雅可比矩阵的第一列与 x 方向的微小步长有什么关系？

适用条件

• 输入扰动严格沿正 x 方向进行。
• 输出是具有分量 $f_1$ 和 $f_2$ 的二维向量。
• 步长是无穷小的，允许线性近似。

理解与推导

1. 考虑输入空间中沿 x 轴的微小步长 dx。
2. 将此微小步长应用于非线性变换。
3. 观察输出空间中产生的位移向量。
4. 将该输出位移的水平分量识别为 ∂$f_1$/∂x。
5. 将该输出位移的垂直分量识别为 ∂$f_2$/∂x。
6. 将这两个分量放入雅可比矩阵的第一列。

例子

视频显示一个绿色箭头代表变换后的 ∂x 步长，指向右下方。演讲者解释说，其 x 分量是 ∂$f_1$/∂x，y 分量是 ∂$f_2$/∂x，它们被写入第一列。

容易误解的地方

• 假设 x 方向的输入步长只影响第一个输出分量。
• 认为第一列代表输入基向量本身，而不是其变换后的像。
• 混淆原始无穷小变化与导数率，没有除以步长。

观看对应讲解

继续追问

• 雅可比矩阵的第二列代表什么？
• 为什么矩阵列被认为是基向量的像？
• 雅可比矩阵如何捕捉局部线性？