从图像判断双侧极限｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   表达式 $f(x)$ 写在右上角的题目中，并在整个视频中作为正在考虑其极限的函数被提及。

2. 图示
   观察依据

   坐标平面上的蓝色曲线标记为 $f$，代表该函数的图像。

f(x)

函数 f 在输入 x 处的值。

图中函数在输入 3 附近接受考察；显示窗口不能确定完整定义域。

1. 公式
   观察依据

   变量 x 出现在表达式 $x \to 3$ 和 $x \to 3^-$ 中。

2. 图示
   观察依据

   坐标平面的水平轴标记为 x。

x

函数 f 的自变量或输入值。

x \in \mathbb{R}

1. 公式
   观察依据

   屏幕上写有记号 $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论极限算子，表示当输入趋近于某一点时函数所趋近的值。。

\lim

极限算子，表示当输入趋近于某一点时函数所趋近的值。

N/A

1. 公式
   观察依据

   一个小减号作为上标写在 $x \to 3^-$ 中的 3 旁边。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论表示左极限或左侧极限，意味着输入从严格小于目标值的数值趋近于目标值。。

^-

表示左极限或左侧极限，意味着输入从严格小于目标值的数值趋近于目标值。

N/A

1. 公式
   观察依据

   屏幕右侧的极限表达式中，函数写作 f(x)。

2. 图示
   观察依据

   左侧的图表在曲线附近标有斜体 f。

f(x)

输入 x 时绘制函数的因变量值。

图形显示范围大致为 x=-9 到 x=9；片段重点关注 x=3 附近的行为。

1. 公式
   观察依据

   变量 x 出现在 x -> 3, x -> 3^-, 和 x -> 3^+ 中。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论从两侧趋近于 3 的自变量。。

x

从两侧趋近于 3 的自变量。

图表上的实数水平坐标。

1. 公式
   观察依据

   右上角的表达式读作 lim_{x -> 3} f(x)。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论当 x 趋近于 3 时 f(x) 的双侧极限。。

lim_{x -> 3} f(x)

当 x 趋近于 3 时 f(x) 的双侧极限。

通常有限双侧极限要求两侧有限极限均存在且等于同一个实数。

1. 公式
   观察依据

   右中部的表达式读作 lim_{x -> 3^-} f(x) = 4。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论当 x 从小于 3 的值趋近于 3 时 f(x) 的左极限。。

lim_{x -> 3^-} f(x)

当 x 从小于 3 的值趋近于 3 时 f(x) 的左极限。

相对于 3 的负方向单侧极限。

1. 公式
   观察依据

   右下角的表达式在片段中完成为 lim_{x -> 3^+} f(x) = 1。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论当 x 从大于 3 的值趋近于 3 时 f(x) 的右极限。。

lim_{x -> 3^+} f(x)

当 x 从大于 3 的值趋近于 3 时 f(x) 的右极限。

相对于 3 的正方向单侧极限。

1. 公式
   观察依据

   上标 '-' 和 '+' 出现在单侧极限记号中的 3 上。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论指示从下方（左）或上方（右）趋近于 3 的方向标记。。

3^- , 3^+

指示从下方（左）或上方（右）趋近于 3 的方向标记。

仅用于单侧极限记号内。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上写有表达式 $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论左极限。

左极限用目标值右上角的负号表示，例如 $x \to 3^-$。它描述函数 $f(x)$ 所趋近的值：输入 $x$ 从左侧无限接近目标，也就是始终取小于该目标的值。

1. 输入沿定义域中严格小于 c 的值趋近 c。

2. 本题图像在目标左侧的邻近区间上有定义；更一般地，c 应当是定义域的左侧聚点。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论通过图像评估极限。

2. 动画
   观察依据

   一个红点沿着蓝色曲线从左向右移动趋向 x=3，虚线将其位置投影到 x 轴和 y 轴上。

要从图像中评估单侧极限，请从目标 x 值适当一侧的某个 x 值开始追踪曲线，并向目标 x 值移动。观察曲线趋近的相应 y 值。函数在目标 x 坐标处的实际 y 值（如果存在）不影响极限。

1. 在目标 x 值附近可获得函数的可视化图像

1. 左极限

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论从图表读取右极限。

2. 公式
   观察依据

   右下角的表达式逐步写出，最终为 lim_{x -> 3^+} f(x) = 1。

3. 图示
   观察依据

   图表显示右分支上 (3,1) 处有一个实心蓝点，并有指向 y=1 和 x=3 的虚线引导线。

为了估计 lim_{x -> 3^+} f(x)，请跟随 x>3 的图表分支，观察当 x 从右侧向 3 移动时 f(x) 趋近的 y 值。在此片段中，采样点 x=5, x=4, 和 x=3.5 使演讲者得出趋近值为 1 的结论。

1. 使用图表中 x>3 的部分。

2. 结论基于对显示图表的视觉估计。

1. lim_{x -> 3^+} f(x)
2. f(x)
3. x

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论双侧极限存在的准则。

2. 公式
   观察依据

   画面显示 lim_{x -> 3^-} f(x) = 4 与 lim_{x -> 3^+} f(x) = 1；上方是双侧极限表达式 lim_{x -> 3} f(x)。

3. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论双侧极限存在的准则。

只有当左极限和右极限相等时，双侧极限才存在。如果那些单侧极限趋近于不同的数字，则双侧极限不存在。

1. 在实数区间内考察目标位置的两侧。

2. 通常有限双侧极限要求两侧有限极限均存在且等于同一个实数。

1. lim_{x -> 3} f(x)
2. lim_{x -> 3^-} f(x)
3. lim_{x -> 3^+} f(x)

1. 图示
   观察依据

   在 x=3 处，图表在左分支的 (3,4) 处有一个空心圆，在右分支的 (3,1) 处有一个实心圆。

2. 公式
   观察依据

   写出的单侧极限赋予不同的值：左侧为 4，右侧为 1。

3. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论x=3 处跳跃间断点的视觉特征。

图表在 x=3 处显示出一个断裂：左分支趋近于高度 4 但不包含该端点，而右分支从高度 1 开始并带有实心端点。这种趋近高度的不匹配正是双侧极限不存在的原因。

1. 解释基于 x=3 附近显示的图表。

2. 空心圆表示排除该端点；实心圆表示包含该端点。

1. 双侧极限存在的准则
2. x=3 附近的图表结构

1. 公式
   观察依据

   右中部的手写陈述读作 lim_{x -> 3^-} f(x) = 4。

2. 图示
   观察依据

   左分支趋近于 (3,4) 处的空心圆，并有指向 y=4 和 x=3 的虚线引导线。

\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4

1. 使用图表中 x<3 的分支。

2. 从左侧趋近 x=3。

对于通过小于 3 的值趋近于 3 的 x。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论x=3 处的右极限。

2. 公式
   观察依据

   右下角的手写陈述完成为 lim_{x -> 3^+} f(x) = 1。

3. 图示
   观察依据

   右分支在 (3,1) 处有一个实心点，并有指向 y=1 和 x=3 的虚线引导线。

\lim_{x \to 3^+} f(x) = 1

1. 使用图表中 x>3 的分支。

2. 从右侧趋近 x=3。

对于通过大于 3 的值趋近于 3 的 x。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论x=3 处双侧极限的不存在性。

2. 公式
   观察依据

   右上角的表达式 lim_{x -> 3} f(x) 被标注为“不存在”。

3. 公式
   观察依据

   显示的单侧极限不相等：4 和 1。

\lim_{x \to 3} f(x) \text{ does not exist.}

1. \lim_{x \to 3^-} f(x) = 4

2. \lim_{x \to 3^+} f(x) = 1

3. 4 \neq 1

涉及对 x=3 的双侧趋近。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论从图像推导左极限。

2. 公式
   观察依据

   最终结果 $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$ 写在屏幕上。

3. 动画
   观察依据

   红点追踪曲线，水平虚线趋近于 y=4。

1. 公式

   $$x \to 3^-$$
   解释

   确定目标 x 值 (3) 和趋近方向（从左侧，或小于 3 的值）。

   步骤依据

   左极限的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(2.5) = 5, f(2.75) \approx 4.5$$
   解释

   把图中目标附近的采样读数视为图像估计，不作为未知代数函数的精确求值。

   步骤依据

   函数值的图形化评估。

   补充解释
3. 公式

   $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$$
   解释

   观察到当 x 从左侧越来越接近 3 时，曲线的 y 值趋近于 4。(3, 4) 处的空心圆圈证实了这一目标 y 值。

   步骤依据

   图像向点 (3, 4) 的视觉收敛。

   视频直接表达

当 x 趋近于 3 时，f(x) 的左极限是 4。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论从采样点估计右极限。

2. 图示
   观察依据

   光标沿着右分支追踪至 (3,1) 处的实心点。

3. 公式
   观察依据

   右下角的极限表达式完成为 lim_{x -> 3^+} f(x) = 1。

1. x=5, x=4, 和 x=3.5 处的确切中间 y 值未在屏幕上以数字形式写出；仅讨论了它们的趋势。

1. 解释

   确定任务是求当 x 从大于 3 的值趋近于 3 时的极限。

   步骤依据

   在片段开头的音频中直接陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=5$$
   解释

   查看右分支上 x=5 处的绘图点并注意其高度。

   步骤依据

   相应时间范围内的口头读图说明支持这一步。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x=4$$
   解释

   更靠近 x=3 并检查同一分支上的对应点。

   步骤依据

   相应时间范围内的口头读图说明支持这一步。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=3.5$$
   解释

   取一个更近的样本并观察函数值略低于 2。

   步骤依据

   相应时间范围内的口头读图说明支持这一步。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 1$$
   解释

   得出结论，当 x 从右侧趋近于 3 时，f(x) 趋近于 1。

   步骤依据

   相应时间范围内的口头读图说明支持这一步。

   视频直接表达

右极限被视觉估计为 1。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论利用单侧极限决定双侧极限。

2. 公式
   观察依据

   画面显示 lim_{x -> 3^-} f(x) = 4 与 lim_{x -> 3^+} f(x) = 1；上方是双侧极限表达式 lim_{x -> 3} f(x)。

3. 公式
   观察依据

   短语“不存在”写在双侧极限旁边。

1. 解释

   回忆准则：只有当左极限和右极限相等时，双侧极限才存在。

   步骤依据

   相应时间范围内的口头读图说明支持这一步。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$$
   解释

   记录板上显示的左极限值。

   步骤依据

   可见于中间的手写方程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 1$$
   解释

   记录刚刚推导出的右极限值。

   步骤依据

   可见于底部的手写方程，并由之前的图表读取支持。

   视频直接表达
4. 公式

   $$4 \neq 1$$
   解释

   比较两个单侧极限并注意它们不同。

   步骤依据

   对显示值的即时数值比较。

   依据视频推导
5. 公式

   $$\lim_{x \to 3} f(x) \text{ does not exist}$$
   解释

   应用存在准则得出双侧极限不存在的结论。

   步骤依据

   演讲者在对比左右趋近后直接陈述了这一结论。

   视频直接表达

因为单侧极限不相等，所以 x=3 处的双侧极限不存在。

1. 图示
   观察依据

   整个视频专注于评估坐标平面上绘制的特定分段函数的极限。

2. 公式
   观察依据

   题目 $\lim_{x \to 3} f(x)$ 和部分解答 $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$ 写在屏幕上。

给定函数 f 的图像，确定 $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ 的值。

1. 提供了函数 f 在笛卡尔坐标系上的图像。

2. 函数在 x=3 处不连续，(3, 4) 处有一个空心圆圈，(3, 1) 处有一个实心圆圈。

求当 x 趋近于 3 时左极限的数值。

1. 公式

   $$\text{Trace the curve for } x < 3 \text{ towards } x = 3$$
   解释

   从小于 3 的 x 值（例如 x=2.5）开始，沿蓝色曲线向 x=3 移动。

   步骤依据

   这在视觉上代表了 x 从左侧趋近于 3。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Observe the y-values}$$
   解释

   在所采样的目标附近区间，显示值由约 5、约 4.5 趋近 4；这不表示整条分支都单调。

   步骤依据

   读取曲线相对于 y 轴的垂直位置。

   补充解释
3. 公式

   $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$$
   解释

   曲线趋近于位于坐标 (3, 4) 的空心圆圈。因此，它趋近的 y 值是 4。

   步骤依据

   极限的定义取决于函数在该点附近的行为，而不是在该点本身的行为。

   视频直接表达

4

对图像的视觉追踪清楚地显示曲线收敛到 x=3 处空心圆圈的 y 坐标，即 4。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论从图表确定 lim_{x -> 3} f(x) 是否存在。

2. 图示
   观察依据

   全程使用在 x=3 处有跳跃的坐标图。

3. 公式
   观察依据

   右侧写了三个极限陈述：双侧极限、左极限和右极限。

给定显示的 f 图表，确定 x=3 处的右极限并判断双侧极限是否存在。

1. 在 x=3 处有断裂的 f 图表。

2. 左分支趋近于 (3,4) 处的空心圆。

3. 右分支趋近于 (3,1) 处的实心圆。

4. 屏幕上已写出：\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4。

求 \lim_{x \to 3^+} f(x) 并利用单侧极限决定 \lim_{x \to 3} f(x) 的状态。

1. 公式

   $$\text{Inspect } x>3 \text{ branch}$$
   解释

   跟随输入大于 3 的图表部分，当它们向 3 移动时。

   步骤依据

   这是右极限的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=5,\ x=4,\ x=3.5$$
   解释

   在右分支上采样几个点以查看 f(x) 的趋势。

   步骤依据

   演讲者在追踪图表时明确提到了这些 x 值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 1$$
   解释

   从趋势和 (3,1) 处的实心端点得出结论，右极限是 1。

   步骤依据

   由口头估计和最终手写方程共同支持。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4 \neq 1 = \lim_{x \to 3^+} f(x)$$
   解释

   比较左极限和右极限。

   步骤依据

   两个值都显示在板上。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\lim_{x \to 3} f(x) \text{ does not exist}$$
   解释

   由于单侧极限不同，双侧极限不存在。

   步骤依据

   这是演讲者陈述并写在屏幕上的准则。

   视频直接表达

\lim_{x \to 3^+} f(x)=1，因此 \lim_{x \to 3} f(x) 不存在。

检查左极限和右极限值是否不相等；不相等的单侧极限意味着双侧极限不存在。

1. 动画
   观察依据

   一个红点出现在蓝色曲线上，并向右移动趋向 x=3。红色虚线动态地将该点连接到 x 轴和 y 轴。

1. 红点

2. 蓝色曲线

3. 红色虚线

4. x 轴

5. y 轴

1. 红点沿蓝色曲线从左向右移动。

2. 垂直虚线沿 x 轴向右移动趋向 x=3。

3. 水平虚线沿 y 轴向下移动趋向 y=4。

1. 红点始终保持在蓝色曲线上。

2. 虚线始终垂直连接红点与坐标轴。

此动画通过展示当输入（x 值）从左侧趋近于目标值时函数的输出（y 值）如何变化，直观地演示了左极限的概念。

1. 图示
   观察依据

   屏幕左侧显示一个笛卡尔图，x 轴从 -9 到 9，y 轴从 -9 到 9。

2. 图示
   观察依据

   在 x=3 附近，左分支的 (3,4) 处有一个空心圆，右分支的 (3,1) 处有一个实心圆。

3. 图示
   观察依据

   虚线引导线将这些端点圆连接到 x=3 处的轴以及相应的 y 值 4 和 1。

1. 坐标轴

2. f 的图表

3. (3,4) 处的空心圆

4. (3,1) 处的实心圆

5. 指向轴的虚线引导线

1. 光标沿着右分支从较大的 x 值向 x=3 移动。

2. 右下角的极限表达式逐步完成，直到读作 =1。

3. 右上角的双侧极限被标注为“不存在”。

1. 左分支继续指示趋近于高度 4。

2. 右分支继续指示趋近于高度 1。

3. 这两个高度之间的不匹配在整个过程中保持可见。

该图像编码了在同一 x 值处不同的单侧极限行为，这是双侧极限失败的几何原因。

1. 动画
   观察依据

   右下角的表达式从 'lim' 逐步构建到 'lim_{x -> 3^+} f(x)'，最后到 '=1'。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论右极限陈述的分步构建。

1. 手写极限记号

2. 右侧面板上的光标/笔位置

1. 首先出现极限算子。

2. 然后添加 x -> 3^+。

3. 接着写出 f(x)。

4. 最后 =1 完成陈述。

1. 趋近的目标点在整个过程中保持为从右侧趋近 x=3。

动画将口头图表读取过程转化为正式的单侧极限记号。

1. 动画
   观察依据

   在比较单侧极限后，“不存在”这几个字写在 lim_{x -> 3} f(x) 旁边。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论双侧极限不存在性的标注。

1. 右上角表达式 lim_{x -> 3} f(x)

2. 手写短语“不存在”

1. 之前空白的双侧极限表达式收到了最终的状态标注。

1. 单侧极限值 4 和 1 在板上保持不变。

视觉标注记录了单侧极限比较的逻辑结果。

1. 图示
   观察依据

   图像在 (3, 1) 处显示一个蓝色实心圆圈，在 (3, 4) 处显示一个蓝色空心圆圈。正在计算的极限是 4。

1. 这种误解是根据学生在评估具有跳跃间断点的图像极限时的常见错误推断出来的；视频中并未明确说明。

学生可能会错误地认为当 x 趋近于 3 时的极限是 1，因为 (3, 1) 处的实心点表明 f(3) = 1。

极限描述的是当 x 无限接近 3 时函数所趋近的值，而不是函数在 x=3 处的确切值。对于左极限，我们只查看 x < 3 时曲线的行为，它趋近于 y=4 处的空心圆圈。

1. 图示
   观察依据

   图表在 (3,4) 处包含一个空心圆，在 (3,1) 处包含一个实心圆，因此 x=3 处的函数值与单侧极限值不是同一种对象。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论不要混淆 f(3) 与双侧极限。

1. 这一警告是分析师添加的澄清；视频并未明确命名这一误解。

学习者可能认为 x=3 处的函数值自动决定了 lim_{x -> 3} f(x)。

双侧极限取决于 f(x) 从两侧趋近的值，而不仅仅是 x=3 处的单个绘图值。在这里，图表显示从左侧和右侧趋近的高度不同，因此无论 (3,1) 处是否有实心点，双侧极限都不存在。

1. 公式
   观察依据

   板区分了 \lim_{x -> 3^-} f(x)=4 和 \lim_{x -> 3^+} f(x)=1 与关于 f(3) 的任何直接陈述。

2. 图示
   观察依据

   (3,4) 处的空心圆和 (3,1) 处的实心圆直观地显示了端点的排除/包含。

1. 这是分析师添加的提醒，并非片段中单独口述的警告。

学习者可能将实心或空心点本身视为极限，而不考虑趋近的方向。

每个单侧极限由 x 趋近于 3 时所跟随的分支决定。(3,4) 处的空心圆支持左极限 4，而 (3,1) 处的实心圆支持右极限 1。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论图中的极限步骤。

2. 动画
   观察依据

   红点追踪曲线直接将几何路径与趋近于某个值的代数概念联系起来。

应用图形评估的方法来确定由记号定义的左极限的具体值。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论图中的极限步骤。

2. 公式
   观察依据

   底部方程在顶部方程被标注“不存在”之前完成。

在应用双侧极限的存在准则之前，需要右极限值。

1. 图示
   观察依据

   x=3 处具有不同趋近高度的视觉断裂是整个片段使用的核心图像。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论图中的极限步骤。

图表提供了应用一般双侧极限存在规则的具体案例。

1. 公式
   观察依据

   板将 lim_{x -> 3} f(x) 放在两个单侧陈述之上，然后将顶部标记为不存在。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论图中的极限步骤。

双侧极限通过要求两个方向趋近的一致性而与每个单侧极限区分开来。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论图中的极限步骤。

2. 公式
   观察依据

   记号 $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ 被写出并求解。

1. 左极限
2. 通过图像评估极限
3. 从图像推导左极限

1. 图示
   观察依据

   图像清晰地显示了 (3, 4) 处的空心圆圈和 (3, 1) 处的实心圆圈，且计算出的极限是 4。

1. 通过图像评估极限
2. 混淆函数值与其极限

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论图中的极限步骤。

2. 公式
   观察依据

   结果写为 \lim_{x \to 3^+} f(x)=1。

1. 从图表读取右极限
2. x=3 处的右极限
3. 从采样点估计右极限

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论图中的极限步骤。

2. 公式
   观察依据

   显示的单侧极限是 4 和 1，顶部极限被标记为“不存在”。

1. 双侧极限存在的准则
2. x=3 处双侧极限的不存在性
3. 利用单侧极限决定双侧极限

1. 图示
   观察依据

   图表在 (3,4) 处显示空心圆，在 (3,1) 处显示实心圆。

2. 公式
   观察依据

   这些分别对应板上写出的左极限和右极限值。

1. x=3 处跳跃间断点的视觉特征
2. x=3 附近的图表结构
3. x=3 处的左极限
4. x=3 处的右极限

1. 图示
   观察依据

   图表在 (3,1) 处包含一个实心点，而左分支以空心端点趋近于 (3,4)。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论图中的极限步骤。

1. 这个搜索目标反映了由视觉支持的常见学习者问题，尽管视频并未将其表述为单独的常见问题解答。

1. 不要混淆 f(3) 与双侧极限
2. 双侧极限存在的准则
3. x=3 处双侧极限的不存在性