单纯形法，示例1

1. 公式
   观察依据

   白板上显示目标函数 $P = 5x + 4y$，随后改写为 -5x - $4y + P = 0$。

2. 声音
   观察依据

   教师要求将目标函数改写为一侧为零的形式，并使 P 的系数为正。

P

待最大化的目标函数值。

取实数值的目标变量；在单纯形表中位于最后一列。

1. 公式
   观察依据

   白板上显示约束条件中的 x：$3x + 5y \le 78$，$4x + y \le 36$，以及 x, $y \ge 0$。

2. 图示
   观察依据

   初始单纯形表的表头将 X 列列为第一个决策变量列。

x

线性规划问题中的第一个决策变量。

非负实变量，受约束于 $x \ge 0$。

1. 公式
   观察依据

   白板上显示约束条件中的 y：$3x + 5y \le 78$，$4x + y \le 36$，以及 x, $y \ge 0$。

2. 图示
   观察依据

   初始单纯形表的表头将 Y 列列为第二个决策变量列。

y

线性规划问题中的第二个决策变量。

非负实变量，受约束于 $y \ge 0$。

1. 声音
   观察依据

   教师说：“对于第一个约束条件，我们将引入松弛变量 u，将其由不等式转化为等式。”

2. 公式
   观察依据

   白板上显示 $3x + 5y + u = 78$，以及单纯形表中的一列 U。

u

为第一个约束条件添加松弛变量，将不等式转化为等式。

与不等式 $3x + 5y$ <= 78 相关联的非负松弛变量。

1. 声音
   观察依据

   教师说：“对于第二个约束条件，我们将引入松弛变量 w，将其由不等式转化为等式。”

2. 公式
   观察依据

   白板上显示 $4x + y + w = 36$，以及单纯形表中的一列 W。

w

为第二个约束条件添加松弛变量，将不等式转化为等式。

与不等式 $4x + y$ <= 36 相关联的非负松弛变量。

1. 图示
   观察依据

   她在单纯形表顶部写下表头：X、Y、U、W、P，然后在常数列之前画一条竖线分隔符。

2. 声音
   观察依据

   她说明：变量按顺序列于表头，每一行对应其中一个方程的各项系数。

X, Y, U, W, P

初始单纯形表的列标签，后接最右侧的常数列。

两个约束条件及目标函数行所对应的单纯形表表头。

1. 公式
   观察依据

   白板上显示主元行旁有($1/4$)$R_2$。

2. 声音
   观察依据

   教师指示将第二行替换为第二行的四分之一，即整行除以四。

($1/4$)$R_2$

对第二个约束行施行行运算，乘以$1/4$，使主元元素变为1。

该运算应用于初始单纯形表的第二行。

1. 公式
   观察依据

   目标函数写作 $P = 5x + 4y$。

P

待最大化的目标函数值。

实数

1. 公式
   观察依据

   变量 x 出现在目标函数和约束条件中。

x

决策变量。

非负实数

1. 公式
   观察依据

   变量 y 出现在目标函数和约束条件中。

y

决策变量。

非负实数

1. 公式
   观察依据

   松弛变量 u 被加到第一个约束条件中：$3x + 5y + u = 78$。

u

第一个约束条件的松弛变量。

非负实数

1. 公式
   观察依据

   松弛变量 w 被添加到第二个约束条件中：$4x + y + w = 36$。

w

第二个约束条件的松弛变量。

非负实数

1. 声音
   观察依据

   教师说明将使用单纯形法求解一个线性规划问题。

2. 公式
   观察依据

   白板上显示：最大化 $P = 5x + 4y$，约束条件为 $3x + 5y \le 78$，$4x + y \le 36$，x, $y \ge 0$。

视频片段始于一个标准的二变量最大化线性规划：在两个非负变量上最大化目标函数，并满足两个线性不等式约束；教师指出该问题将用单纯形法求解。

1. 该问题是一个最大化线性规划问题。

2. 有两个决策变量：x 和 y。

3. 有两个不等式约束，外加非负性限制。

1. 声音
   观察依据

   教师指示引入松弛变量 u，将第一个约束转化为等式而非不等式。

2. 公式
   观察依据

   白板显示$3x + 5y + u = 78$。

为将第一个不等式准备就绪以填入单纯形表，教师引入一个松弛变量u。这将不等式$3x + 5y$ <= 78转化为等式$3x + 5y + u = 78$，当u非负时，可行域保持不变。

1. 原始约束为$3x + 5y$ <= 78。

2. u被引入作为松弛变量。

3. 不等式方向为<=，因此添加一个非负松弛变量可将其转化为等式。

1. 线性规划最大化问题的建模

1. 声音
   观察依据

   教师指出，应插入松弛变量w，将第二个约束由不等式变为等式。

2. 公式
   观察依据

   白板显示$4x + y + w = 36$。

第二个不等式通过类似方式添加松弛变量w转化为等式$4x + y + w = 36$。这给出了初始单纯形表所需的第二行。

1. 原始约束为$4x + y$ <= 36。

2. w被引入作为松弛变量。

3. 不等式方向为 ≤，因此添加一个非负松弛变量可将其转化为等式。

1. 线性规划最大化问题的建模

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“我们无需担心这些约束，因为它们已包含在单纯形法中。”

2. 公式
   观察依据

   白板上仍显示原始问题陈述中的 x, $y \ge 0$。

讲师并未为 x, $y \ge 0$ 单独创建单纯形表的行。相反，她指出这些条件已内置于单纯形法框架中，因此仅需将两个主要约束条件和目标函数重写为单纯形表形式。

1. 原始问题对 x 和 y 施加了非负性限制。

2. 这些限制在所展示的单纯形表设置中并未被重写为独立的方程。

1. 线性规划最大化问题的建模

1. 声音
   观察依据

   讲师说，要把所有项移到等式左侧，因为希望一侧为零，且希望 P 保持正号。

2. 公式
   观察依据

   白板上显示 -5x - $4y + P = 0$。

目标函数 $P = 5x + 4y$ 被整理为所有项位于等式一侧、常数项为零的形式。讲师特别保持 P 的系数为正，从而得到 -5x - $4y + P = 0$，该式成为初始单纯形表的最后一行。

1. 从 $P = 5x + 4y$ 出发。

2. 将含 x 和 y 的项移到等式左侧。

3. 保持 P 的系数为 +1。

1. 线性规划最大化问题的建模

1. 声音
   观察依据

   讲师说：‘现在我们得到了初始单纯形表’，接着解释说变量列在表格顶部，每一行对应其中一个方程的系数。

2. 图示
   观察依据

   该单纯形表的表头为 X、Y、U、W、P，各行依次为：3 5 1 0 0 | 78，4 1 0 1 0 | 36，以及 -5 -4 0 0 1 | 0。

将约束条件与目标函数改写为方程后，将其系数整理成一张表格。各列分别对应变量 x、y、u、w 和 P，最右一列存放常数项。前两行来自约束条件，最后一行来自改写后的目标函数。

1. 使用方程：$3x + 5y + u = 78$，$4x + y + w = 36$，以及 -5x - $4y + P = 0$。

2. 将各变量的系数填入与其列标题匹配的列下方。

3. 将常数项填入最右侧一列。

1. 第一个约束的松弛变量转换
2. 第二个约束的松弛变量转换
3. 为目标函数构建单纯形表而进行的改写

1. 声音
   观察依据

   讲师指示：从底行最左端开始向右扫描至竖线处，选取其中最大的负数，由此确定主元列。

2. 图示
   观察依据

   她在 X 列正下方的底行中圈出了 -5。

对于该最大化单纯形表，主元列通过扫描底行（至竖直分隔线为止）并选择最负的元素来确定。在所示的单纯形表中，-5是最大的负数，因此X列成为主元列。

1. 将其应用于初始单纯形表的底部目标行。

2. 仅考虑竖直常数分隔线之前的元素。

3. 此处选定的元素是X列中的-5。

1. 初始单纯形表的构建

1. 声音
   观察依据

   教师指示：取该列中的数，并用它们去除常数列中的数，即最右侧一列的数。

2. 公式
   观察依据

   白板上在前两行右侧分别写出了26和9。

3. 图示
   观察依据

   比值由主元列元素3、4与对应常数78、36计算得出。

1. 口语短语‘divide them into’在日常英语中含义模糊，但所展示的算术运算对应的是‘常数除以主元列元素’。

一旦主元列确定，教师便利用该列中各约束行的正数元素，与同一行最右侧的常数配对形成比值。对于该单纯形表，比值为$78/3 = 26$和$36/4 = 9$。最小比值决定主元行。

1. 使用约束行中主元列的元素。

2. 将每个元素与其所在行的常数配对。

3. 选择非负比值最小的行。

1. 从目标函数行中选择主元列
2. 初始单纯形表的构建

1. 声音
   观察依据

   教师询问这些数字中哪一个最小，回答是九，并指出这确定了主元行；接着她说四就是我们的主元元素。

2. 图示
   观察依据

   第二行第一列的4被圈出。

主元元素是所选主元列与主元行的交点处的元素。此处主元列由底行选定为X列，主元行则通过比值检验选定为第二个约束行，因此它们交点处的元素4即为主元元素。

1. 主元列为X列。

2. 主元行为第二个约束行，因为它的比值9最小。

3. 主元元素即为二者交汇处的系数。

1. 从目标函数行中选择主元列
2. 用于选择主元行的比值检验法

1. 声音
   观察依据

   教师说第一步是利用行变换将该元素变为一，即将第二行替换为四分之一倍的第二行。

2. 公式
   观察依据

   白板上显示($1/4$)$R_2$。

3. 图示
   观察依据

   她指向被圈出的4，并示意整行第二行除以4。

1. 除法后更新的行数值在此片段中未完整写出。

下一个单纯形步骤是通过缩放整行，将主元元素变为1。教师执行运算($1/4$)$R_2$，即把第2行的每个元素都除以4。这为消去主元列中其余元素做好了表格准备。

1. 主元是 4第 2 行，第 X 列。

2. 将第二行整体乘以$1/4$。

3. 这使得主元项等于1。

1. 识别主元元素

1. 声音
   观察依据

   教师讲解单纯形法的步骤，包括确定主元元素和执行行运算。

单纯形法是一种求解线性规划问题的算法。它通过在可行域的边界上迭代移动，选取主元元素并执行行运算，从而找到最优解。

1. 线性目标函数

2. 线性不等式约束

3. 非负性约束

1. 行变换

1. 声音
   观察依据

   教师确定主元元素，并解释其在行运算中的作用。

在单纯形法中，主元元素是单纯形表中用于执行行运算的一个元素，通过该运算使其所在列中该元素上方和下方的元素均变为零。

1. 必须非零

2. 通常依据特定规则选取，例如底行中最小的负检验数

1. 单纯形法

1. 声音
   观察依据

   教师说：“现在，我们已完成求解，因为最下面一行不再有负数。”

对于一个最大化线性规划问题，若单纯形表的最后一行不包含任何负数，则当前的基本可行解是最优解。

1. 该问题是最大化线性规划问题。

2. 该表格表示一个基本可行解。

适用于所有最大化线性规划问题。

1. 声音
   观察依据

   教师依次将约束条件加入松弛变量重写，再重写目标函数，最后直接读出表格各行。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：$3x + 5y + u = 78$，$4x + y + w = 36$，-5x - $4y + P = 0$，随后列出表格各行。

1. 公式

   $$3x + 5y \le 78$$
   解释

   从原始问题的第一个不等式约束出发。

   步骤依据

   作为线性规划陈述的一部分写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$3x + 5y + u = 78$$
   解释

   添加松弛变量u，将第一个不等式转化为等式。

   步骤依据

   教师将其表述为单纯形法设置的第一步。

   视频直接表达
3. 公式

   $$4x + y \le 36$$
   解释

   从第二个不等式约束开始。

   步骤依据

   写在白板上，是原问题的一部分。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4x + y + w = 36$$
   解释

   添加松弛变量 w，将第二个不等式转化为等式。

   步骤依据

   教师明确指出这是与第一步相对应的第二步设定操作。

   视频直接表达
5. 公式

   $$P = 5x + 4y$$
   解释

   从待最大化的目标函数开始。

   步骤依据

   写在白板上。

   视频直接表达
6. 公式

   $$-5x - 4y + P = 0$$
   解释

   将所有项移到等式左侧，同时保持 P 为正。

   步骤依据

   教师明确表示希望一侧为零，且 P 为正。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\begin{array}{ccccc|c}X&Y&U&W&P&\\\hline 3&5&1&0&0&78\\ 4&1&0&1&0&36\\ -5&-4&0&0&1&0\end{array}$$
   解释

   将这三个方程的系数填入单纯形表，常数项放在最右侧。

   步骤依据

   教师说明每一行对应其中一个方程的系数，并写出初始单纯形表。

   视频直接表达

原始最大化问题被转化为用于迭代运算的初始单纯形表。

1. 声音
   观察依据

   教师讲解主元列规则，计算比值，比较26和9，并确定4为主元。

2. 图示
   观察依据

   负5被圈出，比值26和9被写出，4被圈出。

1. 公式

   $$\text{Bottom row: } -5,\,-4,\,0,\,0,\,1$$
   解释

   检查目标行中常数列之前的部分。

   步骤依据

   教师指示沿最底行向右移动，直至竖线处。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Most negative entry} = -5$$
   解释

   在该行中选择最大的负数。

   步骤依据

   教师直接陈述此为主元列规则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Pivot column} = X$$
   解释

   由于负5位于X列下方，因此选定X列。

   步骤依据

   由负5在单纯形表中的位置得出。

   依据视频推导
4. 公式

   $$\frac{78}{3}=26$$
   解释

   利用第一个约束行的主元列元素3与常数78构造比值。

   步骤依据

   教师指示将各列数值除以常数列数值，并写出26。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{36}{4}=9$$
   解释

   利用第二个约束行的主元列元素4与常数36构造比值。

   步骤依据

   教师在比值检验过程中于第二行旁写出9。

   视频直接表达
6. 公式

   $$9 < 26$$
   解释

   比较这两个比值，并选出较小的一个。

   步骤依据

   教师提问哪个数字最小，然后回答是九。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\text{Pivot row} = R_2,\quad \text{Pivot element} = 4$$
   解释

   选中第二行，因此它与X列的交点处的元素为4。

   步骤依据

   教师在完成比值比较后明确指出。

   视频直接表达

第一个主元是第 4 行，2 第 X 列的元素。

1. 声音
   观察依据

   教师要求使用行变换，将第二行替换为四分之一倍的第二行，使主元变为一。

2. 公式
   观察依据

   白板上显示($1/4$)$R_2$。

1. 归一化后的行在概念上被宣布，但本片段中未在屏幕上完整写出。

1. 公式

   $$\text{Pivot element} = 4$$
   解释

   从上一步选择操作中确定当前主元。

   步骤依据

   在本推导之前立即确立。

   视频直接表达
2. 公式

   $$R_2 \leftarrow \frac{1}{4}R_2$$
   解释

   将整个第二行乘以$1/4$。

   步骤依据

   教师明确指出了这一行变换操作。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{1}{4}\cdot 4 = 1$$
   解释

   主元元素在缩放后变为1。

   步骤依据

   所陈述的行变换操作带来的算术结果。

   依据视频推导

应用($1/4$)$R_2$可将主元元素标准化为1，为后续消元步骤做好准备。

1. 声音
   观察依据

   教师讲解并执行行变换，以更新单纯形表。

1. 公式

   $$R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2$$
   解释

   为使第一行第二列的元素变为零，用第一行减去第二行的三倍。

   步骤依据

   行运算规则

   视频直接表达
2. 公式

   $$R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2$$
   解释

   为使第三行第二列的元素变为零，将第二行乘以五后加到第三行。

   步骤依据

   行运算规则

   视频直接表达

更新后的单纯形表在第二列主元元素的上方和下方均为零。

1. 声音
   观察依据

   教师明确给出了行运算步骤：‘将第一行替换为$4/17$倍的自身’、‘$R_2 - 1/4 R_1$’以及‘$R_3 + 11/4 R_1$’。

1. 公式

   $$R_1 \leftarrow \frac{4}{17} R_1$$
   解释

   将第一行乘以$4/17$，使主元元素变为1。

   步骤依据

   用于归一化主元行的初等行运算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{4} R_1$$
   解释

   从第二行中减去新第一行的$1/4$倍，使主元列中的该元素变为零。

   步骤依据

   用于消去主元上方或下方元素的初等行运算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$R_3 \leftarrow R_3 + \frac{11}{4} R_1$$
   解释

   将新第一行的$11/4$加到第三行，使主元列中的该元素变为零。

   步骤依据

   初等行变换，用于消去主元上方或下方的元素。

   视频直接表达

单纯形表被转换为下一次迭代的形式，此时主元列在主元位置处为1，其余位置均为0。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写明：最大化 $P = 5x + 4y$。

2. 公式
   观察依据

   方框标出的最终答案列出了 $x = 6$、$y = 12$ 和 $P = 78$。

1. 公式

   $$P = 5x + 4y$$
   解释

   从黑板上写出的目标函数出发。

   步骤依据

   直接由黑板上书写的最大化问题陈述得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$P = 5(6) + 4(12)$$
   解释

   将所报告的最优决策变量值代入目标函数。

   步骤依据

   黑板上方框标出的最终解给出 $x = 6$ 和 $y = 12$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$P = 30 + 48$$
   解释

   分别计算每个乘积。

   步骤依据

   算术代入步骤。

   依据视频推导
4. 公式

   $$P = 78$$
   解释

   将两项相加，得到目标函数值。

   步骤依据

   算术化简；该结果与黑板上框出的值 $P = 78$一致。

   依据视频推导

黑板上显示的目标函数值 $P = 78$，在代入 $x = 6$ 和 $y = 12$ 后，与所陈述的目标函数一致。

1. 声音
   观察依据

   教师将本片段定位为使用单纯形法求解线性规划问题。

2. 公式
   观察依据

   完整的演算过程从原始不等式开始，直至第一次主元变换，全部呈现在白板上。

1. 本例仅进行到第一次标准化步骤；后续的单纯形迭代不在本片段范围内。

用单纯形法最大化 $P = 5x + 4y$，约束条件为 $3x + 5y \le 78$，$4x + y \le 36$，x, $y \ge 0$。

1. 目标函数：$P = 5x + 4y$。

2. 约束条件1：$3x + 5y$ <= 78。

3. 约束条件2：$4x + y$ <= 36。

4. 非负性：x, $y \ge 0$。

将问题改写为单纯形法适用形式，构建初始单纯形表，选择第一个主元，并开始主元行归一化。

1. 公式

   $$3x + 5y + u = 78$$
   解释

   在第一个约束条件中引入松弛变量 u。

   步骤依据

   将第一个不等式转化为适用于单纯形表的等式形式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4x + y + w = 36$$
   解释

   在第二个约束条件中引入松弛变量 w。

   步骤依据

   将第二个不等式转化为适用于单纯形表的等式形式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-5x - 4y + P = 0$$
   解释

   将目标函数改写为所有项移至等号一侧且 P 为正的形式。

   步骤依据

   此步骤要求将目标函数置于单纯形表的最底行。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\begin{array}{ccccc|c}X&Y&U&W&P&\\\hline 3&5&1&0&0&78\\ 4&1&0&1&0&36\\ -5&-4&0&0&1&0\end{array}$$
   解释

   由这三个方程组装初始单纯形表。

   步骤依据

   每一行包含一个方程的系数，常数项位于最右侧。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Choose } -5 \text{ in the } X \text{ column}$$
   解释

   通过选取常数列之前底行中最小的负数项来确定主元列。

   步骤依据

   这是教师所陈述的第一个主元选取规则。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\frac{78}{3}=26,\quad \frac{36}{4}=9$$
   解释

   计算约束行在主元列中的比值。

   步骤依据

   比值检验使用主元列的元素和最右侧的常数项。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\text{Choose row 2 because } 9 < 26$$
   解释

   从最小比值对应的行中选取主元行。

   步骤依据

   教师在比较两个比值后直接陈述该结论。

   视频直接表达
8. 公式

   $$R_2 \leftarrow \frac{1}{4}R_2$$
   解释

   将主元行标准化，使主元元素4变为1。

   步骤依据

   这是主元步骤中宣布的第一个行运算。

   视频直接表达

该例得到初始单纯形表，识别出主元元素 4 在第 2 行，第 X 列，并以行运算（$1/4$)R_ 开始单纯形迭代。2。

所展示的单纯形表各行与重写的方程一致，圆圈标出的-5和4符合所述主元规则，写出的比值26和9分别与$78/3$及$36/4$一致。

1. 声音
   观察依据

   教师通过一个具体例子讲解单纯形法的某一步骤。

最大化 $P = 5x + 4y$，约束条件为 $3x + 5y \le 78$，$4x + y \le 36$，x, $y \ge 0$。

1. 目标函数：$P = 5x + 4y$

2. 约束条件：$3x + 5y \le 78$，$4x + y \le 36$，x, $y \ge 0$

求使 P 最大化的 x 和 y 的值。

1. 公式

   $$3x + 5y + u = 78$$
   解释

   通过引入松弛变量 u，将第一个不等式约束转化为等式。

   步骤依据

   松弛变量的定义

   视频直接表达
2. 公式

   $$4x + y + w = 36$$
   解释

   通过添加松弛变量 w，将第二个不等式约束转化为等式。

   步骤依据

   松弛变量的定义

   视频直接表达
3. 公式

   $$-5x - 4y + P = 0$$
   解释

   将目标函数改写为单纯形表格的标准形式。

   步骤依据

   单纯形法的标准形式

   视频直接表达
4. 公式Identify pivot element
   解释

   根据底行中最小的负指标选取主元元素。

   步骤依据

   单纯形法的规则

   视频直接表达
5. 公式Perform row operations
   解释

   使用行运算，在主元元素的上方和下方构造零元素。

   步骤依据

   行运算规则

   视频直接表达

执行行运算后更新的表格。

检查主元列是否在主元元素的上方和下方均为零。

1. 公式
   观察依据

   问题表述为：最大化 $P = 5x + 4y$，约束条件为 $3x + 5y \le 78$，$4x + y \le 36$，x, $y \ge 0$。

最大化 $P = 5x + 4y$，约束条件为 $3x + 5y \le 78$，$4x + y \le 36$，x, $y \ge 0$。

1. 目标函数：$P = 5x + 4y$

2. 约束1：$3x + 5y \le 78$

3. 约束2：$4x + y \le 36$

4. 非负性约束：x, $y \ge 0$

求出满足所有约束条件下使 P 最大的 x 和 y 的值。

1. 公式

   $$\begin{bmatrix} 3 & 5 & 1 & 0 & 0 & 78 \\ 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 36 \\ -5 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
   解释

   引入松弛变量 u 和 w，建立初始单纯形表。

   步骤依据

   将不等式转化为等式的标准步骤，用于单纯形法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 4/17 & -3/17 & 0 & 12 \\ 1 & 1/4 & 0 & 1/4 & 0 & 9 \\ 0 & -11/4 & 0 & 5/4 & 1 & 45 \end{bmatrix}$$
   解释

   对第二行第一列的元素4执行第一次枢轴运算。

   步骤依据

   在底行中选取最负的检验数（-5），并选取最小的非负比值（$36/4 = 9$）。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 4/17 & -3/17 & 0 & 12 \\ 1 & 0 & -1/17 & 20/51 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 11/17 & 52/51 & 1 & 78 \end{bmatrix}$$
   解释

   对第一行第二列的元素1执行第二次枢轴运算。

   步骤依据

   在底行中选取最负的检验数（-11/4），并选取最小的非负比值（$12/1 = 12$）。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x = 6, y = 12, P = 78$$
   解释

   从最终单纯形表中读出最优解。

   步骤依据

   各列中仅含一个1、其余位置为0的列对应基变量；其取值位于最右列。非基变量取值为0。

   视频直接表达

P 的最大值为78，此时 $x = 6$，$y = 12$。

将 $x = 6$ 和 $y = 12$ 代入原始约束条件与目标函数，验证其均满足，且得到 $P = 78$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示的问题：最大化 $P = 5x + 4y$，约束条件为 $3x + 5y$ <= 78, $4x + y$ <= 36, x, y >= 0。

2. 公式
   观察依据

   黑板上展示了多个单纯形表及其行运算标注，最终导出一个框出的最终答案。

3. 声音
   观察依据

   讲话者总结道：“我们得到了本线性规划问题的解，即两个决策变量的取值以及目标函数的值。”

1. 本片段始于前期设定步骤之后，因此并非所有中间单纯形表的变换都在本节中完整口述。

求解黑板上所示的线性规划问题，并确定决策变量、目标函数及松弛变量的最优取值。

1. 最大化 $P = 5x + 4y$。

2. 约束条件：$3x + 5y$ <= 78 且 $4x + y$ <= 36。

3. 非负性：x、$y \ge 0$。

4. 在单纯形表中引入松弛变量 u 和 w。

5. 黑板上最终框出的答案为 $x = 6$，$y = 12$，$P = 78$，$u = 0$，$w = 0$。

从完成的单纯形表中读出最优解，并给出 x、y、P、u 和 w 的取值。

1. 公式

   $$3x + 5y + u = 78$$
   解释

   第一个不等式通过松弛变量 u 表示为等式形式。

   步骤依据

   可见于黑板上转化后的方程组书写。

   视频直接表达
2. 公式

   $$4x + y + w = 36$$
   解释

   第二个不等式通过松弛变量 w 表示为等式形式。

   步骤依据

   可见于黑板上转化后的方程组书写。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-5x - 4y + P = 0$$
   解释

   目标函数被重写，以便在单纯形表中追踪 P。

   步骤依据

   可见于黑板上转化后的方程组书写。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x = 6, y = 12, P = 78, u = 0, w = 0$$
   解释

   从完成的单纯形表中，教师将最终基变量的取值及目标函数值记录在框出的答案中。

   步骤依据

   直接见于黑板右侧的框出解，并由主讲人的总结陈述加以强调。

   视频直接表达

x 等于 6，y 等于 12，P 等于 78，u 等于 0，w 等于 0。

将 $x = 6$ 和 $y = 12$ 代入 $P = 5x + 4y$，得到 $5(6) + 4(12) = 30 + 48 = 78$，与报告的目标函数值一致。代入约束条件得 $3(6) + 5(12) = 18 + 60 = 78$，以及 $4(6) + 12 = 24 + 12 = 36$，因此两个约束均取等号，这与 $u = 0$ 和 $w = 0$ 一致。

1. 图示
   观察依据

   白板上以堆叠形式显示原始最大化问题，随后教师开始书写变换后的方程。

1. 白板文字：最大化 $P = 5x + 4y$

2. 约束条件 $3x + 5y$ <= 78

3. 约束条件$4x + y \le 36$

4. 非负性约束：x, $y \ge 0$

1. 暂无新书写内容；原问题保持不变，教师开始介绍单纯形法。

1. 目标函数与两个约束条件在整个介绍过程中始终可见且保持不变。

此画面确立了单纯形法预处理前的初始线性规划问题。

1. 动画
   观察依据

   教师将变换后的方程逐个写在原问题右侧。

2. 公式
   观察依据

   新方程$3x + 5y + u = 78$、$4x + y + w = 36$以及−$5x - 4y + P = 0$依次出现。

1. 原始不等式位于左侧

2. 新方程：$3x + 5y + u = 78$

3. 新方程：$4x + y + w = 36$

4. 新方程：−$5x - 4y + P = 0$

1. 首先，左侧约束条件用 u 重写。

2. 然后，右侧约束条件用 w 重写。

3. 最后，将目标函数移项，使其一侧为零。

1. 原始问题陈述保持可见，同时在其旁边添加变换后的方程组。

该视觉序列展示了在构建单纯形表之前所需的代数预处理步骤。

1. 动画
   观察依据

   教师画出一张表格，写下列标题 X、Y、U、W、P，然后在各行中填入系数与常数。

2. 图示
   观察依据

   完成的初始单纯形表可见，常数列前有一条竖直分隔线。

1. 表格网格

2. 列标题 X、Y、U、W、P

3. 第1行系数为3、5、1、0、0，常数为78

4. 第2行系数为4、1、0、1、0，常数为36

5. 目标行系数：-5、-4、0、0、1，以及常数项0

1. 首先写出表头行。

2. 然后填写第一个约束行。

3. 接着填写第二个约束行。

4. 最后在底部填写目标行。

1. 在整个构建过程中，列的顺序始终为 X、Y、U、W、P。

2. 常数项始终位于最右侧竖线之后，与其他元素分隔开。

本动画将重写后的方程转化为用于枢轴运算的标准单纯形表布局。

1. 动画
   观察依据

   教师圈出底行的“-”5，在前两行右侧写出比值26和9，然后圈出行4中的2。

1. 底行中被圈出的 -5

2. 写在第26行旁边的比值1

3. 写在第9行旁边的比值2

4. 被圈出的4 第 2 列 X

1. 底行候选数－5首先被高亮显示。

2. 比值填入各约束行旁。

3. 最终圈出获胜的主元元素4。

1. 在选取阶段，基础单纯形表中的各项数值不发生变化。

2. 一旦圈出－5，X列便保持为选定的主元列。

这些标记展示了如何从单纯形表中识别主元列、主元行和主元元素。

1. 公式
   观察依据

   在主元行旁写下记号（1／4）$R_2$。

2. 动画
   观察依据

   教师手指在圈出的4与新的行运算标注之间示意。

1. 除法运算后完全更新的第二行在此片段中未显示。

1. 圆圈标出的主元元素4

2. 记号（$1/4$）$R_2$

3. 第二张单纯形表的行

1. 添加一个行运算标签，表示将第二行整体缩放$1/4$倍。

1. 主元仍位于第2行、X列。

2. 在本次标注过程中，其余单纯形表部分仍保持其初始形式。

此图示记录了用于将主元标准化为1的第一个初等行运算。

1. 动画
   观察依据

   随着行运算的进行，表格在白板上同步更新。

1. 单纯形表格

2. 主元

3. 行运算

1. 随着行运算的实施，表格中的数值发生变化。

2. 在主元的上方和下方生成零。

1. 表格的结构保持不变。

2. 变量与约束条件保持不变。

视觉上的更新展示了单纯形法的迭代特性，以及行运算如何将表格逐步变换至最优解。

1. 动画
   观察依据

   教师在完成行运算后，于白板上写出单纯形表的新行。

1. 初始单纯形表

2. 行变换

3. 新的单纯形表

1. 表中各行的数值根据指定的行变换而改变。

2. 主元列被变换为：在主元位置处为1，其余位置均为0。

1. 表的结构（行与列表示变量和常数）保持不变。

2. 该表所表示的线性方程组仍保持等价。

这一可视化变换展示了单纯形法的机械过程：代数上的行变换对应于从一个基本可行解移动到另一个基本可行解，从而改进目标函数值。

1. 动画
   观察依据

   教师站在白板右侧，边讲解边指向框出的最终答案。

2. 公式
   观察依据

   框出的答案包含 $x = 6$，$y = 12$，$P = 78$，$u = 0$，$w = 0$。

1. 白板右侧框出的最终答案。

2. 教师的手和记号笔。

3. 白板上呈现多个单纯形表。

1. 教师一边口头指出该结果即为答案，一边用手势指向框出的解。

2. 注意力从单纯形表的演算过程转向提取出的变量取值。

1. 框内所写的数值在视频片段中保持不变。

2. 已写在白板上的目标函数和约束条件始终保持可见。

视觉强调标示了从单纯形表计算到解的解释之间的过渡：最优决策变量、目标函数值以及松弛变量值均从已完成的单纯形计算中读取。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，这些条件无需担心，因为它们已包含在单纯形法中。

人们可能认为每个显示的条件（包括x, $y \ge 0$）都必须重写为各自独立的方程或单纯形表的一行。

在此设定中，非负性条件被视为单纯形法的内建假设，而非初始单纯形表中的独立行。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，取该列中的数字，并用常数列中的数字分别除以它们。

2. 公式
   观察依据

   书面结果26和9分别对应$78/3$与$36/4$。

1. 尽管屏幕上显示的算术运算清晰明了，但口头表述却可能令人困惑。

短语‘将它们除进去’可能被误读为用常数除以错误的量，或颠倒比值顺序。

屏幕上显示的计算表明，所要求的比值是常数除以主元列中的正数元素，从而得到$78/3 = 26$与$36/4 = 9$。

1. 声音
   观察依据

   讲话者明确指出：“此处 u 等于零，w 等于零。”

2. 公式
   观察依据

   最终用方框标出的答案包含 $u = 0$ 和 $w = 0$。

学习者可能认为，由于 $u = 0$ 且 $w = 0$，对应的约束条件就变得无关紧要或未被使用。

事实上，松弛量为零恰恰意味着相反：这些约束在最优解处以等式形式起作用。这些约束依然界定可行域；只是在所选的解点上恰好处于紧约束状态。

1. 声音
   观察依据

   教师首先点明这是一个线性规划问题，紧接着便指出第一步是引入松弛变量。

2. 公式
   观察依据

   这些不等式被重写为含u和w的等式。

一般线性规划问题通过对其不等式约束施加松弛变量转换，为单纯形法做好准备。

1. 公式
   观察依据

   含u和w的等式被直接誊抄至初始单纯形表的前两行。

初始单纯形表的构造依赖于已将约束条件重写为含松弛变量的等式。

1. 公式
   观察依据

   重写后的目标函数 -5x - $4y + P = 0$ 变为底行：-5, -4, 0, 0, 1 | 0。

初始单纯形表的底行由重新整理后的目标方程得出。

1. 图示
   观察依据

   主元列规则直接应用于所显示单纯形表的最底行。

主元列选择规则应用于已完成的初始单纯形表。

1. 声音
   观察依据

   在选定X列后，教师指示取该列中的数字，并用它们分别去除常数列中的对应数字。

必须先选定主元列，才能执行比值检验。

1. 声音
   观察依据

   最小比值9确定主元行，随后教师将4识别为主元元素。

主元元素由所选主元列与比值检验所选出的主元行共同确定。

1. 公式
   观察依据

   一旦将4识别为主元，教师便写出($1/4$)$R_2$来将其标准化。

所选行运算专门用于将已识别的主元元素变为1。

1. 声音
   观察依据

   教师在单纯形法中使用行运算。

行运算是单纯形法中用于操作表格并求得最优解的基本工具。

1. 声音
   观察依据

   教师先确定主元，再围绕该主元执行行运算。

主元的选择决定了为更新表格而需执行哪些行运算。

1. 声音
   观察依据

   教师将主元变换作为整个单纯形法中的一个步骤来使用。

主元变换是包含在整个单纯形法流程中的核心迭代步骤。

1. 声音
   观察依据

   教师通过读取最终单纯形表来结束单纯形法。

读取最终单纯形表是单纯形法的最后一步，用于提取最优解。

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出了约束条件 $3x + 5y$ <= 78 和 $4x + y$ <= 36，并附有松弛变量 u 和 w。

2. 声音
   观察依据

   讲话者说：“此处 u 等于零，w 等于零。”

对松弛变量为零的解释可直接应用于本例的最终解，表明两个原始约束在最优解处均为紧约束。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，第一步是重写问题，引入松弛变量，并将目标函数改写为一侧为零的形式。

1. 线性规划最大化问题的建模
2. 第一个约束的松弛变量转换
3. 第二个约束的松弛变量转换
4. 为目标函数构建单纯形表而进行的改写

1. 声音
   观察依据

   教师指出，松弛变量将不等式约束转化为等式约束，而非不等式。

1. 第一个约束的松弛变量转换
2. 第二个约束的松弛变量转换

1. 声音
   观察依据

   讲师表示无需担心这些约束，因为它们已包含在单纯形法中。

1. 单纯形法设置中对非负性条件的处理

1. 公式
   观察依据

   目标函数被重写为 -5x - $4y + P = 0$。

1. 为目标函数构建单纯形表而进行的改写

1. 图示
   观察依据

   完整的初始表格已给出，包含表头及三行系数。

1. 初始单纯形表的构建

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，应选择底行中竖线之前最大的负数。

1. 从目标函数行中选择主元列

1. 公式
   观察依据

   所写出的比值为 26 和 9，分别对应 $78/3$ 和 $36/4$。

1. 用于选择主元行的比值检验法

1. 声音
   观察依据

   教师指出最小比值决定主元行，而四为主元元素。

1. 识别主元元素

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示，在确定主元后，执行行变换（$1/4$）$R_2$。

1. 通过行变换对主元行进行归一化

1. 声音
   观察依据

   教师讲解如何选择主元元素。

1. 主元元素

1. 声音
   观察依据

   教师执行并讲解行运算。