数学建模 / 英语

预测：指数平滑预测、均方误差

Joshua Emmanuel · YouTube · 4:59

YouTube · Joshua Emmanuel原视频

视频中的要点

01指数平滑法：加权平均公式
02初始预测假设
03第二个预测值的速算方法

来自学习笔记

F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t

指数平滑法：加权平均公式

选中时刻

引言与学习目标

建议预备知识

基础代数
对时间序列数据的理解
时间序列数据的基本概念
平均数与加权平均数的概念

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已审核学习内容 · 视频分析 · 中文

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本入门教程讲解了用于预测的指数平滑法。它定义了实际销量（ $A_t$ ）与预测值（ $F_t$ ）的记号，并给出了指数平滑公式的两种等价形式：误差校正形式与加权平均形式。视频演示了如何将该公式应用于一个为期七周的销量数据集，其中平滑常数 alpha = 0.2。教程涵盖了初始预测的标准假设（ $F_1 = A_1$ ），并逐步演算后续各期预测值，同时指出计算 $F_2$ 的一种快捷方法。本视频演示了如何使用指数平滑法进行时间序列预测，其中平滑常数为0.2。视频基于历史销售数据，逐步计算多个周期的预测值。在完成预测计算后，视频进一步讲解并计算均方误差（MSE），以评估预测模型的准确性，详细说明了求预测误差、对误差进行平方、再求其平均值的过程。

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章节

0:00引言与学习目标 0:17数据展示与符号说明 0:37指数平滑公式 1:29公式的应用：初始假设与计算过程 3:00指数平滑预测计算 3:40均方误差（MSE）的计算 4:55总结

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频引入了使用指数平滑法进行预测的主题，并明确了学习目标：计算预测值及均方误差（MSE）。

展示了一张按周列出的销量数据表。讲解者定义了相关符号： $A_t$ （或 $Y_t$ ）表示时刻 t 的实际销量值， $F_t$ 表示时刻 t 的预测值。

指数平滑的主公式为： $F_{t+1} = F_t + \alpha(A_t - F_t)$ 。其中， $\alpha$ 是平滑常数，取值范围在 0 与 1 之间。该公式通过将上一周期误差的一部分加到上一期预测值上，来更新当前预测值。

公式还有一种计算更简便的替代形式： $F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t$ 。该式将新预测值表达为最新实际值与最新预测值的加权平均。视频确认这两种公式完全等价。

本教程使用平滑常数 $\alpha = 0.2$ 对所给数据应用该方法。因此， $1 - \alpha = 0.8$ ，实际使用的公式变为 $F_{t+1} = 0.2(A_t) + 0.8(F_t)$ 。

视频讨论了初始化问题。若未给出前期预测值，则标准做法是令首个预测值等于首个实际值（ $F_1 = A_1$ ）。本例中， $F_1$ 被设为 39。

视频演示了 $F_2$ 的计算过程： $F_2 = 0.2(39) + 0.8(39) = 39$ 。讲解者指出一种快捷方法：只要 $F_1 = A_1$ ，则 $F_2$ 必然等于 $A_1$ ，因此可直接抄写，无需另行计算。

公式的第一个实质性应用出现在 $F_3$ 。利用 $A_2 = 44$ 和 $F_2 = 39$ ，计算得 $F_3 = 0.2(44) + 0.8(39) = 8.8 + 31.2 = 40$ 。视频在刚开始解释 $F_4$ 的计算时结束。

视频首先演示指数平滑公式 $F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t$ 的应用，其中平滑常数为 $\alpha = 0.2$ 。讲解者计算第 4 周的预测值（ $F_4$ )，方法是取0.2 周实际销量的3（ $A_3=40$ ）倍，加上0.8 周预测值的3（ $F_3=40.00$ ）倍，得到40.00。该过程依次对第5、6、7和8周重复进行，每一期的新预测值均依赖于上一期的实际销量和预测值。计算所得的预测值显示在左侧的表格中。

随后，视频转向通过计算均方误差（MSE）来评估模型的准确性。讲解者指出，这首先需要求出预测误差，即实际销售额与预测值之间的差值。特别强调：第一期的误差不参与计算，因为初始预测值通常直接设为第一个实际值。第2周至第7周的误差被逐一计算，并列于表格中；接着，将这些误差分别平方；最后，将所有平方误差相加，再除以存在误差的期数（六期），从而得到MSE，其计算结果为11.58。视频最后总结了利用指数平滑法进行预测值与MSE计算的完整步骤。

知识卡片

指数平滑法：加权平均公式

下一期的预测值是当前实际值与当前预测值的加权平均。这种形式通常比误差修正形式更便于手工计算。

F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t

初始预测假设

当指数平滑过程启动时没有先前的预测值可用，标准做法是假设首个预测值等于首个实际观测值。

F_1 = A_1

第二个预测值的速算方法

若采用初始假设 $F_1 = A_1$ ，则第二个预测值（ $F_2$ ）的计算结果恒为 $F_2 = A_1$ 。因此，可跳过计算，直接将 $A_1$ 的值复制给 $F_2$ 。

F_2 = A_1 \text{ (if } F_1 = A_1\text{)}

指数平滑公式

一种时间序列预测方法，其下一期预测值是当前期实际值与当前期预测值的加权平均。公式为 $F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t$ ，其中 $\alpha$ 为介于0与1之间的平滑常数。

F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t

均方误差（MSE）

衡量估计量优劣的一种指标。在预测中，它表示误差平方的平均值，即预测值（估计值）与实际值之间差值的平方的平均数。MSE越小，表明模型对数据的拟合效果越好。

MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (A_i - F_i)^2

预测误差的计算

某一时期的预测误差，是指该时期实际观测值与预测值之间的差值。其计算公式为 $Error = Actual - Forecast$ 。在指数平滑法中，通常不计算第一期的误差。

E_t = A_t - F_t

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 11

Week

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
表格标题行显示“周”，对应行号为1至7。

符号

Week

含义

销售数据的时间段索引。

适用范围

从1到7的离散整数。

Sales

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
表格列“销售”包含数值39、44、40、45、38、43、39。

符号

Sales

含义

在七周时间内实际采集的销售数值。

适用范围

表示销售数量的实数。

Forecast

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
表格列“预测”初始为空，后续填入计算所得的值。

符号

Forecast

含义

每周的预测销售数值。

适用范围

表示预测数量的实数。

$A_t$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
实际销售将用 $A_t$ 表示。
图示
观察依据
标签 ' $A_t$ ' 出现在“销售”列上方。

符号

$A_t$

含义

时刻 t 的实际值。

适用范围

实数。

$Y_t$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
注意，部分作者使用 $Y_t$ 表示实际值。
图示
观察依据
文本框中注明“实际值 $A_t$ 或 $Y_t$ ”。

符号

$Y_t$

含义

实际值在时刻 t 的另一种记法。

适用范围

实数。

$F_t$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
而预测值通常用 $F_t$ 表示。
图示
观察依据
标签“ $F_t$ ”出现在“预测”列的上方。

符号

$F_t$

含义

时刻 t 的预测值。

适用范围

实数。

$\alpha$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
其中 alpha 是介于零与一之间的值，称为平滑常数。
图示
观察依据
文本框中注明“平滑常数 0 <= alpha <= 1”。

符号

$\alpha$

含义

指数平滑公式中所用的平滑常数。

适用范围

满足 $0\le α\le 1$ 的实数。

$\alpha$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面上写着： $α = 0.2$

符号

$\alpha$

含义

平滑常数，即施加于最新实际观测值上的权重。

适用范围

0 小于 α 小于 1

$A_t$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
公式 $F_{t+1} = α A_t + (1 - α)F_t$ 中的 $A_t$

符号

$A_t$

含义

时间周期 t 的实际值（销量）。

适用范围

实数

$F_t$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
公式 $F_{t+1} = α A_t + (1 - α)F_t$ 中的 $F_t$

符号

$F_t$

含义

时间周期 t 的预测值。

适用范围

实数

MSE

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
均方误差 MSE
公式
观察依据
均方误差 MSE 等于 11.58

符号

MSE

含义

均方误差，即误差平方的平均值，用于衡量预测精度。

适用范围

非负实数

知识点 · 5

指数平滑公式（误差校正形式）

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
指数平滑法使用公式 $F_{t+1} = F_t + α(A_t - F_t)$ 。
公式
观察依据
橙色框中显示公式 $F_{t+1} = F_t + α(A_t - F_t)$ 。

公式

解释

公式的第一个形式通过将上一时期预测误差的一部分加到上一时期的预测值上，来计算下一时期的预测值。

公式

F_{t+1} = F_t + \alpha(A_t - F_t)

适用条件

α 是平滑常数，满足 $0\le α\le 1$ 。
$A_t$ 表示时刻 t 的实际值。
$F_t$ 表示时刻 t 的预测值。

先修条目

$A_t$
$F_t$
$\alpha$

指数平滑公式（加权平均形式）

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
为便于计算，该公式可改写为 $F_{t+1} = αA_t + (1 - α)F_t$ 。
公式
观察依据
蓝色框中显示公式 $F_{t+1} = αA_t + (1 - α)F_t$ 。

公式

解释

公式的第二种形式将新预测值表示为最近实际值与最近预测值的加权平均；视频指出这种形式更便于计算。

公式

F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t

适用条件

α 是平滑常数， $0 \le α \le 1$ 。
Aₜ 是时刻 t 的实际值。
Fₜ 是时刻 t 的预测值。

先修条目

指数平滑公式（误差校正形式）
$A_t$
$F_t$
$\alpha$

初始预测假设

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
若未给出第一期的预测值，则我们假设 $F_1 = A_1$ 。
公式
观察依据
第1周的‘预测’列中黄色高亮显示 $F_1 = A_1$ 。

方法

解释

在没有前期预测的情况下启动指数平滑时，标准假设是将第一个预测值设为第一个实际值。

公式

F_1 = A_1

适用条件

第一期未提供初始预测值。

先修条目

$A_t$
$F_t$

指数平滑公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
$F_{t+1}$ 等于 α 乘以 $A_t$ 加上（1 减去 α）乘以 $F_t$

公式

解释

下一期的预测值是当前期实际值与当前期预测值的加权平均。

公式

F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t

适用条件

需要一个初始预测值，通常设为第一个实际观测值。
平滑常数 $\alpha$ 必须介于0和1之间。

均方误差（MSE）

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
为得到均方误差（MSE），我们首先计算预测误差，再将它们平方，最后求这些平方误差的均值（即平均值）。

定义

解释

MSE 是一种用于评估预测模型准确性的指标，其计算方法是取实际值与预测值之差的平方的平均值。

公式

MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (A_i - F_i)^2

适用条件

若预测以第一个实际值初始化，则通常不计算第一期的误差。

先修条目

指数平滑公式

推导与证明 · 3

指数平滑公式的等价性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
为便于计算，该公式可改写为……注意，两个公式所得结果相同。
图示
观察依据
双向箭头连接橙色公式框与蓝色公式框。

直观解释

步骤

公式
$F_{t+1} = F_t + \alpha(A_t - F_t)$
解释
从误差校正形式的公式出发。
步骤依据
视频中已给出。
视频直接表达
公式
$F_{t+1} = F_t + \alpha A_t - \alpha F_t$
解释
将平滑常数 alpha 分配到括号内。
步骤依据
代数分配。
依据视频推导
公式
$F_{t+1} = \alpha A_t + F_t - \alpha F_t$
解释
重新排列各项，使所有含 $F_t$ 的项集中在一起。
步骤依据
加法的交换律。
依据视频推导
公式
$F_{t+1} = \alpha A_t + (1 - \alpha)F_t$
解释
从集中后的项中提取公因式 $F_t$ 。
步骤依据
因式分解。
依据视频推导

结论

指数平滑公式的两种形式在代数上等价，但加权平均形式在计算上更简便。

使用指数平滑法计算预测值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
0.2乘以40加上0.8乘以40，结果为40；对于 F5，有0.2乘以45加上0.8乘以40，结果为41……
公式
观察依据
$F_4$ 等于 0.2 乘以（40）加上 0.8 乘以（40.00） $F_5$ 等于 0.2 乘以（45）加上 0.8 乘以（40.00） $F_6$ 等于 0.2 乘以（38）加上 0.8 乘以（41.00） $F_7$ 等于 0.2 乘以（43）加上 0.8 乘以（40.40） $F_8$ 等于 0.2 乘以（39）加上 0.8 乘以（40.92）

数值验证

步骤

公式
$F_4 = 0.2(40) + 0.8(40.00) = 40.00$
解释
计算第 4 周的预测值，使用第 3 周的实际销量和第 3 周的预测值。
步骤依据
代入指数平滑公式，其中平滑系数为 $\alpha = 0.2$ 。
视频直接表达
公式
$F_5 = 0.2(45) + 0.8(40.00) = 41.00$
解释
计算第 5 周的预测值，使用第 4 周的实际销量和第 4 周的预测值。
步骤依据
应用指数平滑公式。
视频直接表达
公式
$F_6 = 0.2(38) + 0.8(41.00) = 40.40$
解释
计算第 6 周的预测值，使用第 5 周的实际销量和第 5 周的预测值。
步骤依据
应用指数平滑公式。
视频直接表达
公式
$F_7 = 0.2(43) + 0.8(40.40) = 40.92$
解释
计算第 7 周的预测值，使用第 6 周的实际销量和第 6 周的预测值。
步骤依据
应用指数平滑公式。
视频直接表达
公式
$F_8 = 0.2(39) + 0.8(40.92) = 40.54$
解释
计算第 8 周的预测值，使用第 7 周的实际销量和第 7 周的预测值。
步骤依据
应用指数平滑公式。
视频直接表达

结论

第4周至第8周的预测值按顺序依次计算。

计算均方误差（MSE）

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
因此，第二周的预测误差为44减去39，结果为5……接下来，我们对误差进行平方……由于我们仅有六个存在误差的周期，因此将这些误差相加后除以六，得到均方误差为11.58。
公式
观察依据
误差 = 实际销量 - 预测值误差的2次方均方误差（MSE）= 11.58

数值验证

步骤

公式
$E_2 = 44 - 39.00 = 5.00$
解释
计算第2周的预测误差。
步骤依据
用实际销量减去预测值。
视频直接表达
公式
$E_3 = 40 - 40.00 = 0.00$
解释
计算第3周的预测误差。
步骤依据
用实际销量减去预测值。
视频直接表达
公式
$E_4 = 45 - 40.00 = 5.00$
解释
计算第4周的预测误差。
步骤依据
用实际销量减去预测值。
视频直接表达
公式
$E_5 = 38 - 41.00 = -3.00$
解释
计算第5周的预测误差。
步骤依据
用实际销量减去预测值。
视频直接表达
公式
$E_6 = 43 - 40.40 = 2.60$
解释
计算第6周的预测误差。
步骤依据
用实际销售额减去预测销售额。
视频直接表达
公式
$E_7 = 39 - 40.92 = -1.92$
解释
计算第7周的预测误差。
步骤依据
用实际销售额减去预测销售额。
视频直接表达
公式
$E_2^2 = 5.00^2 = 25.00$
解释
对第2周的误差进行平方。
步骤依据
对已计算出的误差进行平方。
视频直接表达
公式
$E_3^2 = 0.00^2 = 0.00$
解释
对第3周的误差进行平方。
步骤依据
对已计算出的误差进行平方。
视频直接表达
公式
$E_4^2 = 5.00^2 = 25.00$
解释
对第4周的误差进行平方。
步骤依据
对已计算出的误差进行平方。
视频直接表达
公式
$E_5^2 = (-3.00)^2 = 9.00$
解释
对第5周的误差进行平方。
步骤依据
对已计算出的误差进行平方。
视频直接表达
公式
$E_6^2 = 2.60^2 = 6.76$
解释
对第6周的误差进行平方。
步骤依据
对计算出的误差进行平方。
视频直接表达
公式
$E_7^2=(-1.92)^2=3.6864\approx3.69$
解释
该平方误差的精确值为 3.6864；视频将它显示为 3.69。
步骤依据
对计算出的误差进行平方。
视频直接表达
公式
$MSE_{\mathrm{display}}=(25.00+0.00+25.00+9.00+6.76+3.69)/6=11.575\approx11.58$
解释
先平均画面中逐项舍入后的六个平方误差，得到 11.575；视频显示为 11.58。
步骤依据
计算平方误差的平均值。
视频直接表达
公式
$MSE_{\mathrm{exact}}=(25+0+25+9+6.76+3.6864)/6=11.5744\approx11.57$
解释
将最后一个平方误差保留到平均之后再舍入，则保留两位小数为 11.57。
步骤依据
对同一组数据的独立计算核对。
依据视频推导

结论

视频按显示的已舍入平方误差计算，报告 MSE 为 11.58；若最后才舍入，保留两位小数为 11.57。

例题详解 · 2

计算初始预测值 $F_2$ 和 $F_3$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
接着我们计算 $F_2$ ，即 0.2 乘以 39 加上 0.8 乘以 39……因此，我们通常直接假设 $F_2$ 等于 $A_1$ ……这意味着公式第一次实际应用始于 $F_3$ 。所以 $F_3$ 将是 0.2 乘以 44 加上 0.8 乘以 39，结果为 40。
公式
观察依据
屏幕显示： $F_2 = 0.2(39) + 0.8(39.00) = 39.00$ ，且 $F_3 = 0.2(44) + 0.8(39.00) = 40.00$ 。

题目

计算第 2 周和第 3 周的预测值，使用指数平滑法，其中 $\alpha = 0.2$ ，已知销售数据 $A_1 = 39$ 和 $A_2 = 44$ 。

已知条件

α 等于0.2
A 下标1等于39
A 下标2等于44
$F_1 = A_1 = 39$

目标

求 $F_2$ 和 $F_3$ 。

步骤

公式
$F_2 = 0.2(39) + 0.8(39) = 39$
解释
使用公式及假设的 $F_2$ 计算 $F_1$ 。
步骤依据
代入加权平均公式。
视频直接表达
公式
$F_2 = A_1 = 39$
解释
注意到当 $F_2$ when $F_1$ 时计算 $F_1$ 总是得到 $A_1$ ，因此可直接照抄。
步骤依据
视频中指出的代数化简。
视频直接表达
公式
$F_3 = 0.2(44) + 0.8(39) = 8.8 + 31.2 = 40$
解释
计算 $F_3$ 使用含 $A_2$ 和 $F_2$ 的公式。
步骤依据
代入加权平均公式。
视频直接表达

结果

F 下标2等于39，F 下标3等于40

检验

计算结果与屏幕上表格中显示的数值一致。

指数平滑法与均方误差（MSE）计算示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
表格展示“周”“销售额”“预测值”“误差”及“误差^2”各列的填写过程。

题目

已知每周销售额数据及初始预测值，使用平滑常数为 $\alpha = 0.2$ 的指数平滑法计算后续各期预测值，并计算该模型的均方误差（MSE）。

已知条件

每周销售额数据：第1周：39，第2周：44，第3周：40，第4周：45，第5周：38，第6周：43，第7周：39。
初始预测值： $F_2 = 39.00$ （即 $A_1$ ）。
平滑常数： $\alpha = 0.2$ 。

目标

求第3周至第8周的预测值，以及基于第2周至第7周数据所构建模型的均方误差（MSE）。

步骤

公式
$F_{t+1} = 0.2(A_t) + 0.8(F_t)$
解释
反复应用指数平滑公式，求出第3周至第8周的预测值。
步骤依据
使用所给公式及 $\alpha$ 的取值。
视频直接表达
公式
$E_t = A_t - F_t$
解释
通过用实际销量减去预测值，计算第2周至第7周每周的预测误差。
步骤依据
预测误差的定义。
视频直接表达
公式
$E_t^2$
解释
将每个已计算出的预测误差分别平方。
步骤依据
计算均方误差（MSE）所需的步骤。
视频直接表达
公式
$MSE = \frac{\sum E_t^2}{n}$
解释
将各平方误差相加，并除以误差项个数（ $n=6$ ），得到均方误差（MSE）。
步骤依据
均方误差（MSE）的定义。
视频直接表达

结果

预测值： $F_3=40.00, F_4=40.00, F_5=41.00, F_6=40.40, F_7=40.92, F_8=40.54$ 。按逐项舍入的表格计算，MSE 为 11.58；若先平均精确平方误差，则为 11.57。

检验

相关计算在视频中的表格中逐步展示，最终的均方误差（MSE）被明确给出。

图示与动画 · 2

预测值表格的逐步填充

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
展示了一个包含“周数”“销售额”和“预测值”三列的表格。随着视频讲解该过程，预测值列逐步填入计算所得的数值。

图中对象

包含“周数”“销售额”和“预测值”三列的表格
计算得出的预测值

变化过程

预测值列初始为空。
$F_1$ 、 $F_2$ 和 $F_3$ 的值依次填入预测值列。

不变量

周数列和销售额列在整个片段中保持不变。

数学含义

视觉上的逐步呈现，展示了如何分步应用指数平滑公式，为后续各期生成预测值。

逐步填充表格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
表格逐步填入“预测值”“预测误差”和“预测误差的2次方”各列的计算结果。

图中对象

表格包含以下列：周次、销售额、预测值、误差、误差的2次方
屏幕右侧显示公式

变化过程

'预测值'列中的数值逐行出现。
'误差'列中的数值逐行出现。
'误差的2次方'列中的数值逐行出现。
最终的均方误差（MSE）值显示在表格底部。

不变量

'周次'列和'销售额'列保持不变。
表格与公式的整体布局保持不变。

数学含义

动画直观展示了计算的顺序性：每个新数值都依赖于先前已算出的数值。

易错点 · 2

对 $F_2$ 进行不必要的计算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
因此，我们通常直接假设 $F_2$ 等于 $A_1$ ，而完全不必进行计算。

误区

学生可能浪费时间用完整公式计算 $F_2$ ，而实际上 $F_1$ 被假定为 $A_1$ 。

说明

视频明确指出，若 $F_1 = A_1$ ，则 $F_2$ 恒等于 $A_1$ ，因此直接将 $A_1$ 的值复制给 $F_2$ 更为高效。

第一期的误差计算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在计算指数平滑预测值的误差时，除非另有说明，否则不计算第一期的误差。
图示
观察依据
在第1周的误差单元格上画了一个红色的'X'。

误区

每一期（包括第一期）都应计算误差。

说明

在指数平滑法中，第一期的预测值通常用第一期的实际值初始化，导致误差为零且无信息量。因此，误差通常从第二期开始计算。

概念关系 · 2

指数平滑公式（误差校正形式） → 指数平滑公式（加权平均形式）

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
注意，两个公式所得结果相同，只是第二个公式使用起来稍为简便。
图示
观察依据
两个公式框之间用双向箭头连接。

等价

解释

指数平滑方程的误差校正形式与加权平均形式在数学上等价，但后者更适用于手工计算。

指数平滑公式 → 均方误差（MSE）

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
接下来我们计算均方误差。

应用

解释

均方误差（MSE）是利用指数平滑法生成的预测值所对应的预测误差来计算的。

问题定位 · 5

为何指数平滑存在两种不同公式？我该选用哪一种？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
为便于计算，该公式可改写为……

涉及知识点

指数平滑公式（误差校正形式）
指数平滑公式（加权平均形式）
s0-cr-formula-equivalence

若未提供初始预测值，我该如何开始指数平滑计算？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
若未给出第一期的预测值，则我们假设 $F_1$ 等于 $A_1$ 。

涉及知识点

初始预测假设

如何用指数平滑法计算下一期的预测值？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
$F_{t+1}$ 等于 α 乘以 $A_t$ 加上（1 减去 α）乘以 $F_t$

涉及知识点

指数平滑公式

什么是均方误差（MSE）？它是如何计算的？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
为得到均方误差（MSE），我们首先求出各期预测误差，再将它们平方，最后求这些平方误差的平均值。

涉及知识点

均方误差（MSE）

为什么第一周不计算预测误差？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
除非另有说明，否则我们不计算第一期的误差。

涉及知识点

第一期的误差计算

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 本教程的导入与学习目标。

已覆盖 · 展示数据表，并定义实际值与预测值所用的符号表示。

已覆盖 · 介绍并解释指数平滑公式的两种等价形式。

已覆盖 · 将公式应用于给定数据集，包括对初始预测值的假设，以及 $F_2$ 和 $F_3$ 的计算过程。

已覆盖 · 使用指数平滑公式进行预测值的计算。

已覆盖 · 预测误差、平方误差以及最终均方误差（MSE）的计算。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

指数平滑预测

这个视频解答的问题

理解原因

理解原因

掌握方法

认识概念

掌握方法

预测：指数平滑预测、均方误差

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

指数平滑法：加权平均公式

初始预测假设

第二个预测值的速算方法

指数平滑公式

均方误差（MSE）

预测误差的计算

详细学习笔记

Week

Sales

Forecast

AtA_tAt​

YtY_tYt​

FtF_tFt​

α\alphaα

α\alphaα

AtA_tAt​

FtF_tFt​

MSE

指数平滑公式（误差校正形式）

指数平滑公式（加权平均形式）

初始预测假设

指数平滑公式

均方误差（MSE）

指数平滑公式的等价性

使用指数平滑法计算预测值

计算均方误差（MSE）

计算初始预测值 F2F_2F2​ 和 F3F_3F3​

指数平滑法与均方误差（MSE）计算示例

预测值表格的逐步填充

逐步填充表格

对F2F_2F2​进行不必要的计算

第一期的误差计算

指数平滑公式（误差校正形式） → 指数平滑公式（加权平均形式）

指数平滑公式 → 均方误差（MSE）

为何指数平滑存在两种不同公式？我该选用哪一种？

若未提供初始预测值，我该如何开始指数平滑计算？

如何用指数平滑法计算下一期的预测值？

什么是均方误差（MSE）？它是如何计算的？

为什么第一周不计算预测误差？

探索视频中的知识

这个视频解答的问题

为什么在指数平滑中没有为第一周计算预测误差？+

为什么指数平滑有两种不同的公式，我应该使用哪一个？+

在平滑常数为 0.2 的指数平滑中，如何计算下一个预测值？+

如果没有为第一期提供先前的预测值，初始预测值的假设是什么？+

如何计算指数平滑预测的均方误差（MSE）？+

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