停时、击中时及其他时间

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字在随机过程的停时定义中使用了 $W_t$。

2. 图示
   观察依据

   图中将上下波动的黑色路径标记为 $W_t$。

$W_t$

正在讨论的随机过程；在例题中，它就是所绘制的上下波动路径。

t 大于等于0

1. 公式
   观察依据

   定义行中使用符号 $\tau$ 表示正在定义的随机时间。

2. 声音
   观察依据

   说话人称停时是一个随机时间 tau。

$\tau$

$W_t$ 过程的一个候选停时。

非负随机时间。

1. 公式
   观察依据

   定义中使用了“在时刻 t”以及事件 {$\tau \le t$}。

2. 声音
   观察依据

   说话人反复提到：在时刻 t 就能知道是否该停止。

t

用于检验停时决策是否已由截至该时刻的历史完全确定的观测时刻。

定义中的固定时间参数。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片指出 {$\tau \le t$} 是 $F_t$ 可测的。

2. 声音
   观察依据

   说话人读作“$F_t$ 可测”。

1. 基础滤波族在此片段的画面或语音中均未明确定义。

$\mathcal{F}_t$

截至时刻 t 所掌握的信息；事件 {$\tau \le t$} 必须属于该 σ-代数，$\tau$ 才能成为停时。

与过程在时刻 t 之前的历史相关联的 σ-代数。

1. 公式
   观察依据

   手写的击中时间定义中使用了水平 a，即 $W_t = a$。

2. 图示
   观察依据

   图中一条红色水平线标注为 a。

3. 声音
   观察依据

   说话人称其为“某个水平 a”和“障碍 a”。

a

过程的一个固定水平或障碍；在图中即为 $W_t$ 所触及的水平阈值。

纵轴上显示的实际水平约为6。

1. 公式
   观察依据

   手写定义为 $T_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$}。

2. 声音
   观察依据

   说话人将其介绍为击中时间或首达时间。

$T_a$

过程 $W_t$ 首次到达水平 a 的时刻。

非负的扩展随机时间。

1. 公式
   观察依据

   该定义使用 inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$}。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将其转述为：‘我们的随机过程首次……触及水平 a 的时刻’。

$\inf$

下确界算子，用于从 $W_t$ 等于 a 的所有时刻构成的集合中选取最早时刻。

作用于区间 [0,$\infty$) 的一个子集上。

1. 公式
   观察依据

   在视频片段接近结尾处，出现第二行手写内容：T^* = sup{$t \ge 0$ : $W_t = a$}。

1. 该行仅开头部分在片段结束前可见；目前尚未给出任何解释。

T^*

一个后续定义的时间，基于使 $W_t$ 等于 a 的所有时刻的上确界。

非负的扩展随机时间。

1. 公式
   观察依据

   记作 $τ_a$ = inf { $t \ge 0$ : $W_t = a$ }。

2. 声音
   观察依据

   讲师在此记号下讨论击中时／首次通过时。

$\tau_a$

过程 W 首次击中水平 a 的时刻（即首次通过时）。

非负的随机时间。

1. 公式
   观察依据

   出现在 $τ_a$ = inf { $t \ge 0$ : $W_t = a$ } 中。

$\inf$

取下确界的算子，用于从集合中选出最早的时间。

1. 公式
   观察依据

   出现在 $τ_a$、$τ_b$ 和 τ_max 的定义中 $W_t$ 内部。

2. 图示
   观察依据

   所绘制的轨迹标记为 $W_t$。

$W_t$

在时刻 t 观测到的随机过程。

1. 公式
   观察依据

   作为 $W_t = a$ 中的目标水平出现。

2. 图示
   观察依据

   一条水平红色直线在图中标出水平 a。

a

用于定义击中时与最后击中时的、该过程的一个固定水平。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：‘随机过程 $W_t$ 的停时是一个随机时间 $\tau$，满足：在时刻 t 我们即可判断是否停止，即事件 {$\tau \le t$} 是 $F_t$ 可测的（{$\tau \le t$} 仅依赖于该过程截至且包含时刻 t 的历史）。’

2. 声音
   观察依据

   主讲人朗读并转述了同一定义，特别强调我们无需预知未来。

1. 滤波族（$F_t$）在此片段中仅被提及，未作形式化构造。

对于随机过程 $W_t$，停时是一个随机时间 $\tau$，使得在每个观测时刻 t，判断停止是否已经发生这一决策仅依赖于截至并包含时刻 t 的过程历史。形式上，事件 {$\tau \le t$} 必须是 $\mathcal{F}_t$-可测的。

1. 针对随机过程 $W_t$ 定义。

2. 时刻 t 所相关的全部信息，即截至并包含时刻 t 的过程历史。

3. 该片段未对滤波族施加额外假设。

1. 公式
   观察依据

   手写行：‘击中时 / 首达时’，后接 $T_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$}。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，击中时或首达时是指随机过程首次到达水平 a 的时刻，其中 t 大于或等于零。

3. 图示
   观察依据

   图中显示一条水平障碍线 a 和一条上下波动的路径 $W_t$，该路径最终触及该障碍线。

水平 a 的击中时（亦称首达时）是过程 $W_t$ 等于 a 的最小非负时刻，它被表示为所有满足该条件的时刻的下确界。

1. 水平 a 是固定的。

2. 该集合取遍所有时刻 $t \ge 0$。

3. 该片段未讨论集合为空集的情形。

1. 停时的定义

1. 公式
   观察依据

   印刷版定义：‘随机过程 $W_t$ 的一个停时是一个随机时刻 τ，使得我们在时刻 t 就能判断是否应当停止，即事件 {$τ \le t$} 是 $F_t$ 可测的（{$τ \le t$} 仅依赖于该过程截至并包含时刻 t 的历史）。’

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道，我们仅依据截至并包含时刻 t 的可用信息，即可决定是否停止。

若对任意时刻 t，判断随机时刻 τ 是否已经发生，仅依赖于该过程截至并包含时刻 t 的历史，则该随机时刻 τ 称为该过程的一个停时。形式上，事件 {$τ \le t$} 必须关于时刻 t 所掌握的信息是可测的。

1. τ 是过程 $W_t$ 的一个随机时刻。

2. 对每个观测时刻 t，都要求可测性。

3. 仅可使用截至并包含时刻 t 的信息。

1. 公式
   观察依据

   手写标题“击中时间／首次通过时间”，后接 $τ_a$ = inf { $t \ge 0$ : $W_t = a$ }。

2. 声音
   观察依据

   讲师将此视为一个时刻的例子，并提问它是否为停时。

水平 a 的击中时间是过程 W 等于 a 的最早非负时刻。它被定义为满足 $W_t = a$ 的所有时刻构成的集合的下确界。

1. 该过程在 $t \ge 0$ 时被观测。

2. a 是一个固定水平。

1. 停时的定义

1. 公式
   观察依据

   在‘其他时刻：’下方，黑板上显示 $τ_b$ = sup { $t \ge 0$ : $W_t = a$ }。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：‘我们定义 $τ_b$ 为过程击中水平 a 的最后一次时刻。’

1. 记号使用 $τ_b$，但定义方程中仍指向水平 a；视频未对此作出说明。

主讲人将 $τ_b$ 定义为该过程最后一次击中水平 a 的时刻，即对所有满足 $W_t = a$ 的时刻 $t \ge 0$ 取上确界。

1. 该过程在 $t \ge 0$ 时被观测。

2. a 是击中时间示例中所使用的同一固定水平。

1. 击中时间／首次通过时间

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 τ_max = max_{$0 \le t \le T$} $W_t$，然后提问：“这是停时吗？”。

1. 按所写形式，右侧是该过程的一个最大值，而非一个时刻；视频未解决这一记号问题。

黑板在‘其他时刻：’下给出另一个候选对象 τ_max = max_{$0 \le t \le T$} $W_t$，并询问它是否为停时。所显示的公式本身表示该过程在区间 [0,T] 上的最大取值。

1. 最大值在 $0 \le t \le T$ 范围内取得。

2. 视频在本片段内未对该对象的含义作出明确解释。

1. 停时的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写有公式$\tau_{\max} = \max_{0 \le t \le T} W_t$。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“Max 就是……呃，我们在区间从零到 T 内达到过程最大值时就停止。”

$\tau_{\max}$定义为区间$[0, T]$内随机过程$W_t$达到其最大值的时间点。

1. 过程$W_t$定义在$[0, T]$上。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字：“是否停止，即事件{$τ \le t$}是 $F_t$ 可测的（{$τ \le t$}仅依赖于截至并包含时刻 t 的过程历史）。”

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，无法仅凭时刻$t$所掌握的信息来决定是否停止，因为未来取值未知。

随机时间$\tau$是一个停时，如果事件$\{\tau \le t\}$是$\mathcal{F}_t$-可测的，这意味着在时刻$t$决定是否停止，仅依赖于该过程截至时刻$t$的历史信息。

1. $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \ge 0}, P)$是一个带滤波的概率空间

1. 声音
   观察依据

   在提问 $T_a$ 是否为停时之后，主讲人给出了肯定回答，并解释道：由于过程的取值可观测，因此可以决定是否停止。

2. 公式
   观察依据

   手写问题‘这是停时吗？’附在 $T_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$} 旁。

3. 图示
   观察依据

   该图像标出了 $W_t$ 与水平线 a 的首次接触点。

1. 该论证以示例图像为依托进行非形式化阐述，而非给出完整的测度论证明。

对于所示过程，首中时 $T_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$} 是一个停时，因为在任意时刻 t，人们均可根据已观测到的历史路径判断该过程是否已触及水平 a。

1. 存在一个过程 $W_t$ 和一个固定水平 a。

2. 该决策基于截至并包含当前时刻的历史信息。

在本例所考虑的观测时刻下，事件‘$T_a$ 已于时刻 t 之前发生’由截至 t 的路径所决定。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，在时刻 t 我们能够判断是否应停止，因为我们可观测该过程，并且仅依据截至并包含 t 时刻的信息即可作出决定。

2. 公式
   观察依据

   黑板在 $τ_a$ = inf { $t \ge 0$ : $W_t = a$ } 旁提问：“这是停时吗？”。

对于击中时间 $τ_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$}，是否在时刻 t 停止的决策仅需依赖该过程截至并包含时刻 t 的历史信息，因此 $τ_a$ 满足停时判据。

1. $W_t$ 是所观测的随机过程。

2. $τ_a$ 被定义为满足 $t \ge 0$ 且 $W_t = a$ 的首个时刻 t。

3. 在时刻 t 可获得的信息是截至并包含时刻 t 的历史信息。

对每个观测时刻 t。

1. 声音
   观察依据

   主讲人总结道：“$τ_b$ 不是一个停时，因为在此时刻 t 我们缺乏足够信息来判断这是否为实际击中水平 a 的最后一次。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $τ_b$ = sup { $t \ge 0$ : $W_t = a$ }，并提问它是否为一个停时。

将 $τ_b$ = sup{$t \ge 0$ : $W_t = a$} 解释为过程击中水平 a 的最后时刻，它不是一个停时，因为要判断当前这次击中是否为最后一次，需要知晓该过程未来的演化信息。

1. $τ_b$ 被定义为所有满足 $W_t = a$ 的时刻 t 的上确界。

2. 该决策必须仅基于截至并包含当前时刻 t 的信息。

在过程处于水平 a 的任意当前时刻 t。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：‘那么这是一个停时吗？显然不是……我无法仅凭时刻小t所能获得的信息来决定在哪里停止。’

2. 图示
   观察依据

   该图示表明，仅知道截至时刻$t$的路径，并不能判断当前峰值是否为$[0, T]$上的全局最大值。

随机时间$\tau_{\max} = \arg\max_{0 \le t \le T} W_t$相对于$W_t$的自然滤波不是停时。

1. $W_t$是一个非平凡的随机过程（例如，布朗运动）

2. $T > 0$是一个固定的终止时刻

对所有$t < T$

1. 声音
   观察依据

   主讲人先提问 $T_a$ 是否为停时，随后推理指出：若过程已到达首中点，则可观测到其取值，从而可决定停止。

2. 图示
   观察依据

   该图像显示路径首次到达红色障碍〔a〕。

1. 这是对所展示样本路径的直观验证，并非针对所有过程和滤波的所有形式化证明。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从停时的定义出发：在时刻〔t〕，人们必须已经能够判断停时事件是否已经发生。

   步骤依据

   使用定义〔ki-stopping-time-def〕。

   视频直接表达
2. 公式

   $$T_a = \inf\{t \ge 0 : W_t = a\}$$
   解释

   将候选时间重写为过程首次等于水平〔a〕的时刻。

   步骤依据

   使用定义〔ki-hitting-time-def〕。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   在给定时刻，检查截至该时刻所观测到的路径，判断其是否已触及水平〔a〕。

   步骤依据

   该图像使截至当前时刻的路径历史变得可见。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   若路径已到达〔a〕，则停止决策可立即确定；无需依赖未来取值。

   步骤依据

   这与音频中的非正式解释相吻合。

   视频直接表达

因此，在本例中〔$T_a$〕被视为停时，因为击中事件仅凭截至当前时刻的过去信息即可判定。

1. 声音
   观察依据

   讲师解释道：在时刻 t，我们可以观测该过程，因此仅依据截至并包含 t 时刻的信息，即可决定是否停止。

2. 图示
   观察依据

   该图展示了路径 $W_t$ 和水平 a，支持了在 t 时刻前检查路径是否已到达 a 的想法。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从定义 $τ_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$} 出发。

   步骤依据

   这是所展示的击中时定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   在任意观测时刻 t，我们可检查截至时刻 t 的已实现路径，并判断该过程是否已击中水平 a。

   步骤依据

   讲师指出，我们可以观测该过程，并利用截至并包含时刻 t 所能获得的信息。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\{\tau_a \le t\}$$
   解释

   事件‘我们在时刻 t 前已停止’恰好等价于事件‘该过程在不晚于 t 的某个时刻击中了 a’。

   步骤依据

   这源于 $τ_a$ 定义中下确界（infimum）的含义。

   依据视频推导
4. 公式

   $$$$
   解释

   由于该事件仅由截至时刻 t 的历史决定，$τ_a$ 满足停时判据。

   步骤依据

   印刷版定义要求集合 {$τ \le t$} 仅依赖于截至并包含时刻 t 的历史。

   视频直接表达

$τ_a$ 是一个停时。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，当我们停留在路径上的某一点时，若不获知未来的轨迹，就无法判断此刻是否为最后一次到达水平 a 的时刻。

2. 图示
   观察依据

   该图展示了对水平 a 的多次穿越，并在其中一次穿越处放置了一个小人图标，用以说明我们对后续行为的不确定性。

1. 公式

   $$$$
   解释

   考虑当前时刻 t，此时过程恰好处于水平 a。

   步骤依据

   这与讲师所描述的‘站在路径上此处某点’的情形一致。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\tau_b = \sup\{t\ge 0: W_t = a\}$$
   解释

   要判断当前时刻是否为 $τ_b$，必须知道此后是否还存在某个时刻使得 W 再次等于 a。

   步骤依据

   这正是对所有到达水平 a 的时刻取上确界的意义。

   依据视频推导
3. 公式

   $$$$
   解释

   仅凭截至时刻 t 的历史信息无法回答这一问题，因为过程未来的演化是未知的。

   步骤依据

   讲师明确指出，我们并不具备后见之明，也无法预知未来将发生什么。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   因此，‘截至时刻 t 已停止’这一事件，并非仅由截至时刻 t 的信息所决定。

   步骤依据

   这与定义中所陈述的停时要求相矛盾。

   依据视频推导

$τ_b$ 不是一个停时。

1. 声音
   观察依据

   说话人在指向图像的同时，进行分步口头推理。

2. 图示
   观察依据

   视觉辅助图：一个火柴人站在某个中间峰值处，箭头表示未来的不确定性。

1. 公式

   $$$$
   解释

   假设我们处于某个时刻$t < T$，并观察到$W$在时刻$t$之前所走过的路径。

   步骤依据

   检验可测性条件的设定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   我们想知道当前观测到的最大值是否为在$[0, T]$上的真实最大值。

   步骤依据

   这对应于判断$\tau_{\max} \le t$是否成立。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   然而，过程$W$在剩余时间$(t, T]$内仍可能上升至超过当前最大值。

   步骤依据

   随机过程（如布朗运动）具有独立增量/未来不确定性的性质。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   因此，事件$\{\tau_{\max} \le t\}$无法仅凭历史信息$\mathcal{F}_t$来确定。

   步骤依据

   基于无法预测未来最大值所得出的结论。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   于是，$\tau_{\max}$不是一个停时。

   步骤依据

   对停时判定准则的否定。

   视频直接表达

$\tau_{\max}$不满足停时所需的适应性/可测性要求，因为判断最大值是否已达，需要知晓直至$T$的未来路径信息。

1. 图示
   观察依据

   一张图显示一条上下波动的黑色路径，标记为 $W_t$；一条水平的红线，标记为 a；以及首次相交点被高亮标出。

2. 声音
   观察依据

   讲述者描述该过程上下波动，并首次触及障碍水平 a。

1. 首次触及的确切数值坐标未在口述中给出；仅从图中可清晰看出水平 a 位于6附近。

给定已绘制的随机过程 $W_t$ 和水平线 a，请找出该过程首次到达 a 的时刻，并判断这是否定义了一个停时。

1. 在坐标轴上绘制了一条上下波动的路径 $W_t$。

2. 在图中画出一条水平障碍线 a。

3. 下方写有定义：$T_a = \inf$\{$t \ge 0$ : $W_t = a$\}。

求出达到水平 a 的首次击中时间，并检验它是否为一个停时。

1. 公式

   $$$$
   解释

   将该图视为该过程随时间演化的一个样本路径。

   步骤依据

   坐标轴及标记 $W_t$ 表明该曲线即为该过程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a$$
   解释

   将固定的水平线 a 识别为目标障碍。

   步骤依据

   图中红线标记为 a。

   视频直接表达
3. 公式

   $$T_a = \inf\{t \ge 0 : W_t = a\}$$
   解释

   定义路径首次等于障碍水平的时间。

   步骤依据

   这是屏幕上显示的手写公式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   找到黑色路径与红线的首个交点；该点在图上表示 $T_a$。

   步骤依据

   视觉高亮标出了首次接触水平 a 的时刻。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   得出结论：在该点做出停止决定，仅依赖于截至该时刻所观测到的路径。

   步骤依据

   讲话者明确指出，可以观测到该值，因此可以停止。

   视频直接表达

首达时 $T_a$ 是 $W_t$ 与水平 a 首次相交的时刻，在本例中它被呈现为一个停时。

通过将图像中图示的首次接触点与定义 $T_a = \inf$\{$t \ge 0$ : $W_t = a$\} 及停时判据（即该事件须由截至当前时刻的历史决定）进行比对，得以验证。

1. 公式
   观察依据

   黑板上在‘击中时间／首次通过时间’标题下写出 $τ_a$ = inf { $t \ge 0$ : $W_t = a$ }。

2. 声音
   观察依据

   讲师以该例作为第一个例子，并论证它是一个停时。

给定一个随机过程 $W_t$ 和一个固定水平 a，定义 $τ_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$}，并询问 $τ_a$ 是否为一个停时。

1. 一个随机过程 $W_t$。

2. 一个固定水平 a。

3. 定义 $τ_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$}。

判断 $τ_a$ 是否满足停时判据。

1. 公式

   $$\tau_a = \inf\{t\ge 0: W_t = a\}$$
   解释

   定义过程首次达到水平 a 的时刻。

   步骤依据

   这是所展示的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   在时刻 t，观察截至 t 的路径，并检查水平 a 是否已被到达。

   步骤依据

   主讲人指出，该决策仅使用截至并包含时刻 t 的所有可用信息。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\{\tau_a \le t\}$$
   解释

   该事件由截至时刻 t 的历史决定。

   步骤依据

   它记录了某个 $s \le t$ 满足 $W_s = a$。

   依据视频推导

是的，$τ_a$ 是一个停时。

该结论与印制的停时定义一致，该定义要求 {$τ \le t$} 仅依赖于截至时刻 t 的历史。

1. 公式
   观察依据

   黑板在“其他时刻：”下方写下 $τ_b$ = sup { $t \ge 0$ : $W_t = a$ }。

2. 声音
   观察依据

   主讲人口头将其定义为过程最后一次到达水平 a 的时刻，并得出结论：它不是一个停时。

1. 记号 $τ_b$ 与条件 $W_t = a$ 存在冲突；视频片段未解释下标 b 的选取原因。

定义 $τ_b$ = sup{$t \ge 0$ : $W_t = a$}，解释为过程最后一次到达水平 a 的时刻，并提问 $τ_b$ 是否为停时。

1. 一个随机过程 $W_t$。

2. 一个固定水平 a。

3. 定义 $τ_b$ = sup{$t \ge 0$ : $W_t = a$}。

判断 $τ_b$ 是否为停时。

1. 公式

   $$\tau_b = \sup\{t\ge 0: W_t = a\}$$
   解释

   将候选时间定义为过程取值等于 a 的所有时刻的上确界。

   步骤依据

   这就是屏幕上显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   在当前的击中时刻，判断这是否为对水平 a 的最后一次击中。

   步骤依据

   这是讲师重点强调的决策问题。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   该决策需要知道过程在未来是否还会再次击中 a。

   步骤依据

   讲师指出，若不了解未来的轨迹，我们就无法作出判断。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   由于答案依赖于未来的信息，停时判据不成立。

   步骤依据

   定义仅允许使用截至并包含当前时刻 t 的信息。

   依据视频推导

否，$τ_b$ 不是停时。

该推理直接应用了印刷版停时定义及讲师明确给出的结论。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片顶部展示一只手握着秒表，置于标题‘停时’及打印出的定义之上。

1. 秒表图像

2. 标题“停时”

3. 手写定义文字

1. 光标在说话人朗读定义时，高亮显示定义中的各部分。

1. 定义文字在整个时间段内持续显示在屏幕上。

秒表的视觉呈现直观强化了停时的核心含义：即根据已观测到的时间流逝来决定何时停止。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片下半部分展示一幅图表，其中一条上下波动的黑色曲线标记为 $W_t$，一条水平的红线标记为 a。

2. 动画
   观察依据

   约在122-128秒处，图表上方画出一个火柴人及箭头，指向该曲线与红线的首次交点。

1. 首次交点的精确横坐标未以数字形式标注。

1. 黑色路径 $W_t$

2. 红色水平线 a

3. 坐标轴

4. 火柴人标注

5. 箭头标注

1. 画面向下滚动，展示图像及手写的击中时间公式。

2. 在$W_t$与水平线a的首次交点处标记一个记号。

3. 添加一个箭头和一个火柴人，以强调击中时刻。

1. 水平线a保持固定，作为一道屏障。

2. 路径$W_t$是正在演化的对象，我们研究它首次接触a的时刻。

动画将首达时间定义为观测路径首次到达固定障碍的时间。

1. 图示
   观察依据

   一张图显示了纵轴标记为〔$W_t$〕、横轴标记为〔t〕的坐标系，一条锯齿状黑色路径标记为$W_t$，一条水平红色直线标记为a，以及位于该路径上方的火柴人图形，其箭头向下指向轨迹上的各点。

2. 动画
   观察依据

   在整个视频片段中，画面在定义/图像区域与手写示例之间滚动切换，且在较晚的时间点附近可见额外的火柴人标注。

1. 音频中未说明所标出各点的精确数值坐标，这些坐标仅能从图中大致估计。

1. 纵轴标记为〔$W_t$〕。

2. 横轴标记为〔t〕。

3. 一条标记为$W_t$的黑色锯齿状轨迹。

4. 一条标记为a的水平红色直线。

5. 带有向下箭头的火柴人图形，用于标示轨迹上的位置。

1. 页面在印刷体定义与手写示例之间滚动切换。

2. 视觉焦点从一般的停时定义转向$τ_a$、$τ_b$和τ_max的具体公式。

3. 额外的火柴人标注在讨论最后一次击中时间时，强调轨迹上不同的点。

1. 红色直线始终固定在水平位置〔a〕。

2. 轨迹 $W_t$ 在所有图像视图中都是同一条绘制路径。

该图示支持对首次到达与末次到达这两个概念的口头区分：到达水平位置〔a〕这一事件可仅凭当前时刻及之前的历史信息判定；但要识别路径最后一次访问水平位置〔a〕，则需知晓该路径的全部未来走势。

1. 图示
   观察依据

   一幅手绘图：一条锯齿状折线（$W_t$）围绕水平轴上下振荡，并与一条红色水平线（$a$）相交；不同时间点上画有代表观察者的简笔小人。

1. 代表$W_t$的锯齿状黑色线条

2. 代表水平值$a$的红色横线

3. 曲线上的小人图标

4. 表示时间推进与未来可能性的箭头

1. 关注点从一般性定义转向曲线上具体点，以阐释“历史”与“未来”的概念对比。

1. 所讨论的底层数学对象是随机过程的一个样本路径。

该图示表明：在任意中间点（小人图标处），若不观察路径其余部分（向右指向的箭头），就无法判断当前高度是否为全局最大值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们无需预知未来，即可决定是否停止。”

有人可能认为停时规则可以依赖当前时刻之后发生的事件。

视频强调：停时必须仅依据截至并包含当前时刻的历史信息来判定。

1. 声音
   观察依据

   主讲人反复对比两类决策：一类仅依赖截至时刻 t 的信息，另一类则需窥探未来。

2. 公式
   观察依据

   停时的定义明确指出：事件 {$τ \le t$} 仅依赖于截至并包含时刻 t 的历史信息。

人们可能认为，任何自然定义的随机时间自动就是停时。

停时必须仅凭截至当前时刻的历史信息即可判定。末次击中时间 $τ_b$ 不满足此要求，因为识别最后一次击中需要未来信息。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 τ_max = max_{$0 \le t \le T$} $W_t$，并提问这是否为一个停时。

1. 此项是分析师关于所展示记号的备注，并非视频片段中明确说出的更正。

符号 τ_max 暗示其为一个随机时间，但所展示的右端表达式 max_{$0 \le t \le T$} $W_t$ 实际表示的是该过程的最大值，而非一个时间点。

如果所指对象是最大值达到的时刻，更标准的定义应为类似 argmax_{$0 \le t \le T$} $W_t$ 的形式，或运行最大值首次达到的时刻。该视频片段本身并未消除这一歧义。

1. 公式
   观察依据

   $\tau_a$（击中时）与$\tau_{\max}$（最大值时刻）之间的对比

2. 声音
   观察依据

   主讲人明确提问：“这是停时吗？”，暗示该问题相较于前述例子更为常见或容易引起困惑。

学生可能误以为：既然击中水平$a$（$\tau_a$）是停时，那么找到最大值（$\tau_{\max}$）也应是停时。

达到固定水平$a$允许你在接触该水平时立即停止（仅需过去的信息即可）。而要找到最大值，则需要将当前值与直至$T$为止的所有未来值进行比较（需要未来的信息）。

1. 公式
   观察依据

   击中时间的定义直接放在停时定义的下方介绍。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提问击中时间是否为停时，随后回答“是”。

击中时间 $T_a$ 被引入，作为将抽象的停时定义应用于具体实例的范例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人得出结论：首次击中时间／首次通过时间确实是一个停时。

2. 公式
   观察依据

   公式 $T_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$} 被用于检验停时判据。

1. 该关系式源自视频中的示例，而非以完整形式化语言陈述的一般性定理。

在该片段中，$T_a$ 被呈现为停时的一个具体实例：过程首次到达某一固定水平的时间。

1. 公式
   观察依据

   示例 $τ_a$ 和 $τ_b$ 各自在停止时间定义展示之后，紧跟着提出问题：‘这是停止时间吗？’

击中时（hitting time）示例是依据停止时间的定义进行评估的。

1. 公式
   观察依据

   黑板在给出停止时间定义后，立即提问：$τ_b$ 是否为停止时间？

末次击中时（last-hit-time）示例同样通过检验停止时间判据来进行分类。

1. 声音
   观察依据

   讲师对比了首次击中时（可仅凭截至时刻 t 的信息判定）与末次击中时（无法仅凭截至时刻 t 的信息判定）。

2. 公式
   观察依据

   黑板并列写出 $τ_a$ = inf { $t \ge 0$ : $W_t = a$ } 与 $τ_b$ = sup { $t \ge 0$ : $W_t = a$ }。

二者均涉及对同一水平 a 的访问，但取下确界（infimum）的版本构成停止时间，而取上确界（supremum）的版本则不构成。

1. 声音
   观察依据

   将停时定义直接应用于$\tau_{\max}$这一具体例子。

将$\tau_{\max}$的定义代入停时的判定准则进行检验，结果是否定的。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片给出了停时的形式化定义。

1. 停时的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，判断是否停止无需预知未来。

1. 停时的定义
2. 混淆停时与需要未来信息才能做出的决策

1. 公式
   观察依据

   手写公式 $T_a$ = inf{$t \ge 0$ : $W_t = a$} 被展示。

1. 击中时 / 首达时的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人先提问 $T_a$ 是否为停时，随后给出了肯定的回答。

1. 击中时 / 首达时的定义
2. 首中时 $T_a$ 是一个停时。
3. 关于〔$T_a$〕满足停时条件的直观验证

1. 图示
   观察依据

   该图显示了随机过程 $W_t$ 穿越水平阈值 a。

1. 击中时间的图形示例
2. 击中水平 a 的图形示意

1. 公式
   观察依据

   黑板上清晰展示了停止时间的印刷版定义。

1. 停时的定义

1. 声音
   观察依据

   讲师解释为何击中时可仅依据截至时刻 t 的信息作出判定。

1. 击中时间／首次通过时间
2. 击中时间 $τ_a$ 是一个停时
3. 为什么 $τ_a$ 是一个停时

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，若无未来信息，我们无法判断当前这次击中是否为最后一次。

1. 最后一次击中时间
2. 末次击中时间 $τ_b$ 不是一个停时
3. 为什么 $τ_b$ 不是一个停时

1. 公式
   观察依据

   黑板上对相同的击中条件 $W_t = a$ 分别用 inf 定义 $τ_a$、用 sup 定义 $τ_b$。

1. 击中时间／首次通过时间
2. 最后一次击中时间
3. s150-cr-first-vs-last

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 τ_max = max_{$0 \le t \le T$} $W_t$，并提问它是否为停时。

1. 该片段未给出答案，也未澄清相关记号的含义。

1. 显示的 τ_max 公式
2. 所展示的 τ_max 公式存在记号歧义

1. 声音
   观察依据

   本视频片段所回答的核心问题。

1. $\tau_{\max}$的定义
2. $\tau_{\max}$不是一个停时
3. 证明概要：$\tau_{\max}$不是一个停时