运输问题 - 线性规划模型

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出 $X_{B1}$ = 从波士顿运往配送中心 DC1的单位数量。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“令 XB1 等于从波士顿运往配送中心 DC1的单位数量。”

$X_{B1}$

从波士顿运往配送中心 DC1的单位数量。

运输模型中非负的运货量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出 $X_{B2}$ = 从波士顿运往配送中心 DC2的单位数量。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“然后 XB2 从波士顿运往配送中心 DC2。”

$X_{B2}$

从波士顿运往配送中心 DC2的单位数量。

运输模型中非负的运货量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出 $X_{B3}$ = 从波士顿运往配送中心 DC3的单位数量。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“以及 XB3 运往配送中心 DC3。”

$X_{B3}$

从波士顿运往配送中心 DC3的单位数量。

运输模型中非负的运货量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出 $X_{T1}$ = 从多伦多运往配送中心 DC1的单位数量。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“类似地，对于多伦多，我们可以使用 XT1、XT2 和 XT3。”

$X_{T1}$

从多伦多运往配送中心 DC1的单位数量。

运输模型中的非负运货量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出 $X_{T2}$ = 从多伦多运往配送中心 DC2的单位数量。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“类似地，对于多伦多，我们可以使用 XT1、XT2 和 XT3。”

$X_{T2}$

从多伦多运往配送中心 DC2的单位数量。

运输模型中的非负运货量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出 $X_{T3}$ = 从多伦多运往配送中心 DC3的单位数量。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“类似地，对于多伦多，我们可以使用 XT1、XT2 和 XT3。”

$X_{T3}$

从多伦多运往配送中心 DC3的单位数量。

运输模型中的非负运货量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 X_{ij} = 从工厂 i 运往配送中心 j 的单位数量。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“令 Xij 等于单位数量……”后，视频片段在句子中途结束。

1. 语音定义在片段结尾处被截断，但屏幕上的公式是完整的。

X_{ij}

从工厂 i 运往配送中心 j 的单位数量的一般决策变量。

非负运货量；i 表示产地/工厂，j 表示目的地/配送中心。

1. 公式
   观察依据

   运输矩阵显示波士顿的供应量 = 300。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出波士顿的供应量或产能为 300 单位。

300

波士顿产地的供应量/产能。

可从波士顿发出的产品单位数。

1. 公式
   观察依据

   运输矩阵显示多伦多的供应量 = 500。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出多伦多的供应量或产能为 500 单位。

500

多伦多产地的供应量/产能。

可从多伦多发货的产品单位数。

1. 公式
   观察依据

   运输矩阵显示，配送中心1的需求量为200。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，各目的地的需求量分别为200、300和250。

200

目的地配送中心1的需求量。

配送中心1所需的产品单位数。

1. 公式
   观察依据

   运输矩阵显示，配送中心2的需求量为300。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，各目的地的需求量分别为200、300和250。

300

目的地配送中心2的需求量。

配送中心2所需的产品单位数。

1. 公式
   观察依据

   运输矩阵显示，配送中心3的需求量为250。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，各目的地的需求量分别为200、300和250。

250

目的地配送中心3的需求量。

配送中心3所需的产品单位数。

1. 声音
   观察依据

   讲解员将运输问题的目标定义为：在供应地（即产地）生产产品，并以最低总成本将其运送到有需求的目的地。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片显示‘供应地（产地）’指向‘需求地（目的地）’，并标注‘最低成本’。

运输问题探讨如何将货物从产地运往目的地，以满足全部需求，同时使总运输成本最小化。本片段中，产地即供应地，目的地即需求地。

1. 存在若干供应地／产地。

2. 存在若干需求地／目的地。

3. 目标是使成本最小。

1. 公式
   观察依据

   一张标有“发运地/目的地”的表格，行标题为波士顿和多伦多，列标题为DC1、DC2、DC3以及一列“供应量”，表格底部另有一行“需求量”。

2. 声音
   观察依据

   讲解者表示将为此运输矩阵写出一个线性规划（LP）模型，随后依次读出各发运地、供应量、各目的地、需求量及单位运输成本。

该矩阵将问题组织为：行表示发运地，列表示目的地，内部单元格为单位运输成本，最右列为供应能力，最底行为需求量。本例中，波士顿的供应量为300，多伦多的供应量为500，DC1、DC2、DC3的需求量分别为200、300、250。

1. 各行代表发运地（或工厂）。

2. 各列代表目的地（或配送中心）。

3. 内部单元格为单位运输成本。

4. 最右列的数值为供应量。

5. 最底行的数值为需求量。

1. 运输问题的目标

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“这些圆圈称为发运地节点……这些则是目的地节点。”随后又说：“从发运地指向目的地的箭头称为弧。”

2. 图示
   观察依据

   幻灯片绘制了两个发运地节点，分别标注为“波士顿”和“多伦多”；三个目的地节点，分别标注为“DC1”、“DC2”、“DC3”；并在每一对发运地与目的地之间画出有向箭头，箭头上标有对应运输成本。

运输问题可以绘制成一个二分网络：一侧为产地节点，另一侧为销地节点，每条有向弧从一个产地指向一个销地。节点标签标出供应量或需求量，弧标签标出单位运输成本。

1. 产地与销地分别表示为两个独立的节点集合。

2. 每条可行路线由一条弧表示。

3. 弧的方向为从产地指向销地。

1. 运输矩阵的数据布局

1. 公式
   观察依据

   幻灯片列出了 $X_{B1}$、$X_{B2}$、$X_{B3}$、$X_{T1}$、$X_{T2}$、$X_{T3}$，其定义为从各产地运往各配送中心的单位数量。

2. 声音
   观察依据

   讲解者用自然语言明确界定了每个变量。

针对一个具体的小规模实例，每条可能的运输路线都对应一个变量。此处六个变量分别表示从波士顿运往 DC1、DC2、DC3，以及从多伦多运往 DC1、DC2、DC3 的运量。

1. 每一对产地—销地组合对应一个变量。

2. 该变量衡量沿该路线运输的单位数量。

1. 运输问题的网络表示

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，决策变量的个数即为产地个数乘以销地个数。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $2 \times 3 = 6$。

若每个产地均可向每个销地发货，则决策变量的个数等于产地个数乘以销地个数。本例中有2个产地和3个销地，因此共有6个变量。

1. 该模型为每一条产-销路线设置一个变量。

2. 此处所展示的计数包含所有可能的产-销配对。

1. 小型运输模型中明确写出的决策变量

1. 声音
   观察依据

   讲解者介绍了一种简写形式，用于在逐一列出所有变量不便或变量过多时使用。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片显示：X_{ij} = 从第 i 个工厂运往第 j 个配送中心的单位数量。

1. 语音句子在视频片段结尾处被截断，但屏幕上显示的定义是完整的。

无需为每条路线单独命名，可采用双下标变量 X_{ij}，其中 i 标识工厂（产地），j 标识配送中心（销地）。这种紧凑记法可扩展应用于规模更大的运输问题。

1. i 用于标识产地/工厂。

2. j 用于标识销地/配送中心。

3. X_{ij} 表示路线 (i,j) 上的运货量。

1. 小型运输模型中明确写出的决策变量
2. 运输模型中决策变量的计数

1. 公式
   观察依据

   幻灯片定义了决策变量 X_{ij} = 从工厂 i 运往配送中心 j 的单位数量，并列出了六个具体变量：$X_{B1}$、$X_{B2}$、$X_{B3}$、$X_{T1}$、$X_{T2}$、$X_{T3}$。

2. 声音
   观察依据

   解说员解释说，下标 i 表示波士顿和多伦多，下标 j 表示配送中心1、配送中心2和配送中心3。

运输问题为每个起运地—目的地组合设置一个变量。本例中有两个起运地（波士顿、多伦多）和三个目的地（配送中心1、配送中心2、配送中心3），因此模型共使用六个运输变量。下标记号编码了运输路线：第一个下标表示工厂，第二个下标表示配送中心。

1. i 属于集合 {B, T}

2. j 属于集合 {1,2,3}

3. 每个变量代表某条特定路线上非负的运输数量。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示：最小化 $5X_{B1} + 6X_{B2} + 4X_{B3} + 6X_{T1} + 3X_{T2} + 7X_{T3}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出目标是最小化成本，并明确读出前几项。

3. 图示
   观察依据

   成本矩阵与网络边所标注的系数相同，均为5、6、4、6、3、7。

目标函数将每条运输路线上的单位运输成本乘以对应的运量变量后求和。各系数直接来自成本表及网络边上所标注的数值。视频强调，每条路线的成本在总和中仅出现一次。

1. 该模型旨在最小化总运输成本。

2. 各系数表示每个产地—销地对的单位运输成本。

1. 运输模型的决策变量

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示约束条件：$X_{B1}+X_{B2}+X_{B3} \le 300$ 且 $X_{T1}+X_{T2}+X_{T3} \le 500$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，每个工厂发出的总运量不得超过其产能。

3. 图示
   观察依据

   红色圆圈标出波士顿与多伦多，解释过程中同时高亮显示从这两地出发的边。

对每个工厂而言，从该工厂发出的所有运量之和不得超过该工厂的可供应量。由于总供应量大于总需求量，这些约束为不等式而非等式。

1. 每个产地节点对应一个约束条件。

2. 右端项为各工厂的产能。

3. 采用不等式形式，是因为供应量无需全部用尽。

1. 运输模型的决策变量

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上写有 $X_{B1}+X_{T1}=200$，$X_{B2}+X_{T2}=300$，$X_{B3}+X_{T3}=250$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，此处使用等式，是因为需求必须被满足，且供应量足以满足全部需求。

3. 图示
   观察依据

   每处配送中心的入边被高亮显示，同时对应的需求数值被圈出。

对每个配送中心而言，所有流入的运量之和必须恰好等于其标定的需求量。这为每个配送中心生成一个等式约束。

1. 每个目的地节点对应一个约束条件。

2. 采用等式形式，是因为需求必须被完全满足。

3. 可行性依赖于总供应量至少等于总需求量。

1. 运输模型的决策变量

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上写有 $X_{B1}$, $X_{B2}$, $X_{B3}$, $X_{T1}$, $X_{T2}$, $X_{T3} \ge 0$ 或 X_{ij} $\ge 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，非负性约束可以逐个变量列出，也可以简洁地写作 X_{ij} $\ge 0$（对所有 i 和 j）。

运货量不能为负数。模型可通过逐一列出全部六个变量，或对所有运输路线采用简洁的下标形式来表述这一点。

1. 适用于每一个决策变量。

2. 这是有效线性规划模型所必需的。

1. 运输模型的决策变量

1. 公式
   观察依据

   一个红色方框框住了完整模型：目标函数、供应约束、需求约束以及非负性约束。

2. 声音
   观察依据

   讲解者总结道：“这就是该线性规划模型。”

完整的线性规划模型包括：对所有运输路线变量的最小化目标函数、各产地的供应不等式约束、各销地的需求等式约束，以及非负性限制。视频将此呈现为运输问题的标准建模流程。

1. 两个产地和三个销地。

2. 总供应量超过总需求量。

3. 所有成本均按每单位货物在各条路线上运输给出。

1. 运输模型的决策变量
2. 目标函数：最小化总运输成本
3. 产地节点的供应约束
4. 目的地节点处的需求约束
5. 非负性约束

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出总供给超过总需求，因此运力不会被完全用尽。

2. 图示
   观察依据

   底部的红色对比显示$800 > 750$。

当总供给超过总需求时，产地侧约束写作 ≤ 而非 =，因为并非全部运力都必须被使用。

1. 总供给大于总需求。

2. 需求约束要求精确满足。

针对该运输问题实例，其供给为800，需求为750。

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出此处使用等式，是因为需求必须被满足，且供给充足足以满足全部需求。

2. 公式
   观察依据

   目的地侧约束写作等式，其右侧分别为200、300和250。

当每个目的地的需求必须被完全满足时，目的地侧约束写作等式。

1. 每个配送中心都有固定的需求数量。

2. 总供应量足以满足所有需求。

对于模型中的每个目的地节点 j。

1. 声音
   观察依据

   解说指出，若总供给等于总需求，则所有约束均可采用等式。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片文字显示：若总供给 = 总需求。

若运输问题中的总供应量等于总需求量，则该模型对所有供应约束和需求约束均可采用等式约束。

1. 该问题是一个运输问题。

2. 总供应量等于总需求量。

在供需平衡的情形下，所有供应与需求约束均适用。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片显示$800 > 750$。

2. 声音
   观察依据

   旁白指出，本题是一个供应大于需求的非平衡运输问题示例。

在原始数值示例中，总供应量800超过总需求量750，因此该问题是具有供应过剩的非平衡运输问题。

1. 波士顿的供应量为300。

2. 多伦多的供应量为500。

3. 华盛顿特区的需求量分别为200、300和250。

针对所展示的这个具体数值实例。

1. 声音
   观察依据

   旁白说，假设配送中心一的需求增加至300单位。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片随后显示800＜850。

3. 声音
   观察依据

   旁白说，需求超出供应50单位。

在配送中心1的需求从200增至300后，总需求变为850，而总供应仍为800，因此需求超出供应50单位。

1. 原始总供应量为800。

2. 原始配送中心1的需求为200。

3. 配送中心1的需求被更改为300。

针对修改后的数值实例。

1. 声音
   观察依据

   旁白说，这50个单位并不存在，因此其单位成本为零，且运输成本也为零，因为它们根本不会被运送。

2. 图示
   观察依据

   虚拟节点标记为$0。

3. 公式
   观察依据

   扩展后的目标函数包含+$0X_{D1}+0X_{D2}+0X_{D3}$。

在虚拟工厂模型中，虚拟供应代表不存在的单位，因此相应的单位成本和运输成本均设为零。

1. 引入一个虚拟工厂来弥补50个单位的短缺。

2. 虚拟运货代表未满足的需求，而非实际的运输。

对于所有从虚拟工厂到配送中心的运输路线。

1. 声音
   观察依据

   旁白指出：由于需求超过供应，所有可用的供应都将被耗尽。

2. 公式
   观察依据

   供应约束条件显示由 ≤ 改为 =。

1. 该片段口头陈述了结论并展示了供应端的变化，但并未提供形式化的证明。

在需求超过供应的情形下，替代模型将所有可用的真实供应视为完全使用，因此供应约束变为等式。

1. 总需求超过总供应。

2. 此替代模型中未引入虚拟节点。

针对修正示例中的真实植物。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明，决策变量的个数等于产地个数乘以销地个数。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片在所列的六个变量旁显示 $2 \times 3 = 6$。

1. 解释

   从视频中所述的路线变量计数规则出发。

   步骤依据

   由讲解者直接陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2\times 3=6$$
   解释

   将本例中的 2 个产地和 3 个销地代入该规则。

   步骤依据

   矩阵图与网络图均显示 2 个产地和 3 个销地。

   视频直接表达

该运输问题实例有 6 个决策变量，与屏幕上列出的六个具体路线变量一致。

1. 声音
   观察依据

   讲解者从决策变量出发，逐步推导出目标函数、约束条件、非负性要求，最后指出这就是该线性规划模型。

2. 公式
   观察依据

   各步骤按相同顺序依次出现在幻灯片上。

1. 公式

   $$X_{ij} = \#\text{ units shipped from Plant } i \text{ to DC } j$$
   解释

   为每条起讫地路线定义一个决策变量。

   步骤依据

   这是运输模型中表示运货量的标准方式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Min } 5X_{B1} + 6X_{B2} + 4X_{B3} + 6X_{T1} + 3X_{T2} + 7X_{T3}$$
   解释

   将每条路线的变量乘以其单位运输成本，并将所有项相加，从而构成目标函数。

   步骤依据

   目标是最小化总运输成本，各系数均来自成本表与网络图。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X_{B1}+X_{B2}+X_{B3} \le 300$$
   解释

   通过汇总所有从波士顿发出的运货量，写出波士顿的供应约束。

   步骤依据

   从任一起点流出的总流量不得超过其可用容量。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_{T1}+X_{T2}+X_{T3} \le 500$$
   解释

   通过汇总所有从多伦多发出的运货量，写出多伦多的供应约束。

   步骤依据

   从某个产地出发的总运出流量不能超过其可用产能。

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_{B1}+X_{T1}=200$$
   解释

   写出配送中心1的需求约束：对所有进入配送中心1的运货量求和。

   步骤依据

   每个目的地的需求必须恰好得到满足。

   视频直接表达
6. 公式

   $$X_{B2}+X_{T2}=300$$
   解释

   写出配送中心2的需求约束：对所有进入配送中心2的运货量求和。

   步骤依据

   每个目的地的需求必须恰好得到满足。

   视频直接表达
7. 公式

   $$X_{B3}+X_{T3}=250$$
   解释

   写出配送中心3的需求约束：对所有进入配送中心3的运货量求和。

   步骤依据

   每个目的地的需求必须恰好得到满足。

   视频直接表达
8. 公式

   $$X_{ij} \ge 0$$
   解释

   为所有路径变量添加非负性限制。

   步骤依据

   在实际运输模型中，运量不能为负数。

   视频直接表达

所得线性规划是一个最小化目标函数问题，其约束条件包括产地供应不等式、目的地需求等式以及非负性约束。

1. 声音
   观察依据

   旁白解释：向波士顿路线成本添加20，并向多伦多路线成本添加18。

2. 公式
   观察依据

   原始目标函数与更新后的目标函数均显示在屏幕上。

1. 公式

   $$5X_{B1}+6X_{B2}+4X_{B3}+6X_{T1}+3X_{T2}+7X_{T3}$$
   解释

   从幻灯片上显示的原始运输成本目标函数出发。

   步骤依据

   直接从初始公式展示中观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(5+20)X_{B1}+(6+20)X_{B2}+(4+20)X_{B3}$$
   解释

   向每个波士顿路线系数添加20，因为额外成本适用于从波士顿发出的每一单位货物。

   步骤依据

   音频中已说明，并由波士顿旁标注的$20予以佐证。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(6+18)X_{T1}+(3+18)X_{T2}+(7+18)X_{T3}$$
   解释

   向每个多伦多路线系数添加18，因为额外成本适用于从多伦多发出的每一单位货物。

   步骤依据

   音频中已说明，并由多伦多旁标注的$18予以佐证。

   视频直接表达
4. 公式

   $$25X_{B1}+26X_{B2}+24X_{B3}+24X_{T1}+21X_{T2}+25X_{T3}$$
   解释

   进行算术化简，得到屏幕上显示的更新后目标函数。

   步骤依据

   对上一行表达式直接进行数值化简。

   视频直接表达

更新后的目标是最小化$25X_{B1}+26X_{B2}+24X_{B3}+24X_{T1}+21X_{T2}+25X_{T3}$。

1. 公式
   观察依据

   表格列出了供应量300和500，以及需求量200、300和250。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片后续显示800大于750。

1. 公式

   $$300+500=800$$
   解释

   将波士顿和多伦多的供应量相加。

   步骤依据

   从表格的供应列中读取数据。

   视频直接表达
2. 公式

   $$200+300+250=750$$
   解释

   将DC1、DC2和DC3的需求量相加。

   步骤依据

   从表格的需求行中读取数据。

   视频直接表达
3. 公式

   $$800>750$$
   解释

   比较总供应量与总需求量。

   步骤依据

   对这两个总量进行数值比较。

   视频直接表达

原始实例供需不平衡，供应量比需求量多50单位。

1. 声音
   观察依据

   讲解词指出DC1的需求量增加至300单位。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片后续显示$800 < 850$。

1. 公式

   $$300+500=800$$
   解释

   总供应量保持不变。

   步骤依据

   新情景下，电厂的供应量未作调整。

   视频直接表达
2. 公式

   $$300+300+250=850$$
   解释

   在配送中心1需求由200变更为300后，重新计算总需求。

   步骤依据

   采用音频中说明并同时在屏幕上显示的更新后的配送中心1需求。

   视频直接表达
3. 公式

   $$800<850$$
   解释

   将保持不变的供应总量与新的需求总量进行比较。

   步骤依据

   数值比较。

   视频直接表达
4. 公式

   $$850-800=50$$
   解释

   计算需求超出供应的部分，即短缺量。

   步骤依据

   两项总量之差。

   依据视频推导

修改后的情形处于失衡状态，需求超出供应50个单位。

1. 图示
   观察依据

   新增一个虚拟节点，其供应量为50，成本为0美元。

2. 公式
   观察依据

   扩展模型展示了新变量 $X_{D1}$、$X_{D2}$、$X_{D3}$、新的目标函数项，以及一个虚拟供应约束。

1. 该片段在视觉上突出了虚拟添加部分，但并未单独证明扩展模型与原始意图等价。

1. 公式

   $$\text{Add } D \text{ with supply } 50$$
   解释

   引入一个容量等于短缺量的虚拟供应源。

   步骤依据

   音频中已说明，并在网络图中展示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X_{D1},\;X_{D2},\;X_{D3}$$
   解释

   为从虚拟供应源到各配送中心的运货添加决策变量。

   步骤依据

   在扩展后的变量列表和约束条件中展示。

   视频直接表达
3. 公式

   $$+0X_{D1}+0X_{D2}+0X_{D3}$$
   解释

   为目标函数中虚拟运输路径添加零成本项。

   步骤依据

   在更新后的目标函数中明确展示，并在音频中加以解释。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_{D1}+X_{D2}+X_{D3}\le 50$$
   解释

   为虚拟节点添加供应约束。

   步骤依据

   幻灯片中以“虚拟供应量”形式展示。

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_{B1}+X_{T1}+X_{D1}=300,\; X_{B2}+X_{T2}+X_{D2}=300,\; X_{B3}+X_{T3}+X_{D3}=250$$
   解释

   更新需求约束，将虚拟运输纳入其中。

   步骤依据

   在展开的需求约束模块中展示。

   视频直接表达

虚拟工厂模型将需求偏大的实例转化为一个扩展的运输模型，其中零成本的人工供应代表未满足的需求。

1. 公式
   观察依据

   该矩阵给出波士顿供应量 300、多伦多供应量 500、各需求量 200、300、250，以及成本项 5、6、4；6、3、7。

2. 声音
   观察依据

   讲解者先口读数据，再将其转化为网络图与决策变量列表。

1. 该片段仅完成模型构建，未求解最优运量。

给定两个工厂：波士顿和多伦多，以及三个配送中心：DC1、DC2、DC3，建立该运输问题的数据结构及线性规划（LP）模型所需的决策变量。

1. 波士顿的供应量 = 300。

2. 多伦多的供应量 = 500。

3. DC1的需求量 = 200。

4. DC2的需求量 = 300。

5. DC3的需求量 = 250。

6. 单位运输成本：波士顿→DC1 = 5，波士顿→DC2 = 6，波士顿→DC3 = 4，多伦多→DC1 = 6，多伦多→DC2 = 3，多伦多→DC3 = 7。

将该实例表示为运输矩阵，再表示为网络图，并定义线性规划（LP）建模所需的决策变量。

1. 公式

   $$\begin{array}{c|ccc|c}\text{From}\backslash\text{To}&\text{DC1}&\text{DC2}&\text{DC3}&\text{Supply}\\\hline\text{Boston}&5&6&4&300\\\text{Toronto}&6&3&7&500\\\hline\text{Demand}&200&300&250&\end{array}$$
   解释

   将单位成本置于矩阵内部，供应量置于最右列，需求量置于最底行。

   步骤依据

   这是视频中明确展示并讲解的矩阵形式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Nodes: Boston, Toronto, DC1, DC2, DC3; Arcs: }B\to DC1,\ B\to DC2,\ B\to DC3,\ T\to DC1,\ T\to DC2,\ T\to DC3$$
   解释

   将矩阵转化为二部网络图：每个产地和每个销地各对应一个节点，每条运输路线对应一条有向弧。

   步骤依据

   讲解员在介绍节点与弧之后，准确画出了这一网络图。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X_{B1},X_{B2},X_{B3},X_{T1},X_{T2},X_{T3}$$
   解释

   为每条运输路线定义一个变量，表示该路线运送的货物单位数量。

   步骤依据

   幻灯片与讲解明确赋予了这些变量上述含义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$2\times 3=6$$
   解释

   通过将起运地数量乘以目的地数量，得到变量总数。

   步骤依据

   讲解员陈述了这一计数规则，幻灯片同步展示了相应算式。

   视频直接表达
5. 解释

   用紧凑的带下标记号替代逐条列出的路线表示法。

   步骤依据

   最后一张幻灯片为规模更大的模型引入了这种简写形式。

   视频直接表达

该实例由给定的$2\times 3$成本/供应/需求矩阵表示，等价地也可用含5个节点和6条弧的二部网络表示；线性规划模型使用6个决策变量，这些变量可逐一列出，也可统一记作 X_{ij}。

所列六个变量与网络中的六条弧一一对应，且计数式$2\times 3=6$与矩阵中起运地—目的地配对的数量一致。

1. 图示
   观察依据

   本页幻灯片展示了一个具体的双产地、三目的地实例，包含运费表、各产地供应量、各目的地需求量以及网络图。

2. 声音
   观察依据

   讲解者将该具体实例建模为一个线性规划模型。

1. 考虑生产成本的最终扩展部分在本视频片段中开始讲解，但未完成。

根据给定的单位运输成本、供应量和需求量，建立一个包含两个工厂（波士顿和多伦多）与三个配送中心（DC1、DC2、DC3）的运输问题模型。

1. 单位运输成本：波士顿到DC1为5，波士顿到DC2为6，波士顿到DC3为4；多伦多到DC1为6，多伦多到DC2为3，多伦多到DC3为7。

2. 供应量：波士顿为300，多伦多为500。

3. 需求量：DC1为200，DC2为300，DC3为250。

4. 总供应量为800，总需求量为750。

写出以最小化总运输成本为目标的完整线性规划模型。

1. 公式

   $$X_{ij} = \#\text{ units shipped from Plant } i \text{ to DC } j$$
   解释

   引入六个路线变量：$X_{B1}$、$X_{B2}$、$X_{B3}$、$X_{T1}$、$X_{T2}$、$X_{T3}$。

   步骤依据

   每条可能的运输路线都需要一个独立的决策变量。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Min } 5X_{B1} + 6X_{B2} + 4X_{B3} + 6X_{T1} + 3X_{T2} + 7X_{T3}$$
   解释

   在目标函数中，将给定的单位成本作为对应变量的系数。

   步骤依据

   总成本等于各条路线的单位成本乘以该路线运输量之和。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X_{B1}+X_{B2}+X_{B3} \le 300$$
   解释

   通过波士顿的供应量约束其总出货量。

   步骤依据

   任一起点的出流量不得超过其可用供应量。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_{T1}+X_{T2}+X_{T3} \le 500$$
   解释

   通过多伦多的供应量约束其总出货量。

   步骤依据

   任一起点的出流量不得超过其可用供应量。

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_{B1}+X_{T1}=200$$
   解释

   要求配送中心1的总流入量等于其需求量。

   步骤依据

   每个目的地的需求必须得到完全满足。

   视频直接表达
6. 公式

   $$X_{B2}+X_{T2}=300$$
   解释

   要求配送中心2的总流入量等于其需求量。

   步骤依据

   每个目的地的需求必须得到完全满足。

   视频直接表达
7. 公式

   $$X_{B3}+X_{T3}=250$$
   解释

   要求配送中心3的总流入量等于其需求量。

   步骤依据

   每个目的地的需求必须得到完全满足。

   视频直接表达
8. 公式

   $$X_{ij} \ge 0$$
   解释

   对所有路径变量施加非负性约束。

   步骤依据

   负的发货量没有实际意义。

   视频直接表达

线性规划模型为：最小化 $5X_{B1}+6X_{B2}+4X_{B3}+6X_{T1}+3X_{T2}+7X_{T3}$，约束条件为 $X_{B1}+X_{B2}+X_{B3}\le 300$，$X_{T1}+X_{T2}+X_{T3}\le 500$，$X_{B1}+X_{T1}=200$，$X_{B2}+X_{T2}=300$，$X_{B3}+X_{T3}=250$，且 X_{ij}≥0。

各系数与所展示的成本表及网络边标签一致；右侧常数项与所展示的供应量和需求量一致；不等式/等式类型与讲解者所述‘供应量超过需求量，但所有需求必须被满足’的说明一致。

1. 公式
   观察依据

   该幻灯片展示了完整的初始线性规划模型，包括目标函数、供应约束、需求约束以及非负性约束。

2. 图示
   观察依据

   网络图显示波士顿和多伦多分别连接至配送中心1、配送中心2、配送中心3，并标出了各条路线的成本。

利用所显示的成本、供应量和需求量，为两个工厂和三个配送中心构建运输问题模型。

1. 波士顿的供应量 = 300。

2. 多伦多的供应量 = 500。

3. 配送中心1的需求量 = 200。

4. 配送中心2的需求量 = 300。

5. 配送中心3的需求量 = 250。

6. 各条路线的成本：波士顿→配送中心$1 = 5$，波士顿→配送中心$2 = 6$，波士顿→配送中心$3 = 4$，多伦多→配送中心$1 = 6$，多伦多→配送中心$2 = 3$，多伦多→配送中心$3 = 7$。

写出线性规划模型。

1. 公式

   $$\text{Min } 5X_{B1}+6X_{B2}+4X_{B3}+6X_{T1}+3X_{T2}+7X_{T3}$$
   解释

   在目标函数中，以各运输路线的成本作为对应运量变量的系数。

   步骤依据

   直接从所展示的模型中读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$X_{B1}+X_{B2}+X_{B3}\le 300$$
   解释

   用波士顿的供应量约束其总出货量。

   步骤依据

   表示为（波士顿的供应量）。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X_{T1}+X_{T2}+X_{T3}\le 500$$
   解释

   用多伦多的供应量约束其总出货量。

   步骤依据

   表示为（多伦多的供应量）。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_{B1}+X_{T1}=200$$
   解释

   在初始模型中，精确满足配送中心1的需求。

   步骤依据

   表示为（配送中心1的需求）。

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_{B2}+X_{T2}=300$$
   解释

   在初始模型中，精确满足配送中心2的需求。

   步骤依据

   表示为（配送中心2的需求）。

   视频直接表达
6. 公式

   $$X_{B3}+X_{T3}=250$$
   解释

   在初始模型中，精确满足配送中心3的需求。

   步骤依据

   显示为（DC3的需求）。

   视频直接表达
7. 公式

   $$X_{ij}\ge 0$$
   解释

   对所有运输变量施加非负性约束。

   步骤依据

   在幻灯片上展示，并在音频中说明。

   视频直接表达

初始线性规划问题为：最小化 $5X_{B1}+6X_{B2}+4X_{B3}+6X_{T1}+3X_{T2}+7X_{T3}$，约束条件为屏幕上显示的供应、需求及非负性约束。

数据隐含的总量为：供应量为800，需求量为750，与后续屏幕上的比较$800 > 750$一致。

1. 声音
   观察依据

   讲解中指出，需将20加到波士顿的产品成本上，将18加到多伦多的产品成本上。

2. 公式
   观察依据

   更新后的目标函数显示为：最小化 $25X_{B1}+26X_{B2}+24X_{B3}+24X_{T1}+21X_{T2}+25X_{T3}$。

当从波士顿发出的每单位货物额外增加成本20，且从多伦多发出的每单位货物额外增加成本18时，调整运输目标函数。

1. 波士顿原始路线成本分别为5、6、4。

2. 多伦多原始路线成本分别为6、3、7。

3. 波士顿额外成本 = 20/单位。

4. 多伦多额外成本 = 每单位18。

写出更新后的目标函数。

1. 公式

   $$5+20=25,\;6+20=26,\;4+20=24$$
   解释

   将20加到每条波士顿运输路线的系数上。

   步骤依据

   该额外成本统一适用于所有运往波士顿的货物。

   视频直接表达
2. 公式

   $$6+18=24,\;3+18=21,\;7+18=25$$
   解释

   将18加到每条多伦多运输路线的系数上。

   步骤依据

   该额外成本统一适用于所有运往多伦多的货物。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Min } 25X_{B1}+26X_{B2}+24X_{B3}+24X_{T1}+21X_{T2}+25X_{T3}$$
   解释

   将更新后的系数代入目标函数。

   步骤依据

   与屏幕上显示的公式一致。

   视频直接表达

最小化 $25X_{B1} + 26X_{B2} + 24X_{B3} + 24X_{T1} + 21X_{T2} + 25X_{T3}$。

每个更新后的系数等于对应原始系数加上所声明的产地级附加费。

1. 声音
   观察依据

   旁白提到：假设配送中心一的需求增加至300单位。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片显示变化后有$800 < 850$。

当直流1需求从200增加到300而供应量保持不变时，确定其对供需平衡的影响。

1. 总供应量 = 800。

2. 原始需求 = 200、300、250。

3. 新的直流1需求 = 300。

求出新的总需求及失衡类型。

1. 公式

   $$300+300+250=850$$
   解释

   替换后重新计算总需求 200 为 300 对于配送中心1。

   步骤依据

   使用视频片段中给出的更新后的需求值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$800<850$$
   解释

   将总供应量与新的总需求进行比较。

   步骤依据

   与屏幕上的对比结果一致。

   视频直接表达
3. 公式

   $$850-800=50$$
   解释

   计算短缺量。

   步骤依据

   需求与供应之间的算术差值。

   依据视频推导

总需求变为850，因此需求超出供给50个单位。

视频片段明确指出短缺为50个单位，并显示$800 < 850$。

1. 图示
   观察依据

   向网络中添加一个供应量为50、单位成本为$0的虚拟节点。

2. 公式
   观察依据

   扩展后的模型显示+$0X_{D1}+0X_{D2}+0X_{D3}$，以及$X_{D1}+X_{D2}+X_{D3}\le 50$。

1. 该视频片段未对线性规划进行数值求解，仅构建了虚拟节点扩展模型。

通过引入虚拟工厂，对需求超出供给的情形进行重构。

1. 短缺 = 50个单位。

2. 虚拟供应量 = 50。

3. 虚拟单位成本 = 0。

4. 实际运输路线的成本在更新后的目标函数中保持不变。

在线性规划中加入虚拟变量、虚拟成本项、虚拟供应约束以及更新后的需求约束。

1. 公式

   $$\text{Add } D \text{ with supply } 50$$
   解释

   创建一个等于短缺量的虚拟供应源。

   步骤依据

   音频中已说明，并在图中展示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$+0X_{D1}+0X_{D2}+0X_{D3}$$
   解释

   为虚拟运量添加零成本的目标函数项。

   步骤依据

   在扩展后的目标函数中展示，并解释为不存在的单位。

   视频直接表达
3. 公式

   $$X_{D1}+X_{D2}+X_{D3}\le 50$$
   解释

   添加虚拟供应约束。

   步骤依据

   以（虚拟供应量）形式显示。

   视频直接表达
4. 公式

   $$X_{B1}+X_{T1}+X_{D1}=300$$
   解释

   更新配送中心1的需求量，以包含虚拟运量。

   步骤依据

   在扩展后的需求约束中展示。

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_{B2}+X_{T2}+X_{D2}=300$$
   解释

   更新配送中心2的需求量，以包含虚拟运量。

   步骤依据

   在扩展后的需求约束中展示。

   视频直接表达
6. 公式

   $$X_{B3}+X_{T3}+X_{D3}=250$$
   解释

   更新配送中心3的需求量，以包含虚拟运量。

   步骤依据

   在扩展后的需求约束中展示。

   视频直接表达

扩展模型增加了变量 $X_{D1}$、$X_{D2}$、$X_{D3}$，零成本目标项，约束条件 $X_{D1}+X_{D2}+X_{D3}\le 50$，以及需求方程内部的哑元项。

哑元供应量50恰好等于先前计算出的短缺量850减800，即50。

1. 图示
   观察依据

   标题页显示“线性规划／运输问题”，随后一幅简单图示呈现“供应地（起运地）→ 需求地（目的地），以最小化运输成本”。

2. 声音
   观察依据

   讲解员引出本主题，并指出目标是使从起运地到目的地的运输成本最小化。

1. 标题文字

2. 供应地（产地）

3. 需求地（销地）

4. 箭头

5. 最小成本标签

1. 幻灯片首先呈现标题，随后添加从产地到销地的示意图。

2. 箭头在最小化成本的目标下，直观地连接供应与需求。

1. 产地始终位于左侧，销地始终位于右侧。

2. 目标标签保持为“最小成本”。

该图示将运输问题定义为：以最低成本将货物从源点运往汇点。

1. 图示
   观察依据

   出现一个运输矩阵；红色方框和椭圆依次高亮显示供应列、配送中心（DC）表头、需求行以及内部成本区域。

2. 声音
   观察依据

   讲解员依次读出供应量、需求量，并解释内部成本项的含义。

1. 运输矩阵

2. 波士顿行

3. 多伦多行

4. 华盛顿特区1/华盛顿特区2/华盛顿特区3列

5. 供应量列

6. 需求量行

7. 内部成本单元格

1. 首先突出显示供应量列。

2. 接着突出显示目的地表头。

3. 然后突出显示需求量行。

4. 最后将内部成本区域加框，并单独标出其中一个单元格作为示例。

1. 矩阵维度保持为2个产地乘以3个目的地。

2. 高亮显示过程中，数值数据保持不变。

高亮显示帮助学习者理解运输表格的读法：行代表产地，列代表销地，侧边条目代表供应量/需求量，内部条目代表单位运价。

1. 动画
   观察依据

   首先出现两个产地圆圈，然后出现三个销地圆圈，接着显示供应量/需求量标签，最后显示全部六条带运价的有向弧。

2. 声音
   观察依据

   讲解员在为圆圈命名节点、为箭头命名弧的同时，分别标注容量、需求量和运输成本。