如何计算一组总体数据的标准差？

适用条件

• 数据集代表的是总体，而不是样本。
• 数据点个数 $n$ 是有限的且非空。
• 数据值为实数。

理解与推导

1. 计算数据的平均值：$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$。
2. 将每个数据点减去平均值并平方：$(x_i - \bar{x})^2$。
3. 将所有平方偏差相加：$\sum (x_i - \bar{x})^2$。
4. 将平方偏差之和除以数据点个数 $n$，求得总体方差：$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$。
5. 对方差取非负平方根，求得标准差：$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$。

例子

对于总体数据 6, 7, 8, 9, 10，平均值为 8。总体方差为 $\sigma_1^2 = \frac{(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2}{5} = \frac{10}{5} = 2$。标准差为 $\sigma_1 = \sqrt{2} \approx 1.41$。

容易误解的地方

• 在分母中使用 $n-1$ 而不是 $n$；这适用于样本方差，而不是总体方差。
• 忘记对方差开平方，导致答案停留在方差本身。
• 计算绝对偏差而不是平方偏差。

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相关概念

继续追问

• 为什么在这个问题中方差要除以 5？
• 数据 6, 7, 8, 9, 10 的标准差是多少？
• 如果所有数据点都平移一个常数，标准差会如何变化？

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