如何用本质上界来定义本质上确界？

适用条件

• f 是 E 上的可测函数。
• M 遍历所有使得 |$f(x)$| $\leqslant M$ 在 E 上几乎处处成立的实数。

理解与推导

1. 识别所有使得 $|f(x)| \leqslant M$ 在 E 上几乎处处成立的值 $M > 0$。
2. 将这些值 M 收集到一个本质上界集合中。
3. 取该集合的下确界以找到最小的本质上界。
4. 将该下确界定义为 $|f(x)|$ 在 E 上的本质上确界。

例子

视频在黑板上写下了推导过程：$\operatorname*{ess\,sup}_{x \in E} |f(x)| = \inf \{ M : |f(x)| \leqslant M, \text{a.e. } x \in E \}$。

容易误解的地方

• 假设本质上确界是函数实际达到的最大值；它是几乎处处成立的界的最小下界。
• 将上界集合的下确界与最小值混淆；下确界是最大下界，它可能不是集合中任何特定 M 所达到的。

观看对应讲解

继续追问

• 本质上界和普通上界有什么区别？
• 为什么我们使用“几乎处处成立”而不是“每点成立”？