。

首先，计算点积 $y \cdot u = 20$ 和 $u \cdot u = 5$。标量系数为 $20/5 = 4$。

适用条件：$y = (7,6)$；$u = (2,1)$

向量 $y$ 在由非零向量 $v$ 张成的直线上的正交投影公式为 $\frac{y \cdot v}{v \cdot v} v$。该公式通过将 $y$ 与 $v$ 的点积除以 $v$ 与自身的点积得到的比值来缩放向量 $v$。

适用条件：向量 $v$ 必须是非零的。；投影是 onto 由 $v$ 张成的直线。

计算 $y$ 在由 $v$ 张成的直线上的投影 $p$。计算残差 $r = y - p$。

适用条件：$v$ 是定义直线的非零向量。；$y$ 是要分解的向量。